2021-2022学年辽宁省阜新市第二高级中学高二下学期期末数学试题含解析

2021-2022学年辽宁省阜新市第二高级中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出集合，再求.

【详解】由题知，，又，

所以.

故选：A.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求解.

【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题“，”的否定是：，，

故选：B.

3．“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；

【详解】解：由，得，反之不成立，如，，满足，但是不满足，

故“”是“”的充分不必要条件．

故选：B

4．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（       ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】A

【分析】观察函数在内的图象与轴有四个公共点，利用极小值点的定义分析得解.

【详解】解：由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，

在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数在开区间内的极小值点有个.

故选：A.

5．下列四组函数中导数相等的是(　　)

A．f(x)＝1与f(x)＝x

B．f(x)＝sin x与f(x)＝－cos x

C．f(x)＝1－cos x与f(x)＝－sin x

D．f(x)＝1－2x2与f(x)＝－2x2＋3

【答案】D

【详解】　由求导公式及运算法易知，D中f′(x)＝(1－2x2)′＝－4x，与f′(x)＝(－2x2＋3)′＝－4x相等.故选D.

6．《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层灯的盏数是

A．24 B．48 C．12 D．60

【答案】A

【详解】由题意可知宝塔从上至下每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，

设等比数列的首项为，则有，

解得．

∴该塔中间一层（即第4层）的灯盏数为．选A．

7．设数列是等差数列，若，则（    ）

A．2 B．4 C．8 D．12

【答案】B

【分析】利用等差数列的性质可求．

【详解】由等差数列的性质易得，

从而，解得．

故选：B

8．已知各项均为正数的等比数列，，，则（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【分析】根据等比数列中项的性质，找到已知条件与所求式子之间的中项关系，即可整体求解

【详解】由，，有，又因为各项均为正数，所以，

故选：C

二、多选题

9．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ）

A． B．

C．取得最小值时等于5 D．设，为的前项和，则

【答案】ABD

【分析】根据给定条件求出等差数列的公差d，再逐项分析计算即可判断作答.

【详解】在等差数列中，因，，则公差，

则，，A，B正确；

，

当且仅当，即时取“”，因，且，

，，则取最小值时，等于6，C不正确；

因，则

，D正确.

故选：ABD

10．已知正项等比数列的前n项和为，公比为q，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】因为为等比数列，所以也构成等比数列.根据条件给出的值，求得及公比.

【详解】因为为等比数列，所以也构成等比数列.

因为，所以，

得.

因为，所以，解得.

因为，

所以，，故A错误，B正确；

因为，且，所以，故C正确，D错误.

故选：BC

11．设函数的导函数为，则（    ）

A． B．是的极值点

C．存在零点 D．在单调递增

【答案】AD

【解析】求出定义域，再求导，计算即可判断A，由导函数，即可判断选项B、D，由，即可判断选项C，从而可得结论．

【详解】由题可知的定义域为，

对于A，，则，故A正确；

对于B、D，，所以函数单调递增，故无极值点，故B错误，D正确；

对于C，，故函数不存在零点，故C错误．

故选：AD．

12．已知函数，其导函数为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】先令代入函数可得，再对函数求导后把代入导函数中可得，从而可求得

【详解】因为，

所以．

因为，所以．

故．

故选：BC

【点睛】此题考查导数的运算，属于基础题

三、填空题

13．函数的导数是___________.

【答案】

【分析】运用求导法则求导即可.

【详解】，

故答案为：.

14．已知函数，则___________.

【答案】5

【分析】先求导函数，再将代入计算即可.

【详解】函数，则，所以.

故答案为：.

15．曲线在点处的切线方程为___________.

【答案】

【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.

【详解】解：，

当时，，

所以曲线在点处的切线方程为.

故答案为：.

16．若数列满足，则称为“追梦数列”.已知数列为“追梦数列”，且，则数列的通项公式__________.

【答案】##

【分析】根据题意，由“追梦数列”的定义可得“追梦数列”是公比为的等比数列，进而可得若数列为“追梦数列”，则为公比为3的等比数列，进而由等比数列的通项公式可得答案．

【详解】根据题意，“追梦数列”满足，即，则数列是公比为的等比数列.

若数列为“追梦数列”，则.

故答案为：.

四、解答题

17．数列的通项公式是.

(1)这个数列的第4项是多少？

(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？

【答案】(1)

(2)是，第16项

【分析】（1）利用数列的通项公式能求出这个数列的第4项；

（2）令，求出方程的解，即可判断．

【详解】（1）解：数列的通项公式是．

这个数列的第4项是：．

（2）解：令，即，

解得或（舍，

是这个数列的项，是第16项．

18．记为等差数列的前项和，已知，.

（1）求公差及的通项公式；

（2）求，并求的最小值.

【答案】（1），；（2），最小值为.

【解析】（1）设的公差为，由题意得，再由可得，从而可求出的通项公式；

（2）由（1）得，从而可求出其最小值

【详解】（1）设的公差为，由题意得.

由得.

所以的通项公式为.

（2）由（1）得.

所以时，取得最小值，最小值为

19．已知数列的前项和为，且，数列的前项积为，且.

（1）求，的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）根据求出，根据求出；

（2）用错位相减法即可得到答案.

【详解】（1）时，；

时，，

经检验，当时，满足，因此.

时，；

时，，

经检验，当时，满足，因此.

（2）由（1）知，

，

，

两式相减得

故.

20．已知函数，求的解析式.

【答案】.

【分析】先对函数求导，再利用条件解得参数，从而得到的解析式.

【详解】，，又，则有

由①②解得：

所以的解析式是

21．已知函数，求函数的极值.

【答案】见详解.

【分析】先求导函数，根据导函数零点的个数讨论，根据导函数的正负判定单调区间，进而求得极值.

【详解】，定义域为R，.

①当时， ， 在R上为增函数， 无极值.

②当时，令，得， .

当， ；当 ， ；

∴在上单调递减，在上单调递增，

在取得极小值，极小值为，无极大值.

综上所述，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.

22．已知（且）．

（1）若是函数的极值点，求实数的值，并求此时在上的最小值；

（2）当时，求证：．

【答案】（1）；2；（2）证明见解析．

【分析】（1）求导并根据即可得，检验满足题意，再根据导函数求上的单调区间，即可求解；

（2）令，进而证明函数的最小值大于0即可.

【详解】（1）函数的定义域为，，，

所以（经验证满足题意）

所以

在上，单调递减，在上，单调递增，

所以时取最小值为

所以在的最小值为2；

（2）当时，令，

，令，

因为恒成立，

所以在上单调递增，，

由零点存在性定理可得存在，

使得，即，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以，，

由二次函数性质可得，

所以，即，得证．

【点睛】本题考查导数求函数的最值，证明不等式问题，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据已知条件，将问题转化为求函数的最小值问题，其中包含了隐零点的问题求解.