2021-2022学年辽宁省营口市高二下学期期末数学试题含解析

2021-2022学年辽宁省营口市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．等比数列中，已知：，，则公比（       ）

A． B．2 C． D．3

【答案】B

【分析】根据等比数列的性质即可求解.

【详解】因为是等比数列，所以，故，

故选：B

2．设M和N是两个集合，定义集合或，如果，，那么（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数不等式以及绝对值不等式化简集合,然后根据的定义即可求解.

【详解】由,得,,故,

故选：C

3．已知正数x，y满足：（），则下列关系式恒成立的是（       ）

A． B．

C．（） D．

【答案】D

【分析】由对数函数的单调性可得，根据正弦函数的性质可判断A，根据不等式的性质可判断BCD.

【详解】由（）得,

因为正弦函数为周期函数，故的大小无法确定，故A错误，

由得,故B错误，

因为，所以，当时，，故C错误，

因为，所以，故D正确，

故选：D

4．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足，且恒成立，则实数t的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】运用基本不等式，求出 的最小值即可.

【详解】 ，当且仅当 时等号成立，

， ，当且仅当 时等号成立，

；

故选：B.

5．已知函数，若，则（       ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】由即可求出，则可求出的值.

【详解】当时，，无解，

当时，，

所以，

故选：B.

6．函数在区间上的图象可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可；

【详解】解：∵，∴是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B选项；

∵，∴在上不单调，排除D选项．

故选：C

7．已知函数，，对于任意，存在，有，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意可得，，再由对于任意，存在，有等价于，即可列出不等式，即可求出实数a的取值范围.

【详解】由题意知：，

因为，

所以

对于任意，存在，有等价于

即.

则实数a的取值范围是.

故选：A.

8．已知函数，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的导数，判断出单调性，再判断函数的奇偶性，则不等式不等式可化为即为，运用对数函数的单调性，即可得到解集.

【详解】函数的导数为，

则x>0时，，f(x)递增;

因为，则f(x)为偶函数，则不等式可化为

又因为x>0时, f(x)递增，且f(x)为偶函数，

所以，解得：

故选:D

【点睛】(1)利用单调性解不等式通常用于： ①分段函数型不等式；②复合函数型不等式；③抽象函数型不等式；④解析式较复杂的不等式；

(2)解题的一般策略是：利用函数的单调性，将函数值的的大小关系转化为自变量的关系，解不等式即可．

二、多选题

9．已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（       ）

A．函数为非奇非偶函数 B．函数的定义域为

C．的单调递增区间为 D．若，则

【答案】AC

【分析】根据点坐标，求出幂函数解析式，然后对选项分别进行判断即可.

【详解】设幂函数，为实数，

其图像经过点，所以，则，

所以，定义域为，为非奇非偶函数，故A正确，B错误.

且在上为增函数，故C正确.

因为函数是凸函数，所以对定义域内任意，

都有成立，故D错误.

故选:AC.

10．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如．已知的定义域为，值域为M，的定义域为N，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】由“高斯函数”的定义结合对数函数的运算性质可判断A，B；求出集合，由集合的交集和并集可判断C，D.

【详解】对于A，，因为，

所以，故A正确；

对于B，，所以.，所以B不正确；

对于C，因为的定义域为，值域为,

的定义域为: ，解得：，

所以，所以，所以C正确；

对于D，，所以D不正确.

故选：AC.

11．已知，函数的导函数为，下列说法正确的是（       ）

A． B．单调递增区间为

C．的极大值为 D．方程有两个不同的解

【答案】AC

【分析】求出，则可知，在上单调递增，在上单调递减，的极大值为；方程等价于,易知函数与函数有且只有一个交点，由此即可选出答案.

【详解】由题意知：，

所以，A正确；

当时；，单调递增，

当时；，单调递减，B错误;

的极大值为，C正确；

方程等价于,

易知函数与函数有且只有一个交点，即方程有且只由一个解，D错误;

故选：AC.

12．已知函数，．若实数a，b（a，b均大于1）满足，则下列说法正确的是（       ）

A．函数在上单调递减 B．函数的图像关于中心对称

C． D．

【答案】BD

【分析】A：求f(x)定义域和奇偶性，根据复合函数单调性即可判断f(x)单调性；

B：f(x)向右平移一个单位得到g(x)，据此即可判断g(x)对称中心；

C：根据g(x)关于对称化简，再结合g(x)单调性得a与b的大小关系和范围，由此可判断和的大小关系；

D：构造函数，利用导数判断其单调性即可判断．

【详解】对于A，，

在上恒成立，

定义域为，即的定义域关于原点对称，

，

为奇函数，

函数的图像关于点中心对称，

，，在上单调递增，

函数在上单调递增，

函数在上单调递增，故A错误；

对于B，，

，

函数的图像关于点中心对称，故B正确；

对于C，函数的图像关于点中心对称，

，，

，，

相当于向右平移1个单位，

和单调性相同，

函数在上单调递增，，，

，故C错误；

对于D，令，，

令，则

在上单调递增，

，

，

在上单调递减，

，，，故D正确．

故选:BD.

三、填空题

13．已知a，b，c三个数成等差数列，函数的图像过定点A，函数的图像经过点A，则函数的定义域为______________．

【答案】

【分析】由等差中项可得的关系，从而可以确定的坐标，再将的坐标代入函数即可得到定义域范围.

【详解】因为成等差数列，所以，

所以，当时，，

所以函数的图像过定点，

所以，解得，

所以，

令，则

所以函数的定义域为.

故答案为:.

14．已知函数，若对于区间上任意两个不相等的实数，，都有，则实数a的取值范围为___________．

【答案】

【分析】由题意，对于函数 在 上为单调的，即二次函数 的对称轴不在区间 上即可.

【详解】由题意， 的对称轴为 ，即 或 ，

或 ，

故答案为：   .

15．斐波那契数列，又称黄金分割数列，被誉为最美的数列，若数列满足，，（，），则称数列为斐波那契数列，则___________．

【答案】0.5

【分析】根据数列的性质，可得到为，所以，代入即可得出答案.

【详解】因为，，，

所以：，

，

，所以

所以，

所以.

故答案为：.

16．函数在R内满足为偶函数，且当时，，函数，则当时，方程所有根的和为___________．

【答案】12

【分析】由题可得函数与都关于对称，画出函数的大致图象利用数形结合即得.

【详解】因为为偶函数，

∴，即函数关于对称，

又，，

即函数关于对称，

当时，，

方程的所有根即为函数与的图象交点的横坐标，

作出函数与的图象，

由图可知当时,函数与的图象共有12个交点，且两两关于对称，

所以方程所有根的和为.

故答案为：12.

四、解答题

17．已知集合，

(1)若，求实数a的取值范围；

(2)若命题p：“，使得”是假命题，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据,将不等式转化为恒成立问题，即可求得的范围.

(2)根据命题的否定为真命题，化简集合列出不等式即可.

【详解】(1)（1）∵，∴恒成立．

∴   即   解得，

(2)（2）∵p：“，得”是假命题，

∴

且   

，解得

18．大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据：

并计算得      

(1)估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量；

(2)求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）；

(3)刘铭同学测量了自己实习期制作的所有这种零件的横截面积，并得到所有这种零件的横截面积的和为182，若这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比，请帮刘铭计算一下他制作的零件的总耗材量的估计值．

附：参考公式和数据：相关系数；；

【答案】(1)平均一个的横截面积为0.052，平均一个零件的耗材量为0.39

(2)

(3)1365

【分析】（1）根据10个样本数据即可计算平均数，

（2）由相关系数的公式以及参考数据，代入即可求解，

（3）根据耗材量和其横截面积近似成正比，即可列出比例式求解.

【详解】(1)样本中10个这种零件的横截面积的平均值,

样本中10个这种零件的耗材量的平均值,

据此可估计刘铭制作的这种零件平均一个的横截面积为0.052，平均一个零件的耗材量为0.39.

(2)

∴

(3)设这种零件的总耗材量的估计值为y．

又已知这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比,

可得，解得,

故这种零件的总耗材量的估计值为1365.

19．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：）与速度v（单位：）的数据如下表所示：

为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：

①；②；③．

(1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；

(2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200，国道上行驶40，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：）与速度v（单位：）的关系满足（），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？

【答案】(1)是可能符合格中所列数据的函数模型；；

(2)当高速路上速度为80，国道上速度为40时，总耗电最少，为33300.

【分析】（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③，再利用待定系数法即得；

（2）根据题意可得高速路上的耗电量，再分析的单调性求得最小值，再由题可得国道上的耗电量，根据二次函数的性质即得.

【详解】(1)因为函数是定义城上的减函数，

又无意义，

所以函数与不可能是符合表格中所列数据的函数模型，

故是可能符合格中所列数据的函数模型，

由，

解得，

所以；

(2)由题意，高速路上的耗电量，

当时，，

所以函数在区间上是增函数，

所以，

国道上的耗电最，

所以

所以当高速路上速度为80，国道上速度为40时，总耗电最少，为33300.

20．设数列的前n项和为，且满足．

(1)求数列的通项公式：

(2)若，求数列和的前10项的和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据和的关系即可相减求解是等比数列，进而可求通项，

（2）由，可得的通项，进而根据分组求和即可求前10项的和.

【详解】(1)由得:当时，，故，即，当时，，故是以公比为3，首项为3的等比数列，因此.

(2)当为偶数时，

当为奇数时，，

所以数列和的前10项的和：

21．已知函数．

(1)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围；

(2)若的最大值为2，求实数m的值；

(3)若对任意的，，，均存在以，，为三边长的三角形，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)4

(3)

【分析】（1）由对任意的，恒成立，利用参变分离可变形为恒成立，再利用基本不等式，即可求出答案;

（2）由题意知，且，讨论与的大小关系，即可求出的取值范围，则可求出的值；

（3）由题意知条件可转化为对任意的，，恒成立，讨论与的大小关系，分别写出与的取值范围，利用恒成立，即可列出不等式，即可求出的取之范围.

【详解】(1)因为对任意的，恒成立，

所以恒成立，

因为，所以，当且仅当时取等号，

所以，

所以.

(2)

因为，所以,

当时：，不符合题意,

当时：，不符合题意,

当时：，即,

所以.

(3)由题意知：对任意的，，恒成立，

当时，，且，

所以；

当时：，符合题意；

当时：，且，

所以;

综上所述：实数m的取值范围为

22．已知函数（其中a为参数）．

(1)求函数的单调区间；

(2)若对，恒成立，求实数a的取值集合：

(3)证明：（其中，为自然对数的底数）

【答案】(1)答案见解析

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对分类求得函数的单调区间；

（2）对任意，都有，转化为，分类求出，通过构造函数求解不等式即可得实数的取值范围；

（3）借助于（2）中的函数，，分别取和，代入即可通过变形证明.

【详解】(1)，，

当时，，在单调递增，

当时，令，得，

时，，单调递减，

时，单调递增；

综上：时，在上递增，无减区间，

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；

(2)由题意得，

当时，在单调递增，又，故当时，，故不符合题意，

当时，在单调递减，在单调递增，

故，

对，恒成立，则需满足，

记，则，

当时，，当时，，

故在上递减，在上递增，

所以的解只有，

实数的取值集合为

(3)由（2）知：

令，则，即，即，

所以，

由（2）知：

令，则，即，

即，所以，

综上可知：.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，含参数分类讨论的思想，考查了恒成立问题，利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，利用已有函数的单调性证明函数不等式.