专题6.12 用一次函数解决问题（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

这是一份专题6.12 用一次函数解决问题（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共122页。
专题6.12 用一次函数解决问题（知识讲解）
【学习目标】
1. 能从实际问题的图象中获取所需信息；
2. 能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式；
3. 能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题；
4. 提高解决实际问题的能力．认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际问题的能力．
【要点梳理】
要点一、数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
要点二、正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
特别说明：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
要点三、选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.

【典型例题】
类型一、分配方案问题
1．端午节放假期间，某学校计划租用辆客车送名师生参加研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表，设租用甲种客车辆，租车总费用为元．

甲种客车
乙种客车
载客量（人/辆）


租金（元/辆）


（1）求出（元）与（辆）之间函数关系式；
（2）求出自变量的取值范围；
（3）选择怎样的租车方案所需的费用最低？最低费用多少元？
【答案】（1）；（2），且为整数；（3）租用甲种客车辆，租用乙种客车辆，所需的费用最低，最低费用元．
【分析】
（1）根据租用甲种客车x辆，则租用乙种客车（6-x）辆，进而表示出总租金即可．
（2）由实际生活意义确定自变量的取值范围．
（3）由题意可列出一元一次不等式方程组．由此推出y随x的增大而增大．
解：（1）设租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆，
由题意可得出：；
（2）由得：．
又，

的取值范围是：，且为整数；
（3），且为整数，
取或或
中
随的增大而增大
当时，的值最小．
其最小值元．
则租用甲种客车辆，租用乙种客车辆，所需的费用最低，最低费用元．
故答案为（1）；（2），且为整数；（3）租用甲种客车辆，租用乙种客车辆，所需的费用最低，最低费用元．
【点拨】本题考查一次函数的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．要会利用题中的不等关系找到x的取值范围，并根据函数的增减性求得y的最小值是解题的关键．
举一反三：
【变式1】甲、乙两组同时加工某种零件，甲组每小时加工80件，乙组加工的零件数量y（件）与时间x（小时）为一次函数关系，部分数据如下表所示．
x（小时）
2
4
6
y（件）
50
150
250
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满340件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？
【答案】（1）y＝50x﹣50；（2）经过3小时恰好装满第1箱．
【分析】
（1）根据已知条件乙组加工的零件数量y（件）与时间x（小时）为一次函数关系，利用待定系数法代入两对x、y值即可求函数解析式；
（2）根据题意甲生产零件+乙生产零件=340件（1箱），时间相同，故设时间为x小时恰好装满第1箱可列式80x+50x﹣50＝340，解得的x即为所求.
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）把（2，50）（4，150）代入，
得解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝50x﹣50；
（2）设经过x小时恰好装满第1箱，
根据题意得80x+50x﹣50＝340，
∴x＝3，
答：经过3小时恰好装满第1箱．
【点拨】本题考查了一次函数的应用，解本题的关键为乙装箱的数量可用时间表示，明确这个隐藏条件即可解题.
【变式2】某公司要印制宣传材料，现有甲、乙两个印刷厂.甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费.设印制数量为x(份)，甲，乙两印刷厂的收费分别为y1和y2(单位是：元).
(1)请写出y1=______________；y2=_____________.
(2)印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？并说明理由.
【答案】（1）； （2）乙印刷厂，理由详见解析.
【分析】
（1）甲印刷厂的收费为印刷数量乘以1元再加上1500元，乙印刷厂的收费为印刷数量乘以2.5元.
（2）将分别代入两个方程，比较哪家印刷厂费用较低.
解：（1）由题意可知：
甲厂每份材料收1元印制费，另收1500元制版，则
乙场每份材料收2.5元印制费，不收制版费，则
（2） 当时，，
，乙印刷厂费用较低.
【点拨】本题主要考查了一元一次函数的应用，根据题意，找出收费y（元）与印刷数量x（套）之间的关系，然后列出函数关系式.
类型二、最大利润问题
2．某厨具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如下表：

进价（元/台）
售价（元/台）
电饭煲
200
250
电压锅
160
200
（1）一季度，厨具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中赚了多少钱？
（2）为了满足市场需求，二季度厨具店决定采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不大于电压锅的，请你通过计算判断，如何进货厨具店赚钱最多？最大利润是多少？
【答案】（1）1400元；（2）采购18台电饭煲，32台电压锅时,最大利润是2180元．
【分析】通过审题，表格显示了两种商品的进价和售价；
（1）题目给出两种电器的总数量和进货的总花费；设其中一个电器购进x台，则另一种电器购进（30-x）台，由购进总费用可以求各种电器的数量，然后再分别乘以每种电器的利润，最后把各种电器的利润相加起来；
（2）题目给出了两种电器的数量之间的关系，同时记得结合表格中的数据；可以设其中的一种电器数量为 n 台，总利润为z元，从而列出方程，根据两种电器之间的数量关系，确定取值范围，从而求出利润的最大值．
解：（1）每件电饭锅的利润：250-200=50（元）；每件电压锅的利润：200-160=40（元）
设购进的电饭煲x台，则购进的电压锅（30-x）台．
由题意得：200x+160（30-x）=5600
解得：x=20
则电压锅：30-20=10（台）
总利润=50×20+40×10=1400 （元）
答：厨具店在该买卖中赚了1400元．
（2）设采购的电饭煲有n 台，则采购的电压锅有（50-n）台
由题意得：总利润z=50n+40 （50-n）=2000+10n
∵n≤（50-n），
∴n≤
当n=18时，总利润z最大，则最大的利润为2000+10×18=2180（元）
答：采购18台电饭煲，32台电压锅时，厨具店赚钱最多，最大利润是2180元．
【点拨】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利润问题，一定要认真分析表格中的数据信息和题目的要求.
举一反三：
【变式1】A城有某种农机30台，B城有该农机40台．现要将这些农机全部运往C、D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C、D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C、D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台
（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；
（3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（100＜a＜250）作为优惠，其他费用不变．在（2）的条件下，若总费用最小值为10740元，直接写出a的值．
【答案】（1）W关于x的函数关系式为W＝140x+12540，自变量x的取值范围为0≤x≤30；（2）有三种调运方案：①A城运往C乡28台，运往D乡2台；B城运往C乡6台，运往D乡34台；②A城运往C乡29台，运往D乡1台；B城运往C乡5台，运往D乡35台；③A城运往C乡30台，运往D乡0台；B城运往C乡4台，运往D乡36台；（3）a的值为200元．
【分析】
（1）设A城运往C乡x台农机，可以表示出运往其它地方的台数，根据调运单价和调运数量可以表示总费用W；
（2）列出不等式组确定自变量x的取值范围，在x的正整数解的个数确定调运方案，并分别设计出来；
（3）根据A城运往C乡的农机降价a元其它不变，可以得出另一个总费用与x的关系式，根据函数的增减性，确定当x为何值时费用最小，从而求出此时的a的值．
解：（1）设A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡（6+x）台农机，由题意得：
W＝250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）＝140x+12540，
∵x≥0且30﹣x≥0且34﹣x≥0，
∴0≤x≤30，
答：W关于x的函数关系式为W＝140x+12540，自变量x的取值范围为0≤x≤30．
（2）由题意得：
，解得：28≤x≤30，
∵x为整数，
∴x＝28或x＝29或x＝30，
因此有三种调运方案，
即：①A城运往C乡28台，运往D乡2台；B城运往C乡6台，运往D乡34台；
②A城运往C乡29台，运往D乡1台；B城运往C乡5台，运往D乡35台；
③A城运往C乡30台，运往D乡0台；B城运往C乡4台，运往D乡36台；
（3）由题意得：
W＝（250﹣a）x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）
＝（140﹣a）x+12540，
∵总费用最小值为10740元，
∴140﹣a＜0
又∵28≤x≤30，
解得：a＝200
答：a的值为200元．
【点拨】考查一次函数的性质、一元一次不等式组等知识，准确理解题意，熟练掌握一次函数的增减性、弄清调运的台数是解决问题的关键．
【变式2】2021年3月20日，三星堆遗址考古新发现揭晓，出土文物500余件，三星堆考古发掘成果再次成为炙手可热的话题．某商家看准商机后，计划购进一批“考古盲盒”（三星堆文物模型盲盒）进行销售．已知该商家用1570元购进了10个甲种盲盒和15个乙种盲盒，甲种盲盒的进货单价比乙种盲盒的进货单价多2元．
（1）甲种盲盒和乙种盲盒的进货单价分别是多少元？
（2）由于“考古盲盒”畅销，商家决定再购进这两种盲盒共50个，其中甲种盲盒数量不多于乙种盲盒数量的2倍，且每种盲盒的进货单价保持不变．若甲种盲盒的销售单价为83元，乙种盲盒的销售单价为78元，假设此次购进甲种盲盒的个数为x（个），售完第二批盲盒所获总利润为y（元），求出y与x之间的函数关系式，并求出售完第二批盲盒最多获得总利润多少元？
【答案】（1）甲种盲盒的进货单价为64元，则乙种盲盒的进货单价为62元（2）y=1230+3x，最多获得总利润1329元．
【分析】
（1）设甲种盲盒的进货单价为a元，则乙种盲盒的进货单价为（a-2）元，根据题意即可列出一元一次方程，即可求解；
（2）设购进甲种盲盒x个，则购进乙种盲盒（50-x）个，根据题意得到x的取值，再列出y关于x的一次函数，根据一次函数的性质即可求解．
解：（1）设甲种盲盒的进货单价为a元，则乙种盲盒的进货单价为（a-2）元，
根据题意得10a+15(a-2)=1570
解得a=64
∴甲种盲盒的进货单价为64元，则乙种盲盒的进货单价为62元
（2）设购进甲种盲盒x个，则购进乙种盲盒（50-x）个，
依题意可得
解得
∴y=(83-64)(10+x)+（78-62）（50-x+15）=1230+3x
故y随x的增大而增大
故当x=33时，y最大=1230+3×33=1329（元）
∴求出售完第二批盲盒最多获得总利润1329元．
【点拨】此题主要考查方程的函数的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程 或函数进行求解．
类型三、行程问题
3甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在同一条公路上，匀速行驶，相向而行，到两车相遇时停止.甲车行驶一段时间后，因故停车0.5小时，故障解除后，继续以原速向B地行驶，两车之间的路程y（千米）与出发后所用时间x(小时）之间的函数关系如图所示.

（1）求甲、乙两车行驶的速度V甲、V乙.
（2）求m的值.
（3）若甲车没有故障停车，求可以提前多长时间两车相遇.
【答案】（1）甲的速度是60km/h，乙的速度是80km/h；（2）m=70；（3）
【分析】
（1）设甲的速度为x km/h，乙的速度为y km/h，根据图形找到等量关系列出二元一次方程组即可求解；
（2）求出0.5h乙走的路程，根据图像即可求解；
（3）求出甲车没有故障停车两车相遇的时间即可比较.
解：（1）设甲的速度为x km/h，乙的速度为y km/h，
根据函数图像可得
解得
故甲的速度为60 km/h，乙的速度为80 km/h
（2）甲车故障后，0.5h乙走的路程为0.5×80=40，
∴m=110-40=70
（3）甲车没有故障停车两车相遇的时间为=
∴可以提前1.5-=h.
【点拨】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图像得到等量关系求出甲乙两车的速度.
【变式1】甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离（千米）与（时间）之间的函数关系图像
（1）求甲从B地返回A地的过程中，与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若乙出发后2小时和甲相遇，求乙从A地到B地用了多长时间？

【答案】（1）
（2）3小时
【分析】
（1）设，根据题意得
，解得

（2）当时，
∴骑摩托车的速度为（千米/时）
∴乙从A地到B地用时为（小时）
【变式2】甲、乙两个探测气球分别从海拔和处同时出发，匀速上升．下图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（单位：m）与气球上升时间x（单位：）的函数图象．

（1）求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式；
（2）当这两个气球的海拔高度相差时，求上升的时间．
【答案】（1）甲：，乙：；（2）
【分析】
（1）分别设出甲乙的函数解析式，利用待定系数法求解解析式即可；
（2）由题意得利用甲乙的函数解析式列方程，解方程并检验可得答案．
解：（1）设甲气球上升过程中：，
由题意得：甲的图像经过：两点，

解得：
所以甲上升过程中：
设乙气球上升过程中：
由题意得：乙的图像经过：两点，

解得：
所以乙上升过程中：

（2）由两个气球的海拔高度相差，
即


或
解得：或（不合题意，舍去）
所以当这两个气球的海拔高度相差时，上升的时间为
【点拨】本题考查的是一次函数的应用，考查利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握以上知识是解题的关键．
类型四、几何问题
4．已知一次函数的图象经过A(-2，-3)，B(1，3)两点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)试判断点P(-1，1)是否在这个一次函数的图象上；
(3)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积.
【答案】(1) y=2x+1;(2)不在;（3）0.25.
【分析】
（1）用待定系数法求解函数解析式；
（2）将点P坐标代入即可判断；
（3）求出函数与x轴、y轴的交点坐标，后根据三角形的面积公式即可求解．
解答：（1）设一次函数的表达式为y=kx+b，
则-3=-2k+b、3=k+b，解得：k=2，b=1．
∴函数的解析式为：y=2x+1.
（2）将点P（-1，1）代入函数解析式，1≠-2+1，
∴点P不在这个一次函数的图象上.
（3）当x=0，y=1，当y=0，x=，
此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积为：
举一反三：
【变式1】如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．

【答案】（1）y＝﹣2x+6；（2）M（3，6）或（﹣1，2）．
【分析】
（1）把点C的坐标代入y＝x＋3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
【点拨】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．
【变式2】如图一次函数的图象经过点，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点C，点C的横坐标为1．

（1）求的函数表达式．
（2）若点D在y轴负半轴，且满足，求点D的坐标．
（3）若，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）由题意可先求出点C的坐标，然后再把点A与点C的坐标代入一次函数解析式进行求解即可；
（2）可先求出△BOC的面积，然后可得△COD的面积，进而根据面积计算公式可进行求解；
（3）直接根据图象可进行求解．
解：（1）∵一次函数与正比例函数的图象交于点C，点C的横坐标为1，
∴把x=1代入正比例函数得：，
∴点，
∴把点、代入一次函数得：
，解得：，
∴AB的函数解析式为；
（2）由（1）得：，AB的函数解析式为，
∴令y=0时，则有，
∴点，
∴OB=4，
令表示点C的横坐标，表示点C的纵坐标，则由图象可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点D在y轴负半轴，
∴；
（3）由图象可得：
当时，则x的取值范围为．
【点拨】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
类型五、其他问题
5．声音在空气中的传播速度y(m/s)(秒音速)与气温x(℃)的关系，如下表.

(1)直接写出y与x间的关系式；
(2)当x＝150 ℃时，音速y是多少？当音速为352 m/s时，气温x是多少？
【答案】：(1)y＝x＋331；（2）当x＝150℃时，音速y是421 m/s，当音速为352 m/s时，气温x是35℃.
【分析】
（1）观察不难发现，气温每升高5℃，音速增加3，然后设y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）把x的值代入关系式计算求出y的值，把y的值代入关系式计算求出x的值即可．
【详解】
解：(1) 设y=kx+b（k≠0），
∵x=0时，y=331，x=5时，y=334，
∴
解得
∴y＝x＋331；
(2)当x＝150时，y＝0.6×150＋331＝421，
当y＝352时，0.6x＋331＝352，
解得x＝35.
答：当x＝150℃时，音速y是421 m/s，
当音速为352 m/s时，气温x是35℃.
【点拨】本题考查了一次函数的应用，是基础题，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值与已知函数值求自变量
举一反三：
【变式1】某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x千克，付款金额为y元．
（1）求y关于x函数解析式；
（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？
【答案】（1）①当0≤x≤5时，y=20x；②当x>5，y=16x+20；（2）一次购买玉米种子30千克，需付款500元；
【分析】
（1）根据题意，得①当0≤x≤5时，y=20x；②当x＞5，y=20×0.8（x-5）+20×5=16x+20；
（2）把x=30代入y=16x+20，即可求解.
【详解】
解：（1）根据题意，得
①当时，；
②当，；
（2）把代入，
；
一次购买玉米种子千克，需付款元.
【点拨】本题考查一次函数的应用；能够根据题意准确列出关系式，利用代入法求函数值是解题的关键．
【变式2】某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册，该纪念册每册需要10张8K大小的纸，其中4张为彩色页，6张为黑白页．印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩色页300元/张，黑白页50元/张；印刷费与印数的关系见表．
印数a　（单位：千册）
1≤a＜5
5≤a＜10
彩色　（单位：元/张）
2.2
2.0
黑白（单位：元/张）
0.7
0.6
(1)直接写出印制这批纪念册的制版费为多少元；
(2)若印制6千册，那么共需多少费用？
(3)如印制x（1≤x＜10）千册，所需费用为y元，请写出y与x之间的关系式．
【答案】（1）1500元；（2）共需71100元的费用；（3）y=．
【分析】
（1）根据制版费=彩色页制版费+黑白页制版费，代入数据即可求出；
（2）根据总费用=制版费+印刷费，代入数据即可求出；
（3）分和两种情况找出y关于x的函数关系式，合并在一起即可得出结论.
解：（1）印制这批纪念册的制版费为：300×4+50×6=1500（元），
∴印制这批纪念册的制版费为1500元．
（2）印制6千册时，需要的费用为：1500+（2×4+0.6×6）×6000=71100（元），
∴若印制6千册，那么共需71100元的费用．
（3）由已知得：
当1≤x＜5时，y=1500+（2.2×4+0.7×6）×1000x=13000x+1500；
当5≤x＜10时，y=1500+（2×4+0.6×6）×1000x=11600x+1500．
综上可知：y与x之间的关系式为y=．
【点拨】本题考查一次函数的应用，解题的关键是（1）（2）根据数量关系列式计算；（3）根据数量关系找出y关于x的函数关系式.