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专题6.10 一次函数的图象（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）
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这是一份专题6.10 一次函数的图象（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）
专题6.10 一次函数的图象（知识讲解）【学习目标】1. 理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题；3.理解并掌握一次函数图象平移后的解析式，并识记平移后的规律；4.初步认识数形结合思想，并能用数形结合思想解决简单问题；5.初步掌握设参求值解决点的坐标，线段长及面积等问题；6. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．7.一次函数图象和性质综合运用。【要点梳理】要点一、一次函数的定义一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.特别说明：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.要点二、一次函数的图象与性质1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：3. 、对一次函数的图象和性质的影响：决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：（1）与相交； （2），且与平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.特别说明：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.特别说明：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围. 【典型例题】类型一、一次函数的图象1．如图，在直角坐标系中，已知点A(6，0)，又点B(x，y)在第一象限内，且x＋y＝8，设△AOB的面积是S.(1)写出S与x之间的函数解析式，并求出x的取值范围；(2)画出(1)中所求函数的图象．【答案】（1）0＜x＜8.（2）详见解析.【分析】（1）根据点A、B的坐标求得△AOB的底边OA与高线BC的长度；然后根据三角形的面积公式即可求得S与x的函数关系式；（2）利用“两点确定一条直线”来画一次函数的图象；解：（1）∵点B在直线y=-x+8上，∴设B（x，-x+8），∴y=-x+8与x和y轴的交点分别为（8，0）和（0，8）∵点B在第一象限，∴其横坐标x的范围是：0＜x＜8；∵A（6，0），点B（x，y），∴OA=6，BC=y（y＞0），∴S=OA•BC=×6y=3y；又∵x+y=8，∴y=8-x，∴S=-3x+24.由，解得0＜x＜8.(2) ∵由（1）知，S=-3x+24（0＜x＜8）；令S=0，则x=8；令x=0，则S=24，∴一次函数S=-3x+24（x＞0）经过点（8，0）、（0，24），∴其图象如图所示：【点拨】本题考查了一次函数的性质、一次函数的图象．解答（2）题时，注意该一次函数图象中的自变量x的取值范围．举一反三：【变式1】已知一次函数的图象经过A(0，4)与B(－3，0)两点．(1)求这个一次函数的解析式；(2)判断点C(1，)与点D(3，8)是否在该一次函数的图象上．【答案】(1) y＝x＋;(2)点C不在直线上，点D在直线上，理由见解析【分析】（1）把点A、B的坐标代入解析式，然后解方程组求出k、b的值，即可得解；（2）把横坐标1和3分别代入函数解析式求出y的值，如果等于或8，则点C或D在这个函数图象上，否则，不在．解：(1)设一次函数为y＝kx＋b，则，∴k＝，b＝4，∴y＝x＋4.(2)当x＝1时，y＝×1＋4＝，C(1，)不在直线上．当x＝3时，y＝×3＋4＝8，D(3，8)在直线上．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式最常用的方法，一定要熟练掌握．【变式2】一次函数y＝kx＋4的图象经过点(－3，－2)．(1)求这个函数的解析式；(2)画出该函数的图象；(3)判断点(3，5)是否在此函数的图象上．【答案】(1) y＝2x＋4；(2)如图所示见解析；(3)点(3，5)不在此函数的图象上．整体分析：(1)把(－3，－2)代入y＝kx＋4，即可求k值；(2)确定直线与x轴，y轴的交点后画函数图象；(3)把x=3代入到一次函数的解析式中，看函数值是否为5.解：(1)把(－3，－2)代入y＝kx＋4，得－3k＋4＝－2，解得k＝2，所以一次函数的解析式为y＝2x＋4.(2)如图所示：(3)当x＝3时，y＝2x＋4＝6＋4＝10≠5，所以点(3，5)不在此函数的图象上．类型二、一次函数图象的位置2．函数的图象一定不经过第_________象限．【答案】二【分析】根据一次函数的图象的性质作答．解：由已知，得：．故直线必经过第一、三、四象限．则不经过第二象限．故答案为：二．【点拨】考查了一次函数的性质，能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限．举一反三：【变式1】一次函数，当时，这个一次函数的图象不经过的象限是________.【答案】第一象限【解析】【分析】根据一次函数的图象与系数的关系判断出该一次函数的图象所经过的象限，进而可得出结论．解：∵一次函数中， ∴k=-1＜0，图象过二、四象限， ∵，与y轴的负半轴相交∴此函数的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限． 故答案为一．【点拨】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＜0，b＞0时函数的图象在一、二、四象限是解答此题的关键．【变式2】一次函数（）的图象经过A(1，0)和B(0，2)两点，则它的图象不经过第_____象限．【答案】三．解：试题分析：将A（1，0）和B（0，2）代入一次函数中得：，解得：，∴一次函数解析式为不经过第三象限．故答案为三．考点：一次函数图象与系数的关系．类型三、由一次函数图象位置求参数取值范围3已知一次函数y=（1-2m）x+m-1，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限，求m的取值范围．【答案】＜m＜1解：试题分析：根据一次函数的性质，函数y随x的增大而减小，则1－2m＜0，解得m＞；又因为函数的图象经过第二、三、四象限，说明函数图象与y轴的交点在x轴下方，即m－1＜0，解得m＜1；所以m的取值范围为：＜m＜1.试题解析：∵函数y随x的增大而减小，∴1－2m＜0，解得m＞；∵函数的图象经过第二、三、四象限，∴图象与y轴的交点在x轴下方，即m－1＜0，解得m＜1；∴＜m＜1.点拨：掌握一次函数的增减性.【变式1】已知一次函数y＝（2m+1）x+3﹣m（1）若图像经过原点，求m的值；（2）若图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围．【答案】（1）m=3；（2）．【分析】（1）因为图像经过原点，根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出3﹣m =0，解之即可得出结论;（2）由函数图象经过第一、二、三象限结合一次函数图象与系数的关系即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出结论.解：（1）∵函数y＝（2m+1）x+3﹣m的图象经过原点，∴3﹣m =0，解得：m=3．∴当m为3时，该函数图象经过原点，即m=3；（2）∵函数y＝（2m+1）x+3﹣m的图象经过一、二、四象限，∴，解得：．【点拨】本题考查一次函数的性质以及一元二次方程组的综合，解题的关键是掌握一次函数的性质以及求解一元二次方程组.【变式2】已知：一次函数y=（m-3）x+（2-m），（1）函数值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；（2）函数图象与y轴的交点于x下方，求m的取值范围；（3）函数图象经过二、三、四象限，求m的取值范围【答案】（1）m＜3；（2）m＞2且m≠3；(3) 2＜m＜3.【分析】根据一次函数图象的性质来求确定系数的符号．解：（1）∵函数值y随自变量x的增大而减小，∴m-3＜0，解得，m＜3；（2）∵函数图象与y轴的交点于x下方，∴2-m＜0，解得，m＞2．又m-3≠0即m≠3．综上所述，m的取值范围是m＞2且m≠3；（3）∵函数图象经过二、三、四象限，∴，解得，2＜m＜3.【点拨】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．类型四、一次函数的图象与坐标轴交点坐标4．已知直线与直线平行，且直线过点（2,8），求直线与轴的交点坐标【答案】（，0）【分析】因为直线与直线平行，得到，又因该直线过点(2，8)，代入可求得直线的解析式，令，即可求得直线与轴的交点坐标．解：∵直线：与直线平行， ∴，∵直线过点(2，8)， ∴， ∴． ∴直线的解析式为，当时，解得：，∴直线与轴的交点坐标为(，0)．【点拨】本题考查了两条直线平行或相交问题，一次函数上点的坐标特征，难度不大，关键是掌握两直线平行，k值相等．举一反三：【变式1】已知：一次函数的图象经过点A（4，3）和B（-2，0）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求一次函数与y轴的交点．【答案】（1）；（2）(0，1)．【分析】（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把A与B代入求出k与b的值，即可确定出解析式； （2）对于一次函数，令x=0求出y的值，即可确定出与y轴交点坐标．解：（1）∵过点A(4，3)和点B(-2，0)，∴，解得：，∴一次函数表达式为；（2）对于一次函数y=， 令x=0，得到y=1， 则一次函数与y轴交点坐标为(0，1)．【点拨】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【变式2】作出函数的图象，并求它的图象与轴、轴所围成的图形的面积.【答案】图形见解析，6【分析】画一次函数y=kx+b的图象时，一般取图象与x、y轴的交点，根据两点作直线，便可求出与轴、轴所围成的图形的面积.解：令y=0，得x-4=0，解得x=3，所以与x轴的交点坐标为（3，0）；令x=0，得y=-4，所以与y轴的交点坐标为（0，-4），画出图象为： 围成的面积为×3×4=6．类型五、画一次函数图象5．如图，在平面直角坐标系中，画出函数y＝2x－4的图象，并写出图象与坐标轴交点的坐标．【答案】图象见解析；与坐标轴的交点为(0，－4)，(2,0)．【分析】令x=0，y=0分别求出与坐标轴的交点，然后利用两点法作出函数图象即可．解：令x＝0，y＝－4，令y＝0，则2x－4＝0，解得x＝2，∴与坐标轴的交点为(0，－4)，(2,0)．【点拨】本题考查了一次函数的图象，主要利用了一次函数图象与坐标轴的交点的求法，以及两点法作一次函数图象．举一反三：【变式1】在同一平面直角坐标系中画出函数，，的图象【答案】见解析【分析】根据描点法，分别取出一组对应值，连接原点，可得函数图象.解：列表： 描点、画图：【点拨】本题考查了画函数的图象，考查的是用描点法画函数的图象，解答此题的关键是描出各点，画出函数图象，再根据函数图象找出规律．【变式2】已知，直线l过点（2，2）和（－2，0）．（1）求出直线的函数解析式；（2）画出直线的函数图象；（3）根据函数图象，直接写出y＜2时x的取值范围．【答案】（1）；（2）函数图像见详解；（3）当y＜2时，x＜2；【分析】（1）设一次函数的解析式为，将点（2，2）和（－2，0），代入得，即可求得解析式； （2）根据点（2，2）和（－2，0）可以作出函数图像，（3）由点（2，2）可知，当y=2时，x=2，并且函数图像y随x的增大而增大，可知当y＜2时，x＜2；解：（1）设一次函数的解析式为，因为经过点（2，2）和（－2，0），代入得： ，解之得： 所以解析式为；（2）根据点（2，2）和（－2，0）可以作出函数图像，如下图所示：（3）由点（2，2）可知，当y=2时，x=2，并且由图可知，函数图像y随x的增大而增大，可知当y＜2时，x＜2；【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用代入法是解答此题的关键．类型六、一次函数的图象的平移问题6．（1）先列表，再画出函数的图象．（2）若直线向下平移了1个单位长度，直接写出平移后的直线表达式.【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先列好表，再描点并连线即可，（2）根据函数图像上下平移规律：上加下减，即可得到答案．解：（1）列表如下：描点并连线： （2）直线向下平移了1个单位长度得到．【点拨】本题考查的是一次函数的作图及上下平移，掌握以上知识是解题的关键．举一反三：【变式1】已知y﹣3与x成正比例，且x＝2时，y＝7．（1）求y与x的函数关系式；（2）将所得函数图象平移，使它经过点（2，﹣1），求平移后直线的解析式．【答案】（1）y＝2x+3，（2）y＝2x﹣5．【分析】(1)根据y-3与x成正比例，图象经过点(2，7)，用待定系数法可求出函数关系式； (2)将正比例函数的图象平移，过点(2，-1)，同样可用待定系数法求解．解：(1)∵y﹣3与x成正比例，设函数解析式为：y﹣3=kx(k≠0)，把x=2时，y=7代入，得7﹣3=2k，k=2；∴y与x的函数关系式为：y=2x+3；(2)设平移后直线的解析式为y=2x+3+b，把点(2，﹣1)代入得：﹣1=2×2+3+b，解得：b=﹣8，故平移后直线的解析式为：y=2x﹣5．【点拨】本题考查一次函数与几何变换，要注意利用一次函数的性质，列出方程，求出k值，从而求得其解析式，另外求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．【变式2】如图，一次函数y= -3x+6的图象与轴、轴分别交于、两点．（1）将直线向左平移1个单位长度，求平移后直线的函数关系式；（2）求出平移过程中，直线在第一象限扫过的图形的面积．【答案】（1）y= -3x+3；（2）．【分析】（1）根据平移的性质“左加右减”，将x换成x+1整理后即可得出结论； （2）根据三角形的面积公式直接求出扫过的面积即可得出结论．解：（1）根据平移规律可得平移后的直线的解析式为：y= -3（x+1）+6= -3x-3+6= -3x+3； （2）对于一次函数y= -3x+6，当x=0时，y=6，所以B（0，6），令y=0，即-3x+6=0，解得x=2．所以A（2，0） 同理可得直线y= -3x+3与x轴的交点C（1，0），与y轴的交点D（0，3）因此直线AB在第一象限扫过的图形的面积为：S=OA×OB-OC×OD=×2×6-×1×3=．【点拨】本题考查一次函数图象的几何变换以及三角形的面积公式，解题的关键是熟记平移的性质“上加下减，左加右减”，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．类型七、一次函数的增减性7．在平面直角坐标系中，点是一次函数图象上一点．（1）求m的值．（2）当时，求y的取值范围．【答案】（1），（2）【分析】（1）将点P的坐标代入一次函数中求出m的值即可；（2）把x=-1、2分别代入一次函数中，求出对应的y的值，再根据一次函数的增减性即可求出y的取值范围．解：（1）把，，代入，得：∴（2）当时，当时，∵，y随x的增大而减小∴【点拨】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，函数图像上的点，一定满足函数的解析式，也考查了一次函数的性质，解题的关键是正确掌握一次函数的相关知识．举一反三：【变式1】作出函数的图象，并根据图象回答下列问题：（1）y的值随x的增大而 ；（2）图象与x轴的交点坐标是 ；与y轴的交点坐标是 ；（3）当x 时，y≥0．【答案】（1）减小；（2），；（3）【分析】（1）由题意画出函数的图象，根据一次函数的增减性解答；（2）由题意根据函数图象写出交点坐标或是代入y=0以及x=0求解即可；（3）根据函数图象x轴上方部分，即可得出x的取值范围即可．解：如图所示：（1）∵函数图像从左向右函数值向下递减，∴的值随值的增大而减小；故答案为：减小；（2）由图可知图象与轴的交点坐标是，与轴的交点坐标是，故答案为：，；（3）由函数图象在x轴上及上方部分可知，当时，，故答案为：．【点拨】本题考查一次函数的图象以及一次函数与坐标轴的交点和一次函数的增减性，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．【变式2】一次函数．（1）画出函数图象；（2）观察图象，写出函数的两个不同类型的特征．【答案】（1）图象见解析；（2）①y随x的增大而减小；②函数图象与y轴交于（0,3）．（答案不唯一）【分析】（1）利用“两点法”并列表、描点、连线，即可画出一次函数图象；（2）根据函数的图象即可得出结论．解：（1）列表如下：描点、连线，如下图所示，直线即为所求 （2）由函数图象可知：①y随x的增大而减小；②函数图象与y轴交于（0,3）．（答案不唯一）【点拨】此题考查的是画一次函数图象和一次函数的性质，掌握利用“两点法”画一次函数图象是解题关键．类型八、由一次函数的增减性求参数8．已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3.(1)若函数图象经过原点，求m的值(2)若函数的图象平行于直线y＝3x－3，求m的值(3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．【答案】（1）m=3;（2）m=1;（3）m＜﹣.【解析】试题分析：（1）把原点坐标（0，0）代入函数关系式，即可求得m的值；（2）根据图象平行的一次函数的一次项系数相同即可得到关于m的方程，解出即可；（3）根据一次函数的性质即可得到关于m的不等式，解出即可.（1）由题意得，，；（2）由题意得，，；（3）由题意得，，考点：本题考查的是一次函数的性质点评：解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.举一反三：【变式1】已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3.(1)若函数图象经过原点，求m的值；(2)若函数的图象平行于直线y＝3x＋b，求m的值；(3)若这个函数不过第一象限，y随着x的增大而减小，求m的取值范围．【答案】（1）m＝3.（2）m＝1.（3）m<－.【解析】【分析】(1)令x=0,y=0求出值即可;(2)根据互相平行的两条直线斜率相等求出m的值即可;(3)根据一次函数的性质求出m的取值范围.解：(1)∵函数图象经过原点，∴m－3＝0.解得：m＝3.(2)∵函数的图象平行于直线y＝3x＋b，∴2m＋1＝3，解得：m＝1.(3)∵这个函数不过第一象限，y随着x的增大而减小，∴2m＋1<0且m－3≤0，解得：m<－.【点拨】本题考查的是一次函数的性质,熟知一次函数y=kx+b(k≠0)中,当k<0时y随x的增大而减小是解答此题的关键.【变式2】已知一次函数y＝(k－2)x－3k＋12.(1)当k为何值时，图象与直线y＝－2x＋9的交点在y轴上；(2)当k为何值时，图象平行于y＝－2x的图象；(3)当k为何值时，y随x的增大而减小．【答案】(1)k＝1；(2)k＝0；(3)k＜2.【分析】⑴先求出直线y=-2x+9与y轴的交点坐标，把此点坐标代入所求一次函数的解析式即可求出k的值； ⑵根据两直线平行时其未知数的系数相等，列出方程，求出k的值即可； ⑶根据k<0时，一次函数为减函数列出不等式，求出k的取值范围即可．解：(1)因为直线y＝－2x＋9与y轴的交点坐标为(0，9)，所以－3k＋12＝9，所以k＝1.(2)因为一次函数的图象平行于y＝－2x的图象，所以k－2＝－2且－3k＋12≠0，所以k＝0.(3)因为y随x的增大而减小，所以k－2＜0，所以k＜2.【点拨】本题考查了一次函数的知识点，解题的关键是熟练的掌握一次函数图象与系数的关系.类型九、一次函数的增减性求自变量取值范围9．已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1及坐标平面内一点P（2，0）；（1）若一次函数图象经过点P（2，0），求m的值；（2）若一次函数的图象经过第一、二、三象限；①求m的取值范围；②若点M（a﹣1，y1），N（a，y2），在该一次函数的图象上，则y1 y2（填“＞”、”＝”、”＜”）．【答案】（1）m的值是1；（2）①﹣1＜m＜；②＜【分析】（1）根据一次函数y=（1﹣2m）x+m+1图象经过点P（2，0），可以求得m的值；（2）①一次函数y=（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围；②根据一次函数y=（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限和一次函数的性质，可以判断y1和y2的大小关系．解：（1）∵一次函数y=（1﹣2m）x+m+1图象经过点P（2，0），∴0=（1﹣2m）×2+m+1，解得，m=1，即m的值是1；（2）①∵一次函数y=（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限，∴，解得，﹣1＜m＜；②∵一次函数y=（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限，∴1﹣2m＞0，∴该函数y随x的增大而增大，∵点M（a﹣1，y1），N（a，y2）在该一次函数的图象上，a﹣1＜a，∴y1＜y2，故答案为：＜．【点拨】此题主要考查一次函数性质的综合应用，熟练掌握，即可解题.举一反三：【变式1】已知正比例函数． （1）若的值随着值的增大而减小，则的范围是什么？（2）点在它的图象上，求这个函数的表达式．（3）在的结论下，若的取值范围是，求的取值范围．【答案】（1）k<2；（2）（3）-6≤y≤3【分析】（1）根据题意可得k-2＜0，故可求解；（2）利用待定系数法即可求解；（3）分别求出x=-2,x=4的函数值，即可写出y的取值．解：的值随着的值增大而减小，∴ ，解得.将点代入函数解析式可得，解得，这个函数的表达式为.当时，，当时，，，∴ 随的增大而减小，∴ 当时，．【点拨】此题主要考查待定系数法求一次函数解析式，正比例函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质．【变式2】已知y是关于x的一次函数，且点，在此函数图象上．（1）求这个一次函数表达式；（2）若点，在此函数图象上，试比较，的大小．【答案】（1）y=10x-8；（2）y1＜y2．【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式；（2）根据k的正负性判断函数的增减，比较与的大小．解：（1）设该一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），将（0，-8）、（1，2）代入y=kx+b，得，解得：，∴该一次函数表达式为y=10x-8；（2）∵在一次函数y=10x-8中k=10＞0，∴y随x的增大而增大，∵-2＜2，∴y1＜y2．【点拨】本题考查一次函数的解析式和图象的性质，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，以及函数图象的增减性．类型十、比较一次函数的大小10．已知y是x的一次函数，当时，；当时，．（1）求这个一次函数的表达式．（2）若点在该函数的图象上，请比较与的大小．【答案】（1）y=-x+5；（2）y1＞y2【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）利用一次函数的性质进行判断．解：（1）设该一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），将（1，4）、（3，2）代入y=kx+b得，解得：，∴该一次函数表达式为y=-x+5；（2）∵k=-1＜0，∴y随x的增大而减小．∵-2＜5，∴y1＞y2．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数的性质．举一反三：【变式1】已知 y 与 x﹣2 成正比例，且当 x =﹣4 时， y =﹣3． （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）若点 M（5.1，m）、N（﹣3.9，n）在此函数图像上，判断 m 与 n 的大小关系.【答案】（1）y=x-1;（2）m＞n． 【分析】（1）首先根据题意设出关系式：y=k（x-2），再利用待定系数法把x=-4，y=-3代入，可得到k的值，再把k的值代入所设的关系式中，可得到答案;（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m，n的值，比较后即可得出结论．解：∵y与x-2成正比例， ∴关系式设为：y=k（x-2）， ∵x=-4时，y=-3， ∴-3=k（-4-2）， 解得：k=， ∴y与x的函数关系式为：y=（x-2）=x-1． 故答案为：y=x-1;（2）∵点 M（5.1，m）、N（﹣3.9，n）是一次函数y=x-1图象上的两个点， ∴m=×5.1-1=1.55，n=×(-3.9)-1=-2.95． ∵1.55>-2.95， ∴m＞n．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数关系式和一次函数图象上点的坐标特征，关键是设出关系式，代入x，y的值求k是解题的关键．【变式2】y+4与x+3成正比例，且x＝﹣4时y＝﹣2；（1）求y与x之间的函数表达式（2）点P1（m，y1）、P2（m+1，y2）在（1）中所得函数的图象上，比较y1与y2的大小．【答案】（1）y＝﹣2x﹣10；（2）y1＞y2【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据一次函数的增减性解答即可．解：（1）因为y+4与x+3成正比例，所以设y+4＝k（x+3），把x＝﹣4，y＝﹣2代入得：﹣2+4＝k（﹣4+3），解得：k＝﹣2，∴y+4＝﹣2（x+3），即y＝﹣2x﹣10；（2）∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，又∵m＜m+1，∴y1＞y2．【点拨】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式和一次函数的性质，属于基本题型，熟练掌握一次函数的基本知识是解题关键．类型十一、一次函数的规律问题11．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，请写出函数－1图象上和谐点的坐标：________．【答案】（－3，－3）【分析】令y=x，然后代入函数解析式即可求得答案 ．解：令y=x，代入函数解析式可得：x=，解之得：x=-3，∴y=-3，∴所求和谐点的坐标为（-3，-3），故答案为（-3，-3）．【点拨】本题考查坐标规律探索的应用，根据给出的定义得到关于纵横坐标的关系式后联立已知函数即可得到所求坐标．举一反三：【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点．过点作轴，交直线于点，以为圆心，以长为半径画弧，交直线于点：过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，…按照如此规律进行下去，点的坐标为___________．【答案】【分析】根据题意可以求得点B1的坐标，点A2的坐标，点B2的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点B2020的坐标．解：由题意可得，点A1的坐标为(2，4)，设点B1的坐标为(，)，∵OB1=OA1，∴，解得：，∴点B1的坐标为(4，2)，同理可得，点A2的坐标为(4，8)，点B2的坐标为(8，4)，点A3的坐标为(8，16)，点B3的坐标为(16，8)，……∴点B2020的坐标为(，)，故答案为：(，)．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标的变化规律以及两点之间的距离公式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．【变式2】在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点、、在直线上，点、、在轴正半轴上，则的面积是______．【答案】【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征找出A1、A2、A3、A4的坐标，结合图形即可得知点Bn是线段CnAn+1的中点，由此即可得出点Bn的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．解：观察，发现：A1（1，0），A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），A5（16，15），A6（32，31），…， ∴An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）． 观察图形可知：点Bn是线段CnAn+1的中点， ∴点Bn的坐标是（2n-1，2n-1），An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）， ∴△AnAn+1Bn的面积是（2n-1）2=22n-3， ∴△A2016A2017B2016的面积=22×2016-3=24029， 故答案为：24029．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律“An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）”是解题的关键． 010200x01y31
专题6.10 一次函数的图象（知识讲解）【学习目标】1. 理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题；3.理解并掌握一次函数图象平移后的解析式，并识记平移后的规律；4.初步认识数形结合思想，并能用数形结合思想解决简单问题；5.初步掌握设参求值解决点的坐标，线段长及面积等问题；6. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．7.一次函数图象和性质综合运用。【要点梳理】要点一、一次函数的定义一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.特别说明：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.要点二、一次函数的图象与性质1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：3. 、对一次函数的图象和性质的影响：决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：（1）与相交； （2），且与平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.特别说明：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.特别说明：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围. 【典型例题】类型一、一次函数的图象1．如图，在直角坐标系中，已知点A(6，0)，又点B(x，y)在第一象限内，且x＋y＝8，设△AOB的面积是S.(1)写出S与x之间的函数解析式，并求出x的取值范围；(2)画出(1)中所求函数的图象．【答案】（1）0＜x＜8.（2）详见解析.【分析】（1）根据点A、B的坐标求得△AOB的底边OA与高线BC的长度；然后根据三角形的面积公式即可求得S与x的函数关系式；（2）利用“两点确定一条直线”来画一次函数的图象；解：（1）∵点B在直线y=-x+8上，∴设B（x，-x+8），∴y=-x+8与x和y轴的交点分别为（8，0）和（0，8）∵点B在第一象限，∴其横坐标x的范围是：0＜x＜8；∵A（6，0），点B（x，y），∴OA=6，BC=y（y＞0），∴S=OA•BC=×6y=3y；又∵x+y=8，∴y=8-x，∴S=-3x+24.由，解得0＜x＜8.(2) ∵由（1）知，S=-3x+24（0＜x＜8）；令S=0，则x=8；令x=0，则S=24，∴一次函数S=-3x+24（x＞0）经过点（8，0）、（0，24），∴其图象如图所示：【点拨】本题考查了一次函数的性质、一次函数的图象．解答（2）题时，注意该一次函数图象中的自变量x的取值范围．举一反三：【变式1】已知一次函数的图象经过A(0，4)与B(－3，0)两点．(1)求这个一次函数的解析式；(2)判断点C(1，)与点D(3，8)是否在该一次函数的图象上．【答案】(1) y＝x＋;(2)点C不在直线上，点D在直线上，理由见解析【分析】（1）把点A、B的坐标代入解析式，然后解方程组求出k、b的值，即可得解；（2）把横坐标1和3分别代入函数解析式求出y的值，如果等于或8，则点C或D在这个函数图象上，否则，不在．解：(1)设一次函数为y＝kx＋b，则，∴k＝，b＝4，∴y＝x＋4.(2)当x＝1时，y＝×1＋4＝，C(1，)不在直线上．当x＝3时，y＝×3＋4＝8，D(3，8)在直线上．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式最常用的方法，一定要熟练掌握．【变式2】一次函数y＝kx＋4的图象经过点(－3，－2)．(1)求这个函数的解析式；(2)画出该函数的图象；(3)判断点(3，5)是否在此函数的图象上．【答案】(1) y＝2x＋4；(2)如图所示见解析；(3)点(3，5)不在此函数的图象上．整体分析：(1)把(－3，－2)代入y＝kx＋4，即可求k值；(2)确定直线与x轴，y轴的交点后画函数图象；(3)把x=3代入到一次函数的解析式中，看函数值是否为5.解：(1)把(－3，－2)代入y＝kx＋4，得－3k＋4＝－2，解得k＝2，所以一次函数的解析式为y＝2x＋4.(2)如图所示：(3)当x＝3时，y＝2x＋4＝6＋4＝10≠5，所以点(3，5)不在此函数的图象上．类型二、一次函数图象的位置2．函数的图象一定不经过第_________象限．【答案】二【分析】根据一次函数的图象的性质作答．解：由已知，得：．故直线必经过第一、三、四象限．则不经过第二象限．故答案为：二．【点拨】考查了一次函数的性质，能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限．举一反三：【变式1】一次函数，当时，这个一次函数的图象不经过的象限是________.【答案】第一象限【解析】【分析】根据一次函数的图象与系数的关系判断出该一次函数的图象所经过的象限，进而可得出结论．解：∵一次函数中， ∴k=-1＜0，图象过二、四象限， ∵，与y轴的负半轴相交∴此函数的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限． 故答案为一．【点拨】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＜0，b＞0时函数的图象在一、二、四象限是解答此题的关键．【变式2】一次函数（）的图象经过A(1，0)和B(0，2)两点，则它的图象不经过第_____象限．【答案】三．解：试题分析：将A（1，0）和B（0，2）代入一次函数中得：，解得：，∴一次函数解析式为不经过第三象限．故答案为三．考点：一次函数图象与系数的关系．类型三、由一次函数图象位置求参数取值范围3已知一次函数y=（1-2m）x+m-1，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限，求m的取值范围．【答案】＜m＜1解：试题分析：根据一次函数的性质，函数y随x的增大而减小，则1－2m＜0，解得m＞；又因为函数的图象经过第二、三、四象限，说明函数图象与y轴的交点在x轴下方，即m－1＜0，解得m＜1；所以m的取值范围为：＜m＜1.试题解析：∵函数y随x的增大而减小，∴1－2m＜0，解得m＞；∵函数的图象经过第二、三、四象限，∴图象与y轴的交点在x轴下方，即m－1＜0，解得m＜1；∴＜m＜1.点拨：掌握一次函数的增减性.【变式1】已知一次函数y＝（2m+1）x+3﹣m（1）若图像经过原点，求m的值；（2）若图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围．【答案】（1）m=3；（2）．【分析】（1）因为图像经过原点，根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出3﹣m =0，解之即可得出结论;（2）由函数图象经过第一、二、三象限结合一次函数图象与系数的关系即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出结论.解：（1）∵函数y＝（2m+1）x+3﹣m的图象经过原点，∴3﹣m =0，解得：m=3．∴当m为3时，该函数图象经过原点，即m=3；（2）∵函数y＝（2m+1）x+3﹣m的图象经过一、二、四象限，∴，解得：．【点拨】本题考查一次函数的性质以及一元二次方程组的综合，解题的关键是掌握一次函数的性质以及求解一元二次方程组.【变式2】已知：一次函数y=（m-3）x+（2-m），（1）函数值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；（2）函数图象与y轴的交点于x下方，求m的取值范围；（3）函数图象经过二、三、四象限，求m的取值范围【答案】（1）m＜3；（2）m＞2且m≠3；(3) 2＜m＜3.【分析】根据一次函数图象的性质来求确定系数的符号．解：（1）∵函数值y随自变量x的增大而减小，∴m-3＜0，解得，m＜3；（2）∵函数图象与y轴的交点于x下方，∴2-m＜0，解得，m＞2．又m-3≠0即m≠3．综上所述，m的取值范围是m＞2且m≠3；（3）∵函数图象经过二、三、四象限，∴，解得，2＜m＜3.【点拨】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．类型四、一次函数的图象与坐标轴交点坐标4．已知直线与直线平行，且直线过点（2,8），求直线与轴的交点坐标【答案】（，0）【分析】因为直线与直线平行，得到，又因该直线过点(2，8)，代入可求得直线的解析式，令，即可求得直线与轴的交点坐标．解：∵直线：与直线平行， ∴，∵直线过点(2，8)， ∴， ∴． ∴直线的解析式为，当时，解得：，∴直线与轴的交点坐标为(，0)．【点拨】本题考查了两条直线平行或相交问题，一次函数上点的坐标特征，难度不大，关键是掌握两直线平行，k值相等．举一反三：【变式1】已知：一次函数的图象经过点A（4，3）和B（-2，0）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求一次函数与y轴的交点．【答案】（1）；（2）(0，1)．【分析】（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把A与B代入求出k与b的值，即可确定出解析式； （2）对于一次函数，令x=0求出y的值，即可确定出与y轴交点坐标．解：（1）∵过点A(4，3)和点B(-2，0)，∴，解得：，∴一次函数表达式为；（2）对于一次函数y=， 令x=0，得到y=1， 则一次函数与y轴交点坐标为(0，1)．【点拨】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【变式2】作出函数的图象，并求它的图象与轴、轴所围成的图形的面积.【答案】图形见解析，6【分析】画一次函数y=kx+b的图象时，一般取图象与x、y轴的交点，根据两点作直线，便可求出与轴、轴所围成的图形的面积.解：令y=0，得x-4=0，解得x=3，所以与x轴的交点坐标为（3，0）；令x=0，得y=-4，所以与y轴的交点坐标为（0，-4），画出图象为： 围成的面积为×3×4=6．类型五、画一次函数图象5．如图，在平面直角坐标系中，画出函数y＝2x－4的图象，并写出图象与坐标轴交点的坐标．【答案】图象见解析；与坐标轴的交点为(0，－4)，(2,0)．【分析】令x=0，y=0分别求出与坐标轴的交点，然后利用两点法作出函数图象即可．解：令x＝0，y＝－4，令y＝0，则2x－4＝0，解得x＝2，∴与坐标轴的交点为(0，－4)，(2,0)．【点拨】本题考查了一次函数的图象，主要利用了一次函数图象与坐标轴的交点的求法，以及两点法作一次函数图象．举一反三：【变式1】在同一平面直角坐标系中画出函数，，的图象【答案】见解析【分析】根据描点法，分别取出一组对应值，连接原点，可得函数图象.解：列表： 描点、画图：【点拨】本题考查了画函数的图象，考查的是用描点法画函数的图象，解答此题的关键是描出各点，画出函数图象，再根据函数图象找出规律．【变式2】已知，直线l过点（2，2）和（－2，0）．（1）求出直线的函数解析式；（2）画出直线的函数图象；（3）根据函数图象，直接写出y＜2时x的取值范围．【答案】（1）；（2）函数图像见详解；（3）当y＜2时，x＜2；【分析】（1）设一次函数的解析式为，将点（2，2）和（－2，0），代入得，即可求得解析式； （2）根据点（2，2）和（－2，0）可以作出函数图像，（3）由点（2，2）可知，当y=2时，x=2，并且函数图像y随x的增大而增大，可知当y＜2时，x＜2；解：（1）设一次函数的解析式为，因为经过点（2，2）和（－2，0），代入得： ，解之得： 所以解析式为；（2）根据点（2，2）和（－2，0）可以作出函数图像，如下图所示：（3）由点（2，2）可知，当y=2时，x=2，并且由图可知，函数图像y随x的增大而增大，可知当y＜2时，x＜2；【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用代入法是解答此题的关键．类型六、一次函数的图象的平移问题6．（1）先列表，再画出函数的图象．（2）若直线向下平移了1个单位长度，直接写出平移后的直线表达式.【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先列好表，再描点并连线即可，（2）根据函数图像上下平移规律：上加下减，即可得到答案．解：（1）列表如下：描点并连线： （2）直线向下平移了1个单位长度得到．【点拨】本题考查的是一次函数的作图及上下平移，掌握以上知识是解题的关键．举一反三：【变式1】已知y﹣3与x成正比例，且x＝2时，y＝7．（1）求y与x的函数关系式；（2）将所得函数图象平移，使它经过点（2，﹣1），求平移后直线的解析式．【答案】（1）y＝2x+3，（2）y＝2x﹣5．【分析】(1)根据y-3与x成正比例，图象经过点(2，7)，用待定系数法可求出函数关系式； (2)将正比例函数的图象平移，过点(2，-1)，同样可用待定系数法求解．解：(1)∵y﹣3与x成正比例，设函数解析式为：y﹣3=kx(k≠0)，把x=2时，y=7代入，得7﹣3=2k，k=2；∴y与x的函数关系式为：y=2x+3；(2)设平移后直线的解析式为y=2x+3+b，把点(2，﹣1)代入得：﹣1=2×2+3+b，解得：b=﹣8，故平移后直线的解析式为：y=2x﹣5．【点拨】本题考查一次函数与几何变换，要注意利用一次函数的性质，列出方程，求出k值，从而求得其解析式，另外求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．【变式2】如图，一次函数y= -3x+6的图象与轴、轴分别交于、两点．（1）将直线向左平移1个单位长度，求平移后直线的函数关系式；（2）求出平移过程中，直线在第一象限扫过的图形的面积．【答案】（1）y= -3x+3；（2）．【分析】（1）根据平移的性质“左加右减”，将x换成x+1整理后即可得出结论； （2）根据三角形的面积公式直接求出扫过的面积即可得出结论．解：（1）根据平移规律可得平移后的直线的解析式为：y= -3（x+1）+6= -3x-3+6= -3x+3； （2）对于一次函数y= -3x+6，当x=0时，y=6，所以B（0，6），令y=0，即-3x+6=0，解得x=2．所以A（2，0） 同理可得直线y= -3x+3与x轴的交点C（1，0），与y轴的交点D（0，3）因此直线AB在第一象限扫过的图形的面积为：S=OA×OB-OC×OD=×2×6-×1×3=．【点拨】本题考查一次函数图象的几何变换以及三角形的面积公式，解题的关键是熟记平移的性质“上加下减，左加右减”，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．类型七、一次函数的增减性7．在平面直角坐标系中，点是一次函数图象上一点．（1）求m的值．（2）当时，求y的取值范围．【答案】（1），（2）【分析】（1）将点P的坐标代入一次函数中求出m的值即可；（2）把x=-1、2分别代入一次函数中，求出对应的y的值，再根据一次函数的增减性即可求出y的取值范围．解：（1）把，，代入，得：∴（2）当时，当时，∵，y随x的增大而减小∴【点拨】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，函数图像上的点，一定满足函数的解析式，也考查了一次函数的性质，解题的关键是正确掌握一次函数的相关知识．举一反三：【变式1】作出函数的图象，并根据图象回答下列问题：（1）y的值随x的增大而 ；（2）图象与x轴的交点坐标是 ；与y轴的交点坐标是 ；（3）当x 时，y≥0．【答案】（1）减小；（2），；（3）【分析】（1）由题意画出函数的图象，根据一次函数的增减性解答；（2）由题意根据函数图象写出交点坐标或是代入y=0以及x=0求解即可；（3）根据函数图象x轴上方部分，即可得出x的取值范围即可．解：如图所示：（1）∵函数图像从左向右函数值向下递减，∴的值随值的增大而减小；故答案为：减小；（2）由图可知图象与轴的交点坐标是，与轴的交点坐标是，故答案为：，；（3）由函数图象在x轴上及上方部分可知，当时，，故答案为：．【点拨】本题考查一次函数的图象以及一次函数与坐标轴的交点和一次函数的增减性，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．【变式2】一次函数．（1）画出函数图象；（2）观察图象，写出函数的两个不同类型的特征．【答案】（1）图象见解析；（2）①y随x的增大而减小；②函数图象与y轴交于（0,3）．（答案不唯一）【分析】（1）利用“两点法”并列表、描点、连线，即可画出一次函数图象；（2）根据函数的图象即可得出结论．解：（1）列表如下：描点、连线，如下图所示，直线即为所求 （2）由函数图象可知：①y随x的增大而减小；②函数图象与y轴交于（0,3）．（答案不唯一）【点拨】此题考查的是画一次函数图象和一次函数的性质，掌握利用“两点法”画一次函数图象是解题关键．类型八、由一次函数的增减性求参数8．已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3.(1)若函数图象经过原点，求m的值(2)若函数的图象平行于直线y＝3x－3，求m的值(3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．【答案】（1）m=3;（2）m=1;（3）m＜﹣.【解析】试题分析：（1）把原点坐标（0，0）代入函数关系式，即可求得m的值；（2）根据图象平行的一次函数的一次项系数相同即可得到关于m的方程，解出即可；（3）根据一次函数的性质即可得到关于m的不等式，解出即可.（1）由题意得，，；（2）由题意得，，；（3）由题意得，，考点：本题考查的是一次函数的性质点评：解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.举一反三：【变式1】已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3.(1)若函数图象经过原点，求m的值；(2)若函数的图象平行于直线y＝3x＋b，求m的值；(3)若这个函数不过第一象限，y随着x的增大而减小，求m的取值范围．【答案】（1）m＝3.（2）m＝1.（3）m<－.【解析】【分析】(1)令x=0,y=0求出值即可;(2)根据互相平行的两条直线斜率相等求出m的值即可;(3)根据一次函数的性质求出m的取值范围.解：(1)∵函数图象经过原点，∴m－3＝0.解得：m＝3.(2)∵函数的图象平行于直线y＝3x＋b，∴2m＋1＝3，解得：m＝1.(3)∵这个函数不过第一象限，y随着x的增大而减小，∴2m＋1<0且m－3≤0，解得：m<－.【点拨】本题考查的是一次函数的性质,熟知一次函数y=kx+b(k≠0)中,当k<0时y随x的增大而减小是解答此题的关键.【变式2】已知一次函数y＝(k－2)x－3k＋12.(1)当k为何值时，图象与直线y＝－2x＋9的交点在y轴上；(2)当k为何值时，图象平行于y＝－2x的图象；(3)当k为何值时，y随x的增大而减小．【答案】(1)k＝1；(2)k＝0；(3)k＜2.【分析】⑴先求出直线y=-2x+9与y轴的交点坐标，把此点坐标代入所求一次函数的解析式即可求出k的值； ⑵根据两直线平行时其未知数的系数相等，列出方程，求出k的值即可； ⑶根据k<0时，一次函数为减函数列出不等式，求出k的取值范围即可．解：(1)因为直线y＝－2x＋9与y轴的交点坐标为(0，9)，所以－3k＋12＝9，所以k＝1.(2)因为一次函数的图象平行于y＝－2x的图象，所以k－2＝－2且－3k＋12≠0，所以k＝0.(3)因为y随x的增大而减小，所以k－2＜0，所以k＜2.【点拨】本题考查了一次函数的知识点，解题的关键是熟练的掌握一次函数图象与系数的关系.类型九、一次函数的增减性求自变量取值范围9．已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1及坐标平面内一点P（2，0）；（1）若一次函数图象经过点P（2，0），求m的值；（2）若一次函数的图象经过第一、二、三象限；①求m的取值范围；②若点M（a﹣1，y1），N（a，y2），在该一次函数的图象上，则y1 y2（填“＞”、”＝”、”＜”）．【答案】（1）m的值是1；（2）①﹣1＜m＜；②＜【分析】（1）根据一次函数y=（1﹣2m）x+m+1图象经过点P（2，0），可以求得m的值；（2）①一次函数y=（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围；②根据一次函数y=（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限和一次函数的性质，可以判断y1和y2的大小关系．解：（1）∵一次函数y=（1﹣2m）x+m+1图象经过点P（2，0），∴0=（1﹣2m）×2+m+1，解得，m=1，即m的值是1；（2）①∵一次函数y=（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限，∴，解得，﹣1＜m＜；②∵一次函数y=（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限，∴1﹣2m＞0，∴该函数y随x的增大而增大，∵点M（a﹣1，y1），N（a，y2）在该一次函数的图象上，a﹣1＜a，∴y1＜y2，故答案为：＜．【点拨】此题主要考查一次函数性质的综合应用，熟练掌握，即可解题.举一反三：【变式1】已知正比例函数． （1）若的值随着值的增大而减小，则的范围是什么？（2）点在它的图象上，求这个函数的表达式．（3）在的结论下，若的取值范围是，求的取值范围．【答案】（1）k<2；（2）（3）-6≤y≤3【分析】（1）根据题意可得k-2＜0，故可求解；（2）利用待定系数法即可求解；（3）分别求出x=-2,x=4的函数值，即可写出y的取值．解：的值随着的值增大而减小，∴ ，解得.将点代入函数解析式可得，解得，这个函数的表达式为.当时，，当时，，，∴ 随的增大而减小，∴ 当时，．【点拨】此题主要考查待定系数法求一次函数解析式，正比例函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质．【变式2】已知y是关于x的一次函数，且点，在此函数图象上．（1）求这个一次函数表达式；（2）若点，在此函数图象上，试比较，的大小．【答案】（1）y=10x-8；（2）y1＜y2．【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式；（2）根据k的正负性判断函数的增减，比较与的大小．解：（1）设该一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），将（0，-8）、（1，2）代入y=kx+b，得，解得：，∴该一次函数表达式为y=10x-8；（2）∵在一次函数y=10x-8中k=10＞0，∴y随x的增大而增大，∵-2＜2，∴y1＜y2．【点拨】本题考查一次函数的解析式和图象的性质，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，以及函数图象的增减性．类型十、比较一次函数的大小10．已知y是x的一次函数，当时，；当时，．（1）求这个一次函数的表达式．（2）若点在该函数的图象上，请比较与的大小．【答案】（1）y=-x+5；（2）y1＞y2【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）利用一次函数的性质进行判断．解：（1）设该一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），将（1，4）、（3，2）代入y=kx+b得，解得：，∴该一次函数表达式为y=-x+5；（2）∵k=-1＜0，∴y随x的增大而减小．∵-2＜5，∴y1＞y2．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数的性质．举一反三：【变式1】已知 y 与 x﹣2 成正比例，且当 x =﹣4 时， y =﹣3． （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）若点 M（5.1，m）、N（﹣3.9，n）在此函数图像上，判断 m 与 n 的大小关系.【答案】（1）y=x-1;（2）m＞n． 【分析】（1）首先根据题意设出关系式：y=k（x-2），再利用待定系数法把x=-4，y=-3代入，可得到k的值，再把k的值代入所设的关系式中，可得到答案;（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m，n的值，比较后即可得出结论．解：∵y与x-2成正比例， ∴关系式设为：y=k（x-2）， ∵x=-4时，y=-3， ∴-3=k（-4-2）， 解得：k=， ∴y与x的函数关系式为：y=（x-2）=x-1． 故答案为：y=x-1;（2）∵点 M（5.1，m）、N（﹣3.9，n）是一次函数y=x-1图象上的两个点， ∴m=×5.1-1=1.55，n=×(-3.9)-1=-2.95． ∵1.55>-2.95， ∴m＞n．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数关系式和一次函数图象上点的坐标特征，关键是设出关系式，代入x，y的值求k是解题的关键．【变式2】y+4与x+3成正比例，且x＝﹣4时y＝﹣2；（1）求y与x之间的函数表达式（2）点P1（m，y1）、P2（m+1，y2）在（1）中所得函数的图象上，比较y1与y2的大小．【答案】（1）y＝﹣2x﹣10；（2）y1＞y2【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据一次函数的增减性解答即可．解：（1）因为y+4与x+3成正比例，所以设y+4＝k（x+3），把x＝﹣4，y＝﹣2代入得：﹣2+4＝k（﹣4+3），解得：k＝﹣2，∴y+4＝﹣2（x+3），即y＝﹣2x﹣10；（2）∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，又∵m＜m+1，∴y1＞y2．【点拨】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式和一次函数的性质，属于基本题型，熟练掌握一次函数的基本知识是解题关键．类型十一、一次函数的规律问题11．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，请写出函数－1图象上和谐点的坐标：________．【答案】（－3，－3）【分析】令y=x，然后代入函数解析式即可求得答案 ．解：令y=x，代入函数解析式可得：x=，解之得：x=-3，∴y=-3，∴所求和谐点的坐标为（-3，-3），故答案为（-3，-3）．【点拨】本题考查坐标规律探索的应用，根据给出的定义得到关于纵横坐标的关系式后联立已知函数即可得到所求坐标．举一反三：【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点．过点作轴，交直线于点，以为圆心，以长为半径画弧，交直线于点：过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，…按照如此规律进行下去，点的坐标为___________．【答案】【分析】根据题意可以求得点B1的坐标，点A2的坐标，点B2的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点B2020的坐标．解：由题意可得，点A1的坐标为(2，4)，设点B1的坐标为(，)，∵OB1=OA1，∴，解得：，∴点B1的坐标为(4，2)，同理可得，点A2的坐标为(4，8)，点B2的坐标为(8，4)，点A3的坐标为(8，16)，点B3的坐标为(16，8)，……∴点B2020的坐标为(，)，故答案为：(，)．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标的变化规律以及两点之间的距离公式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．【变式2】在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点、、在直线上，点、、在轴正半轴上，则的面积是______．【答案】【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征找出A1、A2、A3、A4的坐标，结合图形即可得知点Bn是线段CnAn+1的中点，由此即可得出点Bn的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．解：观察，发现：A1（1，0），A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），A5（16，15），A6（32，31），…， ∴An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）． 观察图形可知：点Bn是线段CnAn+1的中点， ∴点Bn的坐标是（2n-1，2n-1），An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）， ∴△AnAn+1Bn的面积是（2n-1）2=22n-3， ∴△A2016A2017B2016的面积=22×2016-3=24029， 故答案为：24029．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律“An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）”是解题的关键． 010200x01y31
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