专题1.1 全等图形（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题1.1  全等图形（知识讲解）

【学习目标】

1．认识全等图形，理解全等图形的概念与特征．

2．理解全等图形的基本特征，掌握全等图形的识别方法．

3．在操作、交流中经历平移、翻折、旋转等全等变换的过程，提高识图的能力．

【知识要点】

要点一、全等图形

形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.

特别说明：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.

要点二、判断全等图形的依据和方法

（1）能够完全重合的图形叫全等图形．形状和大小相同是全等图形的特征．因此要判断图形是否全等，应根据全等图形的定义或特征．

（2）找出全等图形的方法：每一个图案其实是把一个基本的图形经过若干次旋转、平移、翻折而成的．

【典型例题】

类型一、全等图形的识别 

1．找出下列图形中的全等图形.

（1）       （2）     （3）      （4）      （5）        （6）

（7）       （8）     （9）      （10）      （11）             （12）

【答案】（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形

【解析】试题分析：根据全等图形的概念，能够完全重合的图形叫全等图形，直接判断即可.

试题解析：根据全等图形的概念，可知：（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形.

举一反三：

【变式】观察下列图形的特点：

有几组全等图形？请一一指出：___________．

【答案】1与6；2与12；3与5与11；4与9；7与10

【分析】根据全等图形的定义判断即可．

解：根据全等图形可得：1与6、2与12、3与5与11、4与9、7与10；
故答案为：1与6、2与12、3与5与11、4与9、7与10

【点拨】本题考查了全等图形，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．

2．判断下列图形是否全等，并说明理由：

(1)周长相等的等边三角形；

(2)周长相等的直角三角形；

(3)周长相等的菱形；

(4)所有的正方形．

【答案】（1）全等（2）不一定全等（3）不一定全等（4）不一定全等．

【解析】分析:根据多边形全等必须同时具备各边对应相等，各角对应相等．若不能确定都相等，则两个多边形不一定全等对各小题分析判断即可得解．

本题解析:（1）全等．理由：等边三角形各角都是60°，各角对应相等，周长相等即边长相等，各边对应相等．

（2）不一定全等．理由：由已知条件，只能得到一组直角对应相等，其余的角和边不能确定是否相等．

（3）不一定全等．理由：菱形的四条边都相等，由周长相等只能得到四条边对应相等，不能确定四个角是否相等．

（4）不一定全等．理由：正方形的四个角都是直角，所有的正方形的角对应相等，但边长不能确定．

点拨：本题考查了全等图形，利用全等图形的定义解答，关键是熟记全等图形的概念.

举一反三：

【变式】找出图中全等的图形．

【解析】分析:利用能够完全重合的两个图形称为全等图形，全等图形的大小和形状都相同，进而判断即可．

本题解析:如图所示：1和2全等，3和4全等．

类型二、利用全等图形解决网格问题 

3．如图，是一个的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．

【答案】180°.

【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，进而得出答案．

解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，
∴∠1+∠4=90°，
∵∠2和∠3所在的三角形全等，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2+∠3十∠4=180°．
故答案为：180．

【点拨】此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．

举一反三：

【变式】如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．

【答案】135

【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出的值，即可得出答案；

【详解】如图所示，教会学生由观察可知：（此题在未学习三角形全等表示方法时可以不必写出此解题过程，引导学生观察、大胆猜想即可）

在△ACB和△DCE中，

，

∴，

∴，

∴；

故答案是：．

【点拨】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．

4．在网格线中，每个方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图中的网格线中，每个小正方形的边长均为1，以线段AB为一边的格点三角形的面积随着第三个顶点的位置的不同而发生变化，如下列表格中当格点三角形的面积为1时，频数为8； 如果将图中格点三角形面积记为S，频数记为x，根据上述信息计算:当S=3时，x=_______．

【答案】4

【分析】由题意直接依据三角形的面积公式进行填表即可得出答案.

解：由题意可知

格点三角形面积（S）    1    2    3    4

频数（x）            8    6    4    2

故答案为：4.

【点拨】本题考查网格问题中的三角形，熟练掌握三角形的概念以及三角形的面积公式是解题的关键.

举一反三：

【变式】如图，四边形≌四边形，则的大小是________． 

【答案】

【分析】由全等形四边形的性质，得到，由四边形的内角和即可求出的度数．（此处出现全等符号可以简单提示一下，也如例题，由全等图形特征解决问题）

解：∵四边形≌四边形，

∴，

∴；

故答案为：95°．

【点拨】本题考查了全等四边形的性质，解题的关键是掌握全等图形中对应角相等．

类型三、把已知图形分割成几个全等图形 

5．图①，图②都是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形.

（1）用实线把图①分割成六个全等图形；

（2）用实线把图②分割成四个全等图形.

【分析】设正方形的面积为2，则等腰直角三角形的面积为1，

（1）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成六等腰个直角三角形即可；

（2）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形即可．

解：如图所示：

【点拨】本题考查复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键，难度中等，但不容易考虑．

举一反三：

【变式】把大小4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形,例如,图1,请在图2中,沿着虚线画出四种不同的分法,把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形.

【分析】可以利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．

解：∵要求分成全等的两块，

∴每块图形要包含有8个小正方形.

6．你能将下图分成形状相同、大小相同的12块吗，不要满足于一种分法哦，把你的方法和其它同学交流一下，一定会有更多的收获．

【分析】把所给图形看作是3个正方形，要分成形状、大小相同的12块，需要把每个正方形分成形状、大小相同的4块即可．

解：∵要求分成全等的12块，

∴每个小正方形要分成全等的四块．

举一反三：

【变式】一个正方形剖成4个全等的部分.

【解析】试题分析：根据正方形的性质，由正方形是轴对称图形分解即可；也可以根据面积法分正方形.

试题解析：剖成如图

或均可,答案不惟一

点拨：此题主要考查了全等图形的概念，掌握全等的定义是解题关键，主要抓住能够完全重合这一特点分析.