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    相似三角形基本模型综合培优训练(二)-九年级数学相似三角形基本模型探究(北师大版)

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    相似三角形基本模型综合培优训练(二)-九年级数学相似三角形基本模型探究(北师大版)

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    这是一份相似三角形基本模型综合培优训练(二)-九年级数学相似三角形基本模型探究(北师大版),文件包含相似三角形基本模型综合培优训练二解析版docx、相似三角形基本模型综合培优训练二原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共42页, 欢迎下载使用。


    相似三角形基本模型综合培优训练(二)
    1.如图,点是双曲线上的动点,连接并延长交双曲线于点,将线段绕顺时针旋转得到线段,点在双曲线上运动,则(  )

    A. B. C. D.
    【答案】D
    【详解】双曲线关于原点对称,
    点与点关于原点对称.

    连接,,如图所示.

    将线段绕顺时针旋转得到线段,
    是等边三角形,,,,
    ,.
    过点作轴,垂足为,过点作轴,垂足为,
    ,,,
    ,,∽..
    ,,.
    设点坐标为,  
    点在第一象限,,.,
    点在双曲线上,.,
    设点坐标为,
    点在第四象限,
    ,.


    点在双曲线上,

    故选:D
    2.如图,已知在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD为BC边的中线,过点C作CE⊥AD于点E,交AB于点F.若AC=2,则线段EF的长为(  )

    A. B. C. D.
    【答案】B
    【详解】解:如图,过点B作BH⊥BC,交CF的延长线于H,

    ∵AD为BC边的中线,AC=BC=2,
    ∴CD=BD=1,∴AD===,
    ∵,∴CE==,
    ∵∠ADC+∠BCH=90°,∠BCH+∠H=90°,∴∠ADC=∠H,
    在△ACD和△CBH中,

    ∴△ACD≌△CBH(AAS),∴CD=BH=1,AD=CH=,
    ∵AC⊥BC,BH⊥BC,∴AC∥BH,∴△ACF∽△BHF,
    ∴=,
    ∴CF=,∴EF=CF﹣CE=﹣=,
    故选:B.
    3.如图,已知,是斜边AB的中点,过作于,连结交于;过作于,连结交于;过作于,…,如此继续,可以依次得到点,分别记的面积为.若,则_____.

    【答案】
    【详解】解:由题意得:BC,
    ∴与同底同高,面积相等,以此类推;根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知: =BC, =AC, =;
    ∴在△ACB中,为其重心,
    ∴,
    ∴,,,
    ∵ =2:3, =1:2,
    ∴=3,
    ∴=3:4,
    ∴,,…,
    ∴;
    当n=2022时,,
    故答案为:.
    4.如图,已知、为的边上的两点,且满足,一条平行于的直线分别交、、的延长线于点、、,则________.

    【答案】3
    【详解】过点M作MGDF,点G在AB上,过点N作NHDF,H在AB上,NH交AM于I,
    则有MGDFNHAC

    ∵GMNH,
    ∴△BMG∽△BNH,∴
    又∵BM=,∴
    ∵MGNHAC,
    ∴,∴
    ∵MGNH,∴△AHI∽△AGM   ,∴
    又∵,∴,∴
    又∵DFNH   ,∴△AHI∽△ADE,△ANI∽△AFE,
    ∴,∴,∴
    故答案是:3.
    5.如图,正方形中,,是中点,上有一动点,连接、,将沿着翻折得到,连接,,则的最小值为______.

    【答案】5
    【详解】如图所示:在上取,连接、DG.

    ∵四边形ABCD是正方形,
    ∴BC=AB=DC=4.
    ∴.
    ∵E是BC的中点,
    ∴BE=CE=2.
    由翻折的性质可知.
    ∵,,,
    ∴.
    又∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    ∴.
    ∴的最小值为5.
    故答案为:5.
    6.如图,平面直角坐标系中,等腰Rt∆AOB的顶点A,B分别在x轴、y轴上,斜边AB与函数交于点D,AD=3BD,过点B作BC⊥AB,交函数交于点C,连接AC,OD交于点E,若∆AOE的面积与∆CDE的面积都等于2.4,则的值为________.

    【答案】7
    【详解】解:设,则,
    ∵为等腰直角三角形
    ∴,即
    ∴,
    如图,过点C、D作x轴的垂线,垂足分别为H、M,延长BC交x轴与点G,连接OC,


    ∵,
    ∴,
    ∴,,
    ∴,

    ∵,,

    ∴为等腰直角三角形,
    ∴,
    设表达式为
    将代入得,,
    ∴表达式为,

    ∴,即
    ∴到的距离等于到的距离,

    ∴直线
    联立,解得,即


    由上可知,,,
    ∴,,






    ∴,

    ∴.
    故答案为:7
    7.如图,在△ABC中,AB=4,BC=5,点D、E分别在BC、AC上,CD=2BD,CE=2AE,BE交AD于点F,则△ABE面积的最大值是___.

    【答案】
    【详解】解:连接DE,
    ∵,,∴,
    又∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CBA,
    ∴∠CDE=∠CBA,,∴,
    ∴△DEF∽△ABF,
    ∴,∴,,
    ∴,,

    当最大时,最大,最大,
    过点D作DG⊥AB于G,
    ∵,∴当DG最大时,最大,
    ∵,∴当AB⊥BC时,DG最大=BD=,此时,∴
    故答案为:.
    8.如图,在正方形ABCD中,E、F分别为边AD、AB上的两点,AE=BF,连BE、CF交于点H,当时,=________.

    【答案】
    【详解】解:设正方形的边长为1,AE=BF=a,
    ∴FC=.
    在正方形ABCD中,AB=BC,∠A=∠ABC=90°,
    在△ABE和△BCF中,

    ∴△ABE≌△BCF(SAS),
    ∴∠ABE=∠BCF,.
    ∵∠ABE+∠EBC=90°,
    ∴∠BCF+∠EBC=90°,.
    ∴∠BHC=90°,即.BH⊥CF.
    ∵,
    ∴.
    ∵,
    ∴,
    ∴.
    ∵∠HCB=∠BCF,∠CHB=∠CBF=90°,
    ∴△HBC∽△BFC,
    ∴,
    ∴,
    ∴ .
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    解得a=或a=(舍去),
    ∴.
    故答案为:.
    9.如图,已知四边形ABCD是边长为8的正方形,点E,F分别是BC,CD的中点,AE与BF相交于点G,连接DE,交BF于点H,则GH的长为_____.

    【答案】
    【详解】解:取线段DE的中点M,连接MF,
    ∵点F为线段DC的中点,
    ∴MF是△DEC的中位线,
    ∴MFEC,,
    ∵点E,F分别是BC,CD的中点,四边形ABCD是边长为8的正方形,
    ∴CF=BE=4,BC=AB=8,∠BCF=∠ABE=90°,
    ∴BF4,
    在△ABE和△BCF中,

    ∴△ABE≌△BCF(SAS),
    ∴∠BAE=∠CBF,
    ∵∠BAE+∠BEA=90°,
    ∴∠CBF+∠BEA=90°,
    ∴∠BGE=90°,
    ∵∠BGE=∠BCF,∠GBE=∠CBF,
    ∴△BGE∽△BCF,
    ∴,即,解得BG,
    ∵,∴△BEH∽△FMH,
    ∴,∴,∴,∴,∴FHBF,
    ∴GH=BF﹣BG﹣FH=4,
    故答案为:.

    10.如图,在△ABC中,D在AC边上,AD:DC=1:2,O是BD的中点,连接AO并延长交BC于点E,若BE=3,则EC的长为___.

    【答案】9
    【详解】解:如图,过D点作DF∥CE交AE于F,
    ∵DF∥BE

    ∵O是BD的中点
    ∴OB=OD
    ∴DF=BE=3
    ∵DF∥CE

    ∵AD:DC=1:2
    ∴AD:AC=1:3

    ∴CE=3DF=3×3=9.
    故答案为:9.

    11.如图,为等边三角形,将边绕A点逆时针方向旋转()至,连,交于E.

    (1)如图1,当时,连接,图中与相等的角有__________.
    (2)如图2,作的平分线,交于F,当变化时,请你探究线段、、之间是否存在确定的数量关系?证明你的判断.
    (3)在(1)的条件下,请你直接写出的值.
    【答案】(1)、、;(2),理由见解析;(3)
    【解析】(1)解:根据旋转可知,,
    ∵△ABC为等边三角形,
    ∴,,
    ∴,

    ∵∠BAD=90°,
    ∴,,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    故答案为:、、.
    (2)解:;理由如下:
    取GF=AF,连接AG,如图所示:

    ∵、
    ∴,
    ∴△AGF为正三角形,
    ∴,
    ∴,
    在△ABG和△ADF中,
    ∴(AAS),
    ∴,
    ∵,
    ∴.
    (3)解:过点B作BF⊥AC于F,过点D作DG⊥AC于点G,如图所示:

    由(1)可知,∠BAC=60°,∠CAD=30°,


    ∵BF⊥AC,DG⊥AC,
    ∴,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    由(1)可知,,
    ∴DG是等腰△DEC底边EC上的高,
    ∴G是EC的中点,∴,
    ∵BF是等边△ABC边AC上的高,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    12.如图1,在等腰中,,是的中点,为边上任意一点,连接,将线段绕点逆时针旋转得到线段,连接,交于点.

    (1)若,,求的长;
    (2)如图2,点恰好是的中点,连接,求证:.
    【答案】(1)的长是
    (2)见解析

    【分析】(1)过点作于点,在Rt△DHE中,勾股定理求解即可;
    (2)过点E作EMBF交AB于点M,过点D作DN⊥BC交AC于点N,证明△BFD≌△NED,△EMG≌△FBG,△AEM是等腰直角三角形,根据DNAB,D是BC的中点,可得BF=CN,证明等腰Rt△CDN,即可得证.
    (1)
    如图,过点作于点,

    ∴∠CHE=90°.
    在等腰Rt△ABC中,∵AB=6,AB=BC,∴BC=6,,
    ∵AB=6,AE,为的中点,∴,,
    ∵∠C=45°,∴△CHE是等腰直角三角形,,∴CH=EH=5,∴HD=CH−CD=2,
    在Rt△DHE中,,∴的长是,即的长是;
    (2)过点E作EMBF交AB于点M,过点D作DN⊥BC交AC于点N,如图:

    ∴△CDN为等腰直角三角形,∴CD=ND,
    ∵BD=CD,∴BD=DN.
    ∵∠5+∠BDE=90°=∠6+∠BDE,∴∠5=∠6,
    在△BFD和△NED中,

    ∴△BFD≌△NED(SAS),∴BF=EN,∠3=∠4,
    ∵G是EF的中点,∴GE=GF,
    ∵EMBF,∴∠1=∠2,
    在△MEG和△BFG中,

    ∴△EMG≌△FBG(ASA),∴ME=BF,∴ME=EN,
    ∵∠2+∠3=45°,∴∠1+∠4=45°,∴∠MEN=∠1+∠4+∠FED=90°,∴∠AEM=90°,
    ∵∠A=45°,∴△AEM是等腰直角三角形,AE=ME,∴AE=ME=BF=EN,∴BF=AN,
    ∵DNAB,D是BC的中点,∴CN=AN,∴BF=CN,在等腰Rt△CDN中,CD=CN,
    ∴CD=BF.
    13.在平面直角坐标系中,点O为坐标系的原点,直线:交x轴于点A,交y轴于点B,直线与AB交于点C.

    (1)如图1,求A点的坐标;
    (2)如图2,点P是射线OC上一点,过点P作轴于点H连接PA,设点P的横坐标为t,四边形PHOA的面积为S,求S与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);
    (3)如图3,在(2)的条件下,且,过点B作交x轴于点D,BF平分交x轴于点E,连接DF,其中,若时,求线段AE的长.
    【答案】(1);(2);(3)
    【解析】(1)
    由,
    ∴恒过定点,
    ∴,
    (2)
    ∵点P是射线OC上一点,设点P的横坐标为t,四边形PHOA的面积为S,
    ∴点P的坐标为,其中t>0,
    ∵,
    ∴,
    (3)
    由(2),
    解得或(舍去)
    ∴,
    如图甲所示,连接,过点作,
    ∵,
    ∴,,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    由,令,解得,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,
    又,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    设,由,过点作轴于点,轴于点,过点作于点,如图乙所示,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,


    ∴,
    ∴,
    ∵平分,
    ∴,
    ∵,


    ∴,解得:或(舍去)
    ∴,∴,∴,
    ∴,∴,
    ,∴,
    ∴,∴,
    ∴,,解得,
    由,∴,即,∴.

    14.如图, 正方形 中, 点 为 边上一点, 点 为 边上一点, 且 , 连接 、 交于点 .

    (1)求证:;
    (2)连接 , 若 平分 , 求证: ;
    (3)在(2)的条件下, 连接 , 过点 作EH∥GD 交 边于点 , 交 于点 , 若 , 求线段 FM 的长.
    【答案】(1)过程见解析;(2)过程见解析
    (3)
    【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,
    ∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°.
    ∵BE=CF,
    ∴△ABE≌△BCF,
    ∴∠BAG=∠CBF.
    ∵∠CBF+∠ABG=90°,
    ∴∠BAG+∠ABG=90°,
    ∴∠AGB=90°,
    即∠AGF=90°;
    (2)过点C作CH⊥EG,于点H,CI⊥FG,于点I,
    ∵GC平分∠EGF,
    ∴CH=CI.
    ∵∠EGF=∠CHG=∠CIG=90°,
    ∴四边形GHCI是矩形.
    ∵∠HCE+∠ECI=∠ECI+∠FCI=90°,
    ∴∠ECH=∠FCI.
    ∵∠CHE=∠CIF=90°,  
    ∴△CEH≌△CFI,
    ∴CE=CF.
    ∵BE=CF,  
    ∴CE=BE,
    则BC=2CE,
    ∴AB=2CF;

    (3)
    设正方形的边长BC=2a,则BE=a,CF=a,DF=a,
    根据勾股定理得.
    ∵∠EBG=∠FBC,∠BGE=∠BCF=90°,
    ∴,
    ∴,
    即,
    解得,
    ∴.
    ∵,
    ∴,∴,
    即,解得.
    15.(1)如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=39°,连接AC,BD交于点M.填空:的值为 ,∠AMB的度数为 ;
    (2)如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OBA=∠ODC=60°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值,并说明理由;
    (3)在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=;点Q为CD的中点,则在旋转的过程中,AQ的最大值为 .

    【答案】(1)1,39°;(2),理由见解析;(3)
    【详解】解:(1)①如图1,

    ∵∠AOB=∠COD=40°,
    ∴∠COA=∠DOB,
    ∵OC=OD,OA=OB,
    ∴△COA≌△DOB(SAS),
    ∴AC=BD,
    ∴=1,
    ②∵△COA≌△DOB,
    ∴∠CAO=∠DBO,
    ∵∠AOB=39°,
    ∴∠OAB+∠ABO=141°,
    在△AMB中,∠AMB=180°﹣(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°﹣141°=39°,
    (2)如图2,

    理由是:
    在Rt△COD中,∠DCO=30°,∠DOC=90°,
    ∴,
    同理得:,
    ∴,
    ∵∠AOB=∠COD=90°,
    ∴∠AOC=∠BOD,
    ∴△AOC∽△BOD,
    ∴;
    (3)解:连接OQ,
    ∵Q为CD的中点,
    △COD为直角三角形,
    ∴OQ= ,
    又∵ ,OD=1,
    ∴CD=2,
    ∴OQ=1,
    ∴点Q在以O为圆心,1为半径的圆上,
    ∴当A,O,Q三点共线时,AQ最大,
    ∵△BOA为直角三角形,OB=,,
    ∴,
    ∴.




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