相似三角形基本模型综合培优训练（四）-九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

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相似三角形基本模型综合培优训练（四）
1．如图，在中，，，，是边上的中线，将沿射线方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为，设与重叠部分的面积为，平移运动时间为，当点与点重合时，停止运动，则下列图象能反映与之间函数关系的是（    ）

A．B．C． D．
【答案】A
【详解】设BD与交于点E，如图，

当时，平移了个单位长度，即
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵中，是边上的中线，
∴，
∴与是等腰三角形，
∵沿射线方向平移后的三角形记为，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，
即时，，故可得C、D错误，
当，AB与交于点H，如图：

∵，
∴，，
即，
根据运动的速度可知：，即，
∴，
即，
∴，
，
可见当时，，函数图像为开口向上的抛物线，则A符合题意，B为一次函数不符合题意．故选：A．
2．如图①，已知Rt△ABC的斜边BC和正方形DEFG的边DE都在直线l上（BC＜DE），且点C与点D重合，△ABC沿直线l向右匀速平移，当点B与点D重合时，△ABC停止运动，设DG被△ABC截得的线段长y与△ABC平移的距离x之间的函数图像如图②，则当x＝3时，△ABC和正方形DEFG重合部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图①，

过点A作AH⊥BC于点H，
∴∠AHB=∠AHC=∠BAC=，
∴∠ABH+∠BAH=∠BAH+∠HAC=，
∴∠ABH=∠HAC，
∴△ABH∽△CAH，
∴AH：HC=BH：AH，
结合图①可知，当点H和点D重合时，DG被截得的线段长最长，即CH=1；
当点B和点D重合时，由函数图像可得：BC=4，
∴BH=3，
∴AH：1=3：AH，即（负值舍去），
当x=3时，， 如图②，

∴设与DG的交点为M，
由，
则，
∴，
∴1：3=MD：，
即，
∴
故选：C．
3．如图，直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例交于C、D两点，直线OD交反比例于点E，连接CE交y轴于点F，若CF：EF=1：4，则△DCE的面积为（   ）

A．8 B．5 C．7.5 D．6
【答案】C
【详解】解：∵直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令得，令得，
∴，
如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，

设，则，
∴，
∵，
∴，设，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵在上，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴，,
∵关于对称，
∴，
∴，,，
∵,
∴,∴是,
∴，
故选C．
4．如图，正方形和正方形的顶点在同一条直线上，顶点在同一条直线上．O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接交于点M，连接交于点N．则的值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵四边形和四边形是正方形，
．
(SAS)，．
，．
，．
平分．
，(ASA)．．
又是的中点，．，．
，．
设，正方形的边长是，则∴，
，即，解得，（舍去），
则．
故选C．
5．如图平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，若△DEG的面积是1，则五边形DABFG的面积是（　　）

A．11 B．12 C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，连接BG，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，AD=BC，
∴∠E=∠CFG，
∵F为BC中点，
∴FC=BC=AD，
∵DE：AD=1：3，∴DE：BC=1：3，∴DE：CF=2：3，
∵∠E=∠CFG，∠DGE=∠CGF，
∴△DGE∽CGF，∴DG：CG=DE：CF=2：3，
∴，∴，取AD的中点Q，连接FQ，

∴FQDG，∴△EDG∽△EQF，∴DE：EQ=1：2.5=2：5，
∴，∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
6．如图，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、、的延长线于点、、，则________．

【答案】3
【详解】过点M作MGDF，点G在AB上，过点N作NHDF，H在AB上，NH交AM于I，
则有MGDFNHAC

∵GMNH，
∴△BMG∽△BNH
∴
又∵BM=，
∴
∵MGNHAC，
∴
∴
∵MGNH
∴△AHI∽△AGM   
∴
又∵
∴
∴
又∵DFNH   
∴△AHI∽△ADE，△ANI∽△AFE，
∴
∴∴
故答案是：3．

7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点M、N分别在边AD和BC上，沿MN折叠四边形ABCD，使点A、B分别落在A、B处，得四边形A1B1NM，点B在DC上，过点M作ME⊥BC于点E，连接BB，则下列结论：
①∠MNB＝∠ABB；
②△MEN∽△BCB；
③；
④若点B是CD的中点，则AM＝，
其中，正确结论的序号是_____．（把所有正确结论的序号都在填在横线上）

【答案】①②③
【详解】解：由折叠可知：∠MNB＝∠BNM，MN⊥BB，
∴∠BNM+∠BBN＝90°，
∵∠ABB+∠BBN＝90°，
∴∠BNM＝∠ABB，
∴∠MNB＝∠ABB，故①正确；
∵ME⊥BC，
∴∠MNE+∠NME＝90°，
由折叠的性质可得：MN⊥BB，
∴∠MNE+∠BBN＝90°，
∴∠NME＝∠BBN，
∴△MEN∽△BCB，故②正确；
由②可知：＝，
∵ME＝AB＝2，BC＝4
∴＝，为定值，故③正确；
∵△MEN∽△BCB，
∴＝，
∴NE＝BC，
若点B是CD的中点，则BC＝DC，
∴NE＝DC＝×2＝，
设BN＝x，则NC＝4﹣x，BN＝x，
在Rt△BNC中，由勾股定理可得，
解得：x＝，
∴AM＝BE＝BN﹣NE＝，故④不正确．
故答案为：①②③．
8．正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为_______．
【答案】或
【详解】分情况讨论：
①如图1，BM交边AD于点F

     图1
, ,
Rt△ABE≌Rt△BAF

连接FE，则四边形ABEF为矩形，
，

②如图2，射线BM交边CD于点F

            图2
≌，

，
,
即BF垂直AE，
∴,
,
,
．
故答案为： ．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A′B′CD′，B′C与AD交于点E，AD的延长线与A′D′交于点F．当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，则EF＝_____．

【答案】
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A′B′CD′，
∴，，，
在中，，
∴，∴，，
∵，，∴，
∴，∴，∴DF，
同理可得，∴，∴，∴ED，
∴EF＝ED+DF，
故答案为：．
10．如图在中，∠ACB=90°，AC=BC，D在AB上，AD=8，BD=4，点E在CD上，∠AEB=135°，则CE=______．

【答案】
【详解】解：如图，过点A作AP⊥CD，垂足为P，连接BP，过点D作DK⊥BC于点K，过点B作BM⊥AP，交AP的延长线于点M，交BC于点G，

因为∠ACB=90°，AC=BC，
所以∠DBK=∠BDK=45°，
所以DK=BK；
因为DKAC，
所以，
所以；
因为∠GAC=90°-∠ACP，∠DCK=90°-∠ACP，
所以∠GAC=∠DCK，
所以△GAC∽△DCK，
所以，
所以，
所以AC=2CG=BC=CG+BG,
所以BG=CG．
因为∠CPG=∠BMG=90°，∠CGP=∠BGM，
所以△GPC≌△GMB，
所以GP=GM，
所以四边形BPCM是平行四边形，
所以BPCM，
所以∠CMP=∠BPM，
因为∠ACB=∠AMB=90°，
所以A、C、M、B四点共圆，
所以∠AMC=∠ABC=45°，
所以∠MPB=45°，
所以∠APB=135°，
因为∠AEB=135°，
所以点P与点E重合，
所以AE⊥CD，
因为∠ACB=90°，AC=BC，AD=8，BD=4，
所以AC=BC=，
所以CG=，AG=，
所以，
所以=，
故答案为：．
11．正方形ABCD边长为2，点E、F在CB、DC延长线上，且BE=CF，AE 与BF延长线交于点G．

(1)如图1，求证AE⊥BF；
(2)如图2，点M是FG延长线上一点，MG=BG，∠MAD的平分线交BF于点N，连接CN．试探究AN、CN、BN三条线段的数量关系，并证明；
(3)如图3，G为BC上一点，过G作GH⊥DG交AB于H点，当BG=____，BH达到最大值，最大值是____ ．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)1，

【解析】（1）
解：证明：如图1，

四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（2）
，
证明：如图2，连接，作交于点，

，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）
如图3，设，，

，
，
，
，
，，
，
，，当时，，
当，达到最大值，最大值是，
故答案为：1，．
12．已知：，．

(1)当时，点为线段上的一点（点不与，重合，其中），以点为直角顶点，为腰作等腰直角，连接，求的度数．
(2)当，，连接，若点，过点作于点，点与点关于轴对称，点是线段上的一点（点不与点，重合）且满足，连接，试判断线段与之间的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)，，证明见解析
【解析】（1）
解：如图1，设与交于点，

，，且，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）
解：，，
证明：，，，，，
点与点关于轴对称，
，，，
于点，，
，
在和中，
，
，
，，
，
．

13．（1）如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，，若，，则___________；
（2）如图2，四边形ABCD中，，，，点E在线段BC上且，连接DE，作，交AB于点F，则四边形ADEF的面积是多少？
（3）如图3，四边形ABCD中，，点C到AB的距离为10，，且．当四边形ABCD的面积是61时，求CD的长度是多少？

【答案】（1）4
（2）55
（3）
【详解】解：（1）∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠DPA+∠CPB=90°，
∵∠DPA+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠CPB，
∴△ADP∽△BPC，
∴，
∵AP=2，PC=2DP，
∴，
∴BC=4；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，

∴四边形ADHB是矩形，
∴DH=AB=8，BH=AD=10，
∵BE=6，
∴HE=4，
∵∠B=∠DEF=90°，
∴∠BFE=∠DEH，
又∵∠B=∠DHE=90°，
∴△BFE∽△HED，
∴，
∴，
∴BF=3，
∴
=8×10−-
=55；
（3）过点C作EFAB，过点D作EF的垂线交EF于点E，交BA的延长线于点H，过点B作BF⊥EF于点F，

则FB=EH=10，
由（1）知△ECD∽△FBC，
∴，
∴EC=5，
设ED=x，则CF=2x，HD=(10-x)，HA=(2x+5-8)=(2x-3)，
∴
=10×(2x+5)-
==61
解得：，
∴ED=2，
∴CD=．
14．如图1，已知正方形和正方形，点B、C、E在同一直线上，，．连接．

(1)求图1中、的长（用含m的代数式表示）．
(2)如图2，正方形固定不动，将图1中的正方形绕点C逆时针旋转度（），试探究、之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在（2）条件下，当点A，F，E在同一直线上时，连接并延长交于点H，若，求m的值．
【答案】(1)BG=　，AF＝
(2)AF=BG
(3)
【解析】（1）
解：延长FG交AB于H，如图1，

∵正方形和正方形，点B、C、E在同一直线上，
∴∠ABC=∠BCD=∠CGD=∠CGH=90°，AB=BC=m，CG=GF=CE=1，
在Rt△BCG中，由勾股定理，得
；
∴∠BHG=90°，
∴四边形BCGH是矩形，∠AHG=90°，
∴GH=BC=m，BH=CG=1，
∴AH=m-1，
在Rt△AHG中，由勾股定理，得
；
（2）
解：连接AC、CF，如图2，

∵正方形和正方形，∴∠ACB=∠FCG=45°，
∴∠ACB+∠ACG=∠FCG+∠ACG，∴∠BCG=∠ACF，
在等腰Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=BC，
在等腰Rt△FGC中，由勾股定理，得CF=CG，
∴，∴△ACF∽△BCG，
∴，即AF=BG；
（3）解：连接AC，如图3，

∵正方形和正方形，∴∠CAD=∠CFE=45°，CD=AD=BC=m，
∵∠CFE=∠CAF+∠ACF，∠CAD=∠CAF+∠FAH，∴∠FAH=∠ACF，
∵∠AHF=∠CHA，∴△AHF∽△CHA，
∴，
∵正方形，EF=CE=1，
∴CF=，∴CH=CF+FH=+=2，
∴，∴AH=2，∴DH=AD-AG=m-2，
在Rt△CDH中，由勾股定理，得，
即
解得：，(不符合题意，舍去)．
∴m的值为．
15．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，过点D作射线AE的垂线，垂足为F，连接CF．

(1)如图1，若AD＝5，DF＝DC＝4，求BE的长；
(2)若E为BC中点．
①如图2，求证：CF＝CD；
②当AE＝3EF时，直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②
【解析】（1）解：∵，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴ ，，，
∴，，
∵，
∴，
∴（AAS），
∴，
∴；
（2）
解：①证明：如图，延长AE、DC交于点M；

在矩形ABCD中，，
∴，，
∴E点为BC的中点，
∴，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴，
∴C是DM的中点，
∵，  
∴，
∴；
②如图，延长AE、DC交于点M，

由①知，
∴，
∵，
∴，
∴，
在矩形ABCD中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，  
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴；