相似三角形基本模型综合培优训练（二）-九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

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相似三角形基本模型综合培优训练（二）
1．如图，点是双曲线上的动点，连接并延长交双曲线于点，将线段绕顺时针旋转得到线段，点在双曲线上运动，则（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】双曲线关于原点对称，
点与点关于原点对称．
．
连接，，如图所示．

将线段绕顺时针旋转得到线段，
是等边三角形，，，，
，．
过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，
，，，
，，∽．．
，，．
设点坐标为，  
点在第一象限，，．，
点在双曲线上，．，
设点坐标为，
点在第四象限，
，．
．
．
点在双曲线上，
．
故选：D
2．如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，

∵AD为BC边的中线，AC＝BC＝2，
∴CD＝BD＝1，∴AD＝＝＝，
∵，∴CE＝＝，
∵∠ADC+∠BCH＝90°，∠BCH+∠H＝90°，∴∠ADC＝∠H，
在△ACD和△CBH中，
，
∴△ACD≌△CBH（AAS），∴CD＝BH＝1，AD＝CH＝，
∵AC⊥BC，BH⊥BC，∴AC∥BH，∴△ACF∽△BHF，
∴＝，
∴CF＝，∴EF＝CF﹣CE＝﹣＝，
故选：B．
3．如图，已知，是斜边AB的中点，过作于，连结交于；过作于，连结交于；过作于，…，如此继续，可以依次得到点，分别记的面积为．若，则_____．

【答案】
【详解】解：由题意得：BC，
∴与同底同高，面积相等，以此类推；根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知： =BC， =AC， =；
∴在△ACB中，为其重心，
∴，
∴，，，
∵ =2：3， =1：2，
∴=3，
∴=3：4，
∴，，…，
∴；
当n=2022时，，
故答案为：．
4．如图，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、、的延长线于点、、，则________．

【答案】3
【详解】过点M作MGDF，点G在AB上，过点N作NHDF，H在AB上，NH交AM于I，
则有MGDFNHAC

∵GMNH，
∴△BMG∽△BNH，∴
又∵BM=，∴
∵MGNHAC，
∴，∴
∵MGNH，∴△AHI∽△AGM   ，∴
又∵，∴，∴
又∵DFNH   ，∴△AHI∽△ADE，△ANI∽△AFE，
∴，∴，∴
故答案是：3．
5．如图，正方形中，，是中点，上有一动点，连接、，将沿着翻折得到，连接，，则的最小值为______．

【答案】5
【详解】如图所示：在上取，连接、DG．

∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=DC=4．
∴．
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=2．
由翻折的性质可知．
∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴的最小值为5．
故答案为：5．
6．如图，平面直角坐标系中，等腰Rt∆AOB的顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边AB与函数交于点D，AD=3BD，过点B作BC⊥AB，交函数交于点C，连接AC，OD交于点E，若∆AOE的面积与∆CDE的面积都等于2.4，则的值为________．

【答案】7
【详解】解：设，则，
∵为等腰直角三角形
∴，即
∴，
如图，过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为H、M，延长BC交x轴与点G，连接OC，
∴
∴
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴
∵，，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
设表达式为
将代入得，，
∴表达式为，
∵
∴，即
∴到的距离等于到的距离，
∴
∴直线
联立，解得，即

∴
由上可知，，，
∴，，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∴
∴.
故答案为：7
7．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△ABE面积的最大值是___．

【答案】
【详解】解：连接DE，
∵，，∴，
又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA，
∴∠CDE=∠CBA，，∴，
∴△DEF∽△ABF，
∴，∴，，
∴，，

当最大时，最大，最大，
过点D作DG⊥AB于G，
∵，∴当DG最大时，最大，
∵，∴当AB⊥BC时，DG最大=BD=，此时，∴
故答案为：．
8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD、AB上的两点，AE＝BF，连BE、CF交于点H，当时，＝________．

【答案】
【详解】解：设正方形的边长为1，AE=BF=a，
∴FC=．
在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠ABC=90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠ABE=∠BCF，．
∵∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠BCF+∠EBC=90°，.
∴∠BHC=90°，即.BH⊥CF．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵∠HCB=∠BCF，∠CHB=∠CBF=90°，
∴△HBC∽△BFC，
∴，
∴，
∴ ．
∵，
∴，
∴，
解得a=或a=（舍去），
∴．
故答案为：．
9．如图，已知四边形ABCD是边长为8的正方形，点E，F分别是BC，CD的中点，AE与BF相交于点G，连接DE，交BF于点H，则GH的长为_____．

【答案】
【详解】解：取线段DE的中点M，连接MF，
∵点F为线段DC的中点，
∴MF是△DEC的中位线，
∴MFEC，，
∵点E，F分别是BC，CD的中点，四边形ABCD是边长为8的正方形，
∴CF＝BE＝4，BC＝AB＝8，∠BCF＝∠ABE＝90°，
∴BF4，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
∴，即，解得BG，
∵，∴△BEH∽△FMH，
∴，∴，∴，∴，∴FHBF，
∴GH＝BF﹣BG﹣FH＝4，
故答案为：．

10．如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，若BE＝3，则EC的长为___．

【答案】9
【详解】解：如图，过D点作DF∥CE交AE于F，
∵DF∥BE
∴
∵O是BD的中点
∴OB＝OD
∴DF＝BE＝3
∵DF∥CE
∴
∵AD：DC＝1：2
∴AD：AC＝1：3
∴
∴CE＝3DF＝3×3＝9．
故答案为：9．

11．如图，为等边三角形，将边绕A点逆时针方向旋转（）至，连，交于E．

(1)如图1，当时，连接，图中与相等的角有__________．
(2)如图2，作的平分线，交于F，当变化时，请你探究线段、、之间是否存在确定的数量关系？证明你的判断．
(3)在（1）的条件下，请你直接写出的值．
【答案】(1)、、；(2)，理由见解析；(3)
【解析】（1）解：根据旋转可知，，
∵△ABC为等边三角形，
∴，，
∴，
，
∵∠BAD=90°，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：、、．
（2）解：；理由如下：
取GF=AF，连接AG，如图所示：

∵、
∴，
∴△AGF为正三角形，
∴，
∴，
在△ABG和△ADF中，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴．
（3）解：过点B作BF⊥AC于F，过点D作DG⊥AC于点G，如图所示：

由（1）可知，∠BAC=60°，∠CAD=30°，
，
，
∵BF⊥AC，DG⊥AC，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴DG是等腰△DEC底边EC上的高，
∴G是EC的中点，∴，
∵BF是等边△ABC边AC上的高，
∴，
∴，
∴．
12．如图1，在等腰中，，是的中点，为边上任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点．

(1)若，，求的长；
(2)如图2，点恰好是的中点，连接，求证：．
【答案】(1)的长是
(2)见解析

【分析】（1）过点作于点，在Rt△DHE中，勾股定理求解即可；
（2）过点E作EMBF交AB于点M，过点D作DN⊥BC交AC于点N，证明△BFD≌△NED，△EMG≌△FBG，△AEM是等腰直角三角形，根据DNAB，D是BC的中点，可得BF＝CN，证明等腰Rt△CDN，即可得证．
（1）
如图，过点作于点，

∴∠CHE＝90°．
在等腰Rt△ABC中，∵AB＝6，AB=BC，∴BC＝6，，
∵AB＝6，AE，为的中点，∴，，
∵∠C＝45°，∴△CHE是等腰直角三角形，，∴CH＝EH＝5，∴HD＝CH−CD＝2，
在Rt△DHE中，，∴的长是，即的长是；
（2）过点E作EMBF交AB于点M，过点D作DN⊥BC交AC于点N，如图：

∴△CDN为等腰直角三角形，∴CD＝ND，
∵BD＝CD，∴BD＝DN．
∵∠5＋∠BDE＝90°＝∠6＋∠BDE，∴∠5＝∠6，
在△BFD和△NED中，
，
∴△BFD≌△NED（SAS），∴BF＝EN，∠3＝∠4，
∵G是EF的中点，∴GE＝GF，
∵EMBF，∴∠1＝∠2，
在△MEG和△BFG中，
，
∴△EMG≌△FBG（ASA），∴ME＝BF，∴ME＝EN，
∵∠2＋∠3＝45°，∴∠1＋∠4＝45°，∴∠MEN＝∠1＋∠4＋∠FED＝90°，∴∠AEM＝90°，
∵∠A＝45°，∴△AEM是等腰直角三角形，AE＝ME，∴AE＝ME＝BF＝EN，∴BF＝AN，
∵DNAB，D是BC的中点，∴CN＝AN，∴BF＝CN，在等腰Rt△CDN中，CD＝CN，
∴CD＝BF．
13．在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，直线与AB交于点C．

(1)如图1，求A点的坐标；
(2)如图2，点P是射线OC上一点，过点P作轴于点H连接PA，设点P的横坐标为t，四边形PHOA的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，且，过点B作交x轴于点D，BF平分交x轴于点E，连接DF，其中，若时，求线段AE的长．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）
由，
∴恒过定点，
∴，
（2）
∵点P是射线OC上一点，设点P的横坐标为t，四边形PHOA的面积为S，
∴点P的坐标为，其中t＞0，
∵，
∴，
（3）
由（2），
解得或（舍去）
∴，
如图甲所示，连接，过点作，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由，令，解得，
∴，
∵,，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，由，过点作轴于点，轴于点,过点作于点,如图乙所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
，
，
∴，解得：或（舍去）
∴，∴，∴，
∴，∴，
，∴，
∴，∴，
∴，，解得，
由，∴，即，∴．

14．如图， 正方形 中， 点 为 边上一点， 点 为 边上一点， 且 ， 连接 、 交于点 ．

(1)求证：；
(2)连接 ， 若 平分 ， 求证： ；
(3)在（2）的条件下， 连接 ， 过点 作EH∥GD 交 边于点 ， 交 于点 ， 若 ， 求线段 FM 的长．
【答案】(1)过程见解析；(2)过程见解析
(3)
【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°．
∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAG=∠CBF．
∵∠CBF+∠ABG=90°，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠AGB=90°，
即∠AGF=90°；
（2）过点C作CH⊥EG，于点H，CI⊥FG，于点I，
∵GC平分∠EGF，
∴CH=CI．
∵∠EGF=∠CHG=∠CIG=90°，
∴四边形GHCI是矩形．
∵∠HCE+∠ECI=∠ECI+∠FCI=90°，
∴∠ECH=∠FCI．
∵∠CHE=∠CIF=90°，  
∴△CEH≌△CFI，
∴CE=CF．
∵BE=CF，  
∴CE=BE，
则BC=2CE，
∴AB=2CF；

（3）
设正方形的边长BC=2a，则BE=a，CF=a，DF=a，
根据勾股定理得．
∵∠EBG=∠FBC，∠BGE=∠BCF=90°，
∴，
∴，
即，
解得，
∴．
∵，
∴，∴，
即，解得．
15．（1）如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝39°，连接AC，BD交于点M．填空：的值为 ，∠AMB的度数为 ；
（2）如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OBA＝∠ODC＝60°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝；点Q为CD的中点，则在旋转的过程中，AQ的最大值为 ．

【答案】（1）1，39°；（2），理由见解析；（3）
【详解】解：（1）①如图1，

∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠COA=∠DOB，
∵OC=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，
∴=1，
②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOB=39°，
∴∠OAB+∠ABO=141°，
在△AMB中，∠AMB=180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣141°=39°，
（2）如图2，

理由是：
在Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，
∴，
同理得：，
∴，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴；
（3）解：连接OQ，
∵Q为CD的中点，
△COD为直角三角形，
∴OQ= ，
又∵ ，OD=1，
∴CD=2，
∴OQ=1，
∴点Q在以O为圆心，1为半径的圆上，
∴当A,O,Q三点共线时，AQ最大，
∵△BOA为直角三角形，OB=，，
∴，
∴．