2023年九年级数学中考复习：几何探究题--线段问题附答案

这是一份2023年九年级数学中考复习：几何探究题--线段问题附答案，共15页。试卷主要包含了有如下一道作业题，已知等内容，欢迎下载使用。
2023年九年级数学中考复习：几何探究题--线段问题附答案1．如图1，在等腰三角形中，，，，连接，点、、分别为、、的中点.(1)当时，①观察猜想：图1中，点、分别在边、上，线段、的数量关系是___________，的大小为___________；②探究证明：把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由；(2)拓展延伸：当时，，时，把绕点在平面内自由旋转，如图3，请求出面积的最大值.   2．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上方，连接CD，将CD绕点D顺时针旋转90°到ED．(1)如图1，点D在AC左侧且在点A上方，连接AE，CE，若∠ACD＝15°，AB＝2，CE＝1+3，求AE的长．(2)如图2，点D在AC左侧且在点A上方，连接BE交CD于点M，F为BE上一点，连接DF，过点F作FG∥AC交BC延长线于点G，连接GM，EG，AD．若∠EDF+∠EBG＝∠DEB，GM＝BM．求证：AD＝EF．(3)如图3，已知BC＝3，CD＝6，连接BE交CD于点M，连接CE，将△CEM沿直线EM翻折至△ABC所在平面内，得△C′EM，当AM+C′M最小时，求C′到BC的距离．   3．如图，等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C，其中∠EDC＝120°，AB＝CE＝2，连接BE，P为BE的中点，连接PD、AD(1)为了研究线段AD与PD的数量关系，将图1中的△EDC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AD与PD的数量关系；(2)如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，若∠ACD＝45°，求△PAD的面积．   4．如图①，在中，，，，，点是边上（不与底，重合）的一个动点，连接．（1）当线段把分成两个周长相等的三角形时，的长是多少？（2）将沿直线折叠，当点恰好落在边上的处时，的长是多少？动手折一折并在图②中画出符合题意的图形．（3）当时，将绕点顺时针旋转的度数至的位置，连接，如图③，试判断线段和的位置关系并说明理由．   5．已知△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合）．连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．（1）如图1．当∠DAC＝90°时，试猜想BC与QE的位置关系，并说明理由．（2）如图2．当∠DAC是锐角时．求∠QEP的度数．（3）如图3．当∠DAC＝120°，且∠ACP＝15°，点E恰好与点A重合．若AC＝6．求BQ的长．   6．如图1，矩形中，，将矩形绕着点A顺时针旋转，得到矩形．（1）当点E落在上时，则线段的长度等于________；（2）如图2，当点E落在上时，求的面积；（3）如图3，连接，判断线段与的位置关系且说明理由，并求的值；（4）在旋转过程中，请直接写出的最大值．   7．如图所示，正方形中，点、、分别是边、、的中点，连接，．（1）如图1，直接写出与的关系______；（2）如图2，若点为延长线上一动点，连接，将线段以点为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段，连接．①求证：≌；②直接写出、、三者之间的关系；   8．有如下一道作业题：如图1，四边形是菱形，且，以为顶点作顶角为120°的等腰，且，，在一条直线上，连结，．求证：．（1）请你完成这道题的证明．（2）如图2，在菱形中，，点是边上一点，，且，连结，延长交于点，连结．①求证：．②把绕点顺时针旋转120°得到，连结（如图3）．求证：．    9．已知：和均为等腰直角三角形，，连接，，点为中点，连接．（1）如图1所示，点、分别在边、上，求证：且；（2）将绕点旋转到图2所示位置时，线段与又有怎样的关系，证明你的结论．（3）如图3所示，当，时，求长的取值范围．   10．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，点G在AB边上，∠ACG＝∠B，点D在AB边上，BD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于点E．（1）如图1，①CG与DE的位置关系是　   　；②求证：△BDE～△BGC．（2）将图1中的△BDE绕点B顺时针旋转，连接EC、DG，①如图2，的值为　   　；②当点D到直线BC的距离等于2时，DG的长为　   　；③当以点A、C、D、B为顶点的四边形时矩形时，点P在线段DG上，且∠CPG与∠A互余，连接CP，则直线CP与AB所夹锐角的正切值为　   　．   11．有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，DE，M是BF的中点【观察猜想】（1）线段DE与AM之间的数量关系是 ，位置关系是            ；【探究证明】（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．(3) 若正方形ABCD的边长为4，将其沿EF翻折，点D的对应点G恰好落在BC边上，直接写出DG+DH的最小值            12．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90，点D是BC的中点，作正方形DEFG使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）猜想线段AE和BG的关系，请直接写出你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D顺时针方向旋转一定角度后（旋转角大于0°，小于或等于360°），如图2，判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．（3）若BC＝DE＝4，在（2）的旋转过程中，当AE取最大值时，直接写出AF的长    13．将两块含角且大小相同的直角三角板如图1摆放．（1）将图1中绕点C顺时针旋转得图2，点是与的交点，求证：；（2）将图2中绕点C顺时针旋转到（如图3），点是与的交点，线段与之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（3）将图3中线段绕点C顺时针旋转到（如图4），连结，求证：．   14．阅读理解：如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在边CD、DA上，且∠EBF=45°，连接EF，则线段AF、CE、EF之间存在着一定的数量关系．（1）我们可以通过将∆ABF绕点B顺时针旋转90°或者延长EC至点G使得CG=AF并连接BG，这两种方法来判断线段AF、CE、EF之间的数量关系，请你写出它们的数量关系，并完成证明；延伸拓展：（2）如图2，四边形ABCD是正方形，∠EBF=45°，交边CD、DA的延长线与点E、F，连接EF，请你直接写出这种情况下线段AF、CE、EF之间的数量关系；知识运用：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中， 边长为5的正方形OABC的顶点A、C分别在x、y轴上，现在将正方形绕点O逆时针旋转α（0°<α<90°），当点C坐标为（x，y），且整数x、y满足xy=12时，设直线AB与直线y=x相交于点D，直线BC与y轴相交于点E，请直接写出DE的长度．   15．在锐角△ABC中，AB＝AC，D是线段BC上的一点，连接AD，将AD绕着点A顺时针旋转至AE，使得∠EAD＝2∠BAC，连接DE交AB于点F．（1）如图1，若∠BAC＝60°，∠DAC＝15°，BD＝4，求AB的长；（2）如图2，点G是线段AC的一点，连接DG，FG，若DA平分∠EDG，求证：FE＝DG+FG；（3）在（1）的条件下，将△BFD绕D点顺时针旋转∠α（0°＜α＜180°）得△B'F'D，直线B'F'交AB于点M，交AC于点N．在旋转过程中，是否存在△AMN为直角三角形？若存在，请直接写出AM的长度；若不存在，请说明理由．   16．已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．（1）如图1，求∠BDC的度数（用含α的式子表示）．（2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD；（3）如图3，当α＝90°时，记直线l与CD的交点为F，连接．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值．．   17．（1）发现问题：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点F为BC上一点，以BF为边作正方形BFED，点E在AB上，若AC＝BC＝2，BF＝，则＝          ；（2）类比探究：如图2，在（1）的条件下，将正方形BFED绕点B旋转，连接AE，BE，CF，求的值；（3）拓展延伸：在（2）的条件下，当A，E，F三点共线时，直接写出线段CF的长．18．在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α≤360°）得到，其中点A，B的对应点分别为点，．（1）如图1，当落在CA的延长线上时，①连接，求线段的长．②求从初始状态到此位置时，线段AB扫过的面积．（2）如图2，连接，，所在直线与所在直线交于点M，所在直线与交于点N，当0°＜α≤180°时，是否存在α使得＝2MN，若存在，请求出α；若不存在，请说明理由．（3）如图3，所在直线与所在直线交于点M，K为边AB的中点，连接MK，请直接写出在旋转过程中，MK长度的取值范围．   19．如图，在△ABC中，，点在上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．（1）按要求作出图形；（2）若＝90°，用等式表示线段大小关系，并证明；（3）若＝120°，，为的中点，求的最小值．   20．综合与实践，已知：如图1和图2，四边形ABCD中，，，点E、F分别在BC、CD上，．问题探究：（1）如图1，若、都是直角，把绕点A逆时针旋转90°至，使AB与AD重合，则______度，线段BE、DF和EF之间的数量关系为______；问题再探： （2）如图2，若、都不是直角，但满足，线段BE、DF和EF之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．拓展应用：（3）如图3，在中，，．点D、E均在边BC边上，且，若，则DE的长为______．
参考答案：1．(1)①MN=NP；；②是等边三角形，理由见解析(2)32 2．(1)(3) 3．(1)AD＝2PD(2)成立(3) 4．（1）6；（2）3，（3）线段AB垂直平分线段EF 5．（1）BC⊥EQ．理由见解析；（2）∠QEP＝60°；（3）BQ＝3﹣3．6．(1)10；(2)42；(3) AE⊥CG， ；(4)3007．（1），；（2）②9．（2）且；（3）10．（1）①；；（2）①；②或；③11．（1）DE＝2AM，DE⊥AM；（2）成立，（3）12．（1）BG=AE且BG⊥AE，；（2）成立；（3）.13．（1）见解析；（2）CP1＝P1P2．， 14．（1）EF＝AF＋CE，（2）EF＝CE-AF；（3）或．15．（1）；（3）存在，16．（1）α；（3）17．（1）；（2）；（3）或18．（1）4；②2π；（2）存在，α＝60°；（3）1≤MK≤319．（2）（3）20．（1）45，； （2）成立（3）