专题02 分式和分式方程（2）-2022-2023学年八年级数学上册期末复习考点强化训练（冀教版）

专题01  分式和分式方程（2）

考点7：列代数式（分式）

1．某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行一次，在没有风时，飞行器的速度为v，所需时间为t1；如果风速度为p时（0＜p＜v），飞行器顺风飞行速度为（v+p），逆风飞行速度为（v﹣p），所需时间为t2．则t1、t2的大小关系为（　　）

A．t1＜t2 B．t1≤t2 C．t1≥t2 D．无法确定

【答案】A

【解析】∵t1＝，t2＝+＝，

∴t1﹣t2═﹣＝，

∵0＜p＜v，

∴t1﹣t2＜0，

∴t1＜t2．

故选：A．

2．同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升（x≠y），妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢？（　　）

A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定

【答案】A

【解析】根据题意得：妈妈每次加油共需付款a（x+y）元，爸爸两次能加升油，

若爸爸两次加油的平均单价为M元/升，妈妈两次加油的平均单价为N元/升，则M＝，N＝，

∵N﹣M＝﹣＝＞0，

∴爸爸的加油方式更合算，

故选：A．

3．粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为x，步行速度为y，则她往返一趟的平均速度是（　　）

A．x B．y C． D．

【答案】D

【解析】设从学校到家路程为s，

平均速度是：2s÷（+）＝2s÷（）＝2s＝，

故选：D．

4．中国首列商用磁浮列车平均速度为akm/h，计划提速20km/h，已知从A地到B地路程为360km，那么提速后从A地到B地节约的时间表示为（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】A

【解析】由题意可得：

﹣＝．

故选：A．

5．某生产车间要制造a个零件，原计划每天制造x个，后为了供货需要，每天多制造6个，可提前_______天完成任务．

【答案】﹣．

【解析】∵制造a个零件，原计划每天制造x个，

∴原计划的时间是天，

∵后为了供货需要，每天多制造6个，

∴后来用的时间是天，

∴可提前的天数是（﹣）天；

6．一件工作，甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，则甲、乙合作_______小时完成．

【答案】．

【解析】∵一件工程甲单独完成要a小时，乙单独完成要b小时，

∴甲1小时的工作量为，乙1小时的工作量为，

∴两人合作一小时完成的工作量为：＝．

7．一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成，则两人一起完成这项工程需要_______小时．

【答案】

【解析】设该工程总量为1．二人合作完成该工程所需天数＝1÷（+）＝1÷＝．

8．一辆货车从甲地运送货物到乙地，速度为a千米/小时，然后空车按原路返回时速度为b千米/小时，求货车从送货到返回原地的平均速度．

【答案】见解析

【解析】设甲乙两地的路程为S千米，

＝＝，

即货车从送货到返回原地的平均速度为千米/小时．

考点8：最简分式

1．下列分式中，属最简分式的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】A.＝，不属于最简分式，故本选项不符合题意；

B.＝﹣1，不属于最简分式，故本选项不符合题意；

C.＝，不属于最简分式，故本选项不符合题意；

D．属于最简分式，故本选项符合题意；

故选：D．

2．下列式子中：①，②，③，④，最简分式有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【解析】①，②＝，③＝，④＝﹣1，

则最简分式有：①，共1个．

故选：A．

3．下列各式中最简分式是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】A．是最简分式，符合题意；

B．＝，此选项不符合题意；

C．＝＝，此选项不符合题意；

D．＝5，此选项不符合题意；

故选：A．

4．下面代数式中，不是最简分式的是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】D

【解析】A、分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故本选项不符合题意．

B、分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故本选项不符合题意．

C、分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故本选项不符合题意．

D、分子、分母中含有公因式（x﹣y），不是最简分式，故本选项符合题意．

故选：D．

5．若m为实数，分式不是最简分式，则m＝_______．

【答案】0，﹣4．

【解析】∵分式不是最简分式，

∴m＝0或﹣4时，都可以化简分式．

6．下列各式中，最简分式有_______个．

①②③④⑤⑥

【答案】1．

【解析】② 的分子、分母中含有公因数2，不是最简分式，不符合题意；

④ 的分子、分母中含有公因式（5+2a），不是最简分式，不符合题意；

⑥的分子、分母中含有公因式（2y+5），不是最简分式，不符合题意；

③、⑤不是分式，不符合题意；

①符合最简分式的定义，符合题意．

7．分式化为最简分式的结果是_______．

【答案】．

【解析】＝．

8．阅读理解题：

①0.×10＝5.

0.×1＝0.

两式相减得：0.×（10﹣1）＝5

于是：0.＝

②0.1×10＝1.

0.1×100＝16.

两式相减得：0.1×（100﹣10）＝15

于是：0.1＝＝

根据上述材料回答下列问题：

（1）将0.2化为最简分式：0.2＝　　；

（2）计算：0.﹣0.1+0.+0.5

【答案】见解析

【解析】（1）0.2×10＝2.，

0.2×100＝28.两式相减得：0.2×（100﹣10）＝26

∴0.2＝＝．

故答案为：；

（2）∵0.×100＝29.，

0.×1＝0.，

两式相减得：0.×（100﹣1）＝29，

∴0.＝，

同理：0.＝，

∵0.1×1000＝192.，

0.1×10＝1.，

两式相减得：0.1×（1000﹣10）＝191，

∴0.1＝，

同理：0.5＝，

∴0.﹣0.1+0.+0.5

＝﹣++

＝（+）+（﹣+）

＝+

＝1．

考点9：分式的乘除法

1．下列运算正确的是（　　）

A．a2•a3＝a6 B．（ab）3＝ab3 

C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．（）﹣2＝a2

【答案】D

【解析】A、a2•a3＝a5，故原题计算错误；

B、（ab）3＝a3b3，故原题计算错误；

C、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故原题计算错误；

D、（）﹣2＝a2，故原题计算正确；

故选：D．

2．下列算式中，正确的是（　　）

A．﹣a2÷a•＝﹣a2 B．﹣2a2+3a2＝a 

C．﹣（﹣a3）2＝a6 D．（﹣a3b）2＝a6b2

【答案】D

【解析】A、﹣a2÷a•＝﹣1，故此选项错误；

B、﹣2a2+3a2＝a2，故此选项错误；

C、﹣（﹣a3）2＝﹣a6，故此选项错误；

D、（﹣a3b）2＝a6b2，正确．

故选：D．

3．下列运算正确的是（　　）

A．2a3•a4＝2a12 B．（﹣3a2）3＝﹣9a6 

C．a2÷a×＝a2 D．a•a3+a2•a2＝2a4

【答案】D

【解析】A、2a3•a4＝2a7，故此选项错误；

B、（﹣3a2）3＝﹣27a6，故此选项错误；

C、a2÷a×＝1，故此选项错误；

D、a•a3+a2•a2＝2a4，正确．

故选：D．

4．下列运算结果正确的是（　　）

A．（）2＝ B．（）2＝ 

C．•＝ D．÷＝

【答案】C

【解析】A.，故错误；

B.，故错误；

C.，故正确；

D.，故错误．

故选：C．

5．化简（﹣）÷的结果是_______．

【答案】﹣m+1．

【解析】原式＝（﹣）•＝﹣（m﹣1）＝﹣m+1，

6．计算（﹣）2÷（﹣a4b）＝　﹣　．

【答案】﹣．

【解析】原式＝＝﹣，

7．计算的结果是_______．

【答案】．

【解析】

＝

＝．

8．计算：

（1）2﹣2+（﹣2020）0+（）﹣1；

（2）÷．

【答案】见解析

【解析】（1）原式＝+1+5＝6；

（2）原式＝•＝n（m+n）＝mn+n2．

考点10：通分

1．把，通分，下列计算正确是（　　）

A．＝，＝ 

B．＝，＝ 

C．＝，＝ 

D．＝，＝

【答案】B

【解析】两分式的最简公分母为3a2b2，

A、通分后分母不相同，不符合题意；

B、＝，＝，符合题意；

C、通分后分母不相同，不符合题意；

D、通分后分母不相同，不符合题意，

故选：B．

2．小明骑自行车沿公路以akm/h的速度行走全程的一半，又以bkm/h的速度行走余下的一半路程；小刚骑自行车以akm/h的速度走全程时间的一半，又以bkm/h的速度行走另一半时间（a≠b），则谁走完全程所用的时间较少？（　　）

A．小明 B．小刚 C．时间相同 D．无法确定

【答案】B

【解析】设全程为1，小明所用时间是＝；

设小刚走完全程所用时间是x小时．根据题意，得

ax+bx＝1，

x＝．

则小刚所用时间是．

小明所用时间减去小刚所用时间得

﹣＝＞0，即小明所用时间较多．

故选：B．

3．若将分式与分式通分后，分式的分母变为2（x﹣y）（x+y），则分式的分子应变为（　　）

A．6x2（x﹣y）2 B．2（x﹣y） C．6x2 D．6x2（x+y）

【答案】C

【解析】因为分式与分式的公分母是2（x+y）（x﹣y），

所以分式的分母变为2（x﹣y）（x+y），则分式的分子应变为6x2．

故选：C．

4．对分式，，通分以后，的结果是（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

【答案】B

【解析】分式，，的最简公分母是（a+b）（a﹣b），

所以通分以后，的结果是．

故选：B．

5．，，的最简公分母是_______．

【答案】12（x﹣y）x2y．

【解析】，，的公分母是12（x﹣y）x2y．

6．将分式化成分母为x（x﹣2）的分式：_______．

【答案】．

【解析】根据分式的基本性质，在分子分母上同时乘以（x﹣2），

，

7．分式与通分后的结果是_______．

【答案】，．

【解析】∵x2﹣3x＝x（x﹣3），x2﹣9＝（x﹣3）（x+3），

∴分式＝＝，

分式＝＝．

8．求一组正整数的最小公倍数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求一组正整数最小公倍数的一种方法﹣﹣少广术，术曰：“置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左．命通分者，又以分母遍乘诸分子及已通者，皆通而同之，并之为法．置所求步数，以全步积分乘之为实．实如法而一，得从步．”意思是说，要求一组正整数的最小公倍数，先将所给一组正整数分别变为其倒数，首项前增一项“1”，然后以最末项分母分别乘各项，并约分；再用最末项分数的分母分别乘各项，再约分，…；如此类推，直到各项都为整数止，则首项即为原组正整数之最小公倍数．

例如：求6与9的最小公倍数．

解：第一步：1，；

第二步：9，，1：

第三步：18，3，2

所以，6与9的最小公倍数是18．

请用以上方法解决下列问题：

（1）求54与45的最小公倍数；

（2）求三个数6，51，119的最小公倍数．

【答案】见解析

【解析】（1）第一步：1，，；

第二步：45，，1；

第三步：270，5，6；

所以，54与45的最小公倍数是270．

（2）第一步：1，，，；

第二步：119，，，1；

第三步：357，，7，3；

第四步：714，119，14，6；

所以6，51，119的最小公倍数是714．

考点11：最简公分母

1．与的最简公分母是（　　）

A．a（a+b） B．a（a﹣b） 

C．a（a+b）（a﹣b） D．a2（a+b）（a﹣b）

【答案】C

【解析】＝，＝，

两式的最简公分母为a（a+b）（a﹣b）．

故选：C．

2．分式，的最简公分母是（　　）

A．12x2y B．12x3y C．3x D．12xy

【答案】A

【解析】分式，的最简公分母是12x2y．

故选：A．

3．式子：的最简公分母是（　　）

A．6 x2y2 B．12 x2y2 C．24 x2y2 D．24x2y2xy

【答案】B

【解析】∵的分母分别为2x2y，3x2，4xy2，

∴的最简公分母是12x2y2．

故选：B．

4．下列说法正确的是（　　）

A．形如的式子叫分式 

B．分式不是最简分式 

C．当x≠3时，分式有意义 

D．分式与的最简公分母是a3b2

【答案】C

【解析】A、形如（A、B为整式、B中含字母）的式子叫分式，故原题说法错误；

B、分式是最简分式，故原题说法错误；

C、当x≠3时，分式意义，故原题说法正确；

D、分式与的最简公分母是a2b，故原题说法错误；

故选：C．

5．分式，，﹣的最简公分母是_______．

【答案】12a2b．

【解析】分式，，﹣的最简公分母是12a2b，

6．分式和的最简公分母是_______．

【答案】9a2b2．

【解析】分式和的最简公分母为9a2b2．

7．给出下列3个分式：，它们的最简公分母为_______．

【答案】a2bc．

【解析】3个分式，，，它们的最简公分母是a2bc．

8．写出两个分式，使得它们的最简公分母为6a2b，且其中一个分式的分母不含字母a．

【答案】见解析

【解析】根据题意，两个分式可以为：和．

本题答案不唯一．

考点12：分式的加减法

1．下列计算正确的是（　　）

A．＝ B． 

C． D．

【答案】B

【解析】（A）原式＝＝，故A错误．

（C）原式＝，故C错误．

（D）原式＝＝﹣1，故D错误．

故选：B．

2．化简+的结果是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】+

＝

＝．

故选：D．

3．若化简（　　）的最终结果是整式，则括号里的式子可以是（　　）

A．m﹣1 B．m+1 C．m D．2

【答案】A

【解析】A.＝，故本选项符合题意；

B.，故本选项不合题意；

C.，故本选项不合题意；

D.，故本选项不合题意．

故选：A．

4．下列计算错误的是（　　）

A．+＝ 

B． 

C．＝﹣1 

D．＝

【答案】D

【解析】A、+＝，故原题计算正确；

B、＝，故原题计算正确；

C、＝﹣1，故原题计算正确；

D、＝，故原题计算错误；

故选：D．

5．化简：﹣＝_______．

【答案】﹣．

【解析】﹣＝﹣＝＝＝﹣．

6．计算：＝_______．

【答案】﹣．

【解析】原式＝﹣

＝﹣

＝

＝﹣，

7．计算：﹣＝_______．

【答案】．

【解析】原式＝﹣

＝

＝．

8．阅读下面的解题过程：

已知求的值．

解：由知x≠0

∴即＝3

∴

∴

该题的解法叫做“倒数法”，请利用“倒数法”解下面的题目．

已知：，求的值．

【答案】见解析

【解析】法1：由＝，得到＝6，即x+＝3，

∴＝x2﹣1+＝（x+）2﹣3＝9﹣3＝6，

则原式＝；

法2：由＝，得到＝，即x+＝3，

则原式＝＝＝＝．