【期末复习】人教版 初中数学 2023-2024学年 八年级上册 期末基础专题训练 02 全等三角形及判定（原卷+解析卷）.zip

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1．基本定义和基本性质
（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点．
（4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边．
（5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角．
（6）三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性．
（7）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
2．利用全等图形求对应边、角
两个全等的多边形，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．
全等多边形的对应边、对应角分别相等．
符号“≌”表示全等，读作“全等于”．
3．找全等三角形的对应边、对应角
（1）能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．
（2）两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角．
（3）注意：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角．如△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角．
（4）找对应边、对应角的方法：
①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
③有公共边的，公共边常是对应边．
④有公共角的，公共角常是对应角．
⑤有对顶角的，对顶角常是对应角．
⑥两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）．
4．全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等；
（2）全等三角形的对应角相等；
（3）全等三角形对应边上的高、中线、角平分线分别相等；
（4）全等三角形的周长相等，面积相等．
5．三角形全等的判定方法及思路
（1）全等三角形的证明思路：
（2）全等三角形的判定方法：
“边角边”定理（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
“角边角”定理（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
“边边边”定理（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等．
“角角边”定理（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
“斜边、直角边”定理（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
（3）“SAS”是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．
（4）当证明两个直角三角形全等时，若不适合应用“HL”，也可考虑用“SAS”“ASA”或“AAS”来证明．
6．全等的几种模型
（1）平移型

（2）对称型

（3）旋转型

7．尺规作角
重要依据：全等三角形的判定定理．
8．利用全等测长度或角度
运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线平行、垂直等问题，进而解决生活中的一些实际问题．
9．常见的几种添加辅助线构造全等三角形的方法：
（1）作公共边可构造全等三角形；
（2）倍长中线法；
（3）作以角平分线（等腰三角形中常见）；
（4）截长或补短（含有线段－关系或求证两线间关系时常用）．
考向解读
（1）理解全等三角形的概念．
（2）掌握全等三角形的性质，能运用全等三角形的性质．
（3）掌握全等三角形的性质和判定方法，能运用全等三角形的性质及判定定理证明两条线段相等和两个角相等．
（4）掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法．
考点突破
考点目录
TOC \ "1-3" \h \z \u 考点01 认识全等图形 PAGEREF _Tc152168442 \h 5
考点02 全等三角形的性质及应用 PAGEREF _Tc152168443 \h 7
考点03 全等模型—角平分线型 PAGEREF _Tc152168444 \h 10
考点04 全等模型—倍长中线与截长补短型 PAGEREF _Tc152168445 \h 17
考点05 全等模型—一线三等角（k字）型 PAGEREF _Tc152168446 \h 24
考点06 全等模型—手拉手（旋转）型 PAGEREF _Tc152168447 \h 29
考点07 全等模型—半角型 PAGEREF _Tc152168448 \h 35
考点08 全等三角形的条件探究 PAGEREF _Tc152168449 \h 43
考点09 全等三角形的实际应用 PAGEREF _Tc152168450 \h 46
考点10 全等三角形中的动态问题 PAGEREF _Tc152168451 \h 49
考点01 认识全等图形
【典例1】（2023春•兴平市期末）下列各项中，两个图形属于全等图形的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【解答】解：、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：．
【典例2】（2023春•太康县期末）下列说法中，正确的有
①形状相同的两个图形是全等形；
②面积相等的两个图形是全等形；
③全等三角形的周长相等，面积相等；
④若，则，．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质判断即可．
【解答】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法错误；
全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确；
若，的对应角为，所以，的对应边为，所以，故④说法错误；
说法正确的有③，共1个．
故选：．
【典例3】（2022秋•沙河市期末）与如图全等的图形是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据全等形的定义逐个判定即可得到答案；
【解答】解：由题意可得，
、图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；
、图形与题干图形形状一样，故符合题意；
、图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；
、图形与题干图形形状不一样，故不符合题意．
故选：．
考点02 全等三角形的性质及应用
【典例1】（2022秋•南阳期末）如图，△，若，，，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据全等三角形的性质求出，由三角形内角和定理求出，进而求出的度数．
【解答】解：△，，
，
，
，
，
．
故选：．
【典例2】（2023春•南岸区期末）如图，若，点在边上，则下列结论中不一定成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据全等三角形的性质得出，，，求出，再得出选项即可．
【解答】解：，
，，，，
，，
，，
即选项、选项、选项正确，选项不一定正确，
故选：．
【典例3】（2023春•永春县期末）如图，已知，点在边上，与相交于点．
（1）若，，求线段的长；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）5；（2）．
【分析】（1）由，得到，，而，即可得到；
（2）由，得到，，由三角形外角的性质得到．
【解答】解：（1），
，，
，
；
（2），
，，
，，
．
考点03 全等模型—角平分线型
【典例1】（2023春•新城区校级期末）如图，为等腰直角三角形，延长至，连接，作的角平分线交于，且于．若，的面积为360，则的长度为
A．6B．7C．8D．9
【答案】
【分析】根据角平分线的定义可得，再根据垂直定义可得，从而利用可证，再利用全等三角形的性质可得，从而可得，进而利用三角形的面积公式可求出，然后利用等腰直角三角形的性质可得，，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，最后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，进行计算即可解答．
【解答】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
的面积为360，
，
，
解得：，
为等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【典例2】（2022秋•松原期末）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．
（1） ， 度；
（2）当四边形为轴对称图形时，求的长；
（3）若是等腰三角形，求的度数；
（4）若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度．
【答案】（1）4，45．
（2）；
（3）的度数为或或．
（4）．
【分析】（1）根据题意可得，则，即可求出的长，再根据角平分线的性质即可求出的度数．
（2）根据轴对称图形的性质即可解答．
（3）根据题意可得，分三种情况：当时；当时；当时．再依次根据三角形内角和定理即可求解．
（4）过点作，作点关于的对称点，根据题意可得，，，根据可证明△，则，，因此，以此得出当点、、三点共线时，的值最小，此时，最后根据解含30度角的直角三角形即可得到结果．
【解答】解：（1），，
，
，
点是边的中点，
，
平分，
；
故答案为：4，45．
（2）四边形为轴对称图形，平分，
对称轴为直线，
；
（3）平分，
，
当时，
，
；
当时，
；
当时，
；
综上，的度数为或或．
（4）如图，点在上，且，作点关于的对称点，
，
，
平分，
，
在和△中，
，
△，
，，
，
当点、、三点共线时，的值最小，
又根据垂线段最短，
当时，有最小值，
，
，，
，
，
．
【典例3】（2023秋•东城区期中）如图，等腰中，，平分．点为上的动点，连接，将沿折叠得到．
（1）若，试求出的长度；
（2）若，设与相交于点．
①请求出的度数；
②连接，过点作交的延长线于点．若，．试求线段的长．
【答案】（1）；
（2）①；
②．
【分析】（1）利用等腰三角形性质即可得出答案；
（2）①如图，连接，先证明是等边三角形，得出，再由；
②如图，连接，过点作于，于，于，可证得，进而可得，利用直角三角形性质可得，设，则，，，，再利用证明，得出，建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1），平分，
；
（2）①如图，连接，
，平分，
，，，
，
垂直平分，
，
，
，
是等边三角形，
，
由折叠得：，
，
；
②如图，连接，过点作于，于，于，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
设，则，
，
在中，，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
解得：，
．
考点04 全等模型—倍长中线与截长补短型
【典例1】（2023春•惠城区校级期末）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，．若，，则四边形的面积是 ．
【答案】80．
【分析】过点作于点，过点作于点，由正方形的性质可证得，，可得，，可证得，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，由勾股定理可得，，从而可得，可得与，即可求解．
【解答】解：过点作，交的延长线于点，过点作于点，
为直角三角形，四边形，为正方形，过点作的垂线，，
，，，，，，，，
，，
，，
，，
，，，，
，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
，，
，
四边形为正方形，
，
四边形为长方形，
四边形的面积为：，
故答案为：80．
【典例2】（2022秋•常德期末）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点，使，连接，容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图2，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长．
（3）【拓展提升】如图3，在中，为的中点，分别交，于点，．求证：．
【答案】（1）；（2）7；（3）证明见解答．
【分析】（1）先判断出，得出，最后用三角形的三边关系计算；
（2）延长到，使，连接，证明，根据全等三角形的性质解答；
（3）延长到点，使，连接、、，先证明，得，根据三角形的三边关系得，则，由垂直平分得，所以．
【解答】（1）解：延长至点，使，连接，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）延长到，使，连接，如图2，
是中线，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即；
（3）证明：如图3，延长到点，使，连接、，
是边上的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
垂直平分，
，
．
【典例3】（2022秋•南沙区校级期末）如图，在中，点是的中点，分别以，为腰向外作等腰三角形和等腰三角形，其中，，，，，连接．
（1）请写出与的数量关系，并说明理由．
（2）延长交于点，求的度数．
【答案】（1），理由见解答；
（2）．
【分析】（1）延长至，使，连接，则，证明，得出，进而判断出，，进而判断出，得出，即可得出结论；
（2）结合（1），可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：（1），理由如下：
如图，延长至使，连接，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
．
（2）延长交于点，
，
，
，
，
，
．
考点05 全等模型—一线三等角（k字）型
【典例1】（2023春•城阳区期末）如图，在四边形中，，，．过点作，垂足为点．若，，则四边形的面积是 ．
【答案】40．
【分析】根据垂直定义可得，从而可得，，进而可得，然后利用证明，从而可得，，进而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：，，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
四边形的面积的面积的面积
，
故答案为：40．
【典例2】（2022秋•香坊区期末）如图，等边中，于点，点、分别在边、上，连接，点在上，连接，若，，，，则 ．
【答案】1．
【分析】在上取点，连接，使，证明，得到，，求出，则即可求出结果．
【解答】解：在上取点，连接，使，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
故答案为：1．
【典例3】（2023春•平阴县期末）已知，在中，，，，三点都在直线上，．
（1）如图①，若，则与的数量关系为 ，，与的数量关系为 ．
（2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）如图③，若只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以 的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的与的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；
（2）成立，理由见解析；
（3）存在，使得与全等，，或，．
【分析】（1）由平角的定义和三角形内角和定理得，再由证明，得，，即可解决问题；
（2）同（1）得，得，，即可得出结论；
（3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质求出的值，即可解决问题．
【解答】解：（1），
，
，
，
，，
，
，，
，
，
故答案为：，；
（2）成立，，，理由如下：
同（1）得：，
，，
，
；
（3）存在，理由如下：
当时，，，
，
，
，
；
当时，
，，
，，
综上所述，存在，使得与全等，，或，．
考点06 全等模型—手拉手（旋转）型
【典例1】（2023春•莱芜区期末）在中，为锐角，点为射线上一点，且与点、不重合，连接，以为边，向外作等边三角形，连接．
（1）若，；
①如图1，当点在线段上时，试探讨与的数量关系和此时与关系，并说明理由；
②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；
（2）如图3，若，，点在线段上，且时，求的度数．
【答案】（1）①，；理由见解析过程；②，仍然成立，理由见解析过程；
（2）．
【分析】（1）①由和是等边三角形，得出，再证，然后再结合平行线的判定，可得出结论；
②与①的证法类似，可先由，证，再证，然后再结合平行线的判定，可得出结论；
（2）过点作，交于点，证，再证 是等边三角形，从而得出结论．
【解答】解：（1）①，；
理由如下：
，，
是等边三角形，
，
又是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
②，仍然成立，理由如下：
和是等边三角形，
，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
（2）过点作，交于点，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
【典例2】（2022秋•卧龙区期末）（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点、、在同一条直线上，连接．
①的度数为 ；
②线段、之间的数量关系为 ；
（2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点、，在同一条直线上，请直接写出的度数．
【答案】（1）①；；
（2），理由见解析过程；
（3）．
【分析】（1）①由“”可证，根据全等三角形的性质求出的度数；
②根据全等三角形的性质解答即可；
（2）根据得到，根据直角三角形的性质得到，得到线段、、之间的数量关系；
（3）根据解答即可．
【解答】解：（1）①和都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
②，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
是等腰直角三角形，
，
，
由（1）得，
，，
，
，
都是等腰直角三角形，为中边上的高，
，
；
（3）是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，，
，
．
【典例3】（2022秋•大名县期末）如图，和都是等边三角形．
探究发现
（1）与是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由；
拓展运用
（2）若、、三点不在一条直线上，，，，求的长；
（3）若绕点旋转，和的边长分别为1和2，当的面积最大时，的长为 ．
【答案】（1）全等；
（2）；
（3）．
【分析】（1）依据等式的性质可证明，然后依据可证明；
（2）由（1）知：，利用勾股定理计算的长，可得的长；
（3）当时，的面积最大，过作于，先根据平角的定义得，利用特殊角的三角函数可得的长，最后根据勾股定理可得的长．
【解答】解：（1）全等，理由是：
和都是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
；
（2）如图，由（1）得：，
，
是等边三角形，
，，
，
，
在中，，，
，
；
（3）时，面积最大，
由（1）得，
，
故答案为：．
考点07 全等模型—半角型
【典例1】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，中，，，点、在边上，且．
（1）如图，当时，将绕点顺时针旋转到的位置，连结．
① ；②求证：；
（2）如图，当时，猜想、、的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①；②证明见解答；（3）；理由见解答．
【分析】（1）①先求出，再求出，即可求出答案；
②用判断出，即可得出结论；
（2）将绕点顺时针旋转到的位置，连结，得出，，进而判断出，得出，，再判断出，用勾股定理，即可得出结论．
【解答】（1）①解：由旋转知，，，，
，，
，
，
，
故答案为：；
②证明：由①知，，，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图，
将绕点顺时针旋转到的位置，连结，
，，
，
，
，，
在中，，
，
，根据勾股定理得，，
，
同（1）②的方法得，，
．
【典例2】（2023春•连城县期末）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，线段、、之间的关系是 ；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）；
（2）（1）中的结论仍然成立；
（3）．
【分析】（1）延长至，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，再证明，根据全等三角形的性质得出，结合图形计算，证明结论；
（2）延长至，使，连接，仿照（1）的证明方法解答；
（3）在上截取，连接，仿照（1）的证明方法解答．
【解答】解：（1），
理由如下：如图1，延长至，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）（1）中的结论仍然成立，
理由如下：如图2，延长至，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）（1）中的结论不成立，，
理由如下：如图3，在上截取，连接，
同（2）中证法可得，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【典例3】（2022秋•新化县期末）【问题背景】
在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 ．
【探索延伸】
在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
【分析】探索延伸：延长到，使，连接，证明和，得到答案；
结论运用：连接，延长、交于点，得到，根据距离、速度和时间的关系计算即可．
【解答】解：初步探索：，
故答案为：，
探索延伸：结论仍然成立，
证明：如图2，延长到，使，连接，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
结论运用：解：如图3，连接，延长、交于点，
，
，
，
，
，
符合探索延伸中的条件
结论成立，
即海里，
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
考点08 全等三角形的条件探究
【典例1】（2023春•长春期末）如图，已知，，欲证，不可补充的条件是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据全等三角形的判定解决此题．
【解答】解：．由，，，根据可得，那么不符合题意．
．由，，，根据全等三角形的判定无法推断出，那么符合题意．
．由，，，根据可推断出，那么不符合题意．
．由，得，即．由，，，根据可推断出，那么不符合题意．
故选：．
【典例2】（2023春•汝州市期末）如图，已知点、、、在直线上，点、在异侧，且，．
（1）请你添加一个适当的条件： ，使得．结合所添加的条件证明；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）（答案不唯一），证明见解析；
（2）8．
【分析】（1）添加，根据证明即可；
（2）根据全等三角形的性质可得，进一步求解即可．
【解答】解：（1）添加，证明如下：
，
，
在和中，
，
，
故答案为：（答案不唯一）；
（2），
，
，
即，
，，
，
．
【典例3】（2023春•宁阳县期末）如图，线段与交于点，点为上一点，连接、、，已知，．
（1）请添加一个条件 ，使，并说明理由．
（2）在（1）的条件下请探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）添加，理由见解析；
（2）．理由见解析．
【分析】（1）由可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出，，证出，得出，则可得出结论．
【解答】解：（1）添加，，
理由：在和中，
，
；
（2）．
理由：，
，，
，
，
，
．
考点09 全等三角形的实际应用
【典例1】（2023春•萧县期末）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 ；
（2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，交点是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度是多少？请说明理由．
【答案】（1）三角形具有稳定性．
（2），理由见解答．
【分析】（1）根据三角形的稳定性进行解答即可；
（2）证明，得，结合已知条件则可知的长度
【解答】解：（1）由题意得，这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性；
故答案为：三角形具有稳定性．
（2）．
理由如下：是和的中点，
，，
在和中，
，
，
又，
．
【典例2】（2022秋•嘉峪关期末）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，点在上，已知，．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证得结论；
（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到：，，则．
【解答】（1）证明：，，
（同角的余角相等）．
在与中，
，
；
（2）由题意知，，．
由（1）知，，
，，
．
【典例3】（2023春•长安区期末）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【分析】（1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可；
（2）利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】（1）证明：由题意得：，，，，
，
，，
在和中，
；
（2）解：由题意得：，，
，
，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
考点10 全等三角形中的动态问题
【典例1】（2022秋•广水市期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．、两点的坐标分别为、，且，点从出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒．
（1）求、的长；
（2）连接，若的面积不大于3且不等于0，求的范围；
（3）过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据已知得出关于的方程组，求出即可；
（2）分为两种情况：①当在线段上时，求出三角形的面积，得出不等式组，求出其解集即可；②当在线段的延长线上时，求出三角形的面积，得出不等式组，求出其解集即可；
（3）当时，分为两种情况，画出符合条件的两种图形，结合图形和全等三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1），
，，
解得：，，
，；
（2）分为两种情况：①当在线段上时，
，，
的面积，
若的面积不大于3且不等于0，
，
解得：；
②当在线段的延长线上时，如图，
，，的面积，
若的面积不大于3且不等于0，
，
解得：；
即的范围是且；
（3）当时，分为两种情况（如图）：第一个图中，
第二个图中，即；
即存在这样的点，使，的值是3或9．
【典例2】（2023春•东源县期末）如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．
（1）求证：．
（2）写出线段的长（用含的式子表示）．
（3）连接，当线段经过点时，求的值．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）线段的长为或；
（3）或8．
【分析】（1）证明，可得，然后根据内错角相等两直线平行即可得出结论；
（2）分两种情况讨论：当时，，当时，，可得，进而可以解决问题；
（3）先证，得，再分两种情况列方程求解即可．
【解答】（1）证明：在和中，
，
，
，
；
（2）解：当时，，
当时，，
，
线段的长为或；
（3）解：根据题意得，
则，
由（1）得：，，
在和中，
，
，
，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述，当线段经过点时，的值为或8．
【典例3】（2023秋•师宗县校级期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿直线上运动；已知，设动点，的运动时间为．
（1）试求的度数；
（2）若，试求动点，的运动时间的值；
（3）试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由．
【分析】（1）易求，根据可得，即可解题；
（2）作，，则，根据的值可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题；
（3）易得时，，分别用表示，即可求得的值，即可解题．
【解答】解：（1），平分，
，
，
，
；
（2）作，，则，
，
，
当点在点左侧时，
，，
，
解得：；
当点在点右侧时，，
，解得．
（3），，
当时，，
即，或，
解得：或6（舍去），
答：，．
考技提升
一、选择题
1．（2023春•青原区期末）如图，七1班同学要测量河两岸相对的两点、的距离，用合适的方法使，，因此测得的长就是的长，在这里判定，最恰当的理由是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】解：因为证明在用到的条件是：，，，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即这一方法．
故选：．
二、填空题
2．（2022秋•西青区期末）如图，，，要使，则应补充条件： 或或 （填写一个即可）．
【答案】或或．
【分析】由推知，已知一对边和一对角对应相等，所以根据或或都可以推知两个三角形全等．
【解答】解：，
，即，
又，
添加时，由可以判定；
当添加时，由可以判定；
当添加时，由可以判定；
故答案为：或或．
三、解答题
3．（2023春•玉环市期末）如图，在中，点，分别在，上，且．求证：．
【答案】证明过程见解答部分．
【分析】根据平行四边形的判定和性质定理以及全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，．
在和中，
，
；
，
，
，
即．
4．（2023春•博山区期末）如图，于点，于点，点是中点，若，，，求的长．
【答案】的长为12．
【分析】延长交于点，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而根据证明，再利用全等三角形的性质可得，，从而可得，最后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【解答】解：延长交于点，
，，
，
，
，
点是中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
的长为12．
5．（2023春•龙泉驿区期末）《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力．
【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明．
命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，中，，是斜边上的中线．求证：．
分析：如图2，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：．
请你按材料中的分析写出完整的证明过程；
【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：；
【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数．
【答案】（1）见解答部分；
（2）见解答部分；
（3）．
【分析】（1）利用倍长中线，证明三角形三角形，得，进而证明三角形三角形得即可得证；
（2）连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再证明三角形与三角形是等腰三角形可得，利用三角形外角的性质可得结论；
（3）作，利用含角的直角三角形的性质可得，证明三角形是等边三角形，求出，进而可得，根据等腰三角形的性质可得的结论．
【解答】解：（1）如图所示：
延长到，使得，连接．
在和中，
，
，
，，
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
，
，
在和中，
，
，
．
，
（2）证明：连接．
，且为的中点，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图所示，过作于，连接．
，且，
．
．
．
，
，
为等边三角形．
，，
．
，
．
．
为等腰直角三角形．
，
．
1．形状相同的两个图形不一定是全等形，大小相等的两个图形也不一定是全等形，只有形状和大小都相同的图形才是全等形．
2．方法技巧：
（1）判断两个图形是不是全等形的方法：可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合在一起观察是否完全重台，有时还可以借助于网格背景来观察比较．
（2）全等形的形状相同，大小相等．
两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关．
（3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合．
1．全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
数学语言表示：若△ABC≌△A'B'C'，
则AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；
∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．
（1）全等三角形性质的应用：可用来证明两条线段相等，两个角相等．
（2）平移、折叠、旋转属于全等变换，都能产生全等图形，利用全等的性质得到对应边相等、对应角相等解决问题．
2．在应用全等三角形的性质时，要找准对应关系．
寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法：
（1）图形特征法：
最长边对最长边，最短边对最短边；
最大角对最大角，最小角对最小角．
（2）位置关系法：
①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边．
②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角．
（3）字母顺序法：
根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角．
解题关键是掌握各类模型及相应的辅助线作法．
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般是题中已有中线时用）．
在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°或三角形内角和为180°证明两个三角形全等．
（1）同侧型一线三等角：
锐角型 直角型 钝角型
证明思路：∠D=∠E，∠B=∠CAE，及任一组对应边相等
（2）异侧型一线三等角：
钝角型 直角型 锐角型
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手型全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明．
1．半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角的一半．
2．思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化．
3．解题思路：一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系．半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论．
此类题目的特点是已知条件不足无法证明两个三角形全等或解决相关的问题时，需要从所给的条件中选择适当的条件添加到已知条件中，从而完成证明过程．
此类题目就是应用三角形全等的知识去解决一些生活中遇到的实际问题，例如测量河宽、开凿隧道等问题．一些无法直接测量的长度，我们可以在可测量的范围内选取恰当的点，构造出一对全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．
解决此类题目的关键是抓住运动过程中变量之间的关系，两点若同时同速则可得到相等线段，再结合题目中的已知条件可以判定全等，平移或旋转前后的图形全等．这里需要注意的是判定两个三角形全等时，要看两个三角形是否用符号“≌”连接，如果是用“与”连接，要进行分类讨论．