专题02 复数-大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（新高考卷与全国理科）

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）
专题02复数
真题汇总命题趋势

1．【2022年全国甲卷理科01】若z=−1+3i，则zzz−1=（       ）
A．−1+3i B．−1−3i C．−13+33i D．−13−33i
【答案】C
【解析】
z=−1−3i,zz=(−1+3i)(−1−3i)=1+3=4.
zzz−1=−1+3i3=−13+33i
故选 ：C
2．【2022年全国乙卷理科02】已知z=1−2i，且z+az+b=0，其中a，b为实数，则（       ）
A．a=1,b=−2 B．a=−1,b=2 C．a=1,b=2 D．a=−1,b=−2
【答案】A
【解析】
z=1+2i
z+az+b=1−2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a−2)i
由z+az+b=0,得1+a+b=02a−2=0,即a=1b=−2
故选:A
3．【2022年新高考1卷02】若i(1−z)=1，则z+z=（       ）
A．−2 B．−1 C．1 D．2
【答案】D
【解析】
由题设有1−z=1i=ii2=−i，故z=1+i，故z+z=(1+i)+(1−i)=2，
故选：D
4．【2022年新高考2卷02】(2+2i)(1−2i)=（       ）
A．−2+4i B．−2−4i C．6+2i D．6−2i
【答案】D
【解析】
(2+2i)(1−2i)=2+4−4i+2i=6−2i，
故选：D.
5．【2021年全国甲卷理科3】已知(1−i)2z=3+2i，则z=（ ）
A．−1−32i B．−1+32i C．−32+i D．−32−i
【答案】B
(1−i)2z=−2iz=3+2i，
z=3+2i−2i=(3+2i)⋅i−2i⋅i=−2+3i2=−1+32i.
故选：B.
6．【2021年新高考1卷2】已知z=2−i，则z(z+i)=（ ）
A．6−2i B．4−2i C．6+2i D．4+2i
【答案】C
因为z=2−i，故z=2+i，故z(z+i)=(2−i)(2+2i)=4+4i−2i−2i2=6+2i
故选：C.
7．【2021年全国乙卷理科1】设2(z+z)+3(z−z)=4+6i，则z=（ ）
A．1−2i B．1+2i C．1+i D．1−i
【答案】C
设z=a+bi，则z=a−bi，则2(z+z)+3(z−z)=4a+6bi=4+6i，
所以，{4a=46b=6，解得a=b=1，因此，z=1+i.
故选：C.
8．【2021年新高考2卷1】复数2−i1−3i在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
2−i1−3i=(2−i)(1+3i)10=5+5i10=1+i2，所以该复数对应的点为(12,12)，
该点在第一象限，
故选：A.
9．【2020年全国1卷理科01】若z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．2
【答案】D
【解析】
由题意可得：z2=1+i2=2i，则z2−2z=2i−21+i=−2.
故z2−2z=−2=2.
故选：D.
10．【2020年全国3卷理科02】复数11−3i的虚部是（ ）
A．−310 B．−110 C．110 D．310
【答案】D
【解析】
因为z=11−3i=1+3i(1−3i)(1+3i)=110+310i，
所以复数z=11−3i的虚部为310.
故选：D.
11．【2020年山东卷02】2−i1+2i=（ ）
A．1 B．−1
C．i D．−i
【答案】D
【解析】
2−i1+2i=(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i5=−i
故选：D
12．【2020年海南卷02】2−i1+2i=（ ）
A．1 B．−1
C．i D．−i
【答案】D
【解析】
2−i1+2i=(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i5=−i
故选：D
13．【2019年新课标3理科02】若z（1+i）＝2i，则z＝（　　）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
【答案】解：由z（1+i）＝2i，得
z=2i1+i=2i(1−i)2
＝1+i．
故选：D．
14．【2019年全国新课标2理科02】设z＝﹣3+2i，则在复平面内z对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】解：∵z＝﹣3+2i，
∴z=−3−2i，
∴在复平面内z对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限．
故选：C．
15．【2019年新课标1理科02】设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（　　）
A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1
C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝1
【答案】解：∵z在复平面内对应的点为（x，y），
∴z＝x+yi，
∴z﹣i＝x+（y﹣1）i，
∴|z﹣i|=x2+(y−1)2=1，
∴x2+（y﹣1）2＝1，
故选：C．
16．【2018年新课标1理科01】设z=1−i1+i+2i，则|z|＝（　　　　）
A．0 B．12 C．1 D．2
【答案】解：z=1−i1+i+2i=(1−i)(1−i)(1−i)(1+i)+2i＝﹣i+2i＝i，
则|z|＝1．
故选：C．
17．【2018年新课标2理科01】1+2i1−2i=（　　　　）
A．−45−35i B．−45+35i C．−35−45i D．−35+45i
【答案】解：1+2i1−2i=(1+2i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−35+45i．
故选：D．
18．【2018年新课标3理科02】（1+i）（2﹣i）＝（　　　　）
A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
【答案】解：（1+i）（2﹣i）＝3+i．
故选：D．
19．【2017年新课标1理科03】设有下面四个命题
p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=z2；
p4：若复数z∈R，则z∈R．
其中的真命题为（　　　　）
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
【答案】解：若复数z满足1z∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；
p2：复数z＝i满足z2＝﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；
p3：若复数z1＝i，z2＝2i满足z1z2∈R，但z1≠z2，故命题p3为假命题；
p4：若复数z∈R，则z=z∈R，故命题p4为真命题．
故选：B．
20．【2017年新课标2理科01】3+i1+i=（　　　　）
A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i
【答案】解：3+i1+i=(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−2i2=2﹣i，
故选：D．
21．【2017年新课标3理科02】设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝（　　　　）
A．12 B．22 C．2 D．2
【答案】解：∵（1+i）z＝2i，∴（1﹣i）（1+i）z＝2i（1﹣i），z＝i+1．
则|z|=2．
故选：C．
22．【2016年新课标1理科02】设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．2
【答案】解：∵（1+i）x＝1+yi，
∴x+xi＝1+yi，
即x=1y=x，解得x=1y=1，即|x+yi|＝|1+i|=2，
故选：B．
23．【2016年新课标2理科01】已知z＝（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（　　　　）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）
【答案】解：z＝（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，
可得：m+3＞0m−1＜0，解得﹣3＜m＜1．
故选：A．
24．【2016年新课标3理科02】若z＝1+2i，则4iz⋅z−1=（　　　　）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
【答案】解：z＝1+2i，则4izz−1=4i(1+2i)(1−2i)−1=4i5−1=i．
故选：C．
25．【2015年新课标1理科01】设复数z满足1+z1−z=i，则|z|＝（　　　　）
A．1 B．2 C．3 D．2
【答案】解：∵复数z满足1+z1−z=i，
∴1+z＝i﹣zi，
∴z（1+i）＝i﹣1，
∴z=i−1i+1=i，
∴|z|＝1，
故选：A．
26．【2015年新课标2理科02】若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）＝﹣4i，则a＝（　　　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】解：因为（2+ai）（a﹣2i）＝﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i＝﹣4i，
4a＝0，并且a2﹣4＝﹣4，
所以a＝0；
故选：B．
27．【2014年新课标1理科02】(1+i)3(1−i)2=（　　　　）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【答案】解：(1+i)3(1−i)2=2i(1+i)−2i=−（1+i）＝﹣1﹣i，
故选：D．
28．【2014年新课标2理科02】设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2+i，则z1z2＝（　　　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i
【答案】解：z1＝2+i对应的点的坐标为（2，1），
∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，
∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），
则对应的复数，z2＝﹣2+i，
则z1z2＝（2+i）（﹣2+i）＝i2﹣4＝﹣1﹣4＝﹣5，
故选：A．
29．【2013年新课标1理科02】若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（　　　　）
A．﹣4 B．−45 C．4 D．45
【答案】解：∵复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，∴z=|4+3i|3−4i=53−4i=5(3+4i)25=35+45i，
故z的虚部等于45，
故选：D．
30．【2013年新课标2理科02】设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z＝（　　　　）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
【答案】解：∵复数z满足z（1﹣i）＝2i，
∴z=2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i
故选：A．
31．【2020年全国2卷理科15】设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=3+i，则|z1−z2|=__________.
【答案】23
【解析】
∵z1=z2=2，可设z1=2cosθ+2sinθ⋅i，z2=2cosα+2sinα⋅i，
∴z1+z2=2cosθ+cosα+2sinθ+sinα⋅i=3+i，
∴2cosθ+cosα=32sinθ+sinα=1，两式平方作和得：42+2cosθcosα+2sinθsinα=4，
化简得：cosθcosα+sinθsinα=−12
∴z1−z2=2cosθ−cosα+2sinθ−sinα⋅i=4cosθ−cosα2+4sinθ−sinα2=8−8cosθcosα+sinθsinα=8+4=23.
故答案为：23.
模拟好题

1．已知复数z满足(1−i)(1+z)=2−i，则复数z在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
∵(1−i)(1+z)=2−i，∴z=2−i1−i−1=11−i，
∴ z=11+i1−i1+i=12+12i，∴复数z在复平面内对应的点为12，12，
故复数z在复平面内对应的点在第一象限，
故选：A.
2．已知z+iz−i=2i（i为虚数单位），则z=（       ）
A．45+35i B．35−45i C．35+45i D．45−35i
【答案】D
【解析】
由题设z+i=2zi−2i2=2zi+2，则(2i−1)z=i−2，
所以z=i−22i−1=(i−2)(2i+1)(2i−1)(2i+1)=4+3i5，故z=4−3i5.
故选：D
3．已知复数a2−4+(a−2)i是纯虚数（i为虚数单位），则a=（       ）
A．2或−2 B．2 C．−2 D．0
【答案】C
【解析】
因为复数a2−4+(a−2)i是纯虚数，
所以a2−4=0且a≠2，
所以a=−2．
故选：C.
4．已知复数z=1+i，则z2+z=（       ）
A．10 B．4 C．32 D．10
【答案】A
【解析】
复数z=1+i，则z2=(1+i)2=2i，
故z2+z=|1+3i|=12+32=10，
故选：A
5．在复平面内，复数z=1−2ii对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】
z=1−2ii=1−2i⋅−ii⋅−i=−2−i，
所以复数z在复平面上的对应点为−2,−1，该点在第三象限.
故选：C.
6．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为−1,2，则1+3iz−i=（       ）
A．−2−2i B．1−i C．2+2i D．1−2i
【答案】D
【解析】
由题意得z=−1+2i，
所以1+3iz−i=1+3i−1−i−1+i−1−i=2−4i2=1−2i.
故选：D.
7．设z1,z2为复数，z1,z2分别是z1,z2的共轭复数，满足z1⋅z2=z12，则下列一定成立的是（       ）
A．z1=z2 B．z1=z2 C．z2=0 D．z2=z2
【答案】B
【解析】
设z1=a+bia,b∈R，
则z2=|a+bi|2a+bi=a2+b2a+bi=a2+b2(a−bi)a2+b2=a−bi，所以C错
z2=a+bi，
当b≠0时，z1≠z2，z2≠z2，A错，D错，
z1=a−bi=z2，B对，
故选：B.
8．已知i为虚数单位，a为实数，复数z=a−2i1−i在复平面内对应的点在y轴上，则a的值是（       ）
A．-2 B．−12 C．12 D．2
【答案】A
【解析】
由z=a−2i1−i=a−2i1+i1−i1+i=a+2+a−2i2=a+22+a−2i2，
因为复数z在复平面内对应的点在y轴上，所以a+22=0,a−22≠0,
则a=−2
故选：A
9．已知复数z=1+3i，则1z=（       ）
A．110+310i B．110−310i
C．−110+310i D．−110−310i
【答案】A
【解析】
因为z=1+3i，所以z=1−3i，
所似1z=11−3i=1+3i(1−3i)(1+3i)=1+3i10=110+310i．
故选A．
10．在复平面上表示复数z的点在直线x−y=0上，若z是实系数一元二次方程x2+mx+4=0的根，则m=（       ）
A．2或−2 B．2或22
C．22或−22 D．−2或−22
【答案】C
【解析】
设z=a+aia∈R，则a+ai2+ma+ai+4=0，
化简2a2i+ma+mai+4=0，即ma+4+ma+2a2i=0，
所以ma+4=0ma+2a2=0，解得m=22或−22，
故选：C.
11．已知复数z1,z2，则下列说法正确的是（       ）
A．若z1=z2，则z1=±z2 B．若z12=z22，则z1=z2
C．若z1>z2，则z1>z2 D．若z1+z2z1−z2=0，则z12=z22
【答案】BD
【解析】
对于A，若z1=1+i,z2=2i，则满足z1=z2=2，而不满足z1=±z2，所以A错误，
对于B，由z12=z22，得z12−z22=(z1+z2)(z1−z2)=0，
所以z1+z2=0或z1−z2=0，所以z1=−z2或z1=z2，所以z1=z2，所以B正确，
对于C，因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误，
对于D，由z1+z2z1−z2=0，得z12−z22=0，所以z12=z22，所以D正确，
故选：BD
12．在复数范围内，下列命题不正确的是（       ）
A．若z是非零复数，则z−z不一定是纯虚数
B．若复数z满足z2=−z2，则z是纯虚数
C．若z12+z22=0，则z1=0且z2=0
D．若z1，z2为两个复数，则z1−z2一定是实数
【答案】BCD
【解析】
对于A，设z=a+bi(a，b∈R)，z=a−bi，z−z=2bi，但有可能b=0，就不一定是纯虚数，故A正确；
对于B，设z=a+bi(a，b∈R)，z2=a2−b2+2abi，z2=a2−b22+4a2b2=a2+b2，
由条件可知z2=−z2，即a2−b2+2abi=−a2+b2，所以a2=−a22ab=0 ，
因为a，b可同时为0，所以z不一定是纯虚数，故B错误；
对于C，若z1=1，z2=i，z12+z22=0，故C错误；
对于D，设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R)，则z2=c−di，
所以z1−z2=(a−c)+(b+d)i不一定是实数，故D不正确．
故选:BCD．
13．已知z1，z2均为复数，则下列结论中正确的有（       ）
A．若z1=z2，则z1=±z2 B．若z1=z2，则z1+z2是实数
C．z1−z22=z1−z22 D．若z1+z2=0，则z1z2是实数
【答案】BD
【解析】
z1=1，z2=−i，z1=z2而z1≠±z2，A错．
令z1=a+bi，则z2=a−bi，z1+z2=2a为实数，B对．
z1=1，z2=i，z1−z22=−2i，z1−z22=2，则z1−z22≠z1−z22，C错．
令z1=a+bi，则z2=−a−bi，z2=−a+bi，
z1⋅z2=a+bi−a+bi=−a2−b2为实数，D对，
故选：BD
14．欧拉公式eix=cosx+isinx（本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（       ）
A．复数eiπ2为纯虚数
B．复数ei2对应的点位于第二象限
C．复数eiπ3的共轭复数为32−12i
D．复数eiθ(θ∈R)在复平面内对应的点的轨迹是圆
【答案】ABD
【解析】
解：对A：因为复数eiπ2=cosπ2+isinπ2=i为纯虚数，故选项A正确；
对B：复数ei2=cos2+isin2，因为cos2<0,sin2>0，所以复数ei2对应的点为cos2,sin2位于第二象限，B正确；
对C：复数eiπ3=cosπ3+isinπ3=12+32i的共轭复数为12−32i，故选项C错误；
对D：复数eiθ=cosθ+isinθ(θ∈R)在复平面内对应的点为cosθ,sinθ，
因为cos2θ+sin2θ=1，所以复数eiθ(θ∈R)在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D正确.
故选：ABD.
15．已知复数z满足方程z2−4z2−4z+5=0，则（       ）
A．z可能为纯虚数 B．方程各根之和为4 C．z可能为2−i D．方程各根之积为−20
【答案】BCD
【解析】
由z2−4z2−4z+5=0，得z2−4=0或z2−4z+5=0，
即z2=4或z−22=−1，
解得：z=±2或z=2±i，显然A错误，C正确；
各根之和为−2+2+2+i+2−i=4，B正确；
各根之积为−2×2×2+i2−i=−20，D正确
故选：BCD.
16．复数z满足z=2−i（其中i为虚数单位），则z=__________．
【答案】5
【解析】
由已知可得z=22+−12=5.
故答案为：5.
17．已知i为虚数单位，则复数z=|1+2i|2+i___________.
【答案】255−55i.
【解析】
z=|1+2i|2+i=12+22⋅12+i=5⋅2−i2+i2−i=5⋅2−i5=255−55i，
故答案为：255−55i.
18．已知复数z=i1−3i，则z⋅z＝________．
【答案】14##0.25
【解析】
z=i1+3i1−3i1+3i=−3+i4，故z⋅z=−3+i4⋅−3−i4=3+116=14
故答案为：14
19．若1−3i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则cb=_________．
【答案】116##0.0625
【解析】
∵实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个虚根为1−3i，
∴其共轭复数1+3i也是方程的根.
由根与系数的关系知，1−3i+1+3i=−b1−3i1+3i=c，
∴ b=−2，c=4.
∴cb=4−2=116
故答案为：116
20．如果复数z满足z+1−i=2，那么z−2+i的最大值是______ ．
【答案】2+13＃＃13＋2
【解析】
设复数z在复平面中对应的点为Z
∵z+1−i=2，则点Z到点C−1,1的距离为2，即点Z的轨迹为以C为圆心，半径为2的圆
z−2+i表示点Z到点A2,−1的距离，结合图形可得ZA≤AC+2=2+13
故答案为：2+13．

21．i是虚数单位，则1+i3+4i的虚部为__________．
【答案】−125
【解析】
1+i3+4i=1+i3−4i3+4i3−4i=3−i−4i232−16i2=725−125i，则虚部为−125.
故答案为：−125.
22．已知i是虚数单位，复数z满足1+z2i=−11+i，则z=________．
【答案】−2−i
【解析】
因为1+z2i=−11+i，所以z=−2i1+i−1=−2i(1−i)(1+i)(1−i)−1=−(i−i2)−1=−2−i．
故答案为：−2−i．
23．已知i为虚数单位，则复数z=−1+2i1+i的实部为______．
【答案】12##0.5
【解析】
z=−1+2i1+i=(2i−1)(1−i)(1+i)(1−i)=3i+12，
所以实部为12.
故答案为：12
24．设复数z=a+bi(a,b>0，a,b∈R)，若复数z(1+i)对应的点在直线x+3y−2=0上， 则2a+1b的最小值为___________
【答案】9
【解析】
z(1+i)=(a+bi)(1+i)=(a−b)+(a+b)i
故复数对应的点的坐标为(a−b,a+b) ，又因为点在直线x+3y−2=0
∴(a−b)+3(a+b)−2=0 ，整理得：2a+b=1
2a+1b=(2a+1b)(2a+b)=5+2ba+2ab≥5+22ba·2ab=9
当且仅当2ba=2ab 时，即a=b 时等号成立，即2a+1b的最小值为9
故答案为：9
25．若复数z=2i1+i，则z在复平面内对应的点在第______象限．
【答案】一
【解析】
因为z=2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i(1−i)2=1+i，
所以z在复平面内对应的点(1,1)在第一象限.
故答案为：一.