专题 19.5 函数的图象（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题 19.5 函数的图象（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.

2. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．

【要点梳理】

 要点一、函数图象的定义

一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

 要点二、用描点法画函数的图象的一般步骤

1、列表；2、描点：3、连线。

 要点三、函数有三种表示形式：

（1）列表法；（2）图像法；（3）解析式法.

【典型例题】

类型一、函数图象的识别 

1．“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下页哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响．）

【答案】图（2）

【分析】根据题意，可知y随x的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．

 解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，

∴y随x的增大而匀速的减小，符合一次函数图象，

∴图象（2）适合表示y与x的对应关系．

【点拨】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

举一反三：

【变式】北京春季某天气温T和时间t之间的关系如图所示．

（1）根据函数的定义，请判断变量T是不是关于t的函数？

（2）观察图象，你还能得到哪些信息？（写出一条即可）

【答案】（1）T是t的函数；（2）在0时至4时以及14时至24时，气温逐渐降低

【分析】

（1）按照函数的定义即可求解，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，y是因变量；

（2）根据函数图象中的数据即可得结论．

解：（1）T是t的函数；两个变量、每一个时间t的确定值，T都有唯一的值与其对应，

故变量T是关于t的函数；

（2）在0时至4时以及14时至24时，气温逐渐降低；在4时至14时，气温逐渐上升．

【点拨】本题考查了函数的定义及函数图象，理解函数的定义是解答本题的关键.

类型二、从函数图象获取信息 

2．A，B两地相距60km，甲乙两人沿同一条路从A地前往B地，甲先出发．图中，表示甲、乙两人离A地的距离y（km）与乙所用时间x（h）之间的关系，请结合图象回答下列问题：

(1)图中表示乙离A地的距离y（km）与乙所用时间x（h）之间关系的是______（填或）；

(2)当其中一人到达B地时，另一人距B地______km；

(3)乙出发多长时间时，甲乙两人刚好相距8km？

【答案】(1) ；(2 )10；(3)当乙出发或或时，甲乙两人刚好相距8km

【分析】

（1）根据甲比乙先出发结合函数图象即可得到答案；

（2）先求出甲、乙两人的速度，然后求出乙到达目的地的时间，由此求解即可；

（3）分当两人相遇前，相距8km时，当两人相遇后，乙未到B地前，相距8km时， 当两人相遇后，乙到B地后，相距8km时，三种情况讨论求解即可．

解：(1) ∵甲比乙先出发，当时，，，

∴图中表示乙离A地的距离y（km）与乙所用时间x（h）之间关系的是，

故答案为：；

(2)  ∵2小时内，甲行走的路程为40-20=20km，乙行走的路程为40km，

∴甲的速度为20÷2=10km/h，乙的速度为40÷2=20km/h，

∴乙到底B地的时间为60÷20=3h，

∴甲距离B地的距离为60-（20+10×3）=10km，

故答案为：10；

(3)  设乙出发的时间为t，

① 当两人相遇前，相距8km时，，

解得，

② 当两人相遇后，乙未到B地前，相距8km时，，

解得，

③ 当两人相遇后，乙到B地后，相距8km时，，

解得，

综上所述，当乙出发或或时，甲乙两人刚好相距8km．

【点拨】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，正确读懂函数图象是解题的关键．

举一反三：

【变式】 星期五小颖放学步行从学校回家，当她走了一段路后，想起要去买彩笔做画报，于是原路返回到刚经过的文具用品店．买到彩笔后继续往家走如图是她离家的距离与所用时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：

(1)小颖家与学校的距离是　   　米；

(2)小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是多少米？

(3)买到彩笔后，小颖从文具用品店回到家步行的速度是多少米/分？

【答案】(1)2600；(2)3400米；(3)90米/分；

【分析】第一段是从学校回家，第二段是返回文具店，第三段是在文具店内，第四段是从文具店到家，参照数据即可得出答案．

解：（1） 小颖家与学校的距离是2600米；

故答案为：2600；

(2)    2600+2×（1800﹣1400）＝3400（米），

答：小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是3400米；

（3）1800÷（50﹣30）＝90（米/分），

答：买到彩笔后，小颖从文具用品店回到家步行的速度是90米/分．

【点拨】本题考查变量之间的关系的实际应用，理清题意，分辨每段代表的含义是解题的关键．

类型三、用描点法画函数图象 

3．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完成：

(1)函数的自变量x的取值范围是____________，函数值y的取值范围是____________；

(2)下表为y与x的几组对应值：

在所给的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；

(3)当x＝7时，对应的函数值y约为__________（精确到0.01）；

(4)结合图象写出该函数的一条性质：____________________．

【答案】(1)x≥1，y≥0；(2)见解析；(3)2.45；(4)y随x的增大而增大（答案不唯一）

 【分析】

（1）根据二次根式的性质即可得出结论；

（2）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；

（3）把x=7代入函数解析式，求出y的值即可；

（4）根据函数图象即可得出结论．

(1) 解：函数的自变量x的取值范围是x≥1，函数函数值y的取值范围是y≥0；

故答案为：x≥1，y≥0；

   （2）解：如图所示：

（3）解：当x=7时，对应的函数值=≈2.45，

故答案为：2.45；

（4）解：有图象可知，y随x的增大而增大．

故答案为：y随x的增大而增大（答案不唯一）．

【点拨】本题考查了函数的图象，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．

举一反三：

【变式】利用学过的的如何研究函数图象及性质的知识，研究新函数：的函数图象及性质：

(1)请通过列表、描点、连线，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；

(2)由函数图象，可以得到该函数的图象性质：

①自变量x的取值范围是，函数值y的取值范围是　   　．

②函数的增减性为：　   　．

③函数　   　（有/无）最值；

④函数的对称性为：　   　．

【答案】(1)见解析

(2)①x≠0，y≠0；②在各自的象限内，y随x的增大而减小；③无；④关于原点中心对称，关于直线成轴对称

【解析】

【分析】

（1）列出若干组x，y的值，列出表格，在坐标系中描点，再用平滑的曲线连接即可；

（2）根据图象直接得出结论．

(1) 解：列表

描点、画图：

(3)  由图象可得：

①自变量x的取值范围是x≠0，函数值y的取值范围是y≠0．

②函数的增减性为：在各自的象限内，y随x的增大而减小．

③函数无最值；

④函数的对称性为：关于原点中心对称，关于直线成轴对称．

【点拨】本题考查了画函数图象，函数的性质，属于基础知识，要能准确画出函数图象，从中得到函数性质，是一种基本的研究函数的方法．

类型四、动点问题的函数图象 

4．已知动点P以每秒3cm的速度沿图甲的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若AB=8cm，试回答下列问题：（直接写答案）

(1)  图甲中的BC长是多少？

(2)  图乙中的a是多少？

(3)  图甲中的图形面积是多少？

(4)  图乙中的b是多少？

【答案】(1)图甲中BC的长为12cm；(2)图乙中a是48；(3)图甲的面积S=114cm2

(4)b=

 【分析】

（1）动点P在BC段运动时对应时间为0-4秒，根据点P的移动速度即可算出BC的长，

（2）当点P运动到C点时，△ABP为直角三角形，计算出其面积即为a的值，

（3）观察题意，图图甲的面积S=AB×AF-CD×DE，求出相应长度代入求值即可，

（4）图乙中b的值即为点P走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间．

解：(1) ∵当P点在BC上运动时，S△ABP逐渐增大，由图乙可知，P在BC段运动时对应时间为0-4秒，

∴BC=3×4=12（cm），

故图甲中BC的长为12cm，

（2）当点P运动到C点时，△ABP为直角三角形，

∵AB=8cm，BC=12cm，

∴S△ABP=AB•BC=×8×12=48（cm2），

故图乙中a是48，

（3）由图可知：CD=3×2=6cm，DE=3×3=9cm，

又∵AB=CD+EF，AF=BC+DE，

∴FE=8-6=2cm，AF=12+9=21cm，

则图甲的面积S=AB×AF-CD×DE=8×21-6×9=114（cm2），

（4）  图乙中b代表点P从B→C→D→E→F→A所需的全部时间，

∵BC+CD+DE+EF+FA=12+6+9+2+21=50cm，

∴b=．

【点拨】本题考查三角形综合知识以及动点问题，学会结合图象具体分析仍是解决该类问题的关键，本题中要重点理解动点P的不同位置导致△ABP面积的变化特点．

举一反三：

【变式1】已知动点以每秒2cm的速度沿如图甲所示的边框按从的路径移动，相应的面积与关于时间的图象如图乙所示，若．

(1)  求的长．(2) 求图乙中的值．(3) 求图甲的面积．(4) 求图乙中的值．

【答案】(1) 8cm；(2) 24；(3) ；(4) 17

 【分析】

（1）观察图乙，找出点P从B点运动到C点所用的时间，利用路程＝时间×速度即可求出BC；

（2）利用三角形面积公式求出的面积，即为a的值；

（3）求出CD，DE，EF的长度，利用长方形面积公式即可求解；

（4）根据时间＝路程÷速度，即可求出的值．

解：(1) 观察图乙，可知点P从B点运动到C点用了4秒，

故；

（2）根据题意，；

故a的值为24；

（3）观察图乙，可知点P从C点运动到D点用了2秒，从D点运动到E点用了3秒，

，，

，

∴多边形ABCDEF的面积，

故图甲的面积为；

（4）由题意可得，秒时，点P运动的路程为：

，

故图乙中的值为17．

【点拨】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于读懂题意，能从函数图象中获取信息．

类型五、函数的三种表示方法 

5如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．

（1）观察图形，填写下表：

（2）上表的两个变量中，自变量是　    　；因变量是　    　；

（3）请你写出y与x之间的关系式；

（4）如果一辆自行车的链条（安装前）共由60节链条组成，那么链条的总长度是多少？

【答案】（1）5.9，7.6；（2）链条节数；链条长度；（3）y＝1.7x+0.8；（4）这辆自行车链条的总长为102cm．

 【分析】

（1）根据图形找规律，即可求得；

（2）根据函数的知识，链条的长度随着链条的节数变化而变化，即可求得；

（3）根据（1）的结论写出解析式即可；

（4）根据（3）解析式代入求解，最后根据实际情况，减去一个交叉重叠部分的圆的直径．

解：（1）根据图形可得：

2节链条的长度为2.5×2﹣0.8＝4.2（cm），

3节链条的长度为2.5×3﹣0.8×2＝5.9（cm），

4节链条的长度为2.5×4﹣0.8×3＝7.6（cm），

故答案为：5.9，7.6；

（2）链条的长度随着链条的节数变化而变化

自变量是链条节数，因变量是链条长度；

故答案为：链条节数；链条长度；

（3）由（1）可得x节链条长为：

y＝2.5x﹣0.8（x﹣1）＝1.7x+0.8，

∴y与x之间的关系式为y＝1.7x+0.8；

（4）∵自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要减少0.8cm，

∴这辆自行车链条的总长为1.7×60+0.8﹣0.8＝102（cm）．

【点拨】本题考查了函数的表示方法，求函数的解析式，函数的定义，掌握函数的相关知识是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示：

（1）用h（cm）表示这碗的高度，用x（只）表示这摞碗的数量，请结合表格直接写出h（cm）与x（只）之间的函数关系式．

（2）若这摞碗的高度为11.2cm，求这摞碗的数量．

【答案】（1）h＝1.2x＋2.8；  （2）7

 【分析】

（1）根据表格中数据变化规律得出答案；

（2）根据函数关系式，当h＝11.2cm时，求出相应的x的值即可．

 解：（1）由表格中两个变量的变化关系可得，

h＝4＋1.2（x−1）＝1.2x＋2.8，

答：h＝1.2x＋2.8；

（2）当h＝11.2cm时，即1.2x＋2.8＝11.2，

解得x＝7，

答：当这摞碗的高度为11.2cm，碗的数量为7只．

【点拨】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解变量与常量的意义，根据表格中两个变量的变化规律得出函数关系式是得出答案的关键．

【变式2】用解析式法与图象法表示等边三角形的周长l关于边长a的函数．

【答案】，图象见解析

 【分析】

根据等边三角形周长公式可得周长l关于边长a的函数解析式，根据解析式画出函数图象即可．

 解：∵等边三角形的边长为a，

∴它的周长l为3a，

∴l＝3a，

∴用解析法表示为：．

用图象法表示：

列表如下：

如图所示，描点连线

【点拨】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的周长公式，函数的表示方法：列表法，解析式法及图象法，熟练掌握函数解析式的求法是解题的关键．