山东省济南市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

济南市2022年1月高一年级学情检测

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 命题“，”的否定是（    ）．

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件利用含有一个量词的命题的否定方法直接求解作答.

【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，

所以命题“，”的否定是“，”.

故选：A

2. 已知集合，，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分别求出集合和，利用交集的定义直接求解即可.

【详解】，，

则，即为.

故选：.

3. 如果函数在上的图象是连续不断的一条曲线，那么“”是“函数在内有零点”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由零点存在性定理得出“若，则函数在内有零点”举反例即可得出正确答案.

【详解】由零点存在性定理可知，若，则函数在内有零点

而若函数在内有零点，则不一定成立，比如在区间内有零点，但

所以“”是“函数在内有零点”的充分而不必要条件

故选：A

【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.

4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件利用指数、对数函数性质，三角函数诱导公式并借助“媒介”数即可比较判断作答.

【详解】函数在上单调递增，而，则，

，

函数R上单调递增，而，则，即，

所以.

故选：B

5. 函数，的图象形状大致是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先根据函数奇偶性排除AC，再结合特殊点的函数值排除B.

【详解】定义域，且，所以为奇函数，排除AC；又，排除B选项.

故选：D

6. 电影《长津湖》中，炮兵雷公牺牲的一幕看哭全网，他的原型是济南英雄孔庆三．因为前沿观察所距敌方阵地较远，需要派出侦察兵利用观测仪器标定目标，再经过测量和计算指挥火炮实施射击．为了提高测量和计算的精度，军事上通常使用密位制来度量角度，将一个圆周分为6000等份，每一等份的弧所对的圆心角叫做1密位．已知我方迫击炮连在占领阵地后，测得敌人两地堡之间的距离是54米，两地堡到我方迫击炮阵地的距离均是1800米，则我炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后，为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡，需要立即将迫击炮转动的角度（    ）．

注：（ⅰ）当扇形的圆心角小于200密位时，扇形的弦长和弧长近似相等；

（ⅱ）取等于3进行计算．

A. 30密位 B. 60密位 C. 90密位 D. 180密位

【答案】A

【解析】

【分析】求出1密位对应的弧度，进而求出转过的密位.

【详解】有题意得：1密位=，因为圆心角小于200密位，扇形的弦长和弧长近似相等，所以，因为，所以迫击炮转动的角度为30密位.

故选：A

7. 已知函数，，则函数的值域为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.

【详解】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，

于是有，当时，，此时，，

当时，，此时，，

所以函数的值域为.

故选：B

8. 正割及余割这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的．定义正割，余割．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由参变量分离法可得出，利用基本不等式可求得取值范围，即可得解.

【详解】由已知可得，可得，

因为，则，

因为

，

当且仅当时，等号成立，故.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分；部分选对的得2分；有选错的得0分．

9. 的值可能为（    ）．

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】BD

【解析】

【分析】根据给定条件结合同角公式化简函数式，再借助正余弦值的正负计算作答.

【详解】令，

当x为第一象限角时，，则，

当x为第二象限角时，，则，

当x为第三象限角时，，则，

当x为第四象限角时，，则.

故选：BD

10. 下列命题为真命题的是（    ）．

A. 若，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

【答案】AC

【解析】

【分析】AC选项用不等式的基本性质进行证明；B选项，用作差法比较大小；D选项，举出反例.

【详解】因为，且，不等式两边同乘以得：；A正确；

，由于，，而可能大于0，也可能小于0，故B选项错误；

由，则，由不等式的基本性质得：，C正确；

当时，满足，，但，D错误.

故选：AC

11. 设函数是R上的奇函数，若在区间上单调递减，则的取值可能为（    ）．

A. 6 B. 4 C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】先利用奇函数的性质求得，得到，然后对于各选择支中的的值，利用换元思想，根据正弦函数的单调性逐一检验.

【详解】∵函数是R上的奇函数，

∴，∴，∴，令.

当时，，在上单调递增，∴单调递减，符合题意，故A正确；

当时，，在上单调递减，∴单调递增，不符合题意，故B错误；

当时，，在上单调递增，∴单调递减，符合题意，故C正确；

当时，，上单调递增，∴单调递减，符合题意，故D正确；

故选：ACD

12. 已知函数，则以下结论正确的是（    ）．

A. 函数为增函数

B. ，，

C. 若在上恒成立，则n的最小值为2

D. 若关于的方程有三个不同的实根，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题意，作出可知时，，作出函数的图象，根据数形结合逐项检验，即可得到正确结果.

【详解】设时，则，所以，

又，所以当时，；

当时，则，所以，

又，所以当时，；

当时，则，所以，

又，所以当时，；

所以由此可知时，；作出函数的部分图象，如下图所示：

由图象可知，函数不为增函数，故A错误；

由图象可知，，

所以，，，故B正确；

在同一坐标系中作出函数和函数的图象，如下图所示：

由图象可知，当时，恒成立，所以的最小值为2，故C正确；

令，则，则方程等价于

，即，所以，或（舍去），

在同一坐标系中作出函数，函数和函数的图象，如下图所示：

由图象可知，当时， 即时，

关于的方程有三个不同的实根，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】直接利用对数的运算法则和指数幂的运算法则求解即可

【详解】

14. 已知，则的值为______．

【答案】2

【解析】

【分析】根据给定条件把正余弦的齐次式化成正切，再代入计算作答.

【详解】因，则，

所以的值为2.

故答案为：2

15. 如果在实数运算中定义新运算“”：当时，；当时，．那么函数的零点个数为______．

【答案】

【解析】

【分析】化简函数的解析式，解方程，即可得解.

【详解】当时，即当时，由，可得；

当时，即当时，由，可得（舍）.

综上所述，函数的零点个数为.

故答案为：.

16. 已知函数，则无论取何值，图象恒过的定点坐标______；若在上单调递减，则实数的取值范围是______．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】计算的值，可得出定点坐标；分析可知，对任意的，，利用参变量分离法可求得，分、、三种情况讨论，分析函数在上的单调性，由此可得出实数的取值范围.

【详解】因为，故函数图象恒过的定点坐标为；

由题意可知，对任意的，，则，

因为函数在上单调递增，且当时，，

所以，.

当时，在上为减函数，函数为增函数，

所以，函数、在上均为减函数，

此时，函数在上为减函数，合乎题意；

当且时，，不合乎题意；

当时，在上为增函数，函数为增函数，

函数、在上均为增函数，

此时，函数在上为增函数，不合乎题意.

综上所述，若在上单调递减，.

故答案为：；.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知集合，集合或，全集．

（1）若，求；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用并集和补集运算法则进行计算；（2）根据集合间的包含关系，比较端点值的大小，求出实数a的取值范围.

【小问1详解】

当时，，所以，则；

【小问2详解】

因为A真含于B，所以满足或，解得：，所以实数a的取值范围是

18. 在①是函数图象的一条对称轴，②函数的最大值为2，③函数图象与y轴交点的纵坐标是1这三个条件中选取两个补充在下面题目中，并解答．

已知函数，______．

（1）求的解析式；

（2）求在上的值域．

【答案】（1）条件选择见解析，；   

（2）.

【解析】

【分析】(1)选择①②直接求出A及的解；选择①③，先求出，再由求A作答；选择②③，直接可得A，再由求作答.

(2)由(1)结合正弦函数的性质即可求得在上的值域.

【小问1详解】

选择①②，，由及得：，

所以的解析式是：.

选择①③，由及得：，即，

而，则，即，解得，

所以的解析式是：.

选择②③，，而，即，又，则有，

所以的解析式是：.

【小问2详解】

由(1)知，，当时，，

则当，即时，，当，即时，，

所以函数在上的值域是.

19. 已知函数为奇函数．

（1）求实数a的值；

（2）若恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用奇函数定义求出实数a的值；

（2）先求解定义域，然后参变分离后求出的取值范围，进而求出实数m的取值范围.

【小问1详解】

由题意得：，即，解得：，

当时，，不合题意，舍去，

所以,经检验符合题意；

【小问2详解】

由，解得：，由得：或，

综上：不等式中，

变形为，

即恒成立，

令，当时，，

所以，实数m的取值范围为.

20. 自新冠疫情爆发以来，全球遭遇“缺芯”困境，同时以美国为首的西方国家对中国高科技企业进行打压及制裁．在这个艰难的时刻，我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售．经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产x（千台）电脑需要另投成本（万元），且，另外，每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出．已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元．

（1）求企业获得年利润（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；

（2）当年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．

【答案】（1）   

（2）当年产量为100（千台）时，企业所获年利润最大，最大年利润为万元.

【解析】

【分析】（1）根据2021年共售出10000台平板电板电脑，企业获得年利润为1650万元，求出，进而求出（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；（2）分别求出与所对应的函数关系式的最大值，比较后得到答案.

【小问1详解】

10000台平板电脑,即10千台，此时，根据题意得：，解得：，故当时，，当时，，综上：；

【小问2详解】

当时，，当时，取得最大值，；

当时，，当且仅当，即时，等号成立，，因为，所以当年产量为100（千台）时，企业所获年利润最大，最大年利润为万元.

21. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知．

（1）利用上述结论，证明：的图象关于成中心对称图形；

（2）判断的单调性（无需证明），并解关于x的不等式．

【答案】（1）证明见解析   

（2）为单调递减函数，不等式的解集见解析.

【解析】

【分析】（1）利用已知条件令，求出的解析式，利用奇函数的定义判断为奇函数，即可得证；

（2）由（1）得，原不等式变成，利用函数单调性化为含有参数的一元二次不等式，求解即可.

【小问1详解】

证明：∵，令，

∴，即，

又∵，

∴为奇函数，

有题意可知，的图象关于成中心对称图形；

【小问2详解】

易知函数为单调递增函数，且对于恒成立,

则函数在上为单调递减函数，

由（1）知，的图象关于成中心对称图形，即，

不等式得： ，

即，则，

整理得，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

22. 已知奇函数和偶函数满足．

（1）求和的解析式；

（2）存在，，使得成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用奇偶性得到方程组，求解和的解析式；（2）在第一问的基础上，问题转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数单调性求解出的最值，进而求出实数a的取值范围.

【小问1详解】

因为奇函数和偶函数满足①，所以②；联立①②得：，；

【小问2详解】

变形为，因为，所以，所以，

当时，在上有解，符合要求；

令，由对勾函数可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，，要想上有解，只需，解得：，所以；

若且，在上单调递增，要想上有解，只需，解得：，所以；综上：实数a的取值范围为.