山东省泰安市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
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数学试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集,集合,,则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题根据交集、补集的定义可得.容易题,注重了基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】,则
故选:A
【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.
2. “对任意,都有”否定形式为( )
A. 对任意,都有
B. 不存在,都有
C. 存在,使得
D. 存在,使得
【答案】D
【解析】
【分析】
全称命题的否定是特称命题,据此得到答案.
【详解】全称命题的否定是特称命题,
则“对任意,都有”的否定形式为:存在,使得.
故选:D.
【点睛】本题考查了全称命题的否定,属于简单题.
3. 已知,那么“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数和对数函数的单调性,结合充分性和必要性的定义进行判断即可.
【详解】由,因为的正负性不明确,故不能由 一定推出成立;由,所以“”是“”的必要不充分条件.
故选:B
【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,考查了指数函数和对数函数的单调性的应用.
4. 已知函数,在下列区间中,包含零点的区间是
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为,,所以由根的存在性定理可知:选C.
考点:本小题主要考查函数的零点知识,正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
5. 将函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象,则的表达式可以是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先计算出函数的图象向右平移个单位的函数,再根据化简即可.
【详解】∵将函数的图象向右平移个单位得
,
.
故选:B
【点睛】本题主要考查了三角函数图像变换,属于基础题.
6. 若函数的图象如图所示,则下列函数与其图象相符的是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由函数的图象可知,函数,则下图中对于选项A,是减函数,所以A错误;对于选项B,的图象是正确的;对C,是减函数,故C错;对D,函数是减函数,故D错误。
故选B.
7. 某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为,第二年的增长率为,则该市这两年生产总值的年平均增长率为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析:设这两年年平均增长率为,因此解得.
考点:函数模型的应用.
8. 已知函数的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为,且,则函数在下列区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题意和三角函数图象的性质求出函数的关系式,再求出函数单调递减区间,判断选项即可得到结果.
【详解】因为函数的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离是,所以,解得.
又,所以,解得,
所以.
令,解得,
所以函数的单调递减区间是
当时,,
所以函数在区间上单调递减.
故选:B.
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 已知a,b,c满足,且,则下列选项中一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由已知条件得出,且的符号不确定,利用不等式的性质以及特殊值法可判断各选项中不等式的正误.
【详解】且,,且的符号不确定.
对于A,,,由不等式的基本性质可得,故A一定能成立;
对于B,,,,,即,故B一定能成立;
对于C,取,则,若,有,故C不一定成立;
对于D,,,,故D一定能成立.
故选:ABD
10. 已知,,则( )
A. B. 为第一或第三象限角
C. D. 若,则
【答案】BC
【解析】
【分析】由题意确定出所在的象限即可判断A,进而判断的符号可以判断D,再结合二倍角公式判断C,最后根据,求出的范围,然后对n的奇偶性进行讨论,最后判断B.
【详解】因为,,所以在第二象限,则,A错误;
易知,则D错误;
,C正确;
因为,若,则,则为第一象限角,若,则,则为第三象限角,则B正确.
故选:BC.
11. 下图是函数的部分图象,则( )
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】首先利用周期确定的值,然后确定的值即可确定函数的解析式,最后利用诱导公式可得正确结果.
【详解】由函数图像可知:,,则,
不妨令,当时,,
,解得:,
即函数的解析式为:,故A正确;
又,故B错误;
又,故C正确;
而,故D错误;
故选:AC.
12. 已知是定义在R上的偶函数,且在上单调递增,则下列结论正确的是( )
A. 在上单调递减 B. 最多有两个零点
C. D. 若实数a满足,则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A.由偶函数在对称区间上的单调性判断;B.举例判断;C.由偶函数得到 ,再利用单调性判断;D. 由偶函数得到 ,再利用单调性求解判断;
【详解】因为是定义在R上的偶函数,且在上单调递增,
所以在上单调递减,故A正确;
如,令,得或或,函数有三个零点,故B错误;
,因为,所以,故C正确;
若实数a满足,即,则,解得,故D正确;
故选:ACD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 若,则____________.
【答案】
【解析】
【详解】
故答案为.
14. 已知,则=__________
【答案】
【解析】
【详解】 ,
两边平方得: ,则.
15. 若,则的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析:由得,即,所以 ,,当且仅当 时取等号,所以的最小值为.
考点:1.对数的性质;2.基本不等式.
【名师点睛】本题考查对数的性质、基本不等式,属中档题;利用基本不等式求最值时,首先是要注意基本不等式的使用条件,“一正、二定、三相等”;其次在运用基本不等式时,要特别注意适当“拆”、“拼”、“凑”.
16. 已知函数,且,则___________;若,则___________.
【答案】 ①. ##0.25 ②. 或##或
【解析】
【分析】先求出值,再求的值,然后列方程可求得a;再分类讨论和,代入求解m的值.
【详解】由题意得,所以,解得.
,又
当时,,解得;
当时,,解得.
所以或4
故答案为:,或
四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合,.
(1)当时,求,;
(2)若,求实数m的取值范围.
【答案】(1),
(2)
【解析】
【分析】(1)先求出集合,然后根据集合的交集以及并集的运算进行求解;
(2)分和两种情况讨论,列出要满足不等关系,即可求解.
【小问1详解】
,
当时,,
所以,;
【小问2详解】
当时,有 ,即 ,
此时满足 ;
当时,若,则有 ,解得 ,
综上,实数的取值范围时.
18. 已知关于x的不等式,.
(1)若,解不等式;
(2)若不等式的解集为,且.求a的取值范围.
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】(1)根据题意解出一元二次不等式即可;
(2)根据题意解出不等式,然后求出,进而求出a的取值范围.
【小问1详解】
由题意,,则不等式的解集为.
【小问2详解】
由题意,,而,则,所以,于是,则.
19.
已知函数.
(Ⅰ)求的最小正周期:
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)2,.
【解析】
【详解】(Ⅰ)因为
,
故最小正周期为
(Ⅱ)因为,所以.
于是,当,即时,取得最大值;
当,即时,取得最小值.
点睛:本题主要考查了两角和的正弦公式,辅助角公式,正弦函数的性质,熟练掌握公式是解答本题的关键.
20. 已知函数(,且).
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性,并予以证明;
(3)求使的x的取值范围.
【答案】(1)
(2)函数为奇函数;
(3)当时, x的取值范围为;当时, x的取值范围为.
【解析】
【分析】(1)由题意可知,即可求出结果;
(2)根据奇偶函数的定义分析判断,即可得到结果;
(3)分和两种情况进行讨论,求解不等式,即可得到结果.
【小问1详解】
解:由题意可知,解得,所以函数的定义域为;
【小问2详解】
解:函数为奇函数;
证明:因为的定义域为,
设,则,
所以
所以函数为奇函数;
【小问3详解】
解:因为,
当时,若,则,即且,
解得;
当时,若,则,即且,
解得;
综上所述,当时,使的x的取值范围为;
当时,使的x的取值范围为.
21. 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形,面积为162平方米的三级污水处理池,平面图如图所示,池的深度一定,已知池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计,设水池的宽为x米,总造价为y元.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)证明:函数在上单调递增;
(3)当污水处理池的宽为多少米时,总造价最低?并求出最低总造价.
【答案】(1);
(2)证明见解析; (3)当污水处理池的宽为10米时,总造价最低,最低总造价为元
【解析】
【分析】(1)求出水池的长为米,再分析题意即可求解;
(2)利用函数的单调性定义证明即可;
(3)利用基本不等式求解即可.
【小问1详解】
由已知得水池的长为米,
所以
所以y关于x的函数解析式
【小问2详解】
任取,且
则
,,,
,即
所以函数在上单调递增.
【小问3详解】
由(1)知
当且仅当,即时等号成立,函数取得最小值,
即当污水处理池的宽为10米时,总造价最低,最低总造价为元
22. 已知,为锐角,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据公式求得,,从而由求得结果;
(2)由条件求得,,从而由求得结果.
【小问1详解】
因,为锐角,,则,解得:
所以,.
所以,
【小问2详解】
因为,为锐角,,,
所以,
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