山东省淄博市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

2021—2022学年度第一学期高一教学质量检测

数学

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据诱导公式化简再求解即可.

【详解】.

故选：A.

2. 已知：，：，，则是的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即得.

详解】由可得，或，，

所以由推不出，，由，，可以推出，

故是的必要不充分条件.

故选：B.

3. 已知角为第四象限角，则点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角函数的定义判断、的符号，即可判断.

【详解】因为是第四象限角，所以，，则点位于第三象限，

故选：C

4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比大小.

【详解】由已知得且，，，

所以，

故选：C

5. 若是三角形的一个内角，且，则三角形的形状为（    ）

A. 钝角三角形 B. 锐角三角形

C. 直角三角形 D. 无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】

已知式平方后可判断为正判断的正负，从而判断三角形形状．

【详解】解：∵，∴，

∵是三角形的一个内角，则，

∴，

∴为钝角，∴这个三角形为钝角三角形.

故选：A．

6. 定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】当时，为单调增函数，且，则的解集为，再结合为奇函数，可得答案．

【详解】当时，，所以在上单调递增，

因为，所以当时，等价于，即，

因为是定义在上的奇函数，

所以 时，在上单调递增，且，所以等价于，即，

所以不等式的解集为

故选：D

7. 函数部分图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的解析式可判断函数为奇函数，再根据函数的零点个数可得正确的选项.

【详解】因为，所以为奇函数，

图象关于原点对称，故排除B；

令，即，解得，即只有一个零点，故排除C，D．

故选：A．

8. 已知是减函数，则a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用分段函数在上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.

【详解】因函数是定义在上的减函数，

则有，解得，

所以的取值范围是.

故选：D

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 设集合，，则下列关系中正确的有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】先化简集合，根据集合间的基本关系，即可得出结果.

【详解】因为，，，

所以，，，.

故选：AD

10. 下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】利用基本初等函数的奇偶性和单调性可逐项判断ABD选项，利用复合函数单调性可判断C选项.

【详解】对于A，易知是奇函数，故A错误；

对于B，为偶函数，在是增函数，故B错误；

对于C，是偶函数，且内部函数在上单调递减，

外部函数在定义域上为增函数，所以在上单调递减，故C正确；

对于D，是偶函数，且函数在上单调递减，

函数在上单调递减，故在上单调递减，故D正确.

故选：CD

11. 如果函数对其定义域内的任意两个不等实数，都满足不等式，那么称函数在定义域上具有性质M，则下列函数具有性质M的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意得到函数为下凸函数，作出选项中函数的图象，结合图象，即可求解.

【详解】由函数对其定义域内的任意两个实数都满足不等式，

那么称函数在定义域上具有性质M，即函数为下凸函数，

作出选项中四个函数的图象，如图所示，

由函数的图象可知，函数和满足.

故选：BC.

12. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 的最小正周期为

B. 是偶函数

C. 在区间上单调递增

D. 的对称轴方程为

【答案】ACD

【解析】

【分析】作出函数图像，并逐一验证可得结果.

【详解】显然，A.正确.

画出函数在的图象，如图所示：

，B错

在区间上，为增函数，C正确.

由图可知的对称轴方程为，D正确.

故选;ACD.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. ___________.

【答案】2

【解析】

【分析】利用对数的运算和换底公式化简求值.

【详解】解：.

故答案为：2

14. 函数（且）的图象必经过点___________.

【答案】

【解析】

【分析】令得，把代入函数的解析式得，即得解.

【详解】解：因为函数，其中，，

令得，把代入函数的解析式得，

所以函数 (且)的图像必经过点的坐标为.

故答案为：

15. 已知扇形弧长为20cm，圆心角为，则该扇形的面积为___________.

【答案】

【解析】

【分析】求出扇形的半径后，利用扇形的面积公式可求得结果.

【详解】由已知得弧长，，

所以该扇形的半径，

所以该扇形的面积.

故答案为：

16. 某医药研究所研发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（时）之间近似满足如图所示的关系.若每毫升血液中含药量不低于0.5微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病的有效时间为___________小时.

【答案】

【解析】

【分析】根据图象求出函数的解析式，然后由已知构造不等式，解不等式即可得解.

【详解】当时，函数图象是一个线段，由于过原点与点，故其解析式为，

当时，函数的解析式为，因为在曲线上，所以，

解得，所以函数的解析式为，

综上，，

由题意有或，解得，所以，

所以服药一次治疗疾病有效的时间为个小时，

故答案为：．

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 设非空集合P是一元一次方程的解集.若，，满足，，求的值.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】由题意可得，写出P所有可能，结合一元二次方程的根与系数的关系求解即可.

【详解】由于一元二次方程的解集非空，且，

，所以，

即满足题意.

当时，由韦达定理得，，此时：

当时，由韦达定理得，，此时；

当时，由韦达定理得，，此时.

18. 已知，，函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的最小值，并求此时a，b的值.

【答案】（1）   

（2）最小值是3，，

【解析】

【分析】（1）代入a，b，解分式不等式即可；

（2）利用“1”的变形及均值不等式求出最小值，根据等号成立的条件求出a，b.

【小问1详解】

当时，，因为

由整理得，

解得，

所以不等式的解集是

【小问2详解】

因为，所以，

，

因为

所以，即的最小值是3.

当且仅当即时等号成立，又，

所以，，

19. 设，函数在上单调递减.

（1）求；

（2）若函数在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）分析得到关于的不等式，解不等式即得解；

（2）等价于函数与函数的图象在区间上有且只有一个交点，再对分类讨论得解.

【小问1详解】

解：因为，在上单调递减，

所以，解得.

又，且，

解得.

综上，.

【小问2详解】

解：由（1）知，所以.

由于函数在区间上有且只有一个零点，等价于函数与函数的图象在区间上有且只有一个交点.

①当即时，函数单调递增，，于是有，

解得；

②当即时，函数先增后减有最大值，

于是有即，解得.

故k的取值范围为.

20. 已知（其中a为常数，且）是偶函数.

（1）求实数m的值；

（2）证明方程有且仅有一个实数根，若这个唯一的实数根为，试比较与的大小.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由偶函数的定义得对任意的实数恒成立，进而整理得恒成立，故；

（2）设，进而得唯一实数根，使得，即，故，再结合得得答案.

【小问1详解】

解：因为是偶函数，

所以对于任意的实数，有，

所以对任意的实数恒成立，即恒成立，

所以，即，

【小问2详解】

解：设，

因为当时，，

所以在区间上无实数根，

当时，因为，，

所以，使得，

又在上单调递减，

所以存在唯一实数根；

因为，所以，

又，所以，

所以.

所以

21. 已知，函数.

（1）若有两个零点，且的最小值为，当时，判断函数在上的单调性，并说明理由；

（2）设，记为集合中元素的最大者与最小者之差.若对，恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）函数在区间上是单调递减，理由见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）运用单调性的定义去判断或者根据函数本身的性质去判断即可；

（2）区间与二次函数的对称轴比较，从而的情况中分类讨论，而后得到的解析式，通过函数解析式求出最小值，再解不等式即可.

【小问1详解】

方法1：因，

由题意得，即，

所以时，

即，

所以，，

对于任意设，所以，

因为，又，

所以

而，所以，所以，

所以函数在区间上是单调递减的.

方法2：因为，

由题意得，即，

所以时，

即，

所以，，

因为，所以函数图像的对称轴方程为，

因为，所以，即，

所以函数在上是单调递减的.

【小问2详解】

设，，

因为函数对称轴为，

①当即时，在上单调递减，

，

②当即时，

，

③当即时，

，

④当即时，在上单调递增，

，

综上可得：

可知在上单调递减，在上单调递增，

所以最小值为，

对，恒成立，只需即可，解得，

所以a的取值范围是.

22. 2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.

表1个人所得税税率表（执行至2018年12月31日）

表2个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）

（1）小王在某高新技术企业工作，全年税前收入180000元.执行新税法后，小王比原来每年少交多少个人所得税？

（2）有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数.

①请计算表1中的数X；

②假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.

【答案】（1）小王比原来每年少交12960元个人所得税   

（2）①；②他的税前全年应纳税所得额为153850元

【解析】

【分析】（1）分别按旧税率和新税率计算所纳税款，比较即可求解；

（2）根据速算法则求出X即可，由速算法则计算税后200000元时税前收入即可.

【小问1详解】

由于小王的全年税前收入为180000元，

按照旧税率，小王的个人所得税为：

元

按照新税率，小王的个人所得税为：元

且元，

小王比原来每年少交12960元个人所得税.

【小问2详解】

①按照表1，假设个人全年应纳税所得额为x元，可得：

，

.

②按照表2中，级数3，；

按照级数2，；

显然，

所以应该参照“级数3”计算.

假设他的全年应纳税所得额为t元，

所以此时，

解得，

即他的税前全年应纳税所得额为153850元.