山东省聊城市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

2021——2022学年度第一学期期末教学质量抽测高一数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 命题“”的否定是

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，所以命题“”的否定是：

考点：全称命题与特称命题

2. 已知集合，，若，则实数a的值为（    ）

A. 1或-1 B. 1 C. 0 D. -1

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件可得，再列式计算并验证作答.

【详解】因，则，而集合，，

则有或，解得：或，

当时，，，符合题意，当时，，不符合题意，则，

解得：，显然不符合题意，

所以实数a的值为-1.

故选：D

3. 已知幂函数的图象过点，，，则m与n的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D. 不等确定

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件求出幂函数的解析式，再借助的单调性即可判断作答.

【详解】依题意，设，由得：，解得，则有，且在上单调递增，

又在上单调递增，即，因此有，则，B正确.

故选：B

4. 若，则的值是（    ）

A. 9 B. 3 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件求出x的值，再利用指数与对数互化的性质计算作答.

【详解】因，则，

所以.

故选：A

5 某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：

以下函数中最符合变量与的对应关系的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】结合表格所给数据以及函数的增长快慢确定正确选项.

【详解】根据表格所给数据可知，函数的增长速度越来越慢，

A选项，函数增长速度不变，不符合题意.

BC选项，当时，函数、增长越来越快，不符合题意.

D选项，当时，函数的增长速度越来越慢，符合题意.

故选：D

6. 已知函数，若，则（    ）

A. 5 B. 3 C. 1 D. 0

【答案】A

【解析】

【分析】由已知令，再借助函数的奇偶性计算作答.

【详解】依题意，令，则是奇函数，，

于是得，

所以.

故选：A

7. 若为第二象限角，且，则的值是（    ）

A. 4 B. -4 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用诱导公式化简、同角公式化简再代入计算即可作答.

【详解】由得：，而为第二象限角，则有，

因此，

故选：B

8. 已知是方程的零点（其中为自然对数的底数），下列说法错误的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件确定所在区间，再逐一分析各个选项即可判断作答.

【详解】函数在R上单调递增，而，，

而是方程的零点，则，即，A正确；

由得：，整理得：，B正确；

因，，则，C不正确；

因，则有，D正确.

故选：C

【点睛】思路点睛：利用零点存在性定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，有时还需结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)一起解决．

二、选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9. 已知，，则的值可能为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】利用同角公式求出、，再用差角的余弦公式直接计算作答.

【详解】因，则，又，则，

，而，

与同号，即，则，

与异号，即，则，

所以的值可能为或.

故选：AC

10. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用对数函数单调性可得，再借助不等式性质逐项分析判断作答.

【详解】因，则，于是得，A正确；

由得：，即，则有，B正确；

取，满足，而，有，C不正确；

因，，则，D正确.

故选：ABD

11. 对于函数，下列结论正确的是（    ）

A. 是以为周期的函数

B. 的单调递减区间为

C. 的最小值为-1

D. 的解集是

【答案】AD

【解析】

【分析】根据给定条件结合正余弦函数的性质，逐一分析各个选项判断作答.

【详解】依题意，，是以为周期的函数，A正确；

，函数在上单调递减，

函数在上单调递减，B不正确；

函数在上单调递增，因此，时，，C不正确；

由得或，

解得，

解得，

综上得：，的解集是，D正确.

故选：AD

12. 已知函数，，对任意，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】对选项A，根据指数的运算性质即可；对选项B，可判断出是奇函数，即可判断；对选项C，通过作差法比较即可；对选项D，根据函数的单调性和奇偶性转化不等式，再通过判别式即可判断.

【详解】对选项A，，，故选项A错误；

对选项B，，，则，故选项B正确；

对选项C，

不妨设，则，故，故选项C正确；

对选项D，因为是奇函数，在上递减

则要使恒成立

只需：

只需：

只需：

而，故，故选项D正确

故选：BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知集合，非空集合，若是成立的一个充分而不必要条件，则实数m的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据逻辑条件关系与集合间的关系、一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】由题意得，，

由是成立的一个充分而不必要条件，得，

即解得，，

故答案为：.

14. 设函数与都是定义在集合M上的函数，对于任意的，都有成立，称函数与是M上的“互嵌函数”.若函数与是M上的“互嵌函数”，则集合___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据给定定义列出方程，再用二倍角的正切化简计算作答.

【详解】依题意，，化简得，解得，则，

所以集合.

故答案为：

15. 某化工集团生产的一种化工产品最初的杂质含量为64%，先进性除杂，每除杂一次杂质含量减少，要使杂质含量不超过1%，则过滤的次数至少为___________.（参考数据：）

【答案】5

【解析】

【分析】结合题意，根据对数的运算性质即可求解.

【详解】设过滤的次数至少为n次，则

，即

从而

即

所以

所以过滤的次数至少为5次.

故答案为：5.

16. 已知函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据图像先求，由图可知在第一个最小值点与第二个最大值点之间.

【详解】由图可知，得，，，

，

当时，，，

当时，，，

所以，得.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知函数.

（1）当时，恒成立，求实数a的取值范围；

（2）当时，恒有，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

分析】(1)根据给定条件利用二次函数性质列出不等式，借助对数函数性质求解作答.

(2)利用二次函数性质可得，再借助辅助角公式、正弦函数性质、对数函数性质计算作答.

【小问1详解】

因对，恒成立，而函数的对称轴，

于是得，即，而函数在上单调递增，则有，

所以a的取值范围是.

【小问2详解】

因，由(1)知，即，

而，即，则，

于是得，而函数在上单调递增，则有，

所以a的取值范围是.

18. 已知函数，现有下列3个条件：①相邻两个对称中心的距离是；②；③.

（1）请选择其中两个条件，求出满足这两个条件的函数的解析式；

（2）将（1）中函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，请写出函数的解析式，并求其单调递减区间.

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）根据题意，结合周期公式，选择相应的条件，代入函数解析式即可求解；（2）根据图象变换规则即可得到函数的解析式，利用整体法结合正弦函数的单调性即可求解.

【小问1详解】

选①②，因为相邻两个对称中心的距离为，

所以，得.由，得.

由，得，，则，，

因为，所以，所以.

选①③，因为相邻两个对称中心的距离为，所以，得.

由，得.由，得，

，则，，因为，

所以，所以.

选②③，由题意或

，

即或，

得或.因为，

所以由，得，

，则，，因为，

所以，所以.

【小问2详解】

将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图像，

再将横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.

由，

得，

所以函数的单调递减区间为.

19. 已知函数为奇函数.

（1）求b的值，判断函数在上的单调性并证明；

（2）若对任意实数a恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1），在上单调递增，证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】(1)由求出b值并验证；再用单调性定义证明函数单调性的方法推理作答.

(2)利用(1)的结论去掉法则“f”，再分离参数，换元借助二次函数性质求最值作答.

【小问1详解】

函数的定义域为R，因为奇函数，则有，解得，

而当时，，即奇函数，因此，，

在上单调递增，

，，，

因，即有，，则，即，

所以在上单调递增.

【小问2详解】

由(1)知是R上的奇函数，且在上单调递增，则为R上的增函数，

由得：，即，

令，当且仅当时取“=”，即对任意实数恒成立，

而函数上单调递增，当时，，则，

所以m的取值范围是.

20. 如图，一质点在以O为圆心，2为半径的圆周上逆时针匀速运动，角速度为，初始位置为，，x秒后转动到点.设.

（1）求的解析式，并化简为最简形式；

（2）如果曲线与直线的两个相邻交点间的距离为，求的值.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）

根据任意角的三角函数的定义求出，，进一步可得.

（2）

由已知建立三角方程，可求解.

【小问1详解】

由题意得，，

故

.

【小问2详解】

由，得，

则或，，

即或，

由，得；

由，得.

综上，或.

21. 喷绘在商业广告､宣传等领域应用广泛，喷绘画面是使用喷绘机打印出来的，喷绘机工作时相当于一条直线（喷嘴）连续扫过一张画布.一家广告公司在一个等腰梯形OABC的画布上使用喷绘机印刷广告，画布的底角为45°，上底长2米，下底长4米，如图所示，记梯形OABC位于直线位于直线左侧的图形的面积为.

（1）试求函数的解析式；

（2）定义“”为“平均喷绘率”，求的峰值（即最大值）.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)求分段函数解析式；

(2)求分段函数最大值及峰值.

【小问1详解】

由题意知梯形OABC的高为1，

当时，，

当时，，

当时，，

综上所述，

【小问2详解】

当时，单调递增，故；

当时，单调递增，故；

当时，，

因为，所以（当且仅当时取等号），

故.因为，

又，所以，所以的峰值为.

22. 已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，总存在非零常数T，恒有成立，其中m为给定的非零常数，则称函数是D上的“周期为T的m级类周期函数”.已知定义在上的函数，当时，.

（1）若是上“周期为1的2级类周期函数”，

①求的值；

②分别求出在和上的函数解析式；

（2）若函数是上“周期为1的m级类周期函数”，且在上单调递减，求实数m的取值范围.

【答案】（1）① ；② 时，；时，   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据新定义求值，并求指定区间上的函数解析式；

（2）根据新定义考虑函数在在上单调递减，且后一区间的函数值不大于前一区间的函数值.

【小问1详解】

①由题意，

.

②当时，，

所以，

当时，，

所以.

【小问2详解】

由题意知对恒成立，

对于任意自然数k，当时，，

.

由于在上单调递减，故在上单调递减，

因此对于任意自然数k均有，所以.

且对于任意自然数k均有，

化简得，则，综上，实数m的取值范围是.