湖北省黄石市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

秘密★启用前

黄石市2021～2022学年度上学期期末考试

高一年级数学试题

本试卷满分150分.考试用时120分钟.全卷共4页，22小题.

★祝考试顺利★

注意事项：

1. 答题前，先将自己的姓名、淮考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3. 非选择题的作答：用黑色签宇笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

第I卷 选择题(共60分)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，求出函数，的值域，得到集合，取交集得答案.

【详解】因为，

所以，

故选：B.

2. 已知函数，则（    ）

A. 0 B.  C.  D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】根据分段函数解析式计算可得.

【详解】解：因为，所以，

所以；

故选：D

3. 若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意转化为不等式在上有实数解，结合函数的单调性，求得，即可求解.

【详解】由不等式在上有实数解，

等价于不等式在上有实数解，

因为函数在上单调递减，在单调递增，

又由，

所以，所以，即实数的取值范围是.

故选：A.

4. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，最后根据函数值的情况判断即可.

【详解】解：因为函数的定义域为，，

所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B；

当时，，当时，，排除C．

故选：D．

5. 已知，，，则的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】结合指数函数和对数函数单调性，利用临界值即可判断出结果.

【详解】，.

故选：C.

6. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将化为，利用诱导公式以及二倍角的余弦公式，化简求值，可得答案.

【详解】因为，

所以,

故选：A.

7. 已知.给出下列判断：

①若，且，则；

②存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；

③若在上恰有7个零点，则的取值范围为；

④若在上单调递增，则的取值范围为.

其中，判断正确的个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

对函数化简可得，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案.

【详解】因为，所以周期.

对于①，因为，所以，即，故①错误；

对于②，函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，解得，故对任意整数，，所以②错误；

对于③，令，可得，则，

因为，所以在上第1个零点，且，所以第7个零点，若存在第8个零点，则，

所以，即，解得，故③正确；

对于④，因为，且，所以，解得，又，所以，故④正确.

故选：B.

【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.

8. 已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分和两种情况讨论：当时，等价于恒成立，可得；当时，去绝对值后分离变量可得或恒成立，可得或. 综合两种情况可得的取值范围.

【详解】分和两种情况讨论：

（1）当时，等价于恒成立，

因为时，恒成立，所以；

（2）当时，等价于恒成立，

    即或 恒成立.

    也就或恒成立

    而当时，，，

    所以或，即或.

综合（1）（2）可知，的取值范围是.

故选：B.

【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

（1）恒成立⇔；

（2）恒成立⇔.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 图中阴影部分所表示的集合是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据Venn图，由集合运算的概念，即可得出结果.

【详解】阴影部分所表示的集合中的元素属于N，不属于M，故其表示集合或．

故选:AC．

10. 下列说法正确的有（    ）

A. 若，则的最大值是 -1

B. 若，，都是正数，且，则的最小值是3

C. 若，，，则的最小值是2

D. 若实数，满足，则的最大值是

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；

对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；

对于C，根据基本不等式变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；

对于D，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.

【详解】对于A，因为，所以，所以，

所以

，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最大值为-1，故A正确；

对于B，因为，，都是正数，且，所以，

所以

，

当且仅当，即即时等号成立，

所以的最小值为3，故B正确；

对于C，因为，，所以，

即（当且仅当时等号成立），

因为，所以，

所以，所以，

解得(舍去)或，当且仅当时等号成立，

所以的最小值为4，故C错误；

对于D，令，，则，，

因为，所以，同号，则，同号，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最大值是，故D正确，

故选：ABD．

11. 已知函数，则下列说法中正确的是（    ）

A. 的最大值为2 B. 的最小正周期为

C. 的图像关于直线对称 D. 的图像关于点对称

【答案】ABC

【解析】

【分析】将解析式经过恒等变换后化为，再对其性质逐一判断即可.

【详解】因为，

所以的最大值为2，故A正确.

最小正周期是，故B正确.

将代入，可得，则其图像关于直线对称，故C正确.

当时，，所以图像关于点对称．故D错误.

故选: ABC

12. 已知定义域为R的奇函数，当时，下列说法中正确的是（    ）

A. 当时，恒有

B. 若当时，的最小值为，则m的取值范围为

C. 不存在实数k，使函数有5个不相等的零点

D. 若关于x的方程所有实数根之和为0，则

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性及时的解析式作出函数的图象，结合图象可判断AB选项，联立与可判断相切时切点横坐标为1，当，时最多一个交点，可判断C，根据函数奇偶性与对称性判断D．

【详解】当时，且为R上的奇函数，

作函数f（x）的图象如图：

对于A，当时，函数f（x）不是单调递减函数，则f（x1）＞f（x2）不成立，故A不正确；

对于B，令，解得，由图象可知，当时，的最小值为，则，故B正确；

对于C，联立，得，

△＝（k+1）2﹣4＝k2+2k﹣3=0，存在，使得△=0，此时,可知最多有3个不同的交点，

∴不存在实数k，使关于x的方程f（x）＝kx有5个不相等的实数根，故C正确；

对于D，由 可得或，

∵函数f（x）是奇函数，若关于x的两个方程与所有根的和为0，

∴函数的根与根关于原点对称，则，

但x＞0时，方程有2个根，分别为，两根之和为，

若关于x的两个方程与所有根的和为0，

则的根为，此时 ，故D错误.

故选：BC

【点睛】关键点点睛：利用奇函数的对称性得出函数的图象是解决本题的关键所在，结合函数的单调性，函数值的变换，函数图象的交点，利用数形结合解决问题，属于难题.

第II卷 非选择题(共90分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】利用幂函数的定义，幂函数的单调性列式计算作答.

【详解】因函数是幂函数，则，解得m=1或m=-3，

又函数在上单调递减，则，

所以实数m的值为-3.

故答案为：-3

14. 若，，则_______．

【答案】

【解析】

【分析】先由，求出，即可求出结果.

【详解】因为，

所以，

又，

所以，

所以

故答案为：

15. 函数在上的单调递增区间为______．

【答案】

【解析】

【分析】首先根据题意得到，再求其单调减区间即可.

【详解】函数，

令，

解得，令得，

所以函数在上的单调递增区间为．

故答案为：

16. 已知函数．若的定义域为，值域为，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】由题意知函数为开口向下，且对称轴为的二次函数，讨论与的大小关系，即可得出在区间上的单调性，则可列出等式，即解出的值，则可求出答案.

【详解】因为，对称轴为，

当时：在上单调递减，所以，无解；

当时：在上单调递增，所以，

解得：或，或，又，所以，;

当时：在上单调递增，在上单调递减，

此时，与矛盾；

综上所述：，，此时

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）由集合A可得，利用列出不等式组，求出实数的取值范围；

（2）若，则，分和两种情况，分别列不等式可得实数的取值范围．

【详解】（1）因，所以或．

又且，

所以，解得

所以实数的取值范围是．

（2）若（补集思想），则．

当时，，解得；

当时，，即，

要使，则，得．

综上，知时，，

所以时，实数的取值范围是．

18. 已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．

（1）求的值；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用赋值法即得；

（2）利用赋值法得，然后结合条件转化已知不等式为，最后根据单调性即得.

【小问1详解】

因为，

令，得，

即；

【小问2详解】

由题意知，

，

∴由，可得，

又在R上单调递增，

∴，即，

∴的取值范围是．

19. 已知定义在上的奇函数．在时，．

（1）试求的表达式；

（2）若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）依题意可得，再设，根据奇偶性及上的函数解析式，计算可得；

（2）依题意参变分离可得，令，，根据指数函数的性质求出函数的单调性，即可求出函数最小值，从而得解；

【小问1详解】

解：是定义在上的奇函数，，

因为在时，，

设，则，

则，

故 .

【小问2详解】

解：由题意，可化为

化简可得，

令，，

因为在定义域上单调递增，在上单调递减，

所以在上单调递减，

，

故．

20. 已知，，，，求：

（1）的值；

（2）的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先由已知条件判断的范围，再利用同角三角函数的关系求出，则由利用两角差的余弦公式可求得，

（2）由同角三角函数的关系求出，从而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.

【小问1详解】

因为，，

所以，，

所以，

，

所以

.

【小问2详解】

因为，，

所以，

所以，

所以.

21. 某市地铁项目正在如火如荼地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利．已知地铁7号线通车后，列车的发车时间间隔单位：分钟满足，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t相关，当时，地铁为满载状态，载客量为500人；当时，载客量会减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记地铁的载客量为．

（1）求的表达式，并求发车时间间隔为5分钟时列车的载客量；

（2）若该线路每分钟的净收益为元问：当列车发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？

【答案】（1），人   

（2）间隔为4时，该线路每分钟的净收益最大为132元

【解析】

【分析】（1）根据发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人可求得比例系数，分段写出地铁的载客量的解析式即可；

（2）结合二次函数的性质以及对勾函数的单调性，分段求出每分钟净收益的最大值，比较可得答案.

【小问1详解】

当时，,
当时，，
，
，解得,
，
,

(人).

【小问2详解】

当时，,

,

可得．

当时，,
，

函数在上为减函数，在上为增函数，

当时，,
当列车发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为132元

22. 已知函数为偶函数.

（1）求实数的值;

（2）解关于的不等式;

（3）设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；

（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；

（3）由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.

【小问1详解】

函数的定义或为，

函数为偶函数.

，即 ，

，

；

【小问2详解】

，

当时，，单调递增，

在上单调递增，

又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；

，

，

解得或，

所以所求不等式的解集为 ；

【小问3详解】

函数与图象有个公共点，

，

即，，

设，则，即，

又在上单调递增，

所以方程有两个不等的正根；

，

解得，即的取值范围为.