2021-2022学年湖北省黄石市部分中学高一上学期期中数学试题含解析

2021-2022学年湖北省黄石市部分中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意和补集、交集的运算依次求出和．

【详解】解：因为全集，2，3，4，5，6，，，3，5，，

所以，4，，

又，2，4，，则，2，4，5，，

故选：C．

2．若，则函数的最小值为（       ）

A．4 B．5 C．7 D．9

【答案】C

【分析】利用基本不等式计算可得；

【详解】解：因为，所以，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以函数的最小值为；

故选：C

3．若，下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．，若，则

C．若，则 D．，，若，则

【答案】C

【分析】利用特值法可判断ABD，利用不等式的性质可判断C.

【详解】对于A，当时，，故A错误；

对于B，当时，，故B错误；

对于C，若，则，故C正确；

对于D，当时，，故D错误，

故选：C.

4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.

【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.

故选：C.

5．若实数a，b满足，，则（       ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式可证明 ，由此可证明，再构造函数，证明其值小于零，进而结合指数函数的单调性证明，可得答案.

【详解】因为，所以,

即 ，故，即，故 ，

令 ，则，

故

，

即有，所以，

即，即，故 ，

故，

故选：C.

6．已知函数 的部分图象如图所示，点，，则下列说法中错误的是（　　）

A．直线是图象的一条对称轴

B．的图象可由 向左平移个单位而得到

C．的最小正周期为

D．在区间上单调递增

【答案】B

【分析】根据五点作图法可得，然后利用正弦函数的性质，代入逐一进行检验即可.

【详解】由函数部分图象，点，故 ，由于点 在单调递增的区间上，或 （舍去），

再根据五点法作图可得 ，求得，故 ．

对于A,令，求得，为最大值，故直线是图象的一条对称轴，故A正确；

对于B,把向左平移个单位，可得的图象，故B错误；

对于C,的最小正周期为 ，故C正确；

对于D，，   ，故单调递增，故D对.

故选：B

7．已知函数，若的零点个数为4，则实数a取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设，做出函数图像，分析的实根情况，方程有两个不等实数根，且满足，或，或；然后讨论计算得出结果即可.

【详解】解：根据函数，做出其图像如下：

设，根据函数图像有：

当时，方程有2个实数根；

当时，方程有3个实数根；

当时，方程有2个实数根；

当时，方程有1个实数根；

当时，方程没有实数根；

当若的零点个数为4个时，

方程有两个不等实数根，

且满足，或，或；

设函数；

则，，，

解得，或，

故选：A.

【点睛】本题考查复合函数的零点问题，二次方程根的分布问题，数形结合思想的应用，属于较难题型；解题方法就是先令，再根据的图像得出不同取值时，的实根个数，然后构造方程，求出当函数有四个零点时的的组合，再构造方程求解即可；解题的关键点是数形结合求出在取不同值时的实根个数.

8．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解不等式，得或，再分类讨论不等式的解集，结合集合关系求得参数的取值范围.

【详解】解不等式，得或

解方程，得，

（1）当，即时，不等式的解为：

此时不等式组的解集为，

若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即；

（2）当，即时，不等式的解为：

此时不等式组的解集为，

若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即；

综上，可知的取值范围为

故选：B

【点睛】关键点睛：本题考查利用不等式组的解集情况求参数的范围，解题的关键是解一元二次不等式及分类讨论解含参数的一元二次不等式，再利用集合关系求参数，考查学生的分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题.

二、多选题

9．已知集合A，B均为R的子集，若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据集合图逐一判断即可得到答案

【详解】如图所示

根据图像可得,故A正确；由于 ，故B错误； ,故C错误

故选：AD

10．已知函数，，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值可以是（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】分析可知，分、解方程，根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】因为，因为方程有两个不相等的实根，

则方程在和时各有一个实根，则，

当时，由得，可得；

当时，由可得，可得.

由题意可得，解得，

故选：BC.

11．下列关于函数的表述正确的是（       ）

A．最小正周期为

B．直线是图象的一条对称轴

C．在区间上单调递增

D．点是图象的一个对称中心

【答案】ABC

【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可

【详解】∵，

函数的周期，故选项A表述正确；

令，解得，令，则，故B表述正确；

，解得，令，可得C表述正确；

,解得，由得，D表述错误，

故选：ABC.

12．函数的图象可能为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】讨论、、、四种情况下，的奇偶性、单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性.

【详解】当时，；

当时，定义域为R且为奇函数，在上，在上递增，在上递减，A可能；

当时，定义域为且为奇函数，在上且递增，在上且递增，B可能；

当时，且定义域为，此时为偶函数，

若时，在上(注意)，在上，则C不可能；

若时，在上，在上，则D可能；

故选：ABD

三、填空题

13．函数的定义域为__________．

【答案】

【分析】求出使函数式有意义的自变量的范围．

【详解】由题意，解得且，所以定义域为．

故答案为：．

14．已知，则的值为______.

【答案】

【分析】利用诱导公式化简所求式子，根据正余弦齐次式的求法可直接求得结果.

【详解】.

故答案为：.

15．已知，若，则___________.

【答案】8

【分析】利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解．

【详解】解：由，且

所以是方程的两根，

解得或，

又，所以，即，又

从而，且，则，．

所以.

故答案为：8.

16．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是__．

【答案】．

【分析】先将原不等式转化为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数的取值范围．

【详解】不等式可化为，

①当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；

②当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；

③当时，原不等式等价于，其解集为，

其解集中恰有2个整数，，解得：；

④当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；

⑤当时，原不等式等价于，其解集为，

其解集中恰有2个整数，，解得：，

综合以上，可得：.

故答案为：．

【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍．

四、解答题

17．已知函数（，）.

(1)判断的奇偶性；

(2)当时，用单调性的定义证明在上是增函数.

【答案】(1)当时，是偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数；

(2)证明见解析

【分析】（1）利用性质法判断函数的奇偶性，根据的取值不同，奇偶性不同进行分类讨论；

（2）当时，，利用定义法证明函数的单调性.

（1）解：的定义域为.当时，，满足，是偶函数.当时，（，），，，则，所以不是奇函数；又，所以不是偶函数.综上可知，当时，是偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.

（2）解：当时，，任取，且，则 .因为，所以，，，所以，即.所以在上是增函数.

18．已知二次函数，且满足，.

(1)求函数的解析式；

(2)当（）时，求函数的最小值（用表示）．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，且，化简可求出，从而可求出的解析式，

（2）求出抛物线的对称轴，然后分，和三种情况求解函数的最小值

（1）因为二次函数，且满足，，所以，且，由，得，所以，得，所以.

（2）因为是图象的对称轴为直线，且开口向上的二次函数，当时，在上单调递增，则；当，即时，在上单调递减，则；当，即时，，综上

19．已知

(1)求 ；

(2)求 的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据两角和的正切公式，结合正切二倍角公式进行求解即可；

（2）根据二倍角的正弦公式和余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.

（1）由，所以；

（2）

20．计算下列各式的值：

(1)已知，求：．

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】利用计算分子，再利用计算分母，注意开方得两个值，最后代入原式即可．

利用指数和根式的互化公式和对数的基本运算公式以及对数恒等式解题．

（1）因为，而，所以，所以．

（2）原式．

21．某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足与成反比例，当年促销费用万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．

(1)求x关于t的函数；

(2)将下一年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；

(3)该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？

（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

【答案】(1)

(2)

(3)当促销费投入7万元时，企业年利润最大

【分析】（1）利用待定系数法求解即可.

（2）利用销售收入减去成本即得利润.

（3）利用基本不等式处理该最值问题.

（1）由题意：与成反比例，所以设，                                             将t＝0，x＝1代入，得k＝2，                                 所以.

（2）当年生产x(万件)时，年生产成本为：，             当销售x(万件)时，年销售收入为：，            由题意，生产x万件产品正好销完，且年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，所以即：.

（3）由（2）有：             因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，，即.所以当促销费投入7万元时，企业年利润最大．

22．已知函数，，且函数是偶函数．

（1）求的解析式；

（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；

（3）若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点

【答案】（1）；（2）；（3），零点为0，，2．

【分析】(1)根据是偶函数求得表达式算出的值,进而求得的解析式即可.

(2)换元令,再求解的最小值,化简利用二次不等式进行范围运算即可.

(3)换元令,结合复合函数的零点问题,分析即可.

【详解】解：（1）∵，∴．

∵是偶函数，∴，∴．

∴，∴．

（2）令，∵，∴，

不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，

∴．

令，，则，，∴．

（3）令，则，

方程可化为，

即，也即．

又∵偶函数恰好有三个零点，所以必有一个零点为0，

∴有一个根为2，∴．∴，解得或．

由，得，由，得，∴零点为0，，2．

【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求解方法以及换元法求复合函数的应用,包括二次函数的范围问题等与函数零点的问题.属于难题.