北京市石景山区2021-2022学年高一上学期期末数学试题

石景山区2021-2022学年第一学期高一期末试卷

数 学

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 已知集合，且，则的值可能为（    ）

A  B.  C. 0 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】

化简集合得范围，结合判断四个选项即可.

【详解】集合，四个选项中，只有，

故选：C．

【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】由特称命题的否定：将存在变任意并否定原结论，即可写出否定形式.

【详解】特称命题的否定为全称命题，

∴“，”的否定是，.

故选：B.

3. 下列函数中既是奇函数，又是减函数的是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数、指数、一次函数的单调性判断BCD，根据定义判断的奇偶性.

【详解】因为在定义域内都是增函数，所以BCD错误；因为，所以函数为奇函数，且在上单调递减，A正确.

故选：A

4. 设，且，下列选项中一定正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】举出反例即可判断AC，根据不等式的性质即可判断B，利用作差法即可判断D.

【详解】解：对于A，当时，不成立，故A错误；

对于B，若，则，故B错误；

对于C，当时，，故C错误；

对于D，，

因为，所以，，

所以，即，故D正确.

故选：D.

5. 设是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据奇函数的性质求函数值即可.

【详解】

故选：D

6. 函数的零点所在的区间是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据零点存在性定理求解即可.

【详解】，，，故函数的零点所在的区间是.

故选：C

7. 不等式的解集为，则函数的图像大致为（     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的解集求出参数，从而可得，根据该形式可得正确的选项．

【详解】因为不等式的解集为，

故，故，故，

令，解得或，

故抛物线开口向下，与轴的交点的横坐标为，

故选：C．

8. 令，，，则三个数、、的大小顺序是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知得，，，判断可得选项.

【详解】解：由指数函数和对数函数的图象可知：，，，所以，

故选：D．

【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.

9. 下列命题中不正确的是（    ）

A. 一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数

B. 数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位数为5

C. 若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙

D. 为调查学生每天平均阅读时间，某中学从在校学生中，利用分层抽样的方法抽取初中生20人，高中生10人．经调查，这20名初中生每天平均阅读时间为60分钟，这10名高中生每天平均阅读时间为90分钟，那么被抽中的30名学生每天平均阅读时间为70分钟

【答案】A

【解析】

【分析】由中位数以及众数判断A；由百分位数的定义计算判断B；计算乙组数据的方差判断C；计算被抽中的30名学生每天平均阅读时间从而判断D.

【详解】对于A，中位数为和众数相等，故A错误；

对于B，将该组数据从小到大排列为，，则该组数据的分位数为5，故B正确；

对于C，乙组数据，方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C正确；

对于D，被抽中的30名学生每天平均阅读时间为，故D正确；

故选：A

10. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（    ）（参考数据：）

A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟

【答案】D

【解析】

【分析】由已知条件得出，，，代入等式，求出即可得出结论.

【详解】由题知，，，所以，，可得，

所以，，.

故选：D.

第二部分（非选择题  共60分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.

11. 函数的定义域是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据偶次方根的被开方数非负得到不等式，解得即可；

【详解】解：因为，所以，解得，即函数的定义域为

故答案为：

12. 已知幂函数经过点，则______

【答案】##0.5

【解析】

【分析】将点代入函数解得，再计算得到答案.

【详解】，故，.

故答案为：

13. 制造一种零件，甲机床的正品率为，乙机床的正品率为．从它们制造的产品中各任抽1件，则两件都是正品的概率是__________．

【答案】

【解析】

【分析】由独立事件的乘法公式求解即可.

【详解】由独立事件的乘法公式可知，两件都是正品的概率是.

故答案为：

14. “”是“”的_______条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”中的一个）

【答案】充分不必要

【解析】

【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】由得，解得或，

因或，

因此，“”是“”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

15. 已知函数（）．

①当时的值域为__________；

②若在区间上单调递增，则的取值范围是__________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】当时，分别求出两段函数的值域，取并集即可；若在区间上单调递增，则有，解之即可得解.

【详解】解：当时，

若，则，

若，则，

所以当时的值域为；

由函数（），

可得函数在上递增，在上递增，

因为在区间上单调递增，

所以，解得，

所以若在区间上单调递增，则的取值范围是.

故答案为：；.

三、解答题：本大题共5个小题，共40分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 已知集合，，.

（1）求，；

（2）若，求实数a的取值范围.

【答案】（1），  （2）

【解析】

【分析】

（1）由交集和并集运算直接求解即可.
（2）由，则

【详解】(1)由集合，

则，

（2）若，则，所以

17. 已知函数．

（1）用定义证明函数在区间上单调递增；

（2）对任意都有成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由定义证明即可；

（2）求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围．

小问1详解】

任取，且，

因为，所以，

所以，即.所以在上为单调递增．

【小问2详解】

任意都有成立，即.

由（1）知在上为增函数，所以时，.

所以实数的取值范围是.

18. 某网站为调查某项业务的受众年龄，从订购该项业务的人群中随机选出200人，并将这200人的年龄按照，，，，分成5组，得到的频率分布直方图如图所示：

（1）求的值和样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（2）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中恰有1人年龄在中的概率．

【答案】（1），平均数为岁   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据频率之和等于得出的值，再由频率分布直方图中的数据计算平均数；

（2）根据分层抽样确定第1，2组中抽取的人数，再由列举法结合古典概型的概率公式得出概率.

【小问1详解】

由，得

平均数为岁.

【小问2详解】

第1，2组的人数分别为人，人，

从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，

分别记为，，，，从5人中随机抽取2人，样本空间可记为

，，，，，，

，，，，

用表示“2人中恰有1人年龄在”，则，，，，，，包含的样本点个数是6.

所以2人中恰有1人年龄在中的概率

19. 计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为米，两个养殖池的总面积为平方米，如图所示：

（1）将表示为的函数，并写出定义域；

（2）当取何值时，取最大值？最大值是多少?

【答案】（1），定义域为；   

（2）当取30时，取最大值，最大值是1215.

【解析】

【分析】（1）应用矩形的面积公式写出表示为的函数，并写出定义域.

（2）利用基本不等式求的最大值，并确定对应值.

【小问1详解】

依题意得：温室的另一边长为米，则养殖池的总面积，

因为，解得

∴定义域为

【小问2详解】

由（1），，又，

所以，当且仅当，即时上式等号成立，

所以.

当时，.

当x为30时，y取最大值为1215.

20. 若实数，，满足，则称比远离.

（1）若比远离，求实数的取值范围；

（2）若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由.

【答案】（1）；   

（2）比更远离，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）由绝对值的几何意义可得，即可求的取值范围；

（2）只需比较大小，讨论、分别判断代数式的大小关系，即知与哪一个更远离.

【小问1详解】

由比远离，则，即.

∴或，得：或.

∴的取值范围是.

【小问2详解】

因为，有，

因为，所以．

从而，

①当时，

，即；

②当时，

，

又，则．

∴，即．

综上，，即比更远离．