2021-2022学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷

1.     设集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     已知i为虚数单位，若，则复数z在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.     设函数，则是(    )

A. 奇函数，且在单调递增 B. 奇函数，且在单调递减
C. 偶函数，且在单调递增 D. 偶函数，且在单调递减

4.     将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.     记为等差数列的前n项和，若，，则(    )

A. 36 B. 45 C. 63 D. 75

6.     某高校调查了200名学生每周的自习时间单位：小时，其中自习时间的范围是，并制成了频率分布直方图，如右图所示，样本数据分组为根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于小时的人数是(    )

A. 56 B. 60 C. 120 D. 140

7.     若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.     在中，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.     设是首项为的等比数列，公比为q，则“”是“对任意的正整数n，”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，给出下列三个结论：
    ①；
    ②的面积与的面积相等；
    ③三棱锥的体积为定值．
    其中，所有正确结论的个数是(    )

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

11. 已知向量，，若，则__________.
12. 双曲线的焦点坐标为______，渐近线方程为______.
13. 设函数，则使成立的x的取值范围是______.
14. 若点关于x轴的对称点为，则的一个取值为______.
15. 数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r的小圆在一个半径为4r的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线．如图，已知，起始位置时大圆与小圆的交点为点为x轴正半轴上的点，滚动过程中A点形成的轨迹记为星形线有如下结论：
    ①曲线C上任意两点间距离的最大值为8；
    ②曲线D：的周长大于曲线C的周长；
    ③曲线C与圆有且仅有4个公共点．
    其中正确的序号为______.

16. 已知函数，，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
    的最小正周期；
    在区间上的最小值．
17. 如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，侧面PAD为直角三角形，，平面
    求证：平面PAB；
    求证：平面ABCD；
    若，，，判断在线段PD上是否存在一点M，使得直线AM与平面PBC所成角的大小为

18. 某校组织“创建文明城区”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的学生先在两类问题中选择一类，然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，比赛结束．A类问题回答正确得10分，否则得0分；B类问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明同学能正确回答A类中的每一个问题的概率均为，能正确回答B类中的每一个问题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
    若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
    为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
19. 已知椭圆，O为坐标原点，右焦点坐标为，椭圆C的离心率为
    求椭圆C的方程；
    椭圆C在y轴上的两个顶点为A，B，点P满足，直线PF交椭圆于M，N两点，且，求此时的大小．
20. 已知函数
    求曲线在点处的切线方程；
    当时，求的单调区间；
    求证：当时，
21. 记实数a，b中的较大者为，例如，，对于无穷数列，记，若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”．
    已知数列，的通项公式分别为，，判断数列，是否为“趋势递减数列”，并说明理由；
    已知首项为1公比为q的等比数列是“趋势递减数列”，求q的取值范围；
    若数列满足，为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有
    

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：集合，，

故选：
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：，
，
则复数z在复平面内对应的点位于第一象限，
故选：
根据复数的运算求出z，从而求出复数z在复平面内对应的点所在的象限．
本题考查了复数的运算，考查复数z在复平面内对应的点所在的象限，是基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：函数的定义域为，
，则是奇函数，
当时，和是增函数，则在上也是增函数，
故选：
根据函数奇偶性和单调性的定义进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，掌握函数奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键，是基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行的情况共有种，其中2本数学书相邻的情况有种，则2本数学书相邻的概率为
故选：
将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行的情况共有种，其中2本数学书相邻的情况有种，以此可解决此题．
本题考查排列数应用及古典概型，考查数学运算能力，属于基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：为等差数列的前n项和，，，
，
解得，，

故选：
利用等差数列的前n项和公式列出方程组，求出，，由此能求出
本题考查等差数列的前6项和的求法，考查等差数列前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：这200名学生中每周的自习时间不少于小时的频率为，
因此这200名学生中每周的自习时间不少于小时的人数为
故选：
根据直方图确定自习时间不少于小时的频率，再结合频率与频数的关系，即可求解．
本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：因为，，
所以在R上单调递减，所以，A错误；
在上单调递减，，B错误；
因为在上单调递增且，
所以，C错误；
所以，D正确．
故选：
分别结合指数函数，对数函数与幂函数单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了指数函数，对数函数与幂函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：在中，若，
利用正弦定理：；
由于、，
所以，
解得
故选：
直接利用三角函数的关系式的变换和正弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

9.【答案】B 

【解析】解：因为，
当时，无法确定的正负，故无法确定的正负，
当时，可得，
所以，即，此时一定有，
故是对任意的正整数n，的必要不充分条件．
故选：
由已知结合等比数列的通项公式分别检验充分性及必要性即可判断．
本题主要考查了等比数列的通项公式，还考查了充分性及必要性的检验，属于基础题．
 

10.【答案】C 

【解析】解：对于①，根据题意，结合图形知，面，平面，
，命题①正确；
对于②，点B到直线EF的距离与点A到直线EF的距离不相等，
与的面积不相等，命题②错误；
对于③，三棱锥的体积为，
三棱锥的体积为定值，命题③正确；
对于综上，正确的命题有2个．
故选：
①根据条件，可知面，由线面垂直的性质，可得；②由与是同底不等高，得出面积不相等；③直接求出该三棱锥的体积即可判断．
本题以正方体为载体，考查了空间中的平行与垂直关系，面积与体积的计算问题，是综合性题目，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题．
根据题意，由，可得关于的方程，再求出即可．

【解答】

解：因为，，，
所以，解得
故答案为：

12.【答案】 

【解析】解：双曲线，可得，，，
所以双曲线的焦点坐标为，
渐近线方程为：
故答案为：；
直接利用双曲线方程求解焦点坐标以及渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标以及渐近线方程的求法，是基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：函数，
当时，即为，解得，即为；
当时，即为，解得，即为
则有x的取值范围是
故答案为：
由分段函数可得当时，即为，当时，即为，运用指数函数和幂函数的单调性，解出不等式，最后求并集即可．
本题考查分段函数的运用：解不等式，主要考查指数函数和幂函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：点关于x轴的对称点为，
，
由，整理得：，
即，，
故时，上式成立，
故答案为：
直接利用点的对称的应用和三角函数的关系式的变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

15.【答案】①③ 

【解析】解：根据题意，曲线C的形状如图：其中，，，，
由此分析3个结论：
对于①，曲线C上，AC或BD之间的距离最大，且，即任曲线C上任意两点间距离的最大值为8，正确；
对于②曲线D：，图形为图中的正方形，必有D的周长小于曲线C的周长；
对于③，曲线C与圆有且仅有4个公共点，即ABCD四点，正确；
正确的是①③，
故答案为：①③．
根据题意，分析曲线C的图形，据此分析3个结论，即可得答案．
本题考查曲线的轨迹，涉及命题真假的判断，属于中档题．
 

16.【答案】解：选择条件①：，


，
所以的最小正周期
因为，可得，
所以，可得，
当，即时，有最大值
选择条件②：，

，
所以的最小正周期
因为，可得，
所以，
当，即时，有最大值 

【解析】选择条件①：利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为，利用正弦函数的周期公式即可求解；由已知可求，利用正弦函数的性质，即可求解函数的最大值．
选择条件②：利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为，利用正弦函数的周期公式即可求解；由已知可求得，利用正弦函数的性质，即可求解函数的最大值．
本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦函数的周期公式以及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．
 

17.【答案】证明：因为四棱锥中，，
所以，
因为平面PAB，平面PAB，
所以平面
证明：因为平面PAD，平面 PAD，所以，
又因为，所以，
因为CD，平面 ABCD，，
所以平面
解：存在，当M为线段PD中点时，理由如下：
由可知，因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
又，，
如图以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则
设平面PBC的法向量为，
由得
令，所以
设，
则，
所以，
直线AM与平面PBC所成角为，
所以，
解得，符合题意，
所以当M为线段PD中点时，直线AM与平面PBC所成角的大小为 

【解析】由条件得到即可；
由条件可得，，即可证明；
以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，算出平面PBC的法向量，设，然后可得，然后可建立方程求解．
本题考查利用空间向量解决立体几何的问题，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：得分情况有三种可能性，第一个问题错误，分，
，
第一个问题正确，第二个错误，分，
，
两个问题都正确，分，
，
的分布列为：

由知，若小明先回答A问题，则，
若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的可能取值为0，30，40，
，
，
，
，
，小明应选择先回答A类问题． 

【解析】得分情况有三种可能性，第一个问题错误，0分；第一个问题正确，第二个错误，10分；两个问题都正确，40分，分别求出相应的概率，能求出X的分布列；
将两种情况分别进行计算，比较大小即可得出结论．
本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查运算求解能力，是中档题．
 

19.【答案】解：因为右焦点为，所以，
因为离心率，
所以，
所以椭圆C的方程为
当直线PF垂直于x轴时，舍；
当直线PF不垂直于x轴时，设直线PF的方程为，
由，整理得，
设，，由题意恒成立，
所以，
利用弦长公式知，
解得，
所以直线PF的方程为，
因为A，B为椭圆C在y轴上的两个顶点，不妨设，，
因为，设，
所以，
即，
即点P在以原点为圆心，半径为1的圆上，
因为原点到直线PF的距离，
所以直线PF与圆相切，
所以 

【解析】利用椭圆的焦点坐标及椭圆的离心率可求解；
分析可知直线PF斜率存在，设为，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理弦长公式可知直线PF的方程为，再利用，知点P在以原点为圆心，半径为1的圆上，利用点到直线的距离公式可判断直线与圆的位置关系，进而求解．
本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为
由知：，
因为，令，所以或
当时，，则
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，恒成立，在R上恒为增函数；
当时，，则
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
综上，当时，单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，单调递增区间是R，无单调递减区间；
当时，单调递增区间是和，单调递减区间是
当时，令得或，则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以当时，取得极小值，
因为，所以
所以由极小值定义及的单调性可知：
当时，；
接下来，研究在的变化情况，
因为恒成立，设，，，则
对称轴，，抛物线开口向上，，
所以由二次函数的性质可知：恒成立，
所以在上恒成立．
综上所述，当时， 

【解析】求导，由导数的几何意义求出切线方程；
求出，分、、，讨论的单调性可得答案；
当时，令，得或，取得极小值，由极小值定义及的单调性可知：
当时，；当时，设，由二次函数的性质可知恒成立，可得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性、最值与极值，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
 

21.【答案】解：数列是“趋势递减数列”．
由通项公式知：公差为，故是单调递减数列，
，且，故数列是“趋势递减数列”．
数列是“趋势递减数列”．
由为奇数，2k为偶数，则，
，且，故数列是“趋势递减数列”．
当时，数列为单调递增数列，此时，且不满足题意；
当时，数列为常数列，不满足题意；
当时，数列为单调递减数列，此时，且，满足题意；
当时，此时，且，满足题意；
当时，此时，且，不满足题意；
综上，q的取值范围为
证明：先证必要性：
假设存在正整数使得，令
因为，为正实数，且，
，故，则数列从以后的各项为a，a，0，a，a，，
当时，，与为“趋势递减数列”矛盾，故假设不成立，的项中没有
再证明充分性：
得：，
由的项中没有0，故对于任意正整数n，，
，即
当时，，
当时，，
为“趋势递减数列”．
综上：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有 

【解析】由，的通项公式知：是单调递减且，结合“趋势递减数列”的定义判断并说明，是否为“趋势递減数列“．
讨论公比 q 的范围，结合“趋势递减数列”的性质判断不同q的取值下是否满足要求，即可确定范围．
应用充要条件的定义，由反证法结合“趋势递减数列“的性质证明的项中没有0，再证的项中没有0时是否为“趋势苐减数列”，即可证结论．
本题考查数列的应用，考查学生的综合能力，属于难题．