北京市大兴区2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题

2022北京大兴高一（上）期末

数    学

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知，则　　

A． B． C． D．

2．已知集合，，则　　

A． B． C． D．

3．下列函数中在定义域上为减函数的是　　

A． B． C． D．

4．当时，的最大值为　　

A．0 B．1 C．2 D．4

5．化简　　

A． B． C． D．

6．“”是“函数为偶函数”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知函数，下列区间中包含零点的区间是　　

A． B． C． D．

8．在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若的初始位置坐标为，，则运动到3分钟时，的位置坐标是　　

A． B． C． D．

9．下列不等关系中正确的是　　

A． B． 

C． D．

10．若函数恰有2个零点，则的取值范围是　　

A． B． C． D．，

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）函数的最小正周期是 　　．

12．（5分）集合，的非空子集是 　　．

13．（5分）将函数的图象先向右平移个单位长度，得到函数　　的图象，再把图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数　　的图象．

14．（5分）能说明命题“如果函数与的对应关系和值域都相同，那么函数和是同一函数”为假命题的一组函数可以是　　，　　．

15．（5分）已知任何一个正实数都可以表示成，则的取值范围是 　　；的位数是 　　．（参考数据

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（14分）已知集合，．

（1）求集合，；

（2）若关于的不等式的解集为，求，的值．

17．（14分）已知，．

（1）求，的值；

（2）求的值．

18．（14分）已知函数，在一个周期内的图象如图所示．

（1）求的解析式；

（2）直接写出在区间，上的单调区间；

（3）已知，都成立，直接写出一个满足题意的值．

19．（14分）已知函数．

（1）求的定义域；

（2）判断的奇偶性，并说明理由；

（3）设，证明：．

20．（14分）已知函数，．

（1）求的单调递增区间；

（2）令函数，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求在区间上的最大值及取得最大值时的值．

条件①：，；

条件②：，．

21．（15分）用水清洗一堆蔬菜上的农药，设用个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为，且．已知用1个单位量的水清洗一次，可洗掉本次清洗前残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．

（1）根据题意，直接写出函数应该满足的条件和具有的性质；

（2）设，现用个单位量的水可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少，说明理由；

（3）若满足题意，直接写出一组参数，，的值．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．【分析】根据指数幂的运算法则即可求出．

【解答】解：，则．

故选：．

【点评】本题考查了指数幂的运算，属于基础题．

2．【分析】根据集合的表述，判断集合中含有的元素，即可求得答案．

【解答】解：集合，，

则集合为偶数集，

2属于偶数，

故选：．

【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．

3．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，是正比例函数，在定义域上为增函数，不符合题意；

对于，，是对数函数，在定义域上为增函数，不符合题意；

对于，，是指数函数，在定义域上为减函数，符合题意；

对于，，是幂函数，在定义域上为增函数，不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．

4．【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．

【解答】解：因为，

所以，当且仅当，即时取等号，此时取得最大值1．

故选：．

【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．

5．【分析】利用三角函数的辅助角公式和两角和与差的正弦三角函数解答．

【解答】解：

．

故选：．

【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数，解题的关键是利用辅助角公式得到原式．

6．【分析】由题意，利用充分条件、必要条件、充要条件的定义，得出结论．

【解答】解：由，可得 为偶函数，故充分性成立；

由函数为偶函数，可得，，不能推出，故必要性不成立，

故“”是“函数为偶函数”的充分而不必要条件，

故选：．

【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于基础题．

7．【分析】判断函数的单调性，求出（2），（4）函数值的符号，利用零点判定定理判断即可．

【解答】解：函数函数是减函数，又（2），

（4），

可得（2）（4），由零点判定定理可知：函数包含零点的区间是：．

故选：．

【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断．

8．【分析】根据已知条件，计算出运动3分钟时动点转动的角，再结合诱导公式，即可求解．

【解答】解：每12分钟转动一周，

则运动到3分钟时，转过的角为，

设点的初始位置坐标为，

则，，

运动到3分钟时，的位置坐标是，，即，．

故选：．

【点评】本题主要考查三角函数的定义，以及诱导公式的应用，属于基础题．

9．【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．

【解答】解：对于，，故错误；

对于，，故错误；

对于，，

，

，故正确；

对于，由得，故错误．

故选：．

【点评】本题考查两数大小的判断，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

10．【分析】由分段函数可知必须每段有且只有1个零点，写出零点建立不等式组可求解．

【解答】解：因为，时至多有一个零点，单调函数，至多一个零点，

而函数恰有2个零点，

所以需满足，有1个零点，，有1个零点，

所以，解得，

故选：．

【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，属于中档题．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．【分析】由题意，利用正切函数的周期性，得出结论．

【解答】解：函数的最小正周期是，

故答案为：．

【点评】本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题．

12．【分析】根据集合的非空子集的定义求出的非空子集即可．

【解答】解：集合，，

集合，的非空子集是，，，，

故答案为：，，，．

【点评】本题考查了集合的非空子集的定义，是基础题．

13．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．

【解答】解：将函数的图象先向右平移个单位长度，得到函数的图象，再把图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．

故答案为：

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

14．【分析】判断两个函数是同一函数时，只需判断两个函数的定义域相同，对应关系也相同即可，如果两个函数的对应关系相同，值域也相同，这两个函数不一定是同一函数，举例说明即可．

【解答】解：如果两个函数的对应关系和值域都相同，那么这两个函数不一定是同一函数，

如：，，，，，它们的定义域不同，不是同一函数．

（答案为不唯一）

故答案为：，；，，．

【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．

15．【分析】根据对数函数的单调性可求出的取值范围，结合对数的运算性质求出的近似值，再转化为指数式即可求出结果．

【解答】解：，，即，

，

，共有31位．

故答案为：，；31．

【点评】本题主要考查了对数函数的性质和对数的运算性质，是基础题．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．【分析】（1）化简集合，根据集合的并集、补集运算即可；

（2）由，即的解集为，说明的解为1，2，把，代入方程可求得、的值．

【解答】解：（1）因为，

所以，

因为，

所以，

，

（2）因为，

所以的解集为，

所以的解为1，2，

所以

解得，．

【点评】本题主要考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题．

17．【分析】（1）直接利用同角三角函数基本关系式及倍角公式求解；

（2）利用同角三角函数基本关系式及两角和的正切求解．

【解答】解：（1），

，．

，．

，

；

（2）由（1）知，，

．

则．

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．

18．【分析】（1）由题意，由函数的最大值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．

（2）由题意，利用正弦函数的单调性，得出结论．

（3）由题意利用正弦函数图象的对称性，求得的值．

【解答】解：（1）如图可知，，所以．

因为，且，所以．

因为图象过点，

所以，，即，，

即．

因为，所以，，．

（2）在区间，上，函数的增区间为，减区间为，．

（3），都成立，故函数的图象关于直线对称，

结合图象可得函数的图象的一条对称轴为，即．

【点评】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的最大值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的单调性、以及图象的对称性，属于中档题．

19．【分析】（1）由对数函数的定义可得，解可得答案；

（2）先分析函数的定义域，再分析、的关系，即可得答案；

（3）利用作差法可得结论．

【解答】解：（1）根据题意，函数，

必有，解可得，

所以函数的定义域是．

（2）函数为偶函数，

证明：因为，都有，

且，

所以函数为偶函数．

（3）证明：因为，

所以．

所以．

所以．

因为是增函数，

所以．

因为，，

所以．

【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的证明，涉及函数定义域的求法，属于基础题．

20．【分析】（1）由正弦函数的单调递增区间可得函数的单调递增区间；

（2）当选①时，整理函数的解析式，换元，由自变量的范围可得辅助元的范围，由函数的单调性可得函数的最大值即相应的值；

选②时，由三角函数的恒等变形可得，再由自变量的取值范围可得函数的最大值及相应的值．

【解答】解：（1）函数的单调增区间为，

由，，

解得，，

所以的单调增区间为，．

（2）选择条件①：，．，

令，

因为，

所以，，

所以，，

所以，，，

因为在区间，上单调递增，

所以当时，取得最大值1，

所以当时，取得最大值1；

选择条件②：，．，

令，

因为，

所以，

所以当时，即时，取得最大值．

【点评】本题考查三角函数的单调递增区间的求法及三角恒等变形的应用，属于中档题．

21．【分析】（1）根据题意即可求解；（2）分别求出清洗一次与清洗两次的结果，然后作差比较即可求解；（3）根据函数解析式即可得解．

【解答】解：（1）满足的条件和性质如下：；

定义域为，；；；在区间，上单调递减；

（2）设清洗前残留的农药量为，

若清洗一次，设清洗后蔬菜上残留的农药量为，

则，则，

若把水平均分成2份后清洗两次，

设第一次清洗后蔬菜上残留的农药量为，

则，

设第二次清洗后蔬菜上残留的农药量为，，，

比较与的大小：，

①当，即时，，

即，由不等式的性质可得，

所以把水平均分成2份后清洗两次蔬菜上残留的农药量比较少；

②当，即时，，

两种方案清洗后蔬菜上残留的农药量一样多；

③当，即时，

由不等式的性质可得，

所以清洗一次后蔬菜上残留的农药量比较少；

（3）参数，，的值依次为2，1，．（答案不唯一）

【点评】本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，考查了学生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．