2021-2022学年北京市石景山区高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年北京市石景山区高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共4分）

1. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知向量，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知正方体的棱长为，其八个顶点都在一个球面上，则这个球的半径是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在中，点为中点，记，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 将函数图象上所有点向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数(    )

A. 是奇函数，最小正周期为 B. 是偶函数，最小正周期为
C. 是奇函数，最小正周期为 D. 是偶函数，最小正周期为

6. 在锐角中，，，则下列等式中成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 设向，如果，，那么(    )

A.  B.  C.  D.

8. 设，是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是(    )

A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且

9. 记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约．“梦想之星”摩天轮直径米，总高约米，匀速旋转一周时间为分钟，配有个球形全透视度全景座舱．如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱．甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差分钟．这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

二、填空题（本大题共5小题，共20分）

11. 计算______．
12. 函数在区间上为增函数，则实数的一个取值可以为______．
13. 如果，那么______．
14. 已知向量，满足，，，则，______．
15. 在正方体中，，为线段上的动点，且与，不重合，为线段的中点．给出下列三个结论：
    ；
    三棱锥的体积不变；
    平面截正方体所得的截面图形一定是矩形．
    其中，所有正确结论的序号为______．

三、解答题（本大题共5小题，共40分）

16. 在中，，．
    如果，求的值；
    如果锐角的面积为，求的长度．
17. 已知函数
    请用五点法做出一个周期内的图像；
    若函数在区间上有两个零点，请写出的取值范围，无需说明理由．
18. 如图，已知三棱柱中，侧面和是矩形，，分别为和的中点．
    求证：平面；
    求证：三棱柱为直三棱柱．

19. 如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，．
    求证：；
    在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．

20. 在中，，，，为内部包含边界的动点，且．
    求；
    求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：设点为，则，
根据直角坐标系中任意角的三角函数定义可知，
故选：．
根据直角坐标系中任意角的三角函数定义即可求解．
本题考查直角坐标系中任意角的三角函数定义，属基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，又，
，．
故选：．
根据平面向量共线定理的坐标式建立方程即可得解．
本题考查平面向量共线定理的坐标式，方程思想，属基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据正方体与球的对称性可知：正方体的体对角线即其为外接球的直径，
由正方体的体对角线公式可得，这个球的半径．
故选：．
根据正方体与球的对称性可知：正方体的体对角线即其为外接球的直径，再利用正方体的体对角线公式即可求出球的半径．
本题考查正方体与球的对称性，正方体的体对角线公式，属基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：点为中点，


．
故选：．
根据平面向量的基本定理及向量的线性运算即可求解．
本题考查平面向量的基本定理及向量的线性运算，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
将其图象上所有点向左平移个单位后得函数，
，为奇函数，又的周期，
故选：．
根据三角函数的二倍角公式，函数的平移变换即可得的解析式，再根据三角函数的性质即可得解．
本题考查三角函数的二倍角公式，函数的平移变换，三角函数的奇偶性与周期性，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：对选项，由正弦定理可得，，故A选项正确；
对选项，由余弦定理可得，故B选项错误；
对选项，若，则由正弦定理可得，
，又，为三角形的内角，，但题意没有该条件，故C选项错误；
对选项，由正弦定理可得，
，
而由，知的外接圆直径是变化的，D错误．
故选：．
根据正弦定理，余弦定理，二倍角的三角函数公式即可判断．
本题考查正弦定理，余弦定理，二倍角的三角函数公式，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，，又，
，
，
，又，
，
故选：．
根据向量垂直的性质，向量数量积的坐标运算建立方程即可求解．
本题考查向量垂直的性质，向量数量积的坐标运算，方程思想，属基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对，，且，，A错误；
对，，且，，B正确；
对，，且，或，C错误；
对，，且，可以与成任意角，D错误．
故选：．
根据线面垂直的性质即可判断选项正确，其余选项都没条件推出，从而得解．
本题考查空间中直线、平面的位置关系，线面垂直的判断，考查空间想象力，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，又，
，，又为的零点，
，，
，，又，
当时，的最小值为，
的最大值为，
故选：．
先通过求出，再通过为的零点求出，从而得的最大值．
本题考查三角函数的性质，方程思想，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：摩天轮匀速旋转一周时间为分钟，摩天轮的角速度为，
又甲乙两人进入各自座舱的时间相差分钟，两人相差的角度为，
设人进仓后转动角时对应的高为，摩天轮直径米，总高约米，
摩天轮底部距离底面高度为米，摩天轮半径米，
，
又甲乙两人相差的角度为，
甲乙两人所在的高度之和为：
，
又根据题意可知，，
当，即时，取得最大值，
故选：．
先根据题意可得摩天轮的角速度为，从而得两人相差的角度为，再根据题意建立人距离底面的高度关于进仓后转动的角之间的函数模型，从而得两人所在的高度之和关于进仓后转动的角的函数模型，最后再利用三角函数的性质即可求解．
本题考查函数建模，三角函数的性质，函数思想，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据两角和的三角函数公式即可求解．
本题考查两角和的三角函数公式，属基础题．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：的一个单调增区间为．，
又在区间上为增函数，
，
故答案为：答案不唯一
根据正切函数的单调性即可求解．
本题考查正切函数的单调性，属基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
先将弦化切，再将已知条件代入即可求解．
本题考查三角函数的同角关系，弦的齐次式化切，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，又，
．
故答案为：．
根据平面向量数量积定义与性质即可求解．
本题考查平面向量数量积定义与性质，方程思想，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：对，如图，连接，，
，又底面，底面，
，又，
平面，又平面，
，
同理可证，又，
平面，又平面，
，正确；
对，为线段的中点．又底面，
到底面的距离等于到底面的距离的一半，
即到底面的距离为定值，又的面积也为定值，
三棱锥的体积等于三棱锥的体积为定值，正确；
对，如图，延长交底面正方形的边于点，再过作底面，
且交上底面的棱于点，再连接，则，且，
易得四边形为矩形，正确．
故答案为：．
对，连接，，则由线面垂直判定定理与性质定理可证明平面，从而得；
对，由于三棱锥的体积等于三棱锥的体积，而到底面的距离等于到底面的距离的一半，从而得三棱锥的体积不变；
对，延长交底面正方形的边于点，再过作底面，且交上底面的棱于点，再连接，则可证得四边形为矩形．
本题考查线面垂直判定定理与性质，考查转化三棱锥的顶点说明三棱锥的体积问题，属中档题．
 

16.【答案】解：在中，，，又，
由正弦定理可得，
，
又，，为锐角，
；
，，
的面积为，
，又为锐角三角形，
，又，，
由余弦定理可得
． 

【解析】根据正弦定理及大边对大角即可求解；
根据三角形面积公式及余弦定理即可求解．
本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形的性质，属基础题．
 

17.【答案】解：先列表如下：

接着在直角坐标系中描点连线可得一个周期内的图像如下：

，如图，要使在区间上有两个零点，
则需与在有两个交点，数形结合可得：
，
故的取值范围为 

【解析】利用“五点法”先列表，再描点，最后用光滑的曲线连接五个关键点即可得一个周期内的图像；
将函数的零点个数转化成与的交点个数，再数形结合即可得解．
本题考查三角函数的图像与性质，考查“五点作图法”，数形结合思想，属中档题．
 

18.【答案】解：证明：如图，取的中点，连接，，
又，分别为和的中点．
，且，
，且，
，且，
四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面；
证明：侧面和是矩形，
，，又，
平面，
三棱柱为直三棱柱． 

【解析】取的中点，连接，则可得，再证明即可得平面；
证明平面即可说明三棱柱为直三棱柱．
本题考查线面平行的判定定理，线面垂直判定定理，属基础题．
 

19.【答案】解：证明：平面底面，且平面底面，
又，底面，
平面，又平面，
；
如图，连接交于点，则为的中点，取中点为，再连接，
则，又平面，平面，
平面，
故存在的中点，使得平面． 

【解析】根据面面垂直的性质定理，线面垂直的性质即可证明；
连接交于点，则为的中点，取中点为，再连接，则，从而看证得平面．
本题考查面面垂直的判定定理，线面垂直的性质，线面平行的判定定理，属基础题．
 

20.【答案】解：在中，，，，
由正弦定理可得，
，又，
，，，
取的中点，连接，则，
，
；
，由知，，
设，则，




，
又，，
，
故的取值范围为． 

【解析】先由正弦定理求出角，从而得为等腰三角形，取的中点，连接，则，再求出，最后再利用向量的中点公式即可求解；
将问题中的向量全部转化成以点为起点的向量，设，则根据已知及可将转化为的函数，最后通过函数思想即可求解．
本题考查正弦定理，解三角形，平面向量的线性运算，平面向量的数量积，化归转化思想，函数思想，属中档题．