专题18.35 正方形与三垂直（巩固篇）（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题18.35 正方形与三垂直（巩固篇）（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共42页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题18.35 正方形与三垂直（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点分别在轴的正半轴上，，则四边形的面积为（ ）

A． B． C． D．
2．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（　　　）

A．n B．n－1 C．（）n－1 D．n
3．如图，四边形AFDC是正方形，和都是直角，且E，A，B三点共线，，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．12 B．10 C．8 D．6
4．如图，在正方形中，点E在边上，于点G，交于点F.若，，则的面积与四边形的面积之比是（　　）

A． B． C． D．
5．如图，点，点在射线上匀速运动，运动的过程中以为对称中心，为一个顶点作正方形，当正方形的面积为40时，点的坐标是（ ）

A． B． C． D．


二、填空题
6．如图，正方形的边长为3，点在上，点在的延长线上，且，则四边形的面积为：______．

7．如图，正方形的边长为4，点在边上，，若点在正方形的某一边上，满足，且与的交点为．则_________．

8．如图，直线l1//l2//l3，正方形ABCD的三个顶点A、B、C分别在l1、l2、l3上，l1、l2之间的距离是3，l2、l3之间的距离是4，则正方形ABCD的面积为_____．

9．如图，在中，，AC=8，BC=7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为______．

10．正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A点的坐标（0，4），B点的坐标（﹣3，0），则点D的坐标是_____．

11．如图在直线上一次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4=__．

12．如图，正方形的四个顶点分别在四条平行线上．若每两条相邻平行线间的距离都是1 cm，则正方形的面积为_________________

13．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为2，3，H为线段DF的中点，则BH＝_____．

14．如图，平面直角坐标系中有一正方形，点的坐标为点坐标为________．

15．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°，延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM＝5，则FD的长为_____．

16．如图，四边形中，．则______．

17．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，)，则点C的坐标为______．

18．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__．

19．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝BD；③BN＋DQ＝NQ；④为定值．一定成立的是_____．


三、解答题
20．问题情景：如图1，在等腰直角三角形ABC中∠ACB＝90°，BC＝a．将AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE．
易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为．
简单应用：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，用含a的代数式表示△BCD的面积，并说明理由．


21．如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与点A，O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E．
（1）求证：PE＝PB；
（2）如图2，若正方形ABCD的边长为2，过点E作EF⊥AC于点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；
（3）用等式表示线段PC，PA，CE之间的数量关系．


22．探究证明：
（1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM；
（2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值．


23．如图所示，，四边形为正方形，交轴于.求点的坐标.

24．如图所示，，，延长至，使，四边形为正方形，求的长.

25．如图所示，，，以为边作正方形，求点、的坐标.


26．如图所示，边长为2的正方形的边与轴的夹角为，求，的坐标.


27．如图，点E，F，G，H分别位于边长为a的正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，AG＝x，正方形EFGH的面积为y．
（1）当a＝2，y＝3时，求x的值；
（2）当x为何值时，y的值最小？最小值是多少？



28．如图所示，，，以为边作正方形，求，的坐标.


















参考答案
1．B
【分析】
过点P作，，证明，再根据面积计算即可；
【详解】
如图所示，过点P作，，

∵点的坐标为，
∴PM=PN，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案选B．
【点拨】
本题主要考查了四边形与坐标系结合，全等三角形的应用，准确判断计算是解题的关键．
2．B
【分析】
过中心作阴影另外两边的垂线可构建两个全等三角形（ASA），由此可知阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n-1）个阴影部分的和，即可求解．
【详解】

如图作正方形边的垂线，
由ASA可知同正方形中两三角形全等，
利用割补法可知一个阴影部分面积等于正方形面积的 ，
即是，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：．
故选：B．
【点拨】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质．解题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
3．C
【分析】
易证△AEC≌△FBA，得AB=EC，即可求得．
【详解】
∵四边形AFDC是正方形
∴AC=AF，∠FAC=90°
∴∠CAE+∠FAB=90°
又∵∠CAE+∠ACE=90°
∴∠ACE=∠FAB
又∵∠CEA=∠FBA=90°
∴△AEC≌△FBA
∴AB=EC=4
∴图中阴影部分的面积=
故选C
【点拨】
本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
4．D
【分析】
首先证△AED≌△BFA，得S△ABF=S△DAE，两者都减去△AEG的面积后可得S△AGD=S四边形EGFB，那么只需求△AEC和△AGD的面积关系即可；Rt△AED中，AG⊥ED，易证得△AEG∽△DAG，根据它们的相似比（可由AE、BE的比例关系求得），即可求得面积比，由此得解．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠B=90∘，AB=DA；
∵，
∴
∴
∴∠EAG=∠EDA,
∴△AED≌△BFA(ASA)；
∴；
∴,即；
∵∠EAG=∠EDA,∠AGE=∠DGA=90∘，
∴△AEG∽△DAG；
∴
∴的面积与四边形的面积之比是,
故选D.
【点拨】
此题主要考查了正方形的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质，能够发现是解答此题的关键.
5．D
【分析】
作轴于，轴于E，根据的坐标求得直线的斜率，进一步得出直线的斜率为，通过证得，得出，，可设，则，然后根据待定系数法求得直线的斜率为，整理得，然后根据勾股定理得出，代值求解即可．
【详解】
解：作轴于，轴于E，

设直线的解析式为，
∵点
∴
∵四边形是正方形，
∴
∴直线的斜率为
又∵，
∴，
∴
又∵
∴
∴，
设，则
设直线的解析式为，
∴
解得：
∴
整理得：
∵正方形面积为40
∴
∴在中，，即：
解得：
∴
∴
故答案选B
【点拨】
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据直线的斜率列出方程是解题的关键．
6．9
【分析】
根据SAS判断，从而得到四边形EBFD的面积=正方形ABCD的面积，计算即可；
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形EBFD的面积=正方形ABCD的面积==9．

故答案是9．
【点拨】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，准确计算是解题的关键．
7．或
【分析】
分两种情况进行讨论，点F在AD上或点F在AB上，依据全等三角形的性质以及矩形的性质，即可得到CM的长．
【详解】
解：分两种情况：
①如图1所示，当点F在AD上时，
由CF=BE，CD=BC，∠BCE=∠CDF=90°可得，Rt△BCE≌Rt△CDF（HL），
∴∠DCF=∠CBE，
又∵∠BCF+∠DCF=90°，
∴∠BCF+∠CBE=90°，
∴∠BMC=90°，即CF⊥BE，
∵BC=4，CE=3，∠BCE=90°，
∴BE=5，
∴CM=；

②如图2所示，当点F在AB上时，
同理可得，Rt△BCF≌Rt△CBE（HL），
∴BF=CE，
又∵BF∥CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵∠BCE=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CM=BE=×5=．

故答案为：或．
【点拨】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
8．25
【分析】
画出1到2，2到3的距离，分别交2，3于E，F，通过证明△ABE≌△BCF，得出BF=AE，再由勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：过点A作AE⊥l2，过点C作CF⊥l2，

∴∠CBF+∠BCF=90°，
四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS）
∴BF=AE，
∵1∥2∥3，且l1、l2之间的距离是3，l2、l3之间的距离是4，
∴BF=AE=3，CF=4,
∵BF2+CF2=BC2，
∴BC2=42+32=25．
故答案为：25．
【点拨】
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及正方形面积的求解方法．证得△ABE≌△BCF是解题的关键．
9．17
【分析】
过E作EF⊥AC，垂足为F，由ABDE为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，AE＝AB，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS得到△AEF≌△BAC，利用全等三角形的对应边相等得到EF＝AC＝8，AF＝BC＝7，由FA＋AC求出FC的长，在直角三角形CEF中，利用勾股定理即可求出EC的长．
【详解】
过E作EF⊥AC，交CA的延长线于F，

∵四边形ABDE为正方形，
∴∠BAE＝90°，AE＝AB，
∵∠EAF＋∠AEF＝90°，∠EAF＋∠BAC＝90°，
∴∠AEF＝∠BAC，
在△AEF和△BAC中，
，
∴△AEF≌△BAC（AAS），
∴EF＝AC＝8，AF＝BC＝7，
在Rt△ECF中，EF＝8，FC＝FA＋AC＝8＋7＝15，
根据勾股定理得：CE＝＝17．
故答案为：17．
【点拨】
此题考查了勾股定理，正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
10．（4，1）．
【分析】
过点D作DE⊥y轴于E，由“AAS”可证△ABO≌△DAE，可得AE＝OB，DE＝OA，即可求解．
【详解】
解：如图，过点D作DE⊥y轴于E，

∵∠BAO+∠DAE＝∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠BAO＝∠ADE，
在△ABO和△DAE中，
，
∴△ABO≌△DAE（AAS），
∴AE＝OB，DE＝OA，
∵A（0，4），B（﹣3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴OE＝4﹣3＝1，
∴点D的坐标为（4，1）．
【点拨】
本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
11．6
【分析】
先根据正方形的性质得到∠ABD=90°，AB=DB，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代换后有DE2+AC2=BD2，根据正方形的面积公式得到S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同样方法可得到S2+S3=2，S3+S4=3，通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．
【详解】
解：如图，∵图中的四边形为正方形，

∴∠ABD=90°，AB=DB，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∵∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠DBE，
∵在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴AC=BE，
∵DE2+BE2=BD2，
∴DE2+AC2=BD2，
∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，
∴S1+S2=1，
同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，
∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．
故答案为：6．
【点拨】
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了勾股定理和正方形的性质．
12．5
【分析】
过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DCF，得CF＝1，DF＝2．根据勾股定理可求CD2得正方形的面积．
【详解】
解：过D点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．

∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，
∴EF⊥l1，EF⊥l4，
即∠AED＝∠DFC＝90°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC＝90°．
∴∠ADE＋∠CDF＝90°．
又∵∠ADE＋∠DAE＝90°，
∴∠CDF＝∠DAE．
在△ADE和△DCF中

∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴CF＝DE＝1．
∵DF＝2，
∴CD2＝12＋22＝5，
即正方形ABCD的面积为5．
故答案为：5．
【点拨】
此题主要考查了正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．
13．
【分析】
根据题意，利用勾股定理可以求得DF的长，然后根据正方形的性质可以得到△DBF的形状，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到BH的长．
【详解】
解：延长DC交FE于点M，连接BD、BF，

∵正方形ABCD，BEFG的边长分别为2，3，
∴DM＝5，MF＝1，∠DMF＝90°，
∴DF＝＝，
∵BD、BF分别是正方形ABCD，BEFG的对角线，
∴∠DBC=∠GBF=90，
∴∠DBF＝90°，
∴△DBF是直角三角形，
∵点H为DF的中点，
∴BH＝DF＝，
故答案为：．
【点拨】
本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线与斜边的关系、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．
【分析】
过点作轴于，过点作轴，过点作交CE的延长线于．先证明，得到，，根据点的坐标定义即可求解．
【详解】
解：如图，过点作轴于，过点作轴，过点作交CE的延长线于．
，
，．
四边形是正方形，
．
易求．
又
∴，
，，
点的坐标为，，
点到轴的距离为，
点的坐标为．

故答案为：
【点拨】
本题考查了平面直角坐标系点的坐标，全等三角形的判定与性质，根据题意，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
15．
【分析】
过C点作CH⊥BF于H点，过B点作BK⊥CM于K，过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，只要证明△AGB≌△BHC，△BKC≌△CQD即可解决问题．
【详解】
解：如图，过C点作CH⊥BF于H点，过B点作BK⊥CM于K，过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q．

∵∠CFB＝45°
∴CH＝HF，
∵∠ABG+∠BAG＝90°，∠FBE+∠ABG＝90°，
∴∠BAG＝∠FBE，
∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB＝∠BHC＝90°，
在△AGB和△BHC中，
∵∠AGB＝∠BHC，∠BAG＝∠HBC，AB＝BC，
∴△AGB≌△BHC（AAS），
∴AG＝BH，BG＝CH，
∵BH＝BG+GH，
∴BH＝HF+GH＝FG，
∴AG＝FG；
∵CH⊥GF，
∴CH∥GM，
∵C为FM的中点，
∴CH＝GM，
∴BG＝GM，
∵BM＝5，
∴BG＝，GM＝2，
∴AG＝2，AB＝5，
∴HF＝，
∴CF＝×＝，
∴CM＝，
∵CK＝CM＝CF＝，
∴BK＝，
∵在△BKC和△CQD中，
∵∠CBK＝∠DCQ，∠BKC＝∠CQD＝90°，BC＝CD，
∴△BKC≌△CQD（AAS），
∴CQ＝BK＝，
DQ＝CK＝，
∴QF＝CQ﹣CF＝﹣＝，
∴DQ＝QF＝，
∴DF＝×＝．
故答案为．
【点拨】
此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质和正方形的性质，掌握全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质和正方形的性质是解题关键．
16．45°
【分析】
作AE⊥BC于E，AF⊥CD延长线于点F，易证四边形AECF为矩形，可得∠FAE＝90°，再根据∠DAB＝90°，可得∠DAF＝∠BAE，即可证明△BAE≌△DAF，可得AE＝AF，即可判定矩形AECF为正方形，即可解题．
【详解】
解：作AE⊥BC于E，AF⊥CD延长线于点F，

∵∠AEC＝∠AFC＝∠BCD＝90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠FAE＝90°，即∠DAF＋∠DAE＝90°，
∵∠DAE＋∠BAE＝90°，
∴∠DAF＝∠BAE，
在△BAE和△DAF中，
∠AEB＝∠F，∠BAE＝∠DAF，AB＝AD，
∴△BAE≌△DAF（AAS），
∴AE＝AF，
∴矩形AECF为正方形，
∴∠ACB＝45°；
故答案为：45°．
【点拨】
本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
17．
【分析】
如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E，先证明△COE≌△OAF，推出CE＝OF，OE＝AF，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．

∵四边形ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∵∠COE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°，
∴∠COE＝∠OAF，
在△COE和△OAF中，
，
∴△COE≌△OAF，
∴CE＝OF，OE＝AF，
∵A（1，），
∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝，
∴点C坐标，
故答案为：．
【点拨】
本题考查全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．13
【分析】
本题是典型的一线三角模型，根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB≌△AED；然后由全等三角形的对应边相等推知AF＝DE、BF＝AE，所以EF＝AF+AE＝13．
【详解】
解：∵ABCD是正方形（已知），
∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°；
又∵∠FAB+∠FBA＝∠FAB+∠EAD＝90°，
∴∠FBA＝∠EAD（等量代换）；
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴在Rt△AFB和Rt△AED中，
∵ ，
∴△AFB≌△DEA（AAS），
∴AF＝DE＝8，BF＝AE＝5（全等三角形的对应边相等），
∴EF＝AF+AE＝DE+BF＝8+5＝13．
故答案为：13．
【点拨】
本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及熟悉一线三角模型是解本题的关键．
19．①②③④
【分析】
如图1，连接AC、AN，AC交BD于点H，根据正方形的性质可得A，B，N，M四点共圆，进而可得∠ANM＝∠NAM＝45°，于是可判断①；由余角的性质可得∠HAM＝∠PMN，从而可利用AAS证明Rt△AHM≌Rt△MPN，可得MP＝AH，再根据正方形的性质即可判断②；如图2，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°至△ABR，使AD和AB重合，连接AN，根据旋转的性质和SAS可推得△RAN≌△QAN，进而可得RN=QN，进一步即可判断③；如图3，作MS⊥AB于S，MW⊥BC于W，由题意易得四边形SMWB是正方形，进一步即可推出△AMS≌△NMW，可得AS＝NW，进而得AB＋BN＝2BW，然后利用等腰直角三角形的性质即可判断④，于是可得答案．
【详解】
解：如图1，连接AC、AN，AC交BD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，AH=CH，∠DBC＝∠ABD＝45°，
∵∠AMN＝∠ABC＝90°，
∴A，B，N，M四点共圆，
∴∠NAM＝∠DBC＝45°，∠ANM＝∠ABD＝45°，
∴∠ANM＝∠NAM＝45°，
∴AM＝MN，故①正确；

∵∠MAH+∠AMH=90°，∠PMN+∠AMH=90°，
∴∠HAM＝∠PMN，
∵∠AHM＝∠MPN=90°，AM＝MN，
∴Rt△AHM≌Rt△MPN（AAS），
∴MP＝AH＝AC＝BD，故②正确；
如图2，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°至△ABR，使AD和AB重合，连接AN，
则AR=AQ，∠BAR=∠DAQ，∠ABR=∠ADQ=90°，
∴R、B、N三点在同一直线上，
∵∠BAN＋∠QAD＝∠NAQ＝45°，
∴∠RAN=∠QAN=45°，
又∵AN=AN，
∴△RAN≌△QAN（SAS），
∴RN=QN，即BN＋DQ＝NQ，故③正确；

如图3，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，
∵点M是对角线BD上的点，
∴四边形SMWB是正方形，有MS＝MW＝BS＝BW，
∵∠AMN=∠SMW=90°，
∴∠AMS=∠NMW，
又∵∠ASM=∠NWM=90°，
∴△AMS≌△NMW（ASA），
∴AS＝NW，
∴AB＋BN＝SB＋BW＝2BW，
∵BW：BM＝1∶，
∴，故④正确．
故答案为：①②③④．

【点拨】
本题是正方形的综合题，主要考查了正方形的性质和判定、四点共圆、圆周角定理的推论、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及旋转的性质等知识，综合性强、具有相当的难度，正确添加辅助线、灵活应用所学知识是解题的关键．
20．△BCD的面积为．
【分析】
根据问题情景的解题思路，如下图2，根据旋转的对应关系，可得△ABC≌△BDE（AAS），进而求出线段DE的长，根据三角形的面积公式计算即可.
【详解】
解：△BCD的面积为 ．
理由如下：
过点D作△BCD的BC边上的高DE．如图2，
∵边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∴BA＝BD，∠ABD＝90°，
∵∠ABC+∠DBE＝90°，∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝∠DBE，
在△ABC和△BDE中

∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴DE＝BC＝a，
∴△BCD的面积＝BC•DE＝．

【点拨】
本题主要考查了学生对新提出的问题情境的理解能力，学会和已有的知识（三角形全等）相结合是解答本题的关键.
21．（1）见解析；（2）在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化．PF的长为定值；（3）．理由见解析．
【分析】
（1）做辅助线，构建全等三角形，根据ASA证明即可求解．
（2）如图，连接OB，通过证明，得到PF=OB，则PF为定值是．
（3）根据△AMP和△PCN是等腰直角三角形，得，，整理可得结论．
【详解】
（1）证明：如图①，过点P作MN∥AD，交AB于点M，交CD于点N．

∵PB⊥PE，
∴∠BPE＝90°，
∴∠MPB+∠EPN＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠D＝90°．
∵AD∥MN，
∴∠BMP＝∠BAD＝∠PNE＝∠D＝90，
∵∠MPB+∠MBP＝90°，
∴∠EPN＝∠MBP．
在Rt△PNC中，∠PCN＝45°，
∴△PNC是等腰直角三角形，
∴PN＝CN，
∴BM＝CN＝PN，
∴△BMP≌△PNE（ASA），
∴PB＝PE．
（2）解：在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化．

理由：如图2，连接OB．
∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，
∴OB⊥AC，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOB＝∠EFP＝90°，
∴∠OBP+∠BPO＝90°．
∴∠BPE＝90°，
∴∠BPO+∠OPE＝90°，
∴∠OBP＝∠OPE．
由（1）得PB＝PE，
∴△OBP≌△FPE（AAS），
∴PF＝OB．
∵AB＝2，△ABO是等腰直角三角形，∴．
∴PF的长为定值．
（3）解：．
理由：如图1，∵∠BAC＝45°，
∴△AMP是等腰直角三角形，
∴．
由（1）知PM＝NE，
∴．
∵△PCN是等腰直角三角形，
∴．
【点拨】
本题主要考查了四边形综合应用，通过对三角形全等的证明找出边之间的关系，准确分析代换求解是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）由矩形的性质结合等角的余角相等，可证明∠NBC=∠MAB，进而证明△BCN∽△ABM，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可；
（2）过点B作BG∥EF交CD于G，由两组对边分别平行判定四边形BEFG是平行四边形，再根据平行四边形的性质，可证明△GBC∽△MAB，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可；
（3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，可得四边形ABSR是平行四边形，再由含有一个90°角的平行四边形是矩形，证明四边形ABSR是矩形，进而得到∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．，结合（2）中结论可证明△ACD≌△ACB，由全等三角形对应角相等得到∠ADC=∠ABC，再由等角的余角相等，证明△RAD∽△SDC，根据相似三角形对应边成比例，设SC=x，解得DR、DS的长，再结合勾股定理解题即可．
【详解】
（1）证明∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=90°
∴∠NBA+∠NBC=90°．
∵AM⊥BN，
∴∠MAB+∠NBA=90°，
∴∠NBC=∠MAB，
∴△BCN∽△ABM，
∴=
（2）结论：=
理由：如图2中，过点B作BG//EF交CD于G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴BG=EF．
∵EF⊥AM，
∴BG⊥AM，
∴∠GBA+∠MAB=90°．
∵∠ABC=∠C=90°，
∴∠GBC+∠GBA=90°，
∴∠MAB=∠GBC，
∴△GBC∽△MAB，
∴=，
∴=
（3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形．

∵∠ABC=90°，
∴四边形ABSR是矩形，
∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．
∵AM⊥DN，
∴由（2）中结论可得：=
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ACD≌△ACB，
∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠SDC+∠RDA=90°．
∵∠RAD+∠RDA=90°，
∴∠RAD=∠SDC，
∴△RAD∽△SDC，
∴=
，设SC=x，
∴=
∴RD=2x，DS=10-2x，
在Rt△CSD中，∵，
∴52=（10-2x）2+x2，
∴x=3或5（舍弃），
∴BS=5+x=8，
∴===
【点拨】
本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键．
23．
【解析】
【分析】
过点A作轴于E,利用勾股定理列式求出AO,然后解直角三角形求出AD、OD,即可求出点D的坐标.
【详解】
解:如图,过点A作轴于E,

,
,AE=4,
,
在中, ,
,
∴点.
【点拨】
本题考查了正方形的性质,坐标与图形性质,主要利用了利用锐角三角函数解直角三角形,作辅助线构造成直角三角形是解题的关键.
24．10
【解析】
【分析】
作AF∥x轴，DF∥y，CG⊥DF．通过证明△AFD≌△EOA，△CDG≌△DAF，可证DG＝AF＝EO＝2，GC＝DF＝AO＝4，从而求出点C与点E的坐标，然后根据勾股定理求解即可.
【详解】
正方形的中心如图：作AF∥x轴，DF∥y，CG⊥DF．

∵DF∥y，
∴∠ADF=∠EAO，
∵AD＝AE，∠F=∠AOE，
∴△AFD≌△EOA，
∵∠DGC=∠AFD,∠DCG=∠ADF, CD＝AD，
∴△CDG≌△DAF,
∴DG＝AF＝EO＝2，GC＝DF＝AO＝4,
∴C为(2+4，4+(4-2))，即(6，6),
E为(-2，0)，C为(6，6)
​.
【点拨】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形与坐标及勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键.
25．；
【解析】
【分析】
过B作BE⊥y轴，过C作CF⊥x轴，垂足分别为E、F，可证明△ABE≌△DAO≌△CDF，可求得OE、BE、CF、OF的长，可求得B、C的坐标．
【详解】
解：如图，过B作BE⊥y轴，过C作CF⊥x轴，垂足分别为E、F，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD，
∴∠BAE+∠DAO=∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠BAE=∠ADO，
在△ABE和△DAO中，
，，
∴△ABE≌△DAO（AAS），
同理可得△DAO≌△CDF，
∵A（0，2），D（1，0），
∴BE=DF=OA=2，AE=CF=OD=1，
∴OE=OA+AE=2+1=3，OF=OD+DF=1+2=3，
∴B点坐标为（2，3），C点坐标为（3，2）．
【点拨】
本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，利用正方形的四边相等找到条件通过证明三角形全等求得BE、AE、CF、OF的长是解题的关键．
26．；
【解析】
【分析】
本题只有点在坐标轴上，且正方形在轴的两侧（即轴穿越了正方形），
故须作AE⊥x轴于E，CN⊥x轴于N，BM⊥NC于M，只要证明△CON≌△OAE，同理证明△CON≌△BCM，得CN=OE=BM，ON=AE=CM，求出OE、AE即可解决问题．
【详解】
解解；如图作AE⊥x轴于E，CN⊥x轴于N，BM⊥NC于M，

在RT△AOE中，∵∠AOE=60°，AO=2，
∴OE=1，AE=，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=CO=BC，∠AOC=∠OCB=90°，
∴∠CON+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠CON=∠OAE，
在△CON和△OAE中，
，
∴△CON≌△OAE，
同理△CON≌△BCM，
∴CN=OE=BM=1，ON=AE=CM=，
∴点C坐标（-，1），点B坐标（1-，1+）．
【点拨】
本题考查正方形的性质、直角三角形30度角的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，当正方形的部分点在坐标轴上，且正方形在坐标轴的两侧时，往往过另外的点向坐标轴（或已生成的垂线）作垂线，从而得到“三垂直”的基本图形，利用正方形边角的性质构造全等三角形求点的坐标.
27．（1）x＝；（2）当x＝a（即E在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为a2．
【分析】
（1）设正方形ABCD的边长为a，AG＝x，则DG＝a﹣x，易证△AHG≌△DGF≌△CFE≌△BHE，再利用勾股定理求出EF的长，进而得到正方形EFGH的面积；
（2）利用二次函数的性质即可求出面积的最小值．
【详解】
解：设正方形ABCD的边长为a，AG＝x，则DG＝a﹣x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴GH＝GF，∠HGF＝90°，
∴∠AGH+∠DGF＝90°，
∵∠AGH+∠AHG＝90°，
∴∠AHG＝∠DGF，
在△AHG和△DGF中，，
∴△AHG≌△DGF（AAS），
同理可证△AHG≌△DGF≌△CFE≌△BHE，
∴AG＝DF＝CE＝BH＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝a﹣x
∴EF2＝CF2+CE2＝（a﹣x）2+x2＝2x2﹣2ax+a2，
∴正方形EFGH的面积y＝EF2＝2x2﹣2ax+a2，
当a＝2，y＝3时，2x2﹣4x+4＝3，
解得：x＝；
（2）∵y＝2x2﹣2ax+a2＝2（x﹣a）2+a2，
即：当x＝a（即H在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为a2．

【点拨】
本题考查了二次函数的应用，正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质，题目的综合性较强，难度中等．
28．；
【解析】
【分析】
本题有、两个点都在坐标轴上，且正方形在坐标轴的同侧（基本上在第二象限），故只须过，两点分别向坐标轴作垂线即可. 作CE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，证明△BCE≌△ABO，得出对应边相等BE=OA=1，CE=BO=3，同理得出DF=OA=1，AF=BO=3，再求出OE、OF，即可得出结果．
【详解】
解：作CE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，如图所示：

则∠CEB=∠AFD=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，BC=AB，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△BCE和△ABO中，
，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
∴BE=OA=1，CE=BO=3，
同理得：DF=OA=1，AF=BO=3，
∴OE=4，OF=4，
∴C（-3，4），D（-4，1）．
【点拨】
本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质以及全等三角形的判定与性质；通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．当正方形的部分点在坐标轴上，且整个正方形在坐标轴的同侧时，往往过另外的点向坐标轴作垂线，从而得到“形外三垂直”的基本图形.