专题 17.16 用勾股定理解决动点问题（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 17.16 用勾股定理解决动点问题（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共57页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题 17.16 用勾股定理解决动点问题（专项练习）
一、单选题
1．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=25cm，AC=7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t s，当△APB为等腰三角形时，t的值为（            ）

A．或 B．或24或12 C．或24或12 D．或或24
2．正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为（       ）

A．6 B．8 C．10 D．9
3．如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，D为AB的中点，E为AC边上的动点，DE⊥DF交BC于点F，P为EF的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值是（　　）

A．3 B．2 C． D．
4．如图，在Rt△ADC中，AD=3，∠ADC=90°，∠C=30°， AC的中垂线GH分别交AC、DC于点G、H，I为HG上一动点，则△ADI的周长的最小值为（     ）


A．6 B． C． D．
5．如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且，．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（       ）

A． B．2 C．4 D．
二、填空题
6．如图，在等边中，，，，点从点出发沿方向运动，连接，以为边，在的右侧按如图所示的方式作等边，当点从点运动到点时，点运动的路径长是__．

7．如图1，点，为边长为8cm的正方形边，上的动点，连接，点为边的中点．将正方形沿线段折叠，使点的对应点落在线段上，点的对应点为，如图2所示．则线段的取值范围是______．

8．如图，射线OM⊥ON，垂足为O，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别与射线OM上的点E、点O重合，AB＝4．当点A从点E出发沿EO方向滑动，同时点B沿ON方向滑动．当点A从点E滑动到点O时，直角顶点C运动的路线长为 _____．

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，点E、F分别是AB、BC上的动点，沿EF所在直线折叠△ABC，使点B落在AC上的点B'处，当△AEB'是直角三角形时，AB'的长为_____．

10．如图，点M为线段AB上的一个动点，在AB同侧分别以AM和BM为边作等边AMC和等边BMD，若AB＝12，则线段CD的最小值为____．

11．如图，等腰中，，，P为射线BA上的动点，M为BC上一动点，则的最小值为________．

12．如图，点A坐标为（－4，－4），点B（0，m）在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△ABC，其中∠BAC＝90°．直线AC与x轴正半轴交于点C（n，0），当B点的运动过程中时，则m＋n的值为______．

13．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，∠A=30°，点A（-3，0），B（1，0）．根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：在Rt△ABC中，AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若点D是AB边上的动点，则CD+AD的最小值为______．

14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠B＝30°，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 _____．

15．已知：RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一个动点（其中0°＜∠BAD＜45°），以AD为直角边作RtADE，其中∠DAE＝90°，且AD＝AE，DE交AC于点F，过点A作AH⊥DE于点G，交BC于H，在D点的运动过程中，有下列结论：①ABD≌ACE：②BD2+DC2＝2AD2；③BD2+HC2＝DH2；④当BD1时，AC平分∠HAE；⑤当∠BAD＝22.5°时，，其中正确的有 _____．（将所有正确结论的番号填在答题卡对应题号的横线上）

16．如图，在等边中，是的两条中线，，P是上一个动点，则的周长最小值是___________．

三、解答题
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
(1)求AC的长．
(2)求斜边AB上的高．
(3)①当点P在BC上时，PC的长为　 　．（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为　 　．
(4)在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值．





18．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．
(1)如图1，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称点C恰好落在AB边上，求CD的长；
(2)如图2，E为线段AB上一点，沿CE翻折△CBE得到△CEB′，若EB′∥AC，求证：AE＝AC；
(3)如图3，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称为点C′，是否存在异于图1的情况的C′、B、D为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出BC′长；若不存在，请说明理由．




19．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，，点E从A出发沿AC向点C运动，点F从O出发沿OC向C运动，两点同时出发，速度均为1个单位/秒，并且一个点到达终点时另一个点也停止运动，设运动时间为t秒．
(1)求点B坐标．
(2)连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转得到线段ED，连接CD，求CD的长．
(3)在（2）的条件下，作点D关于EF的对称点G，连接CG、BG，当t为何值时，为直角三角形．

20．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B分别y轴、x轴上，连接AB，，．
(1)如图1，求点A、B的坐标：
(2)如图2，M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OB运动，连结AM．设的面积为S，点M的运动时间为t秒，求S与t的之间关系式，并直接写出t的取值范围；
(3)如图3，在（2）的条件下，当点运动到线段OB的延长线上时，过点B作于点H，将线段AM关于x轴对称ME，（A的对称点是E）交直线BH于点N，当时，求MN的长．

21．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝18，BC＝36.点P从B点出发沿射线BC方向以每秒4个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．
(1)当t＝3秒时，BP＝　 　；AP＝　 　；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
(3)当AP恰好平分∠BAC时，求t的值．





22．如图所示，在△ABC中，AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动．如果点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．
(1)经过3秒时，△BPQ的面积为多少？
(2)当t为何值时，BP＝BQ？
(3)当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？





23．小明也想利用轴对称设计一幅图参加班级的冬奥会主题画展，他在设计的过程中发现了一个有趣的现象：
(1)【发现】如图1，在中，点D在边AB上运动（点D不与A，B重合）时，连接CD，作关于CD的轴对称图形，边交AB于点E，交AC于点F．他发现CE与CF的有固定的数量关系，请你判断CE与CF的数量关系为 ．
(2)【拓展】继续深入研究发现：如图2，在中，当点D在边AB的延长线上运动（点D不与B重合）时，连接CD，作关于CD的轴对称图形，边的延长线交AB于点E，交AC的延长线于点F，他发现CE与CF仍然有固定的数量关系．请你判断（1）中的结论还成立吗？并说明理由．
(3)【应用】在中，若，，，请直接写出CF最小时AD的长度为 ．


24．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t，连接AP．
(1)当t＝3秒时，求AP的长度；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
(3)过点D作DE⊥AP于点E，连接PD，在点P的运动过程中，当PD平分∠APC时，直接写出t的值；


25．如图，已知为等腰直角三角形，且面积为4．点D是的中点，点F是直线上一动点，连结．
(1)求线段的长；
(2)当点E在射线上，且时，连结，若，试判断是否为等腰三角形，并说明理由；
(3)直线上是否存在点F（F不与重合），使的其中两边之比为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．



26．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC，点D是AB的中点，点P是直线BC上的一个动点，连接DP，过点D作DQ⊥DP交直线AC于点Q．
(1)如图①，当点P、Q分别在线段BC、AC上时（点Q与点A、C不重合），过点B作AC的平行线交QD的延长线于点G，连接PG、PQ．
①求证：PG＝PQ；
②若BC＝12，AC＝9，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数表达式；
(2)当点P在线段CB的延长线上时，依据题意补全图②，请写出线段BP、PQ、AQ之间的数量关系，并说明理由．


27．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC边上一动点，且不与点A、点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE=AB，连接CE．
(1)若∠AED＝20°，则∠DEC＝　 　度；
(2)若∠AED＝α，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
(3)如图2，延长EC到点H，连接BH2+CH2＝2AE2，连接AH与BE交于F，试探究BE与FH的关系．



28．如图1，点A在y轴上，点B，点C在x轴上，点D在第一象限，且△ABC与△ADC均为等边三角形，点B坐标为（﹣3，0），点E为线段BC上一动点，点F为直线DC上一动点，且∠EAF＝60°，连接EF．
(1)填空：写出点A、点D的坐标，点A　 　；点D　 　；
(2)试判断△AEF的形状，并给予证明；
(3)直接写出EF长度的最小值以及此时点F的坐标；
(4)将条件改为“点E为CB延长线上一点”，其他条件不变，△AEF的形状是否发生变化？在图2中画全图形（不必证明），直接写出当点E坐标为（﹣5，0）时，EF的长度以及此时点F的坐标．

参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的定义，分PA=PB，PA=AB，AB=PB三种情况求解．
【详解】
∵∠ACB=90°，AB=25cm，AC=7cm，
∴BC==24，
当PA=PB时，设PA=PB=x，则PC=24-x，

∴，
解得x=，
∴t==；
当AB=PB时，则AB=PB=25，

∴t=；
当AB=PA时，则BC=PC=24，


∴t==24；
故当△APB为等腰三角形时，t的值为或或24，
故选D．
【点拨】本题考查了分类思想，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理计算是解题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
要使DN＋MN最小,首先应分析点N的位置，根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分，知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN＋MN最小值及时BM的长．
【详解】
根据题意，连接BN，BM，

三点共线时，DN＋MN取得最小值，
则BM就是DN＋MN的最小值，


在Rt△BCM中，BC=8，CM=6，
根据勾股定理得：，
即DN＋MN的最小值是10，
故选C
【点拨】本题主要考查了正方形性质的应用，结合勾股定理判断最小路径是解题的关键．
3．D
【解析】
【详解】
连接PC，PD，CD，作线段CD的垂直平分线l，作A关于CD垂直平分线的对称点，根据题意可得：点P在CD的垂直平分线上运动，得出的最小值为，结合图形利用垂直及平行的关系得出，且，在中，利用勾股定理求解即可得．
【解答】
解：如图所示：连接PC，PD，CD，作线段CD的垂直平分线l，作A关于CD垂直平分线的对称点，

∵在中，P为EF的中点，
∴，
在中，
，
∴，
∴点P在CD的垂直平分线上运动，
∴的最小值为，
∵为等腰直角三角形，D为AB中点，
∴，
∴，
∵，
∴，且，
∴在中，
，
故选：D．
【点拨】题目主要考查最短路径问题，包括直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，轴对称的性质，垂直及平行的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
4．C
【解析】
【分析】
连接CI，根据线段垂直平分线的性质可得出，，由此即可推出的周长，根据最小时，即为I点与H点重合时，即为CD的长．最后根据含角的直角三角形的性质结合勾股定理，求出CD的值即可．
【详解】
如图，连接CI，


∵GH是线段AC的中垂线，
∴．
∵，
∴．
∵最小时，即为I点与H点重合时，即为CD的长，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选C．
【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理．正确的作出辅助线是解题关键．
5．A
【解析】
【分析】
要求的面积，想到过点作，垂足为，因为题目已知，想到把放在直角三角形中，所以过点作，垂足为，利用勾股定理求出的长，最后证明即可解答．
【详解】
解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

在中，，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
的面积，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线．
6．8
【解析】
【分析】
连接，作于，如图，根据等边三角形的性质得，过点作，则，则点与点重合，所以，，接着证明得到，于是可判断点运动的路径为一条线段，此线段到的距离为2，当点在点时，作等边三角形，则，当点在点时，作等边三角形，作于，则△，所以，所以，于是得到当点从点运动到点时，点运动的路径长为8．
【详解】
解：连接，作于，如图所示：

为等边三角形，
，
过点作，则，
点与点重合，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
点从点运动到点时，点运动的路径为一条线段，此线段到的距离为2 ，
当点在点时，作等边三角形，，则，
当点在点时，作等边三角形，作于，则△，
，
，
当点从点运动到点时，点运动的路径长为8．
故答案是：8．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，也考查了等边三角形的性质．在解决问题时，关键要掌握点运动的轨迹，利用代数或几何方法确定点运动的规律．
7．
【解析】
【分析】
当点P 与点B 重合时，CN 取得最小值0；当点P 与点E 重合时，CN 取得最大值，根据正方形边长为8，点为边的中点，设CN=x，则，CE=4，根据，利用勾股定理即可得出CN的长，取两种情况的中间值即可得到线段的取值范围．
【详解】
当点P 与点B 重合时，CN 取得最小值0；
当点P 与点E 重合时，CN 取得最大值
如图，


正方形边长为8，点为边的中点
设CN=x，则，CE=4


在中，

即
解得
此时，
所以，线段的取值范围是．
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠问题，涉及正方形的性质、勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．##
【解析】
【分析】
点C的运动路径是：C→C1→C，然后结合勾股定理分析求解．
【详解】
解：如图：

∵△ABC为等腰直角三角形，且AB=4，
∴OC=，
当点A滑动到点A1，点B滑动到点B1时，
点C的运动路径是线段CC1，
由题意可得，此时四边形A1OB1C1是正方形，且A1B1=4，
∴OC1=A1B1=4，
∴CC1=，
当点A滑动到点O，点B滑动到点B2时，
点C1的运动路径是线段C1C，
∴直角顶点C运动的路线长为2（）=，
故答案为：．
【点拨】本题考查轨迹、等腰直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找点C的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
9．或4()
【解析】
【分析】
利用直角三角形的性质得到∠A=30°，由折叠的性质推出BE=B'E，然后分两种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】
解：根据折叠的性质知：BE=B'E，BF=B'F，EF是线段BB'的垂直平分线，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，
∴∠A=30°，
当∠AB'E=90°时，△AEB'是直角三角形，如图：

∵∠A=30°，
∴EB'=AE，
∴EB=AE，
∵AB=4，
∴AE=AB=，BE=B'E=，
∴AB'=(83)2−(43)2=433；
当∠AEB'=90°时，△AEB'是直角三角形，如图：

∵∠A=30°，
∴EB'=AB'，
由勾股定理得AE=B'E=BE，
∵AB=4，
∴BE+BE=4，
解得：BE=2()，即B'E=2()，
∴AB'=2B'E=4()，
综上，当△AEB'是直角三角形时，AB'的长为或4()．
故答案为：或4()．
【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作出图形，分类讨论是解题的关键．
10．6
【解析】
【分析】
过作于，过作于，过作于，利用平行线间距离相等可得，根据勾股定理可以求得，根据的取值范围可以求得的最小值，即可解题．
【详解】
解：如图过作于，过作于，过作于，
，
，
根据平行线间距离相等，
，

为等边三角形，
，
根据等腰三角形三线合一的性质，
，
，，
，故时，有最小值，
当M为中点时，有，
长度的最小值是6．
故答案为：6．
【点拨】本题考查的是等边三角形的性质及勾股定理在直角三角形中的灵活运用，解题的关键是根据勾股定理计算的值．
11．
【解析】
【分析】
作点C关于BA的对称点D，连接BD，点M1是BC上一点，连接DM1，交AB于点P，连接CP，作DM⊥BC于M，可知DM最短，根据勾股定理求出长度即可．
【详解】
解：作点C关于BA的对称点D，连接BD，点M1是BC上一点，连接DM1，交AB于点P，连接CP，作DM⊥BC于M，
由对称可知，DP=CP，
∴
当DM⊥BC时，最短，最小值为DM长，
∵等腰中，，，
∴，
由对称得，，，
∴，，
∴，
，
故答案为：．

【点拨】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题关键是恰当作辅助线，利用垂线段最短和勾股定理求解．
12．-8
【解析】
【分析】
根据勾股定理和坐标的性质，分别计算得、、，结合∠BAC＝90°，根据勾股定理的性质计算，即可得到答案．
【详解】
根据题意，得：


∵∠BAC＝90°
∴
∴
∴
∴
故答案为：-8．
【点拨】本题考查了勾股定理、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解．
13．3
【解析】
【分析】
作射线AG，使得∠BAG=30°，过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，故DE=AD，故CD+AD=CD+DE≥CF，求出CF即可．
【详解】
解：∵点A（-3，0），B（1，0），∠CAO=30°，
∴AO=3，BO=1，AC=2OC，
∵AC2=AO2+OC2，即(2OC)2=32+OC2，
解得：OC=，
∴AC=2OC2，
作射线AG，使得∠BAG=30°，
过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，


∴DE=AD，
∴CD+AD=CD+DE≥CF，
∵∠CAG=∠CAB+∠BAG=60°，即∠ACF=30°，且AC=2，
∴AF=AC=，
CF==3，
∴CD+AD的最小值为3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了坐标与图形，含30°直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，作出射线AG，使得∠BAG=30°是本题的关键．
14．
【解析】
【分析】
延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．运用勾股定理求解．
【详解】
解:如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．

∵AC=6，CF=2，
∴AF=AC-CF=4，
∵∠B＝30°，∠ACB=90°
∴∠A=60°
∵∠AMF=90°，
∴∠AFM=30°，
∴AM=AF=2，
∴FM==2 ，
∵FP=FC=2，
∴PM=MF-PF=2-2，
∴点P到边AB距离的最小值是2-2．
故答案为: 2-2．
【点拨】本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解题的关键是确定出点P的位置．
15．①②③④
【解析】
【分析】
证明∠BAD=∠CAE，结合 可判断①，证明 再结合全等三角形与等腰直角三角形的性质可判断②，如图，连接 则证明是的垂直平分线，结合垂直平分线的性质可判断③，利用勾股定理求解 再证明 可判断④，如图，过作于 证明 可得 从而可判断⑤.
【详解】
解：在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，
∵AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，AD=AE．
∴∠BAD=∠CAE．
∴△ABD≌△ACE． 故①符合题意；
在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，

△ABD≌△ACE，


故②符合题意，
如图，连接 则

等腰直角三角形ADE，

故③符合题意；

而

解得：


即平分 故④符合题意，
如图，过作于

而

而

而

故⑤不符合题意；
综上：符合题意的有：①②③④.
故答案为：①②③④
【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，利用证明三角形全等，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的定义与性质，角平分线的性质的应用，二次根式的乘法运算，掌握以上知识是解本题的关键.
16．
【解析】
【分析】
如图连接，只要证明，即可推出，由，推出、、共线时，的值最小，最小值为的长度，进而可求的周长最小值．
【详解】
解：如图连接，


，，
，
，
，
，
、、共线时，的值最小，最小值为的长度，
∵是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∵，
∴的周长最小值为；
故答案为．
【点拨】本题主要考查等边三角形的性质、轴对称最短问题及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质、轴对称最短问题及勾股定理是解题的关键．
17．(1)AC＝8
(2)斜边AB上的高为
(3)①16﹣2t；②．
(4)t的值为1.4或2或2.5或11
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理直接求出AC的值；
（2）由勾股定理可求得AC的值，再设斜边AB上的高为h，由面积法可求得答案；
（3）分两种情况计算即可：①当点P在CB上时，②当点P'在∠BAC的角平分线上时；
（4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，当点P在线段AC上时，分三种情况：BC=BP；PC=BC；PC=PB，分别求得点P运动的路程，再除以速度即可得出答案．
(1)
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝＝8；
(2)
设边AB上的高为h
则，
∴，
∴，
答：斜边AB上的高为；
(3)
①当点P在BC上时，点P运动的长度为AB+BP＝2t，
则PC＝BC﹣BP＝6﹣（2t﹣10）＝6﹣2t+10＝16﹣2t；
②当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，如图：

∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，
∴PD＝PC，
有①知，PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10，
∴PD＝16﹣2t，
在Rt△ACP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），
∴AD＝AC＝8，
又∵AB＝10，
∴BD＝2，
在Rt△BDP中，由勾股定理得：
22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，
解得：t＝．
故答案为：①16﹣2t；②．
(4)
由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，
①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，

则CP＝BC＝6，
∴AP＝AC﹣CP＝8﹣6＝2，
∴10+8+6﹣2t＝24﹣2t＝2
∴t＝11；
②当点P在线段AB上时，若BC＝BP，

则点P运动的长度为AP＝2t，
∵AP＝AB﹣BP＝10﹣6＝4，
∴2t＝4，
∴t＝2；
若PC＝BC，如图2，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，

在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AB•CH＝AC•BC，
∴10CH＝8×6，
∴CH＝，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
BH＝＝＝＝3.6，
∴BP＝2BH＝7.2，
∴点P运动的长度为：AP＝AB﹣BP＝10﹣7.2＝2.8，
∴2t＝2.8，
∴t＝1.4；
若PC＝PB，如图3所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，

则BQ＝CQ＝×BC＝3，∠PQB＝90°，
∴∠ACB＝∠PQB＝90°，
∴PQ//AC，
∴PQ为△ABC的中位线，
∴PQ＝×AC＝×8＝4，
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP＝＝＝5，
点P运动的长度为AP＝2t，
AP＝AB﹣BP＝10﹣5＝5，
∴2t＝5，
∴t＝2.5．
综上，t的值为1.4或2或2.5或11．
【点拨】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
18．(1)
(2)见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）首先勾股定理得AB=5，再由对称性得AC'=AC=4，得BC'=1，在Rt△BC'D中，利用勾股定理列方程即可；
（2）由翻折得∠B'=∠B，∠B'CE=∠BCE，再根据∠AEC=∠B+∠BCE，∠ACE=∠B'CA+∠B'CE，可得∠AEC=∠ACE，从而证明结论；
（3）当∠C'BD=90°时，过点A作AE⊥AC，交BC'延长线于点E，设BC'为x，则C'E=4-x，在Rt△AC'E中，由勾股定理得，（4-x）2+32=42，解方程从而解决问题．
(1)
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
∵点C关于AD的对称点C′恰好落在AB边上，
∴AC'=AC=4，
∴BC'=1，
在Rt△BC'D中，由勾股定理得，
（3-CD）2=12+CD2，
解得：CD=；
(2)
证明：∵沿CE翻折△CBE得到△CEB′，
∴∠B'=∠B，∠B'CE=∠BCE，
∵EB'∥AC，
∴∠B'=∠B'CA=∠B，
∴∠AEC=∠B+∠BCE，∠ACE=∠B'CA+∠B'CE，
∴∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC；
(3)
存在，BC'=，
∵∠ADC＞45°，
∴∠BDC'不可能为90°，
当BC'⊥BC时，过点A作AE⊥AC，交BC'延长线于点E，

∵∠C=∠C'BD=90°=∠E，
∴四边形ACBE为矩形，设BC'为x，则C'E=4-x，
∵△ACD翻折后得到△AC'D，
∴AC'=AC=4，
∵AE=BC=3，
在Rt△AC'E中，由勾股定理得，
∴（4-x）2+32=42，
解得：x=，
∵x＜4，
∴x=，
即BC′长为．
【点拨】本题是几何变换综合题，主要考查了翻折变换，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
19．(1)
(2)
(3)满足条件的的值为或．
【解析】
【分析】
（1）由题意易得，设，则有，然后根据勾股定理可求解．
（2）如图，在上截取，使得，可得等边，连接DF，证明可得结论．
（3）分两种情形：①如图，当时，设交轴于．证明，构建方程即可解决问题．②当时，点与点重合，为的中点，可得，此时与重合．
(1)
解：∵，，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
解得：，
．
(2)
解：如图，在上截取，使得，可得等边，连接DF，

，都是等边三角形，
，，，
∵为的公共角，
∴，
，
，
由题意得，则，，
，
．
(3)
解：①如图2中，当时，连接FG，设交轴于．

由（1）可知：，，
∴，
∴，
∴，
，，，
，，
，
，
，
，
；
②当时，点与点重合，为的中点，可得，此时与重合，
综上所述，满足条件的的值为或．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了坐标与图形，含30度直角三角形的性质，二次根式的运算，勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
20．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据，，利用三角形面积公式求解即可；
（2）根据题意可知，，当时，不存在，继而分类讨论，根据三角形面积公式进行计算即可；
（3）设，根据对称性，以及三角形的外角性质，导角可得，根据等角对等边可得，设，在中，建立方程求得，进而即可求得的长．
(1)
，，

解得（负值舍去）

(2)
M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OB运动，连结AM．设的面积为S，

，当时，不存在，

当时，
当时，

(3)
如图3，连接，

点运动到线段OB的延长线上时，


则




在中，




是等腰直角三角形

设


对称

在中，

又


设

在中，
即
解得


【点拨】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，三角形的外角的性质，等角对等边，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
21．(1)12；30
(2)或18或
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出BP，根据勾股定理计算，求出AP；
（2）分BP＝AB、AP＝AB、PA＝PB三种情况，根据勾股定理计算即可；
（3）过点P作PF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到PC＝PF，进而证明Rt△APF≌Rt△APC，根据全等三角形的性质得到AF＝AC，根据勾股定理计算，得到答案．
(1)
解：由题意得：BP＝4t，
∴当t＝3秒时，BP＝4×3＝12，
∵BC＝36，
∴PC＝BC﹣BP＝36﹣12＝24，
由勾股定理得：AP＝＝＝30，
故答案为：12；30；
(2)
在Rt△ABC中，AC＝18，BC＝36，
∴AB＝＝＝18，
当BP＝AB＝18时，t＝18÷4＝；
当AP＝AB时，BP＝2BC＝72，则t＝72÷4＝18；
当PA＝PB＝4t时，
在Rt△APC中，AP2＝PC2＋AC2，即（4t）2＝（36﹣4t）2＋182，
解得：t＝，
综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t＝或18或；
(3)
如图，过点P作PF⊥AB于F，
∵AP平分∠BAC，PF⊥AB，∠ACB＝90°，
∴PC＝PF＝36﹣4t，
在Rt△APF和Rt△APC中，
，
∴Rt△APF≌Rt△APC（HL），
∴AF＝AC＝18，
∴BF＝18﹣18，
在Rt△BPF中，BP2＝PF2＋BF2，即（4t）2＝（18﹣18）2＋（36﹣4t）2，
解得：t＝，即AP恰好平分∠BAC时，t＝．

【点拨】本题考查勾股定理，角平分线的性质，全等的性质与判定，以及分类讨论思想，能够熟练掌握勾股定理，并运用全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．
22．(1)18cm2
(2)t＝4.5

(3)t＝3
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的周长公式求出三边长，根据勾股定理的逆定理得出∠B＝90°，根据三角形的面积公式求出△BPQ的面积；
（2）根据题意列出方程，解方程得到答案；
（3）根据线段垂直平分线的性质得到BP＝BQ，进而列出方程，解方程即可得出答案．
(1)
设AB、BC、CA分别为3x、4x、5x，
由题意得：3x＋4x＋5x＝36，
解得：x＝3，
则AB＝3x＝9，BC＝4x＝12，AC＝5x＝15，
∵AB2＋BC2＝92＋122＝225，AC2＝152＝225，
∴AB2＋BC2＝AC2，
∴∠B＝90°，
当t＝3时，AP＝3cm，BQ＝6cm，
则BP＝9﹣3＝6cm，
∴S△BPQ＝×6×6＝18（cm2）；
(2)
由题意得：AP＝t，BQ＝2t，
则BP＝9﹣t，
当BP＝BQ时，9﹣t＝×2t，
解得：t＝4.5；
(3)
当点B在PQ的垂直平分线上时，BP＝BQ，即9﹣t＝2t，
解得：t＝3．
【点拨】本题考查了勾股定理，三角形面积，注意数形结合、方程思想的应用．
23．(1)
(2)成立，理由见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）连接，根据轴对称的性质可得，进而根据证明，即可得
（2）连接，方法同（1）证明可得，进而证明，即可得；
（3）根据题意当时，CF最小，根据（2）的结论可得，，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而求得的长．
(1)
，理由如下，
如图，连接，

根据轴对称的性质可得，
又


故答案为：
(2)
，理由如下，
如图，连接，

根据轴对称的性质可得，



即
在与中


，
在与中


；
(3)
如图，根据题意当时，CF最小，

根据（2）的结论可得，
，

，，，


在中，，



故答案为：
【点拨】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握轴对称的性质是解题的关键．
24．(1)AP=
(2)t=16秒或t=秒或t=5秒
(3)t=5秒或11秒
【解析】
【分析】
（1）根据动点的运动速度和时间先求出PC，再根据勾股定理即可求解；
（2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；
（3）分两种情况：①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，先证△PDE≌△PDC，得出ED=CD=3，PE=PC=20-2t，再由勾股定理求出AE=4，则AP=20-2t，然后在Rt△APC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，同①得△PDE≌△PDC，得出ED=CD=3，PE=PC=2t-20，再由勾股定理得AE=4，则AP=2t-16，然后在Rt△APC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
(1)
根据题意，得BP=2t，
∴PC=16-2t=16-2×3=10，
在Rt△APC中，AC=8，
根据勾股定理，得AP=．
答：AP的长为．
(2)
在Rt△ABC中，AC=8，BC=16，
根据勾股定理，得，
∵△ABP为等腰三角形，
若PA=PB，则AP=2t，
在Rt△ACP中，根据勾股定理得，（2t）2=（16-2t）2+82，解得t=5．
若BA=BP，则 2t=，解得t=；
若AB=AP，则BP=32，2t=32，解得t=16；
即满足条件的t的值为或16或5．
(3)
①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：

则∠AED=∠PED=90°，
∴∠PED=∠ACB=90°，
∵PD平分∠APC，
∴∠EPD=∠CPD，
又∵PD=PD，
∴△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED=CD=3，PE=PC=16-2t，
∴AD=AC-CD=8-3=5，
∴AE=，
∴AP=AE+PE=4+16-2t=20-2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16-2t）2=（20-2t）2，
解得：t=5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：

同①得：△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED=CD=3，PE=PC=2t-20，
∴AD=AC-CD=8-3=5，
∴AE=，
∴AP=AE+PE=4+2t-16=2t-12，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t-16）2=（2t-12）2，
解得：t=11；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，PD平分∠APC．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解本题的关键．
25．(1)线段BC的长为4；
(2)△DEF是等腰三角形，理由见解析
(3)存在，BF的长为4或4+2或4-2或2+2或2-2．
【解析】
【分析】
（1）利用三角形面积公式求得AB的长，再利用勾股定理即可求得线段BC的长；
（2）过点F作FH⊥BE于点H，得到△BHF为等腰直角三角形，求得BF=8，BH=FH=8，根据已知可求得DE= DF=10，即可说明△DEF是等腰三角形；
（3）分AC：CF=1：，AC：AF=1：，AF：AC=1：时，三种情况讨论即可求解．
(1)
解：∵△ABC为等腰直角三角形，且AB=AC，面积为4，
∴AB×AC=4，
∴AB=AC=2，
∴BC=4，
∴线段BC的长为4；
(2)
解：△DEF是等腰三角形，理由如下：
过点F作FH⊥BE于点H，

∵△ABC为等腰直角三角形，且AB=AC=2，BC=4，
∴∠ABC=∠BCA=45°，
∴△BHF为等腰直角三角形，且BH=FH，
∵AF=3AB=6，
∴BF=8，
∵BH2+FH2=BF2，即2BH2=(8)2，
∴BH=FH=8，
∵点D是BC的中点，
∴BD=DC=2，则DH=BH-BD=6，
∵DH2+FH2=DF2，即62+82=DF2，
∴DF=10，
∵CE=2BC=8，
∴DE=DC+CE=10，
∴DE= DF=10，
∴△DEF是等腰三角形；
(3)
解：存在，理由如下：
∵△ABC为等腰直角三角形，且AB=AC=2，BC=4，
∴∠BAC=∠FAC=90°，
①当AC：CF=1：时，

∵AB=AC=2，
∴CF=4，AF=2，
∴BF=AB+ AF=4；
②当AC：AF=1：时，

∵AB=AC=2，
∴AF=4，
∴BF=4+2或4-2；
③当AF：AC=1：时，

∵AB=AC=2，
∴AF=2，
∴BF=2+2或2-2；
综上，存在点F，使△ACF的其中两边之比为1:，BF的长为4或4+2或4-2或2+2或2-2．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
26．(1)①证明见解析；②
(2)作图见解析，AQ2＋BP2＝PQ2，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）①证明，有，知DP垂直平分GQ，进而可证；②，由勾股定理知，有，计算整理即可；
（2）补充图形作图如图②，③，证明过程均同（1）．
(1)
解：①证明：由题意知
∵
∴
在和中

∴
∴
∵
∴DP垂直平分GQ
∴；
②∵
∴；
∴由勾股定理知
∴
∴
∴y关于x的函数表达式为．
(2)
解：AQ2＋BP2＝PQ2．
补全图形，如图②：

证明：作，交QD的延长线于点G，连接
同（1）可证
∴
∵
∴DP垂直平分GQ
∴
∴
∴由勾股定理知
∴；
补全图形，如图③：

证明：作，交QD的延长线于点G，连接
同（1）可证
∴
∵
∴DP垂直平分GQ
∴
∴
∴由勾股定理知
∴；
综上所述，．
【点拨】本题考查了三角形全等，垂直平分线的性质，勾股定理的应用．解题的关键在于对知识的灵活运用．
27．(1)45
(2)∠AEC-∠AED=45°，证明见解析
(3)BE⊥FH，BE=2FH．
【解析】
【分析】
（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE=140°，可得∠CAE=50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC=∠ACE=65°，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE=180°-2α，可得∠CAE=90°-2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC=∠ACE=45°+α，可得结论；
（3）由条件得出∠BHC=90°，进而得出BH=EH，再结合AB=AE，得出AH垂直平分BE，进一步得出结论．
(1)
解：∵AB=AC，AE=AB，
∴AB=AC=AE，
∴∠ABE=∠AEB，∠ACE=∠AEC，
∵∠AED=20°，
∴∠ABE=∠AED=20°，
∴∠BAE=140°，且∠BAC=90°，
∴∠CAE=50°，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，且∠ACE=∠AEC，
∴∠AEC=∠ACE=65°，
∴∠DEC=∠AEC-∠AED=45°，
故答案为：45；
(2)
猜想：∠AEC-∠AED=45°，
理由如下：∵∠AED=∠ABE=α，
∴∠BAE=180°-2α，
∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=90°-2α，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，且∠ACE=∠AEC，
∴∠AEC=45°+α，
∴∠AEC-∠AED=45°；
(3)
解：BE⊥FH，BE=2FH．理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴BC2=AB2+AC2=2AB2，
∵AE=AB，BH2+CH2=2AE2，
∴BH2+CH2=2AB2=BC2，
∴∠BHC=90°，
由（2）得：∠DEC=45°，
∴∠HBE=45°，
∴BH=EH，
∵AB=AE，
∴AH垂直平分BE，
∴BE⊥FH，BE=2FH．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线判定等知识，解决问题的关键熟练掌握等腰三角形和勾股定理逆定理等相关知识．
28．(1)（0，3），（6，3）
(2)△AEF是等边三角形，理由见解析
(3)EF的最小值为3，F（）
(4)EF2，F（2，）
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理求出OA的长，由等边三角形的性质证出AD∥BC，则可得出答案；
（2）证明△ABE≌△ACF（ASA），由全等三角形的性质得出AE＝AF，由等边三角形的性质可得出结论；
（3）当AE⊥BC时，AE取得最小值，由直角三角形的性质可得出答案；
（4）过点F作FN⊥BC于点N，由勾股定理求出NF和EF，则可得出答案．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，

∴OB＝OC，∠BAO＝∠CAO＝30°，
∵点B坐标为（﹣3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴AB＝6，
∴OA3，
∴A（0，3），
∵△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴AD＝AC＝AB＝6，∠ACB＝∠ACD＝∠D＝60°，
∴∠D+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
∴D（6，3），
故答案为：（0，3），（6，3）；
（2）△AEF是等边三角形．
证明：∵△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACD＝∠BAC＝60°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形．
（3）由（2）知AE＝EF＝AF，
当AE⊥BC时，AE取得最小值，

∴AE＝OA＝3，
过点F作FM⊥x轴于点M，
∵∠FOM＝30°，OF＝3，
∴FM，
∴OM，
∴F（），
即EF的最小值为3，F（）；
（4）由（2）可知△ABE≌△ACF（ASA），
∵E（﹣5，0），OB＝3，
∴BE＝2，
∴BE＝CF＝2，CE＝8，
∵∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠ECF＝60°，
过点F作FN⊥BC于点N，如图3，

∴CNCF＝1，
∴NF，
∴EF2，
∵OC＝3，
∴ON＝OC﹣CN＝3﹣1＝2，
∴F（2，）．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、垂线段的性质等知识与方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．