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专题 18.34 特殊平行四边形动点问题专题训练（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题 18.34 特殊平行四边形动点问题专题训练（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题 18.34 特殊平行四边形动点问题专题训练（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值错误的是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，正方形的两边在坐标轴上，，，点P为OB上一动点，的最小值是（ ）
A．8 B．10 C． D．
3．如图，点是中斜边(不与，重合)上一动点，分别作于点，作于点，连接、，若，，当点在斜边上运动时，则的最小值是（ ）
A．1.5 B．2
C．4.8 D．2.4
4．如图，长方形中，，点从出发，以的速度沿运动，最终到达点，在点运动了3秒后点开始以的速度从运动到，在运动过程中，设点的运动时间为，则当的面积为时，的值（ ）
A．2或 B．2 C． D．1
5．如图，有一菱形ABCD与一正方形CEFG，其中动点E在边AD上，菱形边长与正方形边长相等．若∠ADC＝60°，AB＝4，则点B到边CG所在直线的距离为（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、填空题
6．如图，在菱形中，，°，点同时由两点出发，分别沿向点匀速移动（到点为止），点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为_____________．
7．如图，点M是的中点，点P在上．分别以，为边，作正方形和正方形，连接和，设，，且，．则图中阴影部分的面积为__________．
8．如图，在菱形中，，，点，同时由，两点出发，分别沿，方向向点匀速运动，点的运动速度为，点的运动速度为，点到达点后，点与点同时停止运动．若运动时间为秒时，为等边三角形，则的值为__________．
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=12cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t=______秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形．
10．如图，在菱形c中，分别是边，对角线与边上的动点，连接，若，则的最小值是___．
11．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为(4，0)，C点的坐标为(0，6)，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着O→A→B→C→O的路线移动在点P移动过程中，当P点到x轴的距离为5个单位时，点P移动的时间为________
12．如图，平行四边形ABCD中，AB=2cm，BC=12cm，点P在边BC上，由点B向点C运动，速度为每秒2cm，点Q在边AD上，由点D向点A运动，速度为每秒1cm，连接PQ，设运动时间为秒．当=______时，四边形ABPQ为平行四边形；
13．如图，在长方形中，长为3，长为6，点从出发沿向以每秒1个单位的速度运动，同时点从出发沿向以每秒2个单位的速度运动（当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动）.若运动的时间为秒，则三角形的面积为______（用含的式子表示）.
14．如图，正方形边长为，动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为时，点所在位置为________；当点所在位置为点时，点的运动路程为________（用含自然数的式子表示）．
15．如图，▱ABCD中，AB=10cm，AD=15cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），在运动以后，当以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形时，运动时间t为_____秒．
16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝12，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间为_____秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题
17．如图，在长方形中，厘米，厘米．延长到点，使厘米，动点从点出发，以2厘米/秒的速度向终点匀速运动，连接．设运动时间为秒，解答下列问题：
（1）当为何值时，为等腰直角三角形？
（2）设四边形的面积为（平方厘米），试确定与的关系式；
（3）当为何值时，的面积为长方形面积的？
（4）若动点从点出发，以2厘米/秒的速度沿向终点运动，是否存在使和全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
18．在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？
19．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿运动，点从点出发的同时，点从点出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点、运动的时间为秒，从运动开始，当取何值时，？
20．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止．已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．
（Ⅰ）当x为何值时，AP、ND长度相等？
（Ⅱ）当x为何值时，以PQ、MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边能构成一个三角形？
（Ⅲ）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？
21．如图，ABCD是直角梯形，AB=18cm，CD=15cm，AD=6cm，点P从B点开始，沿BA边向点A以1cm/s的速度移动，点Q从D点开始，沿DC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、D同时出发，P、Q有一点到达终点时运动停止，设移动时间为t．
（1）t为何值时四边形PQCB是平行四边形？
（2）t为何值时四边形PQCB是矩形？
（3）t为何值时四边形PQCB是等腰梯形？
22．如图，长方形ABCD的各边与坐标轴都平行，点A，C的坐标分别为(－1，1)，(，－2)．
(1)求点B，D的坐标．
(2)一动点P从点A出发，沿长方形的边AB，BC运动至点C停止，运动速度为每秒个单位长度，设运动时间为t s.
①当t＝1 时，求点P的坐标；
②当t＝3 时，求三角形PDC的面积．
23．如图1，在▱ABEF中，AB=2，AF＜AB，现将线段EF在直线EF上移动，在移动过程中，设线段EF的对应线段为CD，连接AD、BC．
（1）在上述移动过程中，对于四边形的说法不正确的是B
A．面积保持不变 B．只有一个时刻为菱形
C．只有一个时刻为矩形 D．周长改变
（2）在上述移动过程中，如图2，若将△ABD沿着BD折叠得到△A′BD（点A′与点C不重合），A′B交CD于点O．
①试问A′C与BD平行吗？请说明理由；
②若以A′、D、B、C为顶点的四边形是矩形，且对角线的夹角为60°，求AD的长．
24．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD="24" cm，BC="26" cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
（3）经过多长时间，四边形PQCD是等腰梯形？
参考答案
1．B
【分析】
根据平行四边形的性质得出DP＝BQ，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵P在AD上运动，
∴t≤15÷1＝15，即t≤15，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B﹣C，
由题意得：4t﹣15＝15﹣t，
解得：t＝6；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，
由题意得：15﹣（4t﹣30）＝15﹣t，
解得：t＝10；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，
由题意得：4t﹣45＝15﹣t，
解得：t＝12；
综上所述，t的值为6或10或12，
故选：B．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质和平行四边形中的动点问题，解题的关键是根据题意分情况讨论．
2．C
【分析】
先找到点A关于OB的对称点C，连结CD交OB于点P′，当点P运动到P′时PA+PD最短，在Rt△COD中用勾股定理求出CD即可．
【详解】
正方形ABCO，
A、C两点关于OB对称，
连接CD，交OB于，
，
，
当C、P、D三点共线时，取最小值，
，，
，
故选择：C．
【点拨】本题考查动点问题，掌握正方形的性质，与轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理，会利用对称性找对称点，会利用P、C、D三点一线最短，会用勾股定理求出最短距离是解题关键．
3．C
【分析】
由，于点，作于点，可证四边形是矩形，由矩形的性质有MN=BP，要使的最小值就是BP最小，当时，最小利用三角形ABC的面积来求 ．
【详解】
解：如图所示：连接，
∵，于点，作于点，
∴四边形是矩形，
∴MN=BP，
∴的最小值就是BP最小，
，
当时，最小，
∴．
故选择：C．
【点拨】本题考查三角形内接矩形的对角线最短问题，掌握点到直线距离的求法，会利用已知条件证明矩形把所求线段进行转化，会利用勾股定理求边长，会利用不同方法求面积是解题关键．
4．A
【分析】
分两种情况讨论，①当在上或②当在上，分别计算AQ、AQ边上的高的长，再结合三角形面积公式解题即可．
【详解】
①当在上，点的速度为，如图①所示：
解得
②当在上，点的速度为
当的速度为，如图②所示：
，的高为，
解得；
综上可得，当或时，的面积为．
故选A．
【点拨】本题考查四边形综合题，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．A
【分析】
过点B作BH⊥CG，交CG的延长线于点H，根据题意易得是等边三角形，进而推出∠BCG=30°，可求出点B到边CG所在直线的距离．
【详解】
解：过点B作BH⊥CG，交CG的延长线于点H，如图所示：
菱形ABCD与正方形EFGC的边长相等，，
是等边三角形，，
，，
AB=4，AB=BC=4，．
故选A．
【点拨】本题主要考查菱形、正方形的性质及直角三角形的性质，关键是利用菱形及正方形的性质得到是等边三角形，然后由直角三角形的性质进行求解即可．
6．
【分析】
延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌△EMF，得到△BMF是等边三角形，再利用菱形的边长为5求出时间t的值．
【详解】
解：延长AB至M，使BM=AE，连接FM，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，
∴AB=AD，∠A=60°，
∵BM=AE，
∴AD=ME，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DAE=∠DFE=60°，DE=EF=FD，
∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA=180°-∠A=120°，
∴∠MEF=∠ADE，
∴在△DAE和△EMF中，
∴△DAE≌EMF（SAS），
∴AE=MF，∠M=∠A=60°，
又∵BM=AE，
∴△BMF是等边三角形，
∴BF=AE，
∵AE=t，CF=2t，
∴BC=CF+BF=2t+t=3t，
∵BC=5，
∴3t=5，
∴t=，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出△BMF是等边三角形．
7．90
【分析】
由，点M是的中点，AM=BM=AB=6，分别用含代数式表示面积S正方形APCD，S正方形PBE，S△AMD，S△MBE，阴影面积为S阴影=S正方形APCD+S正方形PBEF-S△AMD-S△BME求出即可．
【详解】
点M是的中点，，AM=BM=AB=6，
S正方形APCD=AP2=，S正方形PBEF=PB2=，S△AMD=，
S△MBE=，
S阴影=S正方形APCD+S正方形PBEF-S△AMD-S△BME，
=，
．
故答案为90．
【点拨】本题考查动点图形的面积问题，掌握求面积的方法，会求正方形面积，三角形面积，熟悉面积公式，会用割法求面积是解题关键．
8．
【分析】
延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌EMF，得到△BMF是等边三角形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值.
【详解】
延长AB至M，使BM=AE，连接FM，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°
∴AB=AD，∠A=60°，
∵BM=AE，
∴AD=ME，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DAE=∠DFE=60°，DE=EF=FD，
∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA=180°-∠A=120°，
∴∠MEF=∠ADE，
∴在△DAE和△EMF中，
∴△DAE≌EMF（SAS），
∴AE=MF，∠M=∠A=60°，
又∵BM=AE，
∴△BMF是等边三角形，
∴BF=AE，
∵AE=t，CF=2t，
∴BC=CF+BF=2t+t=3t，
∵BC=4，
∴3t=4，
∴t=
故答案为：.
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出△BMF是等边三角形.
9．3或6
【分析】
根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的对边相等列出方程即可求出结论．
【详解】
解：当P运动在线段AD上运动时， AP=3t，CQ=t，
∴DP=AD-AP=12-3t，
∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD=CQ，
∴12-3t=t，
∴t=3秒；
当P运动到AD线段以外时，AP=3t，CQ=t，
∴DP=3t-12，
∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD=CQ，
∴3t-12=t，
∴t=6秒，
故答案为：3或6
【点拨】此题考查的是平行四边形与动点问题，掌握平行四边形的对应边相等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
10．
【分析】
作点Q关于BD对称的对称点Q’，连接PQ，根据两平行线之间垂线段最短，即有当E、P、Q’在同一直线上且 时，的值最小，再利用菱形的面积公式，求出的最小值．
【详解】
作点Q关于BD对称的对称点Q’，连接PQ．
∵四边形ABCD为菱形
∴ ，
∴
当E、P、Q’在同一直线上时，的值最小
∵ 两平行线之间垂线段最短
∴当 时，的值最小
∵
∴ ，
∴
∵
∴
解得
∴的最小值是 ．
故答案为：．
【点拨】本题考查了菱形的综合应用题，掌握菱形的面积公式以及两平行线之间垂线段最短是解题的关键．
11．秒或秒
【分析】
根据点P到x轴的距离为5，可知共有两种情况：P在AB边上或P在OC边上，进行分类讨论，根据点P的运动方向以及距离计算得到点的运动时间即可.
【详解】
解：根据题意可知，点P距离x轴的距离为5时点P的坐标为（4,5）或（0,5）
当P的坐标为（4,5）时，P在AB边上，运动的距离为4+5=9，所以运动时间为
当P的坐标为（0,5）时，P在OC边上，运动的距离为4+6+4+1=15，所以运动时间为
∴点P的运动时间为或.
故答案为秒或秒
【点拨】本题主要考查矩形中的动点问题，掌握P点的运动轨迹和运动的距离是解题的关键.
12．4
【分析】
因为在平行四边形ABCD中，AQ∥BP，只要再证明AQ=BP即可，即点P所走的路程等于Q点在边AD上未走的路程．
【详解】
由已知可得：BP=2t，DQ=t，
∴AQ=12−t.
∵四边形ABPQ为平行四边形，
∴12−t=2t，
∴t=4，
∴t=4秒时，四边形ABPQ为平行四边形.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是找到等量关系AQ=BP.
13．
【解析】
【分析】
根据动点运动的速度和时间可得：AM=t，BN=2t，利用面积差：三角形MND的面积=S矩形ABCD-S△ADM-S△BMN-S△DCN，代入可得结论．
【详解】
解：由题意得：AM=t，BN=2t，
∵AB长为3，BC长为6，
∴BM=3-t，CN=6-2t，CD=AB=3，AD=BC=6，
∴三角形MND的面积=S矩形ABCD-S△ADM-S△BMN-S△DCN，
=3×6-×6×t- (3−t)•2t-×3×(6−2t)，
=，
故答案为：．
【点拨】本题考查三角形和矩形的面积，几何动点问题，正确表示三角形的面积是解题的关键．
14．点
【分析】
根据已知发现存在的规律，按规律进行解题即可．
【详解】
根据题意：正方形ABCD边长为1，动点P从A点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，2009除以4的余数是1；
故点P所在位置为点B；
当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为4n+3或4n−1.
故答案为(1). 点 (2).
【点拨】这是一道找规律题，对于找规律题目应先找出那些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.
15．6或10或12．
【详解】
试题分析：根据平行四边形的性质得出DP=BQ，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP=BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为15﹣4t=15﹣t，
此时方程t=0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣15=15﹣t，
解得：t=6；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为15﹣（4t﹣30）=15﹣t，
解得：t=10；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣45=15﹣t，
解得：t=12；
⑤点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C﹣B，方程为15﹣（4t﹣60）=15﹣t，
解得：t=20，
此时P点走的路程为20＞AD，此时不符合题意；
故答案为6或10或12．
考点：平行四边形的判定与性质．
16．2或
【分析】
利用点E是中点求出BE和CE，分当Q运动到E和C之间、当Q运动到E和B之间两种情况分析；
【详解】
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝×12＝6，
①当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则AP＝t，DP＝AD﹣AP＝4﹣t，CQ＝2t，EQ＝CE﹣CQ＝6﹣2t，
∴4﹣t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则AP＝t，DP＝AD﹣AP＝4﹣t，CQ＝2t，EQ＝CQ﹣CE＝2t﹣6，
∴4﹣t＝2t﹣6，
解得：t＝，
∴当运动时间t为2或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：2或．
【点拨】本题主要考查了四边形的动点问题，准确计算是解题的关键．
17．（1）秒；（2）（）；（3） ；（4）存在，秒或t=12秒时，和全等．
【分析】
（1）先判断出BC=10cm，CD=7cm，CP=10-2t，即可得出结论；
（2）用梯形的面积公式即可得出结论；
（3）由（1）可求出的面积，再根据题意=关系，即可求出t的值；
（4）先判断出AB=CD，进而分两种情况，利用全等三角形的对应边相等，即可得出结论．
【详解】
解：（1） 在长方形ABCD中，AB=7厘米，AD=10厘米，
∴BC=AD=10cm，CD=AB=7cm，，
∵动点从点出发，以2厘米/秒的速度向终点匀速运动，
∴BP=2t，
∴PC=BC-BP=10-2t，
∵是等腰直角三角形，
∴CP=CD=7，
∴10-2t=7，
∴秒，
∴当秒时，为等腰直角三角形；
（2）∵ABCD为长方形，
∴ ，
∴四边形APCD为梯形，
由（1）知，PC=10-2t，
∴（），
∴（）；
（3）∵AB=7，AD=10，
∴，
由（1）知：CP=10-2t，是直角三角形，
∴，
又∵的面积为长方形面积的，
∴=，
∴70= =105-21t，
∴t= ，
∴当t=为何值时，的面积为长方形面积的；
（4）在中，AB=7cm，在中，CD=7cm，
∴AB=CD，
∵和全等，
所以或，
当时，BP=CE=3，
∴2t=3，
∴，
当时，AP=CE=3，
∴，
∴t=12，
综上所述，秒或t=12秒时，和全等．
【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了长方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
18．2秒后四边形ABQP是平行四边形．
【分析】
由运动时间为t秒，则AP＝t，QC＝2t，而四边形ABQP是平行四边形，所以AP＝BQ，则得方程t＝6﹣2t求解．
【详解】
解：设t秒后，四边形APQB为平行四边形，
则AP＝t，QC＝2t，BQ＝6﹣2t，
∵AD∥BC所以AP∥BQ，
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
知：AP＝BQ即可，
即：t＝6﹣2t，
∴t＝2，
当t＝2时，AP＝BQ＝2＜BC＜AD，符合，
综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．
【点拨】此题主要考查的是平行四边形的性质，难度不大，注意一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
19．当时，
【分析】
首先判定当时，四边形PDCQ是平行四边形，然后利用其性质PD=QC，构建方程，即可得解.
【详解】
当时，四边形PDCQ是平行四边形，
此时PD=QC，
∴
∴
∴当时，.
【点拨】此题主要考查利用平行四边形的性质构建方程，即可解题.
20．（Ⅰ）当x为2时，AP、ND长度相等；（Ⅱ）当x为时，以PQ、MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边能构成一个三角形；（Ⅲ）当x＝2或x＝4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】
(Ⅰ)由题意得出方程，解方程即可；
(Ⅱ)分点P与点N重合或点Q与点M重合两种情况，由题意得出方程，解方程即可；
(Ⅲ) 把P、N两点分两种情况讨论，点P在点N的左侧或点P在点N的右侧，进一步利用平行四边形的性质联立方程解答即可．
【详解】
(Ⅰ)∵，
∴AP=ND时，即，
解得：或(舍去)，
∴当为2时，AP、ND长度相等；
(Ⅱ)当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形，
①当点P与点N重合时，
由题意得：，
解得： (舍去)，
∵，此时点Q与点M不重合，
∴符合题意；
②当点Q与点M重合时，
由题意得：，
解得：，
此时，不符合题意，
∴点Q与点M不能重合．
综上所述，所求的值为：；
(Ⅲ)∵当N点到达A点时，，此时M点和Q点还未相遇，
∴点Q只能在点M的左侧，
①当点P在点N的左侧时，如图1所示：
由题意得：，
解得： (舍去)，，
当时四边形PQMN是平行四边形；
②当点P在点N的右侧时，如图2所示：
由题意得：，
解得：(舍去)，，
当时，四边形NQMP是平行四边形；
综上所述，当或时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
【点拨】本题是特殊四边形的动点问题，考查了矩形的性质、平行四边形的性质、一元二次方程的解法等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的性质，进行分类讨论是解题的关键．
21．（1）当t=5时，四边形PQCB是平行四边形；（2）BC与AB不垂直，所以PQCB不可能是矩形；（3）当t=7时，四边形PQCB是菱形.
【分析】
（1）若四边形PQCB是平行四边形，则QC=PB，即DC-2t=t，求出t的值即可；
（2）由于BC与AB不垂直，所以无论t为何值，四边形PQCB都不可能是矩形；
（3）分别过点Q、C作QM⊥AB、CN⊥AB，由于梯形ABCD是直角梯形，故四边形AMQD是矩形，BN=AB-CD，
因为四边形PQCB是等腰梯形，故PM=BN，由此即可得出t的值．
【详解】
解：
（1）∵四边形PQCB是平行四边形，
∴QC=PB，即DC-2t=t，
∴15-2t=t，解得t=5；
（2）∵BC与AB不垂直，
∴无论t为何值，四边形PQCB都不可能是矩形；
（3）分别过点Q、C作QM⊥AB、CN⊥AB，
∵梯形ABCD是直角梯形，AB=18cm，CD=15cm
∴四边形AMQD是矩形，BN=AB-CD=18-15=3cm，
∵四边形PQCB是等腰梯形，
∴PM=BN=3cm，
∴DQ=BP-PM，即2t=18-t+3，解得t=7（秒）．
【点拨】本题考查的是等腰梯形的性质及平行四边形的性质，熟知一组对边平行（不相等），另一组对边不平行但相等的四边形是等腰梯形是解答此题的关键．
22．(1)B(，1)，D(－1，－2)．(2)①(－1，1)②1＋
【详解】
试题分析：(1)、点B的横坐标和点C的相同，纵坐标和点A的相同；点D的横坐标和点A的相同，纵坐标和点C的相同；(2)、①根据t=1得出AP的长度，从而得出点P的坐标；②、首先根据题意得出P点的运动长度，然后求出PC的长度，从而得出三角形的面积．
试题解析：(1)、B(，1)，D(－1，－2)．
(2)、①、当t＝1时，AP＝， ∴点P的坐标是(－1，1)．
②、当t＝3时，点P运动的路程为3，
此时PC＝AB＋BC－3＝(1＋)＋(1＋2)－3＝2，
∴S三角形PDC＝DC·PC＝×(1＋)×2＝1＋， 即三角形PDC的面积为1＋．
点睛：本题主要考查的就是点坐标之间的关系，属于中等难度题型．平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，线段的长度等于两点的横坐标差的绝对值；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，线段的长度等于两点的纵坐标差的绝对值．
23．(1)、B；(2)、①、理由见解析；②、1或
【详解】
试题分析：(1)、根据平移的性质进行判断即可；(2)、①根据对折的性质得出对应边和角相等，再根据平行线的判定解答即可； ②根据矩形的性质和等边三角形的性质进行分析解答．
试题解析：(1)、因为平移，AB保持不变，且AB与CD间的距离不变，所以四边形ABCD的面积不变，故A正确；当AD⊥CD时，四边形ABCD可以是矩形，故C正确；因为AD的长度有变化，所以四边形ABCD的周长改变，故D正确；
(2)、①、A'C∥BD．理由如下：
如图2，由▱ABEF可得，AB=CD，AB∥CD，又根据对折可知AB=A'B，∠3=∠2，∴A'B=CD，∠1=∠3，
∴OD=OB．∴OA'=OC， ∴∠4=∠5．∵∠BOD=∠A'OC，∴∠4+∠5=∠1+∠3， 即∠1=∠4， ∴A'C∥BD．
②、如图3，由①知CD=AB=2，∠1=∠2，∠A=∠3．当四边形A'DBC矩形时，有∠DBC=90°，OA'=OD=OB=OC=1．
当∠A'OD=60°，则∠DOB=120°，∴∠1=30°．∴∠2=30°，∠A=∠3=60°．∴∠ADB=90°．
∴在Rt△ADB中，AD=AB=1．
当∠DOB=60°（如图4），则△ODB为正三角形，∴∠2=∠1=60°，∠A=∠3=30°BD=OD=1．∴∠ADB=90°
∴在Rt△ADB中，∴AD=．
综上可得，AD的长为1或．
考点：四边形综合题．
24．（1）6s；（2）s；（3）7s.
【详解】
试题分析：此题主要根据平行四边形、矩形、等腰梯形的判定设未知量，然后求出．
试题解析：（1）设经过x（s），四边形PQCD为平行四边形
即PD=CQ
所以24-x=3x，
解得：x=6．
（2）设经过y（s），四边形PQBA为矩形，
即AP=BQ，
所以y=26-3y，
解得：y=
（3）设经过t（s），四边形PQCD是等腰梯形．
过Q点作QE⊥AD，过D点作DF⊥BC，
∴∠QEP=∠DFC=90°
∵四边形PQCD是等腰梯形，
∴PQ=DC．
又∵AD∥BC，∠B=90°，
∴AB=QE=DF．
在Rt△EQP和Rt△FDC中，
∴Rt△EQP≌Rt△FDC（HL）．
∴FC=EP=BC-AD=26-24=2．
又∵AE=BQ=26-3t，
∴EP=AP-AE=t-（26-3t）=2．
得：t=7．
∴经过7s，四边形PQCD是等腰梯形．
考点：1.等腰梯形的判定；2.一元一次方程的应用；3.平行四边形的判定；4.矩形的判定．
专题 18.34 特殊平行四边形动点问题专题训练（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值错误的是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，正方形的两边在坐标轴上，，，点P为OB上一动点，的最小值是（ ）
A．8 B．10 C． D．
3．如图，点是中斜边(不与，重合)上一动点，分别作于点，作于点，连接、，若，，当点在斜边上运动时，则的最小值是（ ）
A．1.5 B．2
C．4.8 D．2.4
4．如图，长方形中，，点从出发，以的速度沿运动，最终到达点，在点运动了3秒后点开始以的速度从运动到，在运动过程中，设点的运动时间为，则当的面积为时，的值（ ）
A．2或 B．2 C． D．1
5．如图，有一菱形ABCD与一正方形CEFG，其中动点E在边AD上，菱形边长与正方形边长相等．若∠ADC＝60°，AB＝4，则点B到边CG所在直线的距离为（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、填空题
6．如图，在菱形中，，°，点同时由两点出发，分别沿向点匀速移动（到点为止），点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为_____________．
7．如图，点M是的中点，点P在上．分别以，为边，作正方形和正方形，连接和，设，，且，．则图中阴影部分的面积为__________．
8．如图，在菱形中，，，点，同时由，两点出发，分别沿，方向向点匀速运动，点的运动速度为，点的运动速度为，点到达点后，点与点同时停止运动．若运动时间为秒时，为等边三角形，则的值为__________．
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=12cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t=______秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形．
10．如图，在菱形c中，分别是边，对角线与边上的动点，连接，若，则的最小值是___．
11．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为(4，0)，C点的坐标为(0，6)，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着O→A→B→C→O的路线移动在点P移动过程中，当P点到x轴的距离为5个单位时，点P移动的时间为________
12．如图，平行四边形ABCD中，AB=2cm，BC=12cm，点P在边BC上，由点B向点C运动，速度为每秒2cm，点Q在边AD上，由点D向点A运动，速度为每秒1cm，连接PQ，设运动时间为秒．当=______时，四边形ABPQ为平行四边形；
13．如图，在长方形中，长为3，长为6，点从出发沿向以每秒1个单位的速度运动，同时点从出发沿向以每秒2个单位的速度运动（当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动）.若运动的时间为秒，则三角形的面积为______（用含的式子表示）.
14．如图，正方形边长为，动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为时，点所在位置为________；当点所在位置为点时，点的运动路程为________（用含自然数的式子表示）．
15．如图，▱ABCD中，AB=10cm，AD=15cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），在运动以后，当以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形时，运动时间t为_____秒．
16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝12，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间为_____秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题
17．如图，在长方形中，厘米，厘米．延长到点，使厘米，动点从点出发，以2厘米/秒的速度向终点匀速运动，连接．设运动时间为秒，解答下列问题：
（1）当为何值时，为等腰直角三角形？
（2）设四边形的面积为（平方厘米），试确定与的关系式；
（3）当为何值时，的面积为长方形面积的？
（4）若动点从点出发，以2厘米/秒的速度沿向终点运动，是否存在使和全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
18．在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？
19．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿运动，点从点出发的同时，点从点出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点、运动的时间为秒，从运动开始，当取何值时，？
20．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止．已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．
（Ⅰ）当x为何值时，AP、ND长度相等？
（Ⅱ）当x为何值时，以PQ、MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边能构成一个三角形？
（Ⅲ）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？
21．如图，ABCD是直角梯形，AB=18cm，CD=15cm，AD=6cm，点P从B点开始，沿BA边向点A以1cm/s的速度移动，点Q从D点开始，沿DC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、D同时出发，P、Q有一点到达终点时运动停止，设移动时间为t．
（1）t为何值时四边形PQCB是平行四边形？
（2）t为何值时四边形PQCB是矩形？
（3）t为何值时四边形PQCB是等腰梯形？
22．如图，长方形ABCD的各边与坐标轴都平行，点A，C的坐标分别为(－1，1)，(，－2)．
(1)求点B，D的坐标．
(2)一动点P从点A出发，沿长方形的边AB，BC运动至点C停止，运动速度为每秒个单位长度，设运动时间为t s.
①当t＝1 时，求点P的坐标；
②当t＝3 时，求三角形PDC的面积．
23．如图1，在▱ABEF中，AB=2，AF＜AB，现将线段EF在直线EF上移动，在移动过程中，设线段EF的对应线段为CD，连接AD、BC．
（1）在上述移动过程中，对于四边形的说法不正确的是B
A．面积保持不变 B．只有一个时刻为菱形
C．只有一个时刻为矩形 D．周长改变
（2）在上述移动过程中，如图2，若将△ABD沿着BD折叠得到△A′BD（点A′与点C不重合），A′B交CD于点O．
①试问A′C与BD平行吗？请说明理由；
②若以A′、D、B、C为顶点的四边形是矩形，且对角线的夹角为60°，求AD的长．
24．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD="24" cm，BC="26" cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
（3）经过多长时间，四边形PQCD是等腰梯形？
参考答案
1．B
【分析】
根据平行四边形的性质得出DP＝BQ，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵P在AD上运动，
∴t≤15÷1＝15，即t≤15，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B﹣C，
由题意得：4t﹣15＝15﹣t，
解得：t＝6；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，
由题意得：15﹣（4t﹣30）＝15﹣t，
解得：t＝10；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，
由题意得：4t﹣45＝15﹣t，
解得：t＝12；
综上所述，t的值为6或10或12，
故选：B．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质和平行四边形中的动点问题，解题的关键是根据题意分情况讨论．
2．C
【分析】
先找到点A关于OB的对称点C，连结CD交OB于点P′，当点P运动到P′时PA+PD最短，在Rt△COD中用勾股定理求出CD即可．
【详解】
正方形ABCO，
A、C两点关于OB对称，
连接CD，交OB于，
，
，
当C、P、D三点共线时，取最小值，
，，
，
故选择：C．
【点拨】本题考查动点问题，掌握正方形的性质，与轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理，会利用对称性找对称点，会利用P、C、D三点一线最短，会用勾股定理求出最短距离是解题关键．
3．C
【分析】
由，于点，作于点，可证四边形是矩形，由矩形的性质有MN=BP，要使的最小值就是BP最小，当时，最小利用三角形ABC的面积来求 ．
【详解】
解：如图所示：连接，
∵，于点，作于点，
∴四边形是矩形，
∴MN=BP，
∴的最小值就是BP最小，
，
当时，最小，
∴．
故选择：C．
【点拨】本题考查三角形内接矩形的对角线最短问题，掌握点到直线距离的求法，会利用已知条件证明矩形把所求线段进行转化，会利用勾股定理求边长，会利用不同方法求面积是解题关键．
4．A
【分析】
分两种情况讨论，①当在上或②当在上，分别计算AQ、AQ边上的高的长，再结合三角形面积公式解题即可．
【详解】
①当在上，点的速度为，如图①所示：
解得
②当在上，点的速度为
当的速度为，如图②所示：
，的高为，
解得；
综上可得，当或时，的面积为．
故选A．
【点拨】本题考查四边形综合题，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．A
【分析】
过点B作BH⊥CG，交CG的延长线于点H，根据题意易得是等边三角形，进而推出∠BCG=30°，可求出点B到边CG所在直线的距离．
【详解】
解：过点B作BH⊥CG，交CG的延长线于点H，如图所示：
菱形ABCD与正方形EFGC的边长相等，，
是等边三角形，，
，，
AB=4，AB=BC=4，．
故选A．
【点拨】本题主要考查菱形、正方形的性质及直角三角形的性质，关键是利用菱形及正方形的性质得到是等边三角形，然后由直角三角形的性质进行求解即可．
6．
【分析】
延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌△EMF，得到△BMF是等边三角形，再利用菱形的边长为5求出时间t的值．
【详解】
解：延长AB至M，使BM=AE，连接FM，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，
∴AB=AD，∠A=60°，
∵BM=AE，
∴AD=ME，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DAE=∠DFE=60°，DE=EF=FD，
∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA=180°-∠A=120°，
∴∠MEF=∠ADE，
∴在△DAE和△EMF中，
∴△DAE≌EMF（SAS），
∴AE=MF，∠M=∠A=60°，
又∵BM=AE，
∴△BMF是等边三角形，
∴BF=AE，
∵AE=t，CF=2t，
∴BC=CF+BF=2t+t=3t，
∵BC=5，
∴3t=5，
∴t=，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出△BMF是等边三角形．
7．90
【分析】
由，点M是的中点，AM=BM=AB=6，分别用含代数式表示面积S正方形APCD，S正方形PBE，S△AMD，S△MBE，阴影面积为S阴影=S正方形APCD+S正方形PBEF-S△AMD-S△BME求出即可．
【详解】
点M是的中点，，AM=BM=AB=6，
S正方形APCD=AP2=，S正方形PBEF=PB2=，S△AMD=，
S△MBE=，
S阴影=S正方形APCD+S正方形PBEF-S△AMD-S△BME，
=，
．
故答案为90．
【点拨】本题考查动点图形的面积问题，掌握求面积的方法，会求正方形面积，三角形面积，熟悉面积公式，会用割法求面积是解题关键．
8．
【分析】
延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌EMF，得到△BMF是等边三角形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值.
【详解】
延长AB至M，使BM=AE，连接FM，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°
∴AB=AD，∠A=60°，
∵BM=AE，
∴AD=ME，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DAE=∠DFE=60°，DE=EF=FD，
∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA=180°-∠A=120°，
∴∠MEF=∠ADE，
∴在△DAE和△EMF中，
∴△DAE≌EMF（SAS），
∴AE=MF，∠M=∠A=60°，
又∵BM=AE，
∴△BMF是等边三角形，
∴BF=AE，
∵AE=t，CF=2t，
∴BC=CF+BF=2t+t=3t，
∵BC=4，
∴3t=4，
∴t=
故答案为：.
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出△BMF是等边三角形.
9．3或6
【分析】
根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的对边相等列出方程即可求出结论．
【详解】
解：当P运动在线段AD上运动时， AP=3t，CQ=t，
∴DP=AD-AP=12-3t，
∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD=CQ，
∴12-3t=t，
∴t=3秒；
当P运动到AD线段以外时，AP=3t，CQ=t，
∴DP=3t-12，
∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD=CQ，
∴3t-12=t，
∴t=6秒，
故答案为：3或6
【点拨】此题考查的是平行四边形与动点问题，掌握平行四边形的对应边相等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
10．
【分析】
作点Q关于BD对称的对称点Q’，连接PQ，根据两平行线之间垂线段最短，即有当E、P、Q’在同一直线上且 时，的值最小，再利用菱形的面积公式，求出的最小值．
【详解】
作点Q关于BD对称的对称点Q’，连接PQ．
∵四边形ABCD为菱形
∴ ，
∴
当E、P、Q’在同一直线上时，的值最小
∵ 两平行线之间垂线段最短
∴当 时，的值最小
∵
∴ ，
∴
∵
∴
解得
∴的最小值是 ．
故答案为：．
【点拨】本题考查了菱形的综合应用题，掌握菱形的面积公式以及两平行线之间垂线段最短是解题的关键．
11．秒或秒
【分析】
根据点P到x轴的距离为5，可知共有两种情况：P在AB边上或P在OC边上，进行分类讨论，根据点P的运动方向以及距离计算得到点的运动时间即可.
【详解】
解：根据题意可知，点P距离x轴的距离为5时点P的坐标为（4,5）或（0,5）
当P的坐标为（4,5）时，P在AB边上，运动的距离为4+5=9，所以运动时间为
当P的坐标为（0,5）时，P在OC边上，运动的距离为4+6+4+1=15，所以运动时间为
∴点P的运动时间为或.
故答案为秒或秒
【点拨】本题主要考查矩形中的动点问题，掌握P点的运动轨迹和运动的距离是解题的关键.
12．4
【分析】
因为在平行四边形ABCD中，AQ∥BP，只要再证明AQ=BP即可，即点P所走的路程等于Q点在边AD上未走的路程．
【详解】
由已知可得：BP=2t，DQ=t，
∴AQ=12−t.
∵四边形ABPQ为平行四边形，
∴12−t=2t，
∴t=4，
∴t=4秒时，四边形ABPQ为平行四边形.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是找到等量关系AQ=BP.
13．
【解析】
【分析】
根据动点运动的速度和时间可得：AM=t，BN=2t，利用面积差：三角形MND的面积=S矩形ABCD-S△ADM-S△BMN-S△DCN，代入可得结论．
【详解】
解：由题意得：AM=t，BN=2t，
∵AB长为3，BC长为6，
∴BM=3-t，CN=6-2t，CD=AB=3，AD=BC=6，
∴三角形MND的面积=S矩形ABCD-S△ADM-S△BMN-S△DCN，
=3×6-×6×t- (3−t)•2t-×3×(6−2t)，
=，
故答案为：．
【点拨】本题考查三角形和矩形的面积，几何动点问题，正确表示三角形的面积是解题的关键．
14．点
【分析】
根据已知发现存在的规律，按规律进行解题即可．
【详解】
根据题意：正方形ABCD边长为1，动点P从A点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，2009除以4的余数是1；
故点P所在位置为点B；
当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为4n+3或4n−1.
故答案为(1). 点 (2).
【点拨】这是一道找规律题，对于找规律题目应先找出那些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.
15．6或10或12．
【详解】
试题分析：根据平行四边形的性质得出DP=BQ，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP=BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为15﹣4t=15﹣t，
此时方程t=0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣15=15﹣t，
解得：t=6；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为15﹣（4t﹣30）=15﹣t，
解得：t=10；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣45=15﹣t，
解得：t=12；
⑤点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C﹣B，方程为15﹣（4t﹣60）=15﹣t，
解得：t=20，
此时P点走的路程为20＞AD，此时不符合题意；
故答案为6或10或12．
考点：平行四边形的判定与性质．
16．2或
【分析】
利用点E是中点求出BE和CE，分当Q运动到E和C之间、当Q运动到E和B之间两种情况分析；
【详解】
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝×12＝6，
①当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则AP＝t，DP＝AD﹣AP＝4﹣t，CQ＝2t，EQ＝CE﹣CQ＝6﹣2t，
∴4﹣t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则AP＝t，DP＝AD﹣AP＝4﹣t，CQ＝2t，EQ＝CQ﹣CE＝2t﹣6，
∴4﹣t＝2t﹣6，
解得：t＝，
∴当运动时间t为2或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：2或．
【点拨】本题主要考查了四边形的动点问题，准确计算是解题的关键．
17．（1）秒；（2）（）；（3） ；（4）存在，秒或t=12秒时，和全等．
【分析】
（1）先判断出BC=10cm，CD=7cm，CP=10-2t，即可得出结论；
（2）用梯形的面积公式即可得出结论；
（3）由（1）可求出的面积，再根据题意=关系，即可求出t的值；
（4）先判断出AB=CD，进而分两种情况，利用全等三角形的对应边相等，即可得出结论．
【详解】
解：（1） 在长方形ABCD中，AB=7厘米，AD=10厘米，
∴BC=AD=10cm，CD=AB=7cm，，
∵动点从点出发，以2厘米/秒的速度向终点匀速运动，
∴BP=2t，
∴PC=BC-BP=10-2t，
∵是等腰直角三角形，
∴CP=CD=7，
∴10-2t=7，
∴秒，
∴当秒时，为等腰直角三角形；
（2）∵ABCD为长方形，
∴ ，
∴四边形APCD为梯形，
由（1）知，PC=10-2t，
∴（），
∴（）；
（3）∵AB=7，AD=10，
∴，
由（1）知：CP=10-2t，是直角三角形，
∴，
又∵的面积为长方形面积的，
∴=，
∴70= =105-21t，
∴t= ，
∴当t=为何值时，的面积为长方形面积的；
（4）在中，AB=7cm，在中，CD=7cm，
∴AB=CD，
∵和全等，
所以或，
当时，BP=CE=3，
∴2t=3，
∴，
当时，AP=CE=3，
∴，
∴t=12，
综上所述，秒或t=12秒时，和全等．
【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了长方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
18．2秒后四边形ABQP是平行四边形．
【分析】
由运动时间为t秒，则AP＝t，QC＝2t，而四边形ABQP是平行四边形，所以AP＝BQ，则得方程t＝6﹣2t求解．
【详解】
解：设t秒后，四边形APQB为平行四边形，
则AP＝t，QC＝2t，BQ＝6﹣2t，
∵AD∥BC所以AP∥BQ，
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
知：AP＝BQ即可，
即：t＝6﹣2t，
∴t＝2，
当t＝2时，AP＝BQ＝2＜BC＜AD，符合，
综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．
【点拨】此题主要考查的是平行四边形的性质，难度不大，注意一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
19．当时，
【分析】
首先判定当时，四边形PDCQ是平行四边形，然后利用其性质PD=QC，构建方程，即可得解.
【详解】
当时，四边形PDCQ是平行四边形，
此时PD=QC，
∴
∴
∴当时，.
【点拨】此题主要考查利用平行四边形的性质构建方程，即可解题.
20．（Ⅰ）当x为2时，AP、ND长度相等；（Ⅱ）当x为时，以PQ、MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边能构成一个三角形；（Ⅲ）当x＝2或x＝4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】
(Ⅰ)由题意得出方程，解方程即可；
(Ⅱ)分点P与点N重合或点Q与点M重合两种情况，由题意得出方程，解方程即可；
(Ⅲ) 把P、N两点分两种情况讨论，点P在点N的左侧或点P在点N的右侧，进一步利用平行四边形的性质联立方程解答即可．
【详解】
(Ⅰ)∵，
∴AP=ND时，即，
解得：或(舍去)，
∴当为2时，AP、ND长度相等；
(Ⅱ)当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形，
①当点P与点N重合时，
由题意得：，
解得： (舍去)，
∵，此时点Q与点M不重合，
∴符合题意；
②当点Q与点M重合时，
由题意得：，
解得：，
此时，不符合题意，
∴点Q与点M不能重合．
综上所述，所求的值为：；
(Ⅲ)∵当N点到达A点时，，此时M点和Q点还未相遇，
∴点Q只能在点M的左侧，
①当点P在点N的左侧时，如图1所示：
由题意得：，
解得： (舍去)，，
当时四边形PQMN是平行四边形；
②当点P在点N的右侧时，如图2所示：
由题意得：，
解得：(舍去)，，
当时，四边形NQMP是平行四边形；
综上所述，当或时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
【点拨】本题是特殊四边形的动点问题，考查了矩形的性质、平行四边形的性质、一元二次方程的解法等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的性质，进行分类讨论是解题的关键．
21．（1）当t=5时，四边形PQCB是平行四边形；（2）BC与AB不垂直，所以PQCB不可能是矩形；（3）当t=7时，四边形PQCB是菱形.
【分析】
（1）若四边形PQCB是平行四边形，则QC=PB，即DC-2t=t，求出t的值即可；
（2）由于BC与AB不垂直，所以无论t为何值，四边形PQCB都不可能是矩形；
（3）分别过点Q、C作QM⊥AB、CN⊥AB，由于梯形ABCD是直角梯形，故四边形AMQD是矩形，BN=AB-CD，
因为四边形PQCB是等腰梯形，故PM=BN，由此即可得出t的值．
【详解】
解：
（1）∵四边形PQCB是平行四边形，
∴QC=PB，即DC-2t=t，
∴15-2t=t，解得t=5；
（2）∵BC与AB不垂直，
∴无论t为何值，四边形PQCB都不可能是矩形；
（3）分别过点Q、C作QM⊥AB、CN⊥AB，
∵梯形ABCD是直角梯形，AB=18cm，CD=15cm
∴四边形AMQD是矩形，BN=AB-CD=18-15=3cm，
∵四边形PQCB是等腰梯形，
∴PM=BN=3cm，
∴DQ=BP-PM，即2t=18-t+3，解得t=7（秒）．
【点拨】本题考查的是等腰梯形的性质及平行四边形的性质，熟知一组对边平行（不相等），另一组对边不平行但相等的四边形是等腰梯形是解答此题的关键．
22．(1)B(，1)，D(－1，－2)．(2)①(－1，1)②1＋
【详解】
试题分析：(1)、点B的横坐标和点C的相同，纵坐标和点A的相同；点D的横坐标和点A的相同，纵坐标和点C的相同；(2)、①根据t=1得出AP的长度，从而得出点P的坐标；②、首先根据题意得出P点的运动长度，然后求出PC的长度，从而得出三角形的面积．
试题解析：(1)、B(，1)，D(－1，－2)．
(2)、①、当t＝1时，AP＝， ∴点P的坐标是(－1，1)．
②、当t＝3时，点P运动的路程为3，
此时PC＝AB＋BC－3＝(1＋)＋(1＋2)－3＝2，
∴S三角形PDC＝DC·PC＝×(1＋)×2＝1＋， 即三角形PDC的面积为1＋．
点睛：本题主要考查的就是点坐标之间的关系，属于中等难度题型．平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，线段的长度等于两点的横坐标差的绝对值；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，线段的长度等于两点的纵坐标差的绝对值．
23．(1)、B；(2)、①、理由见解析；②、1或
【详解】
试题分析：(1)、根据平移的性质进行判断即可；(2)、①根据对折的性质得出对应边和角相等，再根据平行线的判定解答即可； ②根据矩形的性质和等边三角形的性质进行分析解答．
试题解析：(1)、因为平移，AB保持不变，且AB与CD间的距离不变，所以四边形ABCD的面积不变，故A正确；当AD⊥CD时，四边形ABCD可以是矩形，故C正确；因为AD的长度有变化，所以四边形ABCD的周长改变，故D正确；
(2)、①、A'C∥BD．理由如下：
如图2，由▱ABEF可得，AB=CD，AB∥CD，又根据对折可知AB=A'B，∠3=∠2，∴A'B=CD，∠1=∠3，
∴OD=OB．∴OA'=OC， ∴∠4=∠5．∵∠BOD=∠A'OC，∴∠4+∠5=∠1+∠3， 即∠1=∠4， ∴A'C∥BD．
②、如图3，由①知CD=AB=2，∠1=∠2，∠A=∠3．当四边形A'DBC矩形时，有∠DBC=90°，OA'=OD=OB=OC=1．
当∠A'OD=60°，则∠DOB=120°，∴∠1=30°．∴∠2=30°，∠A=∠3=60°．∴∠ADB=90°．
∴在Rt△ADB中，AD=AB=1．
当∠DOB=60°（如图4），则△ODB为正三角形，∴∠2=∠1=60°，∠A=∠3=30°BD=OD=1．∴∠ADB=90°
∴在Rt△ADB中，∴AD=．
综上可得，AD的长为1或．
考点：四边形综合题．
24．（1）6s；（2）s；（3）7s.
【详解】
试题分析：此题主要根据平行四边形、矩形、等腰梯形的判定设未知量，然后求出．
试题解析：（1）设经过x（s），四边形PQCD为平行四边形
即PD=CQ
所以24-x=3x，
解得：x=6．
（2）设经过y（s），四边形PQBA为矩形，
即AP=BQ，
所以y=26-3y，
解得：y=
（3）设经过t（s），四边形PQCD是等腰梯形．
过Q点作QE⊥AD，过D点作DF⊥BC，
∴∠QEP=∠DFC=90°
∵四边形PQCD是等腰梯形，
∴PQ=DC．
又∵AD∥BC，∠B=90°，
∴AB=QE=DF．
在Rt△EQP和Rt△FDC中，
∴Rt△EQP≌Rt△FDC（HL）．
∴FC=EP=BC-AD=26-24=2．
又∵AE=BQ=26-3t，
∴EP=AP-AE=t-（26-3t）=2．
得：t=7．
∴经过7s，四边形PQCD是等腰梯形．
考点：1.等腰梯形的判定；2.一元一次方程的应用；3.平行四边形的判定；4.矩形的判定．
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