人教版第十七章 勾股定理综合与测试综合训练题

这是一份人教版第十七章 勾股定理综合与测试综合训练题，共52页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题三 利用勾股定理解决折叠问题（专项练习）
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，则DE的长为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，，则的长为（ ）

A．1.8 B．2 C．2.3 D．
3．如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上点F处，若AB＝3，AD＝5，则EC的长为（ ）

A．1 B． C． D．
4．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'B最小值和最大值分别为（　　）

A．1 和 3 B．1 和 4 C．2 和 3 D．2 和 4
5．如图，在中，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接，交于点．若，，，的面积为10，则点到直线的距离为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在中，是延长线上一点，是边上一动点， 连结，作与关于对称 (点与点对应)，连结，则长的最小值是（ ）

A． B． C． D．
7．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合，若BC=5，AC=6，则BD的长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（　　）

A．1cm B．cm C．cm D．2cm
9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(﹣3，0)，点B的坐标是(0，4)，点M是OB上一点，将ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为（　　）


A．(，0) B．(0，) C．(，0) D．(0，)
10．如图，在△ABC中，点D是BC边的一个三等分点，BD＝2CD，且∠ADC＝45°，将△ABC沿AD折叠，点C落在点C′处，连接BC′，若BC′＝10，则BC的长为（ ）

A．2 B．3 C．6 D．9
11．如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）

A． B．2 C． D．


二、填空题
12．如图，Rt△ABC中，AB，BC＝3，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 _____．

13．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，CD的长为______．

14．如图，三角形纸片中，，，．是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在延长线上的点处，则的长为__________．

15．如图，在三角形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在边上的D点处，折痕与交于点E，则折痕的长为_________．

16．如图所示，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D点为AC边上一点，E为AB边上一动点，将△ADE沿着DE折叠，点A的对应点A'落在△ABC的边上，若AD＝2，则线段A'C的长度为 _____．

17．在△ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，点E是AB中点，点D在AC上，DE＝3，将△ADE沿着DE翻折，点A的对应点是点F，直线EF与AC交于点G，那么△DGF的面积＝_____．

18．如图，在中，，于点．为线段上一点，连结，将边沿折叠，使点的对称点落在的延长线上．若，，则的面积为______．


19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AB＝，E为AC的中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠得到△DEF，DE交BC于点G，若∠BFD＝30°，则CG＝_____．

20．如图，Rt中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确结论的序号有______．

21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，D、E分别是边BC、AB上的任意一点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′，如果点B′和顶点A重合，则CD＝______cm．


22．如图，将宽为的纸条沿BC折叠，，则折叠后重叠部分的面积为____．（根号保留）


23．已知中，，，，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点处，折痕交另一直角边于，交斜边于，则的面积__．
24．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝_______．

25．如图，在中，，，，为边上一点，将沿折叠，若点恰好落在线段的延长线上的点处，则的长为________．


26．如图，将长方形纸片沿折叠，使点A落在边上点处，点D的对应点为，连接交边于点E，连接，若，，点为的中点，则线段的长为________．

27．如图，在中，，，，点在上，将沿折叠，使点落在斜边上的点处，则的长为____．

28．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到，与AC交于点E，连接交AD于点F，若，，，的面积为12，则点B到的距离为_________．


三、解答题
29．如图，在Rt△ABC中，，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点处，求BE的长．




30．如图①是一个直角三角形纸片，∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD（如图②），求AC和DC的长．




31．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．求：
（1）AB的长；
（2）△CDF的面积．




32．点P为等边的边AB延长线上的动点，点B关于直线PC的对称点为D，连接AD．
（1）如图1，若，依题意补全图形，并直接写出线段AD的长度；
（2）如图2，线段AD交PC于点E，
①设，求的度数；
②求证：．









参考答案
1．B
【分析】
在中利用勾股定理求出长，利用折叠性质：得到，求出对应相等的边，设DE＝x，在中利用勾股定理，列出关于的方程，求解方程即可得到答案．
【详解】
解：∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，
∴AC＝，
∵AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，
，
∴A、B、E共线，AC＝AE＝10，DC＝DE，
∴BE＝AE﹣AB＝10﹣6＝4，
在Rt△BDE中，设DE＝x，则BD＝8﹣x，
∵BD2+BE2＝DE2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴DE＝5，
故选：B．
【点拨】本题主要是考查了直角三角形的勾股定理以及折叠中的三角形全等的性质，熟练利用折叠得到全等三角形，找到直角三角形中的各边的关系，利用勾股定理列方程，并求解方程，这是解决该类问题的关键．
2．B
【分析】
连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．
【详解】
解：连接BM，MB′，

设AM=x，
在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，
在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，
∵折叠，
∴MB=MB′，
∴AB2+AM2= MD2+DB′2，
即92+x2=(9-x)2+(9-3)2，
解得x=2，
即AM=2，
故选：B．
【点拨】本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．
3．D
【分析】
由翻折可知：AD＝AF＝5．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝3−x．在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∴∠B＝∠BCD＝90°，
由翻折可知：AD＝AF＝5，DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝3−x．
在Rt△ABF中，BF＝＝＝4，
∴CF＝BC−BF＝5−4＝1，
在Rt△EFC中，EF2＝CE2＋CF2，
∴（3−x）2＝x2＋12，
∴x＝，
∴EC＝．
故选：D．
【点拨】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
4．A
【分析】
根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点到达最左边，当点P与点B重合时，点到达最右边，所以点就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时B的长度
【详解】
解：当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得
D=AD=5，
在Rt△CD中，D2=C2+CD2，
即52=（5-B）2+32，
解得B=1，.

当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得B=AB=3，

则点A'B最小值和最大值分别为1和3
故选：A
【点拨】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
5．C
【分析】
先求出△ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．
【详解】
解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝10，
∴S△ADE＝20，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝20，∠BFD＝90°，
∴•（AF＋DF）•BF＝20，
∴•（8＋DF）•4＝20，
∴DF＝2，
∴DB＝，
设点F到BD的距离为h，则有•BD•h＝•BF•DF，
∴h＝，
故选：C．
【点拨】根据考查翻折变换的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
6．C
【分析】
如图，过点A作AE⊥BC于点E，当点A在DM的上时AD的值最小，根据勾股定理依次求出AE，CE，AM，DM的长，即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，连结MA，
∵AD≥MD-AM
当点A在DM上时AD的值最小，如图，


∵CM=2，BC=3，
∴BM=BC+CM=5，
由折叠得：DM=BM=5，
∵∠B=60°，
∴∠，
又∵，
∴，
在中中，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴最小=．
故选C．
【点拨】本题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，最值问题等知识，两边之差小于第三边，解题的关键是作出辅助线，从整体上把握题意，准确找到图形中数量关系．
7．D
【分析】
由翻折的性质可得：△ABD≌△CBD，得出∠ADB=∠CDB=90°，进一步在Rt△BCD中利用勾股定理求得BD的长即可．
【详解】
解：∵将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ADB=∠CDB=90°，AD=CD=，
在Rt△BCD中，
BD===4．
故选D．
【点拨】本题考查了翻折的性质：翻折是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，翻折前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；以及勾股定理的运用．
8．B
【分析】
根据勾股定理求得，进而根据折叠的性质求得，设的长为，则，勾股定理求得，进而求得的长
【详解】
AC＝4 ，BC＝3，∠C＝90°，

翻折

,
设的长为，则，
在中，

即
解得
故选B
【点拨】本题考查了勾股定理与折叠，掌握勾股定理是解题的关键．
9．B
【分析】
设，则，由题意可得：，，由勾股定理求得，即可求解．
【详解】
解：设，则，
由题意可得：，，
由勾股定理得：，
由勾股定理可得：，即
解得，，即
故选：B
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，坐标与图形，涉及了折叠的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．
10．C
【分析】
根据折叠的性质得到DC′=DC，∠ADC=∠ADC′=45°，推出∠BDC′=90°，在Rt△BDC′中利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：根据折叠的性质得到DC′=DC，∠ADC=∠ADC′=45°，
∴∠BDC′=180°-45°-45°=90°，
在Rt△BDC′中，BD=2CD，BC′=10，
∴,即，
解得：CD=2，BD=4，
∴BC=6，
故选：C．
【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识点，判断出△BDC′是直角三角形是解题的关键．
11．D
【分析】
先在Rt△ABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC- AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到，解得 x，可得CE．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE=BE
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中∵，
∴，
解得x= ，
∴CE= 8− = ，
故选：D．
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．
12．2
【分析】
根据题意，设，由折叠，在利用勾股定理列方程解出x，就求出BN的长．
【详解】
∵D是CB中点，，
∴，
设，则，
在中，，
，
解得：，
∴．
故答案是：2．
【点拨】本题考查折叠的性质和勾股定理，关键是利用方程思想设边长，然后用勾股定理列方程解未知数，求边长．
13．3cm
【分析】
由勾股定理求得AB=10cm，然后由翻折的性质求得BE=4cm，设DC=xcm，则BD=（8-x）cm，DE=xcm，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，两直角边AC=6cm，BC=8cm，

由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE=6cm，∠DEA=∠C=90°，
∴BE=AB-AE=10-6=4（cm ），∠DEB=90°，
设DC=xcm，则BD=（8-x）cm，DE=xcm，
在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+DE2=BD2，
即42+x2=（8-x）2，
解得：x=3．
故答案为3cm．
【点拨】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用，一元一次方程的解法，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．
14．##
【分析】
利用勾股定理求出AC，根据折叠的性质得到AB=AB′=5，BD=B′D，求出B′C，设CD=x，在△B′CD中，利用勾股定理列出方程，解之即可．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，BC=3，AB=5，
∴AC==4，
由折叠可知：AB=AB′=5，BD=B′D，
∴B′C=AB′-AC=1，
设CD=x，则BD=B′D=3-x，
在△B′CD中，，
即，
解得：x=，
即CD=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了翻折变换，勾股定理，利用折叠的性质求出B′C的长是解题的关键．
15．6
【分析】
由直角三角形的性质可求∠CBA=60°，BC=，由翻折变换可得∠CBE=∠ABE=30°，由勾股定理可求解．
【详解】
解：∵∠C=90°，∠A=30°，AC=9，
∴∠ABC=60°，BC==，
∵折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，
∴∠CBE=∠ABE=30°，
∴∠A=∠ABE，
∴AE=BE，
∵BE2=CE2+BC2，
∴BE2=（9-BE）2+27，
∴BE=6，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
16．或
【分析】
分当点在AB上时和当点在BC上时两种情况讨论求解即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，当点在AB上时，
由折叠的性质可得，，
∵∠ACB=90°，AC=BC=3，
∴CD=AC-AD=1，∠A=∠B=45°，
∴，
∴，
∴；

如图所示，当点在BC上时，
由折叠的性质可得，CD=AC-AD=1，
∴，
∴综上所述，或，
故答案为：或．

【点拨】本题主要考查了勾股定理与折叠，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
17．6或6+9
【分析】
分两种情况：①如图1，当点D在H点上方时，过点E作EH⊥AC交AC于点E，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q，②如图2，当点D在H点下方时，过点E作EH⊥AC交AC于点E，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q，先求出三角形AEG的AE边上的高GQ和三角形ADE的AD边上的高，根据S△DGF＝2S△AED﹣S△AEG可分别求出答案．
【详解】
解：①如图1，当点D在H点上方时，过点E作EH⊥AC交AC于点E，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q，

∵AB＝12，点E是AB的中点，
∴AE＝AB＝6，
∵EH⊥AC，
∴∠AHE＝90°，
∵∠A＝30°，AE＝6，
∴AH＝＝＝3，
∵DE＝3，
∴DH＝＝＝3，
∴DH＝EH，AD＝AH﹣DH＝3﹣3，
∴∠EDH＝45°，
∴∠AED＝∠EDH﹣∠A＝15°，
由折叠的性质可知，∠DEF＝∠AED＝15°，
∴∠AEG＝2∠AED＝30°，
∴∠AEG＝∠A，
∴AG＝GE，
∵GQ⊥AE，
∴AQ＝AE＝3，
∵∠A＝30°，
∴GQ＝AG，
∴GQ2+32＝（2GQ）2，
∴GQ＝．
∵S△AED＝S△FED，
∴S△DGF＝2S△AED﹣S△AEG，
∴S△DGF＝2××3﹣＝6﹣9．
②如图2，当点D在H点下方时，过点E作EH⊥AC交AC于点E，过点G作GQ⊥AB交AB于点Q，

∵AB＝12，点E是AB的中点，
∴AE＝AB＝6，
∵EH⊥AC，
∴∠AHE＝90°，
同理求得DH＝EH，AH＝3，AD＝3+3，
∴∠DEH＝45°，
∴∠AED＝90°﹣∠A+∠DEH＝105°，
由折叠的性质可得出∠DEF＝∠AED＝105°，
∴∠AEG＝2∠AED﹣180°＝30°，
∴∠AEG＝∠A，
∴AG＝GE，
同①求出GQ＝，
∵S△DGF＝2S△AED﹣S△AEG，
∴S△DGF＝2×﹣＝6+9．
故答案为：6或6+9．
【点拨】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
18．
【分析】
由勾股定理求得AC的长，由面积关系可求得CD的长，再由勾股定理可求得BD的长；由折叠的性质可得，，由此面积关系可求得DE与BE的关系，从而可求得BE及AE的长，进而可求得结果．
【详解】
∵，，
∴由勾股定理得：
∵
∴
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
由折叠的性质可得，
∴
∴
∴
∵
即
解得：BE=4
∴AE=AB−BE=10−4=6
∴
故答案为：
【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形面积的计算，利用得出DE与BE的关系是关键．
19．2
【分析】
由直角三角形的性质求出，由折叠的性质得出，，可求出，由勾股定理可求出的长．
【详解】
解：，，
，
，
，
为的中点，
，
将沿折叠得到，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
20．①②④
【分析】
根据折叠的性质，，，，，，，然后结合等腰三角形的性质，直角三角形的性质，以及勾股定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：由折叠的性质可知，，，，，，，
∴，
∵，
∴；故①正确；
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；故②正确；
由勾股定理，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理，则，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴；故④正确；
∴正确的选项有①②④；
故答案为：①②④；
【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，正确得到边相等、角相等．
21．
【分析】
设CD＝xcm，则BD＝（16﹣x）cm；根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可解决问题．
【详解】
解：设CD＝xcm，则BD＝（16﹣x）cm，
由折叠得：AD＝BD＝16﹣x，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD2+AC2＝AD2，
∴x2+122＝（16﹣x）2，
解得：x＝，
即CD＝（cm）．
故答案为：．
【点拨】该题主要考查了翻折变换的性质；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
22．
【分析】
利用折叠的性质可得出△ABC是等腰三角形，有AC=AB；过点C作CG⊥AB于点G，则得CG=2，且△CGA为等腰直角三角形，从而可求得AC的值，则可求得面积．
【详解】
如图，由折叠性质得：∠ECB=∠ACB
∵DE∥AB
∴∠DCA=∠CAB=45°
∵∠DCA+∠ACB+∠ECB=180°
∴
∵∠CAB+∠ACB+∠ABC=180°
∴∠ABC=∠ACB=67.5°
∴AB=AC
即△ABC是等腰三角形
过点C作CG⊥AB于点G，则CG=2，且∠ACG=∠CAB=45°
∴△CGA为等腰直角三角形
∴AG=CG=2
由勾股定理得：
∴
∴重叠部分△ABC的面积为
故答案为：

【点拨】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，判定△ABC是等腰三角形是本题的关键．
23．或
【分析】
折叠是一种轴对称变换，根据轴对称的性质、折叠前后图形的形状和大小不变．
【详解】
解：如图，当锐角B翻折时，点B与点D重合，

DE =BE，
D为AC的中点

设CE=x
在中，


解得

如图，当锐角A翻折时，点A与点D重合，

DE=AE，
D为BC的中点

设CE=x
在中，


解得

故答案为：或．
【点拨】本题考查图形的翻折变换、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
24．1或
【分析】
根据题意分三种情形：①∠PCB′＝90°，②∠CPB′＝90°，进而利用勾股定理构建方程求解即可，③反证法证明的情形不成立．
【详解】
解：①如图1中，当∠PCB′＝90°时，设PB＝PB′＝x．

∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
由翻折的性质可知，AB＝AB′＝5，
在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，
∴（4﹣x）2+22＝x2，
∴x＝，
∴PB＝．
②如图2中，当∠CPB′＝90°，设PB＝y．

过点A作AT⊥B′P交B′P的延长线于点T，则四边形ACPT是矩形，
∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，
在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，
∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，
解得y＝1或0（0舍弃），
∴PB＝1，
③若，如图点C与C′是关于直线AP的对称点，连接

由题意可得

若，

根据对称性可得



,
根据平行线之间的距离相等，
若，则到的距离等于4
而
不平行
假设不成立

综上所述，PB的值为：1或．
【点拨】本题考查翻折变换以及勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
25．
【分析】
根据勾股定理求出，再根据折叠的性质得到，，再根据勾股定理计算即可；
【详解】
∵，，，
∴，
∵将沿折叠，若点恰好落在线段的延长线上的点处，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案是．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质和勾股定理，准确计算是解题的关键．
26．
【分析】
连接，勾股定理求得，进而证明，设，根据,以及三边关系建立方程组，解方程组求解即可．
【详解】
解：如图，连接，

折叠
，，
四边形是长方形，，，
,，
设
则
是的中点，

在中，
在中，

即
解得
,
又∵





设
在中

即①
又
②
由①可得③
将②代入③得④
②-④得
解得
即

故答案为：
【点拨】本题考查了勾股定理，折叠问题，因式分解，三角形全等的性质与判定，解二元一次方程组，掌握折叠的性质是解题的关键．
27．##
【分析】
先利用勾股定理求出BC,再根据折叠的性质可得CA=CA，AE=AE，∠CAE=∠CAE，设AE=x，最后利用勾股定理列出方程即可求出AE的长．
【详解】
解:由勾股定理，得．
由折叠可知CA=CA，AE=AE，∠CAE=∠CAE=90°．
设AE=x，则AE=x，BE=12-x，BA=13-5=8．
在Rt△BEA中，BE2=AE2+BA’2
∴（12-x）2=x2+82，
解得x=，
即AE的长为
故答案为: ．
【点拨】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知折叠的性质及勾股定理的特点列方程求解．
28．
【分析】
由翻折的性质可得，，，由可得，然后利用勾股定理求出，即可推出，则，即可得到，，设点B到的距离为h，由，进行求解即可．
【详解】
解：由翻折的性质可知：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在直角三角形ABF中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设点B到的距离为h，
∴，
∴，
故答案为：．

【点拨】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质．
29．的长为．
【分析】
先利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，从而可得，设，从而可得，然后在中利用勾股定理即可得．
【详解】
解：，
，
由折叠的性质得：，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
即的长为．
【点拨】本题考查了勾股定理与折叠，熟练掌握勾股定理与折叠的性质是解题关键．
30．，
【分析】
由题意可得，，根据勾股定理求得，设，在中，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：由题意可得，，，
根据勾股定理可得：，
设，则，
在中，，即，
解得，
即．
【点拨】此题考查了利用勾股定理解直角三角形，涉及了折叠的性质，解题的关键是掌握勾股定理．
31．（1）9；（2）54
【分析】
（1）由折叠的性质可知，EF=AE=5，然后再直角△BEF中利用勾股定理求出BE的长即可得到答案；
（2）由四边形ABCD是长方形，得到AD=BC，CD=AB=9，∠C=90°，由折叠的性质可得AD=DF，则BC=AD=DF，设CF=x，则BC=DF=x+3，由，得到，解方程即可得到答案．
【详解】
解：（1）由折叠的性质可知，EF=AE=5，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，
∴，
∴AB=AE+BE=9；
（2）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC，CD=AB=9，∠C=90°，
由折叠的性质可得AD=DF，
∴BC=AD=DF，
设CF=x，则BC=DF=x+3，
∵，
∴，
解得，
∴CF=12，
∴
【点拨】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
32．（1）．（2）①；②证明见解析．
【分析】
（1）连接DP，BD，可证明△BPD为等边三角形，再结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质证明∠BAD=∠BDA=30°，可得∠ADP=90°，利用勾股定理即可得出结论；
（2）①连接BD与CP交于F，连接DC，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得和，从而可求得，根据轴对称图形对应点连接线段被对称轴垂直平分、三角形内角和定理、对顶角相等可求得的度数；②连接BE，在AE上截取GE=CE，可证明△GCE为等边三角形和△ACG≌△BCE，结合等量代换即可证明结论．
【详解】
解：（1）补全图形如下，连接DP，BD，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC=2，
又∵∠BCP+∠BPC=∠ABC=60°，BC=BP，
∴∠BCP=∠BPC=30°，
∵点B关于直线PC的对称点为D，
∴BP=DP，∠BPC=∠DPC=30°，
∴∠BPD=60°，△BPD为等边三角形，
∴∠DBP=60°，DP=BD=BP=AB=2,
∴∠BAD=∠BDA，
又∵∠BAD+∠BDA=∠DBP=60°，
∴∠BAD=∠BDA=30°，
∴∠ADP=90°，
∴．
（2）①如下图所示，连接BD与CP交于F，连接DC，

由（1）可知∠ACB=60°，AC=BC，
∵点B关于直线PC的对称点为D，
∴BC=CD=AC，，∠CFD=90°，
∴,
,
∴，
∴，
②如下图，连接BE，在AE上截取GE=CE，
由①得，
∵GE=CE，
∴△GCE为等边三角形，
∴GC=CE,∠GCE=60°，
由（1）得∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACG=∠BCE=60°-∠BCG，
在△ACG和△BCE中
∵,
∴△ACG≌△BCE（SAS）
∴AG=BE，
∵点B关于直线PC的对称点为D，
∴BE=DE，
∴．

【点拨】本题考查轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形外角和内角的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等．（1）中能正确构造直角三角形并证明是解题关键；（2）①中掌握等边对等角定理，并能利用三角形内角和定理表示等腰三角形的底角是解题关键；③中掌握割补法是解题关键．