人教A版(2019)高二数学上学期期末达标测试卷（A卷）

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2022-2023学年人教A版(2019)高二数学上学期期末达标测试卷（A卷）【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列的前n项和为，，，则(   )A.55 B.60 C.65 D.752.已知过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为(   )A.  B.C.  D.3.如图，点为矩形所在平面外一点，平面为线段的中点，，则点到平面的距离为(   )A. B. C. D.4.已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且是直角三角形，则的面积为(   )A. B. C.或8 D.或85.已知双曲线的一条渐近线的方程为，左、右焦点分别为，，直线过定点P，且在双曲线C上，M为双曲线上的动点，则的最小值为(   )A. B. C. D.6.已知是等比数列的前n项和，且公比，其中，且满足，则下列说法错误的是(   )A.数列的公比为2 B.C.  D.7.如图1，四边形ABCD与四边形ADEF分别为正方形和等腰梯形，，，，，沿AD边将四边形ADEF折起，使得平面平面ABCD，如图2，动点M在线段EF上，N，G分别是AB，BC的中点，设异面直线MN与AG所成的角为，则的最大值为(   )A. B. C. D.8.设抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则的最小值为(   )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知向量，，则下列结论中正确的是(   )A.若，则 B.若，则C.不存在实数，使得 D.若，则10.已知圆和圆，则(   ).A.两圆的圆心的距离为25B.两圆相交C.两圆的公共弦所在直线的方程为D.两圆的公共弦长为11.设是数列的前n项和，，，则下列说法正确的有(   ).A.数列的前n项和为B.数列为递增数列C.数列的通项公式为D.数列的最大项为12.已知点P为双曲线所在平面内一点，分别为C的左、右焦点，，线段分别交双曲线于两点，， .设双曲线的离心率为e，则下列说法正确的有(   )A.若平行渐近线，则 B.若，则C.若，则 D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若数列满足，则称为“梦想数列”.已知数列为“梦想数列”，且，则的通项公式____________.14.已知M为抛物线上一点，为该抛物线的焦点，O为坐标原点，若，，则___________，的面积为_____________.15.如图，在正四棱锥中，，点M为PA的中点，.若，则实数__________.16.椭圆的左顶点为A，点B，C是椭圆E上的两个动点，若直线AB与AC的斜率之积为定值，则动直线BC恒过的定点坐标为___________.四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知等比数列的前n项和为，且.(1)求与；(2)记，求数列的前n项和.18.（12分）如图，和都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂直.平面，且.(1)设P是的中点，求证:平面.(2)求二面角的正弦值.19.（12分）已知数列的前n项和为，，，.（1）求；（2）令，证明：.20.（12分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，直线与双曲线C交于两点，点在双曲线C上.(1)求线段中点的坐标；(2)若，过点D作斜率为的直线与直线交于点P，与直线交于点Q，若点满足，求的值.21.（12分）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为60°.设M，N分别为AE，BC的中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.22.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，B为短轴的端点，长轴长为4，焦距为2c，且，的面积为.（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线与椭圆C有且只有一个公共点M，且与直线相交于点N.试探究：在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为直径的圆恒过点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案以及解析1.答案：C解析：设等差数列的公差为d.，，解得，则，故选C.2.答案：C解析：本题考查直线与圆的位置关系.由题知圆，将代入方程可知点M在圆C上.因为，所以直线l的斜率，所以直线l的方程为，即，故选C.3.答案：B解析：如图，以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，.设平面的一个法向量为，则即令，则.点到平面的距离.4.答案：B解析：由题意得，，，设椭圆的上顶点为B，由得，，因此或.当时，，，，同理，当时，.故选B.5.答案：C解析：将直线，变形为，可得解得定点为.由及渐近线方程，可得双曲线的方程为，，.易知当点M在双曲线的右支上时，可以取到最小值，即取得最小值，当M，P，三点共线时，，的最小值为，故选C.6.答案：C解析：根据题意知等比数列的公比为，记，则，所以解得故，则， ，所以，选项C错误，故选C.7.答案：A解析：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，由题意可得，，，，，动点M在线段EF上，可设，.，.令，则，，，当时，取最大值，.故选A.8.答案：D解析：由抛物线方程，得，因此.设直线l的方程为，联立得.设，，则，，从而.又，，.因此，当且仅当时取等号.故选D.9.答案：AC解析：由得，解得，故A选项正确；由得，解得，故B选项错误；若存在实数，使得，则，，，显然无解，即不存在实数使得，故C选项正确；若，则，解得，于是，故D选项错误.10.答案：BD解析：圆的圆心的坐标为，半径；圆的圆心的坐标为，半径，则圆心距，A错误；因为，，，，所以两圆相交，B正确；两圆方程相减得，故两圆的公共弦所在直线的方程为，C错误；圆心到直线的距离为，由垂径定理得两圆的公共弦长为，D正确.故选BD.11.答案：ABD解析：由，得，，即，又，数列为以1为首项，1为公差的等差数列，则，可得，故A，B均正确；当时，，数列的最大项为，故C错误，D正确.故选ABD.12.答案：ACD解析：本题考查双曲线的定义、离心率问题、焦半径问题.由题意为直角三角形，点P坐标为，直线斜率.不妨设点P在第一象限，如图.选项A，若平行渐近线，则，得，故A正确.选项B，若，则.连接(图略)，由，解得，得，故B错误.选项C，若，则.连接(图略)，由，解得，得，故C正确.选项D，，，点M的坐标为，代入双曲线方程得，，则，故D正确.故选ACD.13.答案：解析：由可得，故是公比为的等比数列，由数列为“梦想数列”，得是以为首项，3为公比的等比数列，所以，则.14.答案：4；解析：由抛物线的焦点为，得，解得.设抛物线的准线为l，则l与x轴的交点即为，作于点P，于点Q.，，.由抛物线的定义可知，，，即，，，，.15.答案：4解析：连接AC，交BD于点O，连接OP，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，设，则.，，，，，，，解得.16.答案：解析：由题意得，且直线BC的斜率不为0.设，，直线BC的方程为.联立，得，所以，.因为直线AB与AC的斜率之积为定值，所以，所以，即，所以，解得或.当时，不符合题意，舍去，所以，所以直线BC恒过定点.17.答案：(1)；.(2).解析：(1)由得，
当时，得；
当时，，
得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以.
所以.
(2)由(1)可得，则，
，
两式相减得，
所以

.18.答案：(1)见解析(2)解析：(1)证明：取的中点O，连接.是正三角形，.∵平面平面，平面平面，平面.平面，.在中，，.又，为等腰三角形.是的中点，.平面，.平面平面，平面.(2)由(1)知，，∴四边形为平行四边形， ，.以点O为坐标原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系，则， ，.设平面的法向量为，则即令，则，.设平面的法向量为，则即令，则，..，∴二面角的正弦值为.19.答案：（1）（2）见解析解析：（1）因为，，所以，故，即，所以是首项为，公差为1的等差数列，故，则.（2）因为，，所以.又符合上式，所以.因为，所以，所以.20.答案：(1)(2)解析：(1)依题意，双曲线C的离心率，则， 故双曲线C的方程为.联立得，且.设，则.设线段的中点为，故，将代入直线，得，故线段的中点坐标为.(2)依题意，，则双曲线C的方程为.直线，又点在双曲线C上，所以，故直线的方程为.由题可知，点均不重合，由易知为的外心，设，则，即，即.线段的垂直平分线的方程为，线段的垂直平分线的方程为.联立得联立解得，同理.故，故解得代入方程，得，即，则.21.答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）解析：（Ⅰ）因为ABCD是直角梯形，，
所以，即，
因为CDEF是直角梯形，，
所以，即.如图，在AB边上作，连接DH，易得，

在中，因为，所以，.在DC边上作，连接EG，易得，
在中，因为，所以，.
易知二面角的平面角为，又，故为等边三角形，
又N为BC的中点，所以.因为，，，所以平面BCF.
又平面BCF，所以.
因为，，故平面ABCD，
又平面ABCD，故.（Ⅱ）如图，取AD的中点K，连接NK，以N为坐标原点，

以NK，NB，NF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面ADE的法向量为，
则，即，
取，则，，即是平面ADE的一个法向量.
设直线BM与平面ADE所成角为，
因为，
所以.22.答案：（1）（2）存在定点，使得以MN为直径的圆恒过点P解析：（1）由题意知解得或（舍去）.椭圆C的方程是.（2）由得.直线l与椭圆C有且只有一个公共点M，且.，化简得.设，则，，.由得.假设存在定点P满足题意，由图形的对称性可知，点P必在x轴上.设，则对满足的任意m，k恒成立.又，，，整理得.解得.，存在定点，使得以MN为直径的圆恒过点P.