人教A版高二文科数学上学期期末达标测试卷（B卷）

这是一份人教A版高二文科数学上学期期末达标测试卷（B卷），共18页。
2022-2023学年人教A版高二文科数学上学期期末达标测试卷（B卷）【满分：150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则“”是“”的(   )A.充分不必要条件  B.必要不充分条件C.充要条件  D.既不充分也不必要条件2.一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行.若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为(   )A. B. C. D.3.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为(   )A.30 B.25 C.20 D.154.已知某产品的营销费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的统计数据如表所示：营销费用x/万元2345销售额y/万元15203035根据上表可得y关于x的回归直线方程为，则当该产品的营销费用为6万元时，销售额为(   )A.40.5万元 B.41.5万元 C.42.5万元 D.45万元5.1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关.如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出的结果为(   )A.8 B.7 C.6 D.56.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是(   )A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.67.抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点，若的周长为，则(   )A.2 B. C.8 D.48.已知函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是(   ).A. B. C. D.9.如图，六芒星是连接圆的六等分点得到的，在圆中任取一点，恰好取到六芒星内的点的概率为(   )A. B. C. D.10.已知函数，，若恒成立，则实数m的取值范围是(   )
A. B. C. D.11.直线经过椭圆的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于点C.若，则该椭圆的离心率为(   )A. B. C. D.12.已知函数在R上有且只有一个零点，则实数m的最小值为(   )A. B. C.1 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为_________.分数54321人数201030301014.已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且.若，则双曲线的离心率是___________.15.若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.16.过抛物线上一点作两条直线PA，PB，且它们的斜率之积为定值4，则直线AB恒过定点____________.三、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图.(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率.(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数.(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.18.（12分）“双减”政策明确指出要通过阅读等活动，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间.某家庭有小明和小红两个孩子，父母每天为他们安排了自由阅读的时间，约定周一到周日每天的阅读时间不能比前一天少.为了调查两人自由阅读时间的情况，父亲记录了两人某周每天的阅读时间（单位：min），如下表所示，其中小明周日的阅读时间a忘了记录，但知道，. 周一周二周三周四周五周六周日序号x1234567小明的阅读时间y/min162020253036a小红的阅读时间z/min6222526323535（1）求小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间的概率；（2）根据小明这一周前6天的阅读时间，求其阅读时间y关于序号x的线性回归方程，并估计小明周日阅读时间a的值.参考公式：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，.19.（12分）如图，椭圆的右顶点为，左、右焦点分别为，，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P的直线与椭圆交于M，N两点（M，N不与A，B重合），若，求直线MN的方程.20.（12分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间，各恰有一个零点，求a的取值范围.21.（12分）已知F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，.（1）求抛物线的方程；（2）已知为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.22.（12分）已知函数.(1)若恒成立，求a的取值范围；(2)若函数存在两个极值点，且恒成立，求的取值范围.
答案以及解析1.答案：A解析：由，得，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件.2.答案：A解析：由题意，样本点空间为.所以共有12种不同排法，而卡片排成“1314”只有1种情况，故所求事件的概率.3.答案：C解析：抽样比是，则样本中松树苗的数量为.4.答案：C解析：由题中表格数据可知，，因为回归直线一定经过点，所以，解得，所以回归直线方程为，将代入，得.故选C.5.答案：A解析：当时，不满足，满足a是奇数，所以；当时，不满足，不满足a是奇数，所以；当时，不满足，满足a是奇数，所以；当时，不满足，不满足a是奇数，所以；当时，不满足，不满足a是奇数，所以；当时，不满足，不满足a是奇数，所以；当时，不满足，不满足a是奇数，所以，当时，满足，输出，程序框图运行结束.故选A.6.答案：C解析：对于A，甲同学周课外体育运动时长的中位数为，故选项A正确；对于B，乙同学周课外体育运动时长大部分在8h以上，故平均数大于8，故选项B正确；对于C，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率为，故选项C错误；对于D，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率为，故选项D正确.故选C.7.答案：A解析：双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为，设A在x轴上方，则，，，.又的周长为，，.8.答案：A解析：由题意可得，且，这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也是最小值，所以实数a的取值范围是.故选A.9.答案：B解析：如图，圆的半径，则圆的面积为.易知，和为等边三角形，则在等边三角形OAD中，，则，等边三角形AFG的边长为，面积为，等边三角形ABC的边长为，面积为，所以六芒星的面积为，所求概率，故选B.10.答案：B解析：由题意，函数，，则，
令，即，解得或，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得极小值，也是最小值，
因为不等式恒成立，即恒成立，
解得，故选B.11.答案：A解析：在中，令，得，.令，得，，设，则，，由得解得由A在椭圆上，得，，故选A.12.答案：D解析：由题可知，为偶函数，且，.设，则，当时，，故在上单调递增，故时，，即，即在上单调递增，故在上没有零点.由为偶函数，可知在R上有且只有一个零点；当时，存在，使，当时，，即在上单调递减，故，即，故在上单调递减，故，且，则在上有零点，此时不符合条件，故，即实数m的最小值为，故选D.13.答案：解析：因为，所以，所以.14.答案：解析：结合题意作出图形如图所示，由题意知，过左焦点且斜率为的直线的方程为，由，解得，所以.因为，所以，即，得，所以，将代入双曲线方程，可得，结合离心率得，又，所以双曲线的离心率为.15.答案：解析：可化为.令，设，，则，设，令，可得的单调递增区间为，由在上单调递增可知，，则，解得.16.答案：解析：设，，则，同理，，.因为，所以，所以.所以.直线AB的方程为，即.将代入上式得，所以直线AB恒过定点.17.答案：(1)概率估计为0.4(2)估计为20(3)比例为解析：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为，所以样本中分数小于70的频率为，所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为，所以总体中分数在区间内的人数估计为.(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，所以样本中分数不小于70的男生人数为，所以样本中的男生人数为，女生人数为，所以样本中男生和女生人数的比例为，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为.18.答案：（1）小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间的概率为（2）估计小明周日阅读时间a的值为38解析：（1）由题意知，，所以a的取值一共有25种情况.令，解得，又，，所以当小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间时，a的取值一共有16种情况.所以小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间的概率为.（2）由题可得，，，，所以，则，所以y关于x的线性回归方程为.当时，.故估计小明周日阅读时间a的值为38.19.答案：（1）（2）或解析：（1）由题意，得轴，，所以点.又，所以解得所以椭圆C的标准方程为.（2）因为，所以.所以，所以，所以.由题意知，设，，则，，所以.①当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为，此时，或，均不符合条件，故舍去.②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为.由得.由根与系数的关系，可得将代入，可得所以.所以，解得.所以直线MN的方程为或.20.答案：（1）（2）解析：（1）当时，，
，
，
，
所求切线方程为，即.
（2），
1°当时，若，则，，，
在上无零点，不符合题意.2°当时，.
令，则，在上单调递增，
，，
（a）若，则，时，
在上恒成立，
在上单调递增，，在上恒成立，在上恒成立，
在上单调递增，，在，上均无零点，不符合题意.
（b）若，则，时，存在，使得.
在上单调递减，在上单调递增.，，.（ⅰ）当，即时，在上恒成立，
在上恒成立，在上单调递增.，当时，，
在上无零点，不符合题意.
（ⅱ）当，即时，存在，，使得，
在，上单调递增，在上单调递减.
，，当时，，
在上存在一个零点，
即在上存在一个零点，
，当时，，
在上存在一个零点，即在上存在一个零点.
综上，a的取值范围是.21.答案：（1）（2）直线MN过定点解析：（1）已知，则直线AB的方程为，联立消去y，得，所以，因为，所以，所以抛物线的方程为.（2）将代入可得，不妨设直线MN的方程为，，，联立消去x，得，则，，，由题意得，化简可得，，代入，此时直线MN的方程为，所以直线MN过定点.22.答案：(1).(2)的取值范围是.解析：(1)由题可知，要使恒成立，即恒成立.令，则.当时，，所以在上单调递增，又，与矛盾，不满足题意.当时，若，则；若，则.所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以.综上，.
(2)由题可知，所以是方程的两个根，所以，所以，所以.又，所以.不妨设，则上式转化为.令，则在上恒成立.由，易知.令，则.令，则函数的图象开口向下，且对称轴为.①当，即时，，则在上恒成立，在上单调递减，则，符合题意.②当，即时，，此时存在唯一的，使得，则在上单调递增，在上单调递减，从而，不合题意.综上所述，的取值范围是.