人教A版高二理科数学上学期期末达标测试卷（B卷）

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2022-2023学年人教A版高二理科数学上学期期末达标测试卷（B卷）【满分：150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若向量，，且a与b的夹角的余弦值为，则实数等于(   ).A.0 B. C.0或 D.0或2.已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是(   )A. B. C. D.3.2021年高考成绩揭晓在即，某学生高考前8次数学模拟考试成绩如表所示，模拟次数(x)12345678考试成绩(y)90105110110100110110105根据考试成绩y与考试次数x的散点图可知，满足回归直线方程.若将2021年的高考看作第10次模拟考试，根据回归直线方程预测今年的数学高考成绩为(   )A.100 B.102 C.112 D.1304.设抛物线的焦点为F，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则(   )A.5 B.6 C.7 D.85.某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是(   )A.得分在之间的共有40人B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5C.估计得分的众数为55D.这100名参赛者得分的中位数为656.一个不透明袋子中装有5个球，其中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同.若一次从中摸出2个球，则至少有1个红球的概率为(   )A. B. C. D.7.1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关.如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出的结果为(   )A.8 B.7 C.6 D.58.在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（A，B，C，，且A，B，C不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面PAB的距离d等于(   )A. B. C.2 D.59.正六边形ABCDEF各边中点分别是G，H，I，J，K，L（如图），在正六边形ABCDEF中任取一点P，则P不在正六边形GHIJKL内部的概率为(   )A. B. C. D.10.直线经过椭圆的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于点C.若，则该椭圆的离心率为(   )A. B. C. D.11.如图是我国2011—2021年国内生产总值(GDP)(单位:亿元)及其年增长率(%)的统计图，则下列结论错误的是(   )A.2011—2021年国内生产总值逐年递增B.2021年比2020年国内生产总值及其年增长率均有增加C.2014—2017年国内生产总值年增长率的方差大于2018—2021年的方差D.2011—2021年国内生产总值年增长率的平均值小于7.0%12.抛物线的准线l与双曲线交于A、B两点，，分别为双曲线C的左、右焦点，在l左边，为等边三角形，与双曲线的一条渐近线交于点E，，则的面积为(   )A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.树人中学为了庆祝“天问一号”成功着陆火星，特举办中国航天史知识竞赛，高一某班现有2名男生和2名女生报名，从报名学生中任选2名学生参赛，则恰好选中2名女生的概率为______________.14.命题:，的否定为真命题，则实数a的最大值为__________.15.如图，在正四棱锥中，，点M为PA的中点，.若，则实数__________.16.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________.三、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以分组的频率分布直方图如图所示.(1)求直方图中x的值.(2)求月平均用电量的众数和中位数.(3)在月平均用电量为的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？18.（12分）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.
 （1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值.19.（12分）“双减”政策明确指出要通过阅读等活动，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间.某家庭有小明和小红两个孩子，父母每天为他们安排了自由阅读的时间，约定周一到周日每天的阅读时间不能比前一天少.为了调查两人自由阅读时间的情况，父亲记录了两人某周每天的阅读时间（单位：min），如下表所示，其中小明周日的阅读时间a忘了记录，但知道，. 周一周二周三周四周五周六周日序号x1234567小明的阅读时间y/min162020253036a小红的阅读时间z/min6222526323535（1）求小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间的概率；（2）根据小明这一周前6天的阅读时间，求其阅读时间y关于序号x的线性回归方程，并估计小明周日阅读时间a的值.参考公式：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，.20.（12分）已知椭圆的离心率为，其右顶点为A，下顶点为B，定点，的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点.
 （1）求椭圆C的方程.（2）试探究点M，N的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.21.（12分）如图，已知三棱柱，平面平面ABC，，，，E，F分别是AC，的中点.（1）证明：；（2）求直线EF与平面所成角的余弦值.22.（12分）已知F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，.（1）求抛物线的方程；（2）已知为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.
答案以及解析1.答案：C解析：由题意得，解得或.故选C.2.答案：A解析：本题考查常用逻辑用语的应用.由当时，，知p是真命题；由当时，，得，知q也是真命题，所以，是假命题，所以是假命题，是假命题，是真命题，是真命题，是假命题.3.答案：C解析：，，∴回归直线过点，代入回归直线方程得，则回归直线的方程为，当时，得，故选C.4.答案：D解析：设，.由已知可得直线的方程为，即，由得.由根与系数的关系可得，，，，，，故选D.5.答案：D解析：根据频率和为1，计算，解得，得分在的频率是0.40，估计得分在的有(人)，A正确；得分在的频率为0.5，可得这100名参赛者中随机选取一人，得分在的概率为0.5，B正确；根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为，即估计得分众数为55，C正确；中位数的估计值为，解得，故D错，故选D.6.答案：A解析：记3个红球分别为A，B，C，2个白球分别为a，b.若一次摸出2个球，则所有可能的结果为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种.其中至少有1个红球的结果为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，共9种，因此所求概率.7.答案：A解析：当时，不满足，满足a是奇数，所以；当时，不满足，不满足a是奇数，所以；当时，不满足，满足a是奇数，所以；当时，不满足，不满足a是奇数，所以；当时，不满足，不满足a是奇数，所以；当时，不满足，不满足a是奇数，所以；当时，不满足，不满足a是奇数，所以，当时，满足，输出，程序框图运行结束.故选A.8.答案：B解析：以底面中心O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，如图.则，，，，设平面PAB的方程为，将A，B，P3点的坐标代入计算得，，，所以方程可化为，即，所以.9.答案：C解析：设正六边形ABCDEF的边长为2，则正六边形ABCDEF的面积.又，，由余弦定理得，则正六边形GHIJKL的面积，则所求概率，故选C.10.答案：A解析：在中，令，得，.令，得，，设，则，，由得解得由A在椭圆上，得，，故选A.11.答案：C解析：由题图可知，2011—2021年国内生产总值逐年呈上升趋势，因此A不符合题意.根据题图中提供的2020年与2021年这两年的数据可知B不符合题意.2014—2017年国内生产总值年增长率的波动较小，而2018—2021年国内生产总值年增长率的波动较大，所以2014—2017年国内生产总值年增长率的方差小于2018—2021年的方差，因此C符合题意.2011—2021年国内生产总值年增长率的平均值为，所以2011—2021年国内生产总值年增长率的平均值小于7.0%，因此D不符合题意.故选C.12.答案：D解析：不妨令点A在第二象限，示意图如图，由，可得E为的中点，又O为的中点，.为等边三角形，，由对称性知，，，①，②.抛物线的准线l的方程为，的边长为，，在中，由余弦定理可得，即③，由①②③得，，，.则的面积.故选D.13.答案：解析：将2名男同学和2名女同学分别记为a，b，A，B，从中任选2人，有，，，，，，共6种情况，其中恰好选中2名女生的情况有1种，故选中的2人都是女生的概率为.14.答案：5解析：本题考查含量词的命题的否定.命题的否定为，，该命题为真命题，等价转化为为真命题，则(当且仅当，即时等号成立)，从而得到实数a的取值范围为，从而得到实数a的最大值为5.15.答案：4解析：连接AC，交BD于点O，连接OP，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，设，则.，，，，，，，解得.16.答案：13解析：如图，连接，，，因为C的离心率为，所以，所以，所以.因为，所以为等边三角形，又，所以直线DE为线段的垂直平分线，所以，，且，所以直线DE的方程为，代入椭圆C的方程，得.设，则，则，，所以，解得，所以，所以的周长为.17.答案：(1)0.0075.(2)众数为230，中位数224.(3)抽取5户.解析：(1)由得，，所以直方图中x的值是0.0075.(2)月平均用电量的众数是.因为，所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为a，由得，，所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，抽取比例为，所以月平均用电量在的用户中应抽取户.18.答案：（1）（2）解析：（1）设点A到平面的距离为h，
因为直三棱柱的体积为4，
所以，
又的面积为，，
所以，即点A到平面的距离为.
（2）取的中点E，连接AE，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，
又平面ABC，
所以，因为，所以平面，
所以.
以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

由（1）知，，所以，，
因为的面积为，所以，所以，
所以，，，，，，
则，，
设平面ABD的法向量为，
则即
令，得，
又平面BDC的一个法向量为，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为.19.答案：（1）小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间的概率为（2）估计小明周日阅读时间a的值为38解析：（1）由题意知，，所以a的取值一共有25种情况.令，解得，又，，所以当小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间时，a的取值一共有16种情况.所以小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间的概率为.（2）由题可得，，，，所以，则，所以y关于x的线性回归方程为.当时，.故估计小明周日阅读时间a的值为38.20.答案：（1）；（2）是定值，.解析：解：（1）由已知，A，B的坐标分别是，，由于的面积为3，①，又由，化简得②，①②两式联立解得：或（舍去），，，椭圆方程为；（2）设直线PQ的方程为，P，Q的坐标分别为，则直线BP的方程为，令，得点M的横坐标，直线BQ的方程为，令，得点N的横坐标，，把直线代入椭圆得，由韦达定理得，，是定值.21.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）解法一：证明：连接，因为，E是AC的中点，所以，
又平面平面ABC，平面，平面平面，
所以平面ABC，
则.又因为，，
所以.
因为，
所以平面.
因此.

解法二：证明：连接，因为，E是AC的中点，所以.
又平面平面ABC，平面，平面平面，
所以平面ABC.
如图，以E为原点，分别以射线EC，为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz.

不妨设，则，，，，，.
因此，，
.
由得.
（2）解法一：取BC的中点G，连接EG，GF，则四边形是平行四边形.
由于平面ABC，故，
所以平行四边形为矩形.
由（1）得平面，则平面平面，所以EF在平面上的射影在直线上.
连接交EF于O，则是直线EF与平面所成的角（或其补角），
不妨设，则在中，，.
由于O为的中点，故，
所以.
因此，直线EF与平面所成角的余弦值是.
解法二：由（1）可得.
设平面的法向量为.
由
得
取，则，
设直线EF与平面所成角为，
则.
因此，直线EF与平面所成角的余弦值为.22.答案：（1）（2）直线MN过定点解析：（1）已知，则直线AB的方程为，联立消去y，得，所以，因为，所以，所以抛物线的方程为.（2）将代入可得，不妨设直线MN的方程为，，，联立消去x，得，则，，，由题意得，化简可得，，代入，此时直线MN的方程为，所以直线MN过定点.