2022-2023学年湖南省常德市第一中学高一上学期期中数学试题含解析

  常德市一中2022年下学期高一期中考试试卷

数  学

（时量：120分钟  满分：150  命题人：）

一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合，则的真子集共有个（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合，即可得出集合的真子集个数.

【详解】因为，

所以，集合的真子集个数为.

故选：C.

2. 已知条件p：；条件q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】条件p：，解得; 条件q：,

若p是q的充分不必要条件,则，解得，故选D.

3. 已知，，，那么下列命题中正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若且，则 D. 若且，则

【答案】C

【解析】

【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.

【详解】A选项，，所以A选项错误.

B选项，，所以B选项错误.

C选项，，且，

所以，

所以C选项正确.

D选项，满足“且”，但，

所以D选项错误.

故选：C

4. 下列式子成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据根式有意义求得的符号，结合根式的运算性质可得出与相等的代数式.

【详解】若有意义，则，可得，.

故选：B.

5. 由命题“存在，使”是假命题，求得的取值范围是，则实数的值是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可得不等式对于恒成立，根据求出范围，与已知条件比较可得实数的值.

【详解】因为命题“存在，使”是假命题，，

所以其否定“，”是真命题，

即不等式对于恒成立，

所以解得：，

即实数的取值范围是，

因为实数的取值范围是，

所以，

故选：B.

6. 若是幂函数，且满足，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据幂函数的知识求得的解析式，从而求得.

【详解】设，

所以，所以.

故选：C

7. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ）

A. 或 B.

C. 或 D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意得出方程的根为，且，然后将不等式变形为，解出该不等式即可.

【详解】由于关于的不等式的解集为，则关于的方程的根为，且，，得.

不等式即，等价于，解得.

因此，不等式的解集为.

故选D.

【点睛】本题考查一元一次不等式解集与系数的关系，同时也考查了分式不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.

8. 已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先判断出函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性将不等式进行转化，再利用单调性解函数不等式，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得的不等式组，解出可得答案

【详解】由题意得，函数的定义域是，且，所以是奇函数，

又函数与函数都是R上的增函数，则在上单调递增，

所以可化为：，

由递增知：，即，

则对任意的，恒成立，等价于对任意的，恒成立，

所以，解得，即的取值范围是，

故选：D．

二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）

9. 奇函数在的图像如图所示，则下列结论正确的有（    ）

A. 当时，

B. 函数在上递减

C.

D. 函数在上递增

【答案】ABD

【解析】

【分析】结合的图像，根据奇函数的对称性，分析函数的值域、单调性、函数值，由此确定正确选项.

【详解】解：根据图像可知：时，，在递减，在上递增，

所以根据奇函数性质，当时，，A正确；

当时，在递减，在上递增，故BD正确.

由于在上递增，所以，故C错误.

故选：ABD

10. 若函数的定义域为，值域为，则实数m的值可能为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】ABC

【解析】

【分析】画出函数的图象，结合值域可得实数的取值范围，从而可得正确的选项.

【详解】函数的图象如图所示：

因为函数在上的值域为，结合图象可得，

故选：ABC.

11. 下列说法正确的是（    ）

A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为

B. 若函数过定点，则函数经过定点

C. 幂函数 在是减函数

D. 图象关于点成中心对称

【答案】BD

【解析】

【分析】根据复合函数定义域判断A；根据函数图像平移判断BD；根据幂函数性质判断C.

【详解】解：对于A，若函数的定义域为，则函数的定义域为，故错误；

对于B，函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数图像，由于过定点，故函数经过定点，正确；

对于C，幂函数 在是减函数，由于，定义域为，，为偶函数，故幂函数 在是增函数，故错误；

对于D，，其图像由向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，且图像关于原点对称，故图像关于点成中心对称，正确.

故选：BD

12. 定义一种运算.设（为常数），且，则使函数最大值为4的值可以是（    ）

A. -2 B. 6 C. 4 D. -4

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据定义，先计算在，上的最大值，然后利用条件函数最大值为4，确定的取值即可．

【详解】在，上的最大值为5，

所以由，解得或，

所以时，，

所以要使函数最大值为4，则根据定义可知，

当时，即时，，此时解得，符合题意；

当时，即时，，此时解得，符合题意；

故或4，

故选：AC

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. _______.

【答案】51

【解析】

【分析】

直接利用分数指数幂运算法则进行求值.

【详解】原式.

故答案为：51.

【点睛】本题考查分数指数幂的运算，考查运算求解能力，属于基础题.

14. 已知函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为__________．

【答案】

【解析】

【分析】先根据函数偶函数分析得到,再解不等式得其解集.

【详解】解：因为函数为偶函数，且在单调递增，

所以，解得，即，显然满足条件.

所以，解得，

所以，的解集为

故答案为：

15. 关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据不等式有解可得当时，，结合二次函数的最值可求得结果.

【详解】在内有解，，其中；

设，则当时，，

，解得：，的取值范围为.

故答案为：.

16. 已知正实数、满足，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】由已知可得出，等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的取值范围.

【详解】由已知可得，

等式两边同时乘以可得，

因为，当且仅当时取等号，

所以，，即，解得.

故答案为：.

四、解答题（本大题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 设，，，．

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得；

（2）根据列不等式，从而求得的取值范围.

【小问1详解】

解：，所以.

，所以，

所以，所以.

【小问2详解】

解：由于，则，所以，

所以的取值范围是.

18. 已知正数，满足．

（1）求的最大值；

（2）求的最小值．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用基本不等式求得正确答案.

（2）利用“的代换”的方法，结合基本不等式求得正确答案.

【小问1详解】

，

当且仅当时等号成立，

所以的最大值是.

小问2详解】

，

，

当且仅当时等号成立.

所以的最小值为.

19. 已知函数为偶函数．

（1）求实数的值；

（2）判断的单调性，并用定义法证明你的判断；

（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）在上单调递增，在上单调递减，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）由求得的值.

（2）利用定义法对的单调性进行判断.

（3）通过求、的最值，结合对分类讨论来求得的取值范围.

【小问1详解】

的定义域是，

是偶函数，所以，

即，

整理得恒成立，所以.

【小问2详解】

，在上单调递增，在上单调递减，证明如下：

任取，，

，所以，

所以在上单调递增，根据偶函数的性质可知，在上单调递减.

【小问3详解】

依题意，，，

若对任意的，总存在，使得成立，

即.

由（2）得在上递增，最大值为.

当时，在区间上的最大值是，

所以，解得.

当时，在区间上的最大值是，

所以，解得.

综上所述，的取值范围是

20. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，

（1）求函数在上的解析式；

（2）是否存在非负实数，使得当时，函数的值域为若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由

【答案】（1）（2）存在符合题意，详见解析

【解析】

【分析】（I）根据时的表达式，利用函数是定义在上的奇函数，求出当时的表达式，再由，即可写出函数分段函数形式的解析式；
（2）假设存在满足条件的a，b， 由可得，由此可知在上的单调性，从而可以列方程求解．

【详解】解：由题意，当时，

则，由是定义在上的奇函数

得，且

综上：

假设存在这样的符合题意，

由题意知，

由知，当时，，

故，即，

故在上单调递减，从而有

，即是方程的两个根，解得

故假设成立，即存在符合题意．

【点睛】本题着重考查了函数的奇偶性与单调性及其应用，特别是第（2）问，通过条件判断出，从而知道了在上的单调性，避免了分类讨论，属于中档题．

21. 为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由子此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左右两面墙的长度均为米.

（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价.

（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，苦无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.

【答案】（1）当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元；（2）.

【解析】

【分析】（1）甲工程队的总造价为元，求出，再利用基本不等式求解；

（2）由题意可得对任意的恒成立，化简得恒成立，利用基本不等式求函数的最小值得解.

【详解】（1）甲工程队的总造价为元，

则，

.

当且仅当，即时等号成立.

即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.

（2）由题意可得，对任意的恒成立.

即，从而恒成立，

令，，

故.所以.

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的恒成立问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

22. 已知二次函数满足，对任意，都有恒成立．

（1）求的值；

（2）求函数的解析式；

（3）若，对于实数，，记函数在区间上的最小值为，且恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）在不等式中，令可求得的值；

（2）由已知可可得，再由恒成立可得出关于的不等式，解出的值，即可得出函数的解析式；

（3）分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，求出函数在区间上的最小值，再结合参变量法可求得实数的取值范围.

【小问1详解】

解：对任意，都有恒成立．

令，可得，所以

【小问2详解】

解：由，知，得．

由对任意恒成立，可得不等式对任意恒成立．

则，即，又，故，

所以，，则，

因为对任意的恒成立，合乎题意.

综上所述，函数的解析式为

【小问3详解】

解：由（2）可得，则函数在上连续.

①当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以；

②当时，在上单调递增，

所以．

综上，.

当时，恒成立，

即对恒成立，即，

易得函数在上单调递增，，所以，；

当时，恒成立，即恒成立，

因为函数、在上均为增函数，

则函数在上单调递增，且其最大值为，所以，.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.