2022-2023学年湖南省常德市汉寿县第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省常德市汉寿县第一中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．若关于的方程的解集中有且仅有一个元素，则实数的值组成的集合中的元素个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题知，

当时，的解有且仅有一个：，

符合题意，所以；

当时，要使的方程的解集

中有且仅有一个元素，则有：，则.

所以实数的值组成的集合中的元素个数为：2.

故选：B.

2．若定义在上的函数满足则“为无理数”是“2023”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合已知条件分析判断即可.

【详解】当为无理数时，为有理数，则.

当为有理数时，为有理数，则.

所以当时，，

故“为无理数”是“”的充分不必要条件.

故选：A

3．正数，满足，则的最小值为（    ）

A．6 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【分析】将变形为，再用基本不等式“1”的用法求解即可.

【详解】因为为正数，且，所以有，

所以，

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为.

故选：C.

4．已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题，根据平移和伸缩变化得，由在上没有零点求得的取值范围.

【详解】，

把的图象先向右平移个单位长度，可得，

再将所得函数图象上点的横坐标变为原来的得到函数，

由，可得，要使函数在上没有零点，则函数在上没有零点，

因为，则且，所以.

故选：D.

5．已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合对数型函数的性质、二次函数的性质进行求解即可.

【详解】二次函数的对称轴为，

因为函数在区间上单调递减，

所以有，

故选：A

6．若函数在上单调递增,则a的取值范围是(     )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分和两种情况进行讨论即可

【详解】当时，则，在上单调递增，满足题意；

当时，的对称轴为，

要使函数在上单调递增，只需，解得

综上，a的取值范围是

故选：D

7．定义在上的函数满足，时，若的解集为，其中，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可知：函数关于对称，作出函数在区间上的图象，然后根据函数的图象和不等式的解集确定实数的取值范围即可.

【详解】因为函数满足，所以函数关于对称，

作出函数在区间上的图象，又因为不等式的解集为，其中，根据图象可知：

当直线过点时为临界状态，此时，

故要使不等式的解集为，其中，则，

故选：.

二、多选题

8．已知命题：关于的不等式的解集为R，那么命题的一个必要不充分条件是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】求出命题p成立时a的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可．

【详解】命题p：关于x的不等式的解集为R，

则，解得

又，，

故选：CD．

9．已知均为实数，下列不等关系不正确的是（   ）

A．若 ，则  B．若 ，则

C．若 ，则  D．若 ，则 .

【答案】ABC

【分析】举反例可判断，采用作差法可判断C，利用不等式性质可判断D，即得答案.

【详解】因为，故可取 ，则，A错误；

若，取，而，B错误；

若，即，则，C错误；

若，则 ，故，所以，D正确，

故选：

10．函数在上有定义，若对任意，都有，则称在上具有性质P.设在上具有性质，则下列命题正确的有（    ）

A．在上的图象是连续不断的

B．在上具有性质

C．若在处取得最小值1，则，

D．对任意 ，有

【答案】CD

【分析】根据题设条件，分别举出反例，说明和都是错误的，对，证明且即可，对，需先证明出.

【详解】对，反例在上具有性质，但在上的图象不是连续的，所以错误；

对，反例在上具有性质，但在上不具有性质，所以错误；

对，在处取得最小值1，则当时，，，，

又因为在上具有性质，则，

所以，

而，，

当且仅当时，才有，

故对任意的，， 所以正确；

对，因为，所以，

，所以正确.

故选：.

11．设，，，则下列结论正确的是（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最小值为9 D．的最小值为

【答案】ABC

【分析】对于AD，利用基本不等式判断即可；对于B，利用不等式判断即可，对于C，利用基本不等式“1”的妙用判断即可.

【详解】对于A，因为，，，

则，当且仅当时取等号，故A正确；

对于B，因为，

故，当且仅当时取等号，即的最小值，故B正确；

对于C，，

当且仅当且，即，时取等号，

所以的最小值为9，故C正确；

对于D，，

故，当且仅当时取等号，即的最大值，故D错误．

故选：ABC.

12．已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（    ）

A．为奇函数 B．是上的增函数

C． D．是周期函数

【答案】ABC

【分析】令，代入，即可得到再由，分别应用函数的奇偶性，单调性，值域和周期性判断A,B,C,D选项即可

【详解】对于A:由题意，令， ,解得：或

当时，令，则恒成立，又已知为非常值函数故舍去，

当时，令，则恒成立，又已知为非常值函数故舍去，

∴，令，则，所以，即，

所以为奇函数，故A正确；

对于C：令，，因为

若,则,又为非常值函数故舍去，

所以，所以所以,故C正确:

对于B: 设任意的且

令所以，又因为为奇函数，

所以，

又因为当时，，所以，，,

即，所以是上的增函数,故B正确;

对于D:因为是上的增函数,又因为为奇函数且,

所以是上的增函数,故不是周期函数,故D错误.

故选:ABC.

三、填空题

13．若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是__________．

【答案】

【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．

【详解】设幂函数，其图像过点，则，解得；

∴，函数定义域为，在上单调递增，

不等式等价于，解得；

则实数的取值范围是.

故答案为：

14．不等式的解集为___________．

【答案】

【分析】原不等式等价于，分类讨论解即可.

【详解】原不等式等价于，对于，

当时，，则此时不等式无解.

当时，.

则原不等式解集为：.

故答案为：

15．已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是__________.

【答案】

【分析】讨论与、的大小关系，判断函数在、上的单调性与最小值，根据函数的最小值列方程解出实数的值.

【详解】分以下三种情况讨论：

①若时，即当时，，

所以，函数在上单调递减，且，

当时，，

所以，解得，

②若时，即当时，，

当时，，

当时，.

，所以，整理可得，

，解得（舍去）；

③当时，即当时，，

当时，，

当时，.

因为，所以，整理可得，

，解得或（舍去）.

综上所述，实数的取值集合为.

故答案为：.

16．已知函数，若有两个实根，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】原问题等价于函数与直线的图象有两个不同的交点，即求的值域即可.

【详解】原问题等价于函数与直线的图象有两个不同的交点，

此时，，，

∴，

由对勾函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增，

所以当，，

所以，

则.

故答案为：.

四、解答题

17．设，集合，

(1)若，求

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先根据，化简两个集合，再求两个集合的并集；

（2）由3在集合中，不在集合中，可求取值范围.

【详解】（1）当时，

所以.

（2）集合，所以

因为，所以且.

则，即，解得.

18．关于的不等式：

(1)当时，解关于的不等式；

(2)当时，解关于的不等式.

【答案】(1)或；

(2)答案见解析.

【分析】（1）当时，根据一元二次不等式的解法即可求解；（2）分，，，，五种情况解一元二次不等式即可求解.

【详解】（1）当时，原不等式化为，

方程的实数根为，，

所以原不等式的解集为或.

（2），

当时，原不等式化为，所以原不等式的解集为；

当时，

方程即的根为，，

且，

当或时，；当时，；当时，；

所以当时，原不等式的解集为或，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集，

当时，原不等式的解集为，

综上所述：当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

19．已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度．

(1)求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；

(2)已知关于的方程在内有两个不同的解，．

①求实数的取值范围；

②请用的式子表示．

【答案】(1)，对称轴方程为

(2)①；②．

【分析】（1）由函数图象变换规律可得：，从而可求对称轴方程；

（2）①由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得（其中，，由题意得，即可得解；

②由题意可得，．当时，可求得；当时，可求得，由即可得解．

【详解】（1）将的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，故，

从而函数图象的对称轴方程为．

（2）①（其中，

依题意，在区间内有两个不同的解，，当且仅当，

故的取值范围是．

②因为，是方程在区间内的两个不同的解，

所以，．

当时，，即；

当时，，即；

所以．

20．已知函数.

(1)当时，证明：当时，.

(2)当时，对任意的都有成立，求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析.

(2)

【分析】（1）方法1：由分析法可证得结果.

方法2：换元法求的最大值即可证得结果.

（2）设出不等号两边的函数，转化为对任意的都有成立，对参数分类讨论，分别研究两个函数的单调性、最值即可.

【详解】（1）方法1：

证明：要证，

只需证：，

即证：，

即证：，

∵

∴

∴原命题得证.

方法2：

证明：当时，，

令，则，，

∴，，

对称轴，在上单调递减，

∴，

∴，即：当时，恒成立，

即：当时，.

（2）当时，

即：对任意的都有成立，

令， ，

即：对任意的都有成立，

当时，，故.

①当时，在上单调递增，

∴，∴

在上单调递减，∴，∴

此时，

∴即，故符合.

②当时，由（1）知，，恒成立，

∴，，

∴，，即：，，

又∵在上单调递增，∴，∴

∴，

∴符合.

综述：.

【点睛】对于，恒成立求参数，可以先取特殊值确定参数的初步范围，再利用下面的两种方法.

方法1：当时，；

方法2：当时，.

求最值的方法：

方法1：分离参数求最值；

方法2：分类讨论研究函数的最值.

21．已知

(1)化简；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式化简即可；

（2）由（1）得，再将转化为用表示，代入的值计算即可.

【详解】（1）；

（2）由得，

.

22．双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向.根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产x（千辆）获利10W（x）（万元），该公司预计2022年全年其他成本总投入万元，由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.22年的全年利润为f（x）（单位：万元）

(1)求函数f（x）的解析式；

(2)当2022年产量为多少辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由.

【答案】(1)

(2)当2022年产量为3000辆时，该企业利润最大，最大利润为390万元.理由见解析.

【分析】（1）结合题意，分类讨论和两个区间的情况，化简整理即可.

（2）由（1）可知：，分类讨论后利用二次函数的性质和基本不等式性质求出最大值，即可的答案.

【详解】（1）解：由题意得：

所以当，时，则有

当，时，则

故函数的解析式为：

（2）由（1）可知：

当时，

故在上单调递减，在上单调递增

故

当时，则有

当且仅当，即当时取等号；

故此当2022年产量为3000辆时，该企业利润最大，最大利润为390万元.