湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时量：120分钟 满分：150分 命题人： ）
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1. 直线的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.
【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，
又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，
故选：A.
2. 设，，与垂直，则等于（ ）
A. 6B. 14C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知向量坐标求的坐标，再由空间向量垂直的坐标表示求.
【详解】由题设，，
∴，
∴.
故选：C
3. 已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】，焦点到渐近线的距离为，说明，则，
∴双曲线的方程为
故选:B
4. 设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的基本定理可计算得出，由已知条件可得出，进而可求得、、的值，由此可求得结果．
【详解】如下图所示，连接并延长交于点，则点为的中点，
为的重心，可得，
而，
，
所以，，
所以，，因此，．
故选：C
5. 若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A. B. 5C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】由题意已知可表示直线上的点到点的距离最小值，代入点到直线的距离即可求得答案.
【详解】解：由题意知，圆的一般方程为
圆的标准方程为：
因为恰好过圆心，且圆心为，代入得：
的最小值可表示点到直线的距离平方的最小值
又由到直线距离为
所以得最小值为5.
故选：B
6. 过点的直线与圆交 于，两点，当时，直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题分析出圆心C到直线的距离为1，然后分斜率不存在与存在两种情况进行讨论.
【详解】由题意得，则圆心到直线的距离为1，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线与圆相切，不合题意，舍去；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
则，解得.
故选：A.
【点睛】本题考查直线的斜率的求法，以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题.
7. 在如图的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝3，点M是侧面BCC'B'内的动点，满足AM⊥BD'，设AM与平面BCC'B'所成角为θ，则tanθ的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构建以为原点，分别为轴的正方向构建空间直角坐标系，根据正方体棱长标识，令结合AM⊥BD'有且，而AM与平面BCC'B'所成角的平面角为，即有，即可求tanθ的最大值.
【详解】如下图，以为原点，分别为轴的正方向构建空间直角坐标系，
则有，令，
∴，，又AM⊥BD'，有且，
AM与平面BCC'B'所成角为θ，即，而，
∴，，
∴当时，，
故选：B.
【点睛】本题考查了利用空间向量求线面角的最值，综合应用了向量垂直的坐标公式，线面角，以及利用二次函数求最值.
8. 已知实数、、、满足：，，，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定、在圆上，且，题目转化为、到直线的距离之和，变换得到，计算得到答案.
【详解】设、，，，，
故、在圆上，
且，
因为，则，
因为，则是边长为的等边三角形，

表示、到直线距离之和，
原点到直线的距离为，
如图所示：，，是的中点，作于，且，
，，
故在圆上，.
故的最小值为.
故选：D.
二、多项选择题（每小题5分，共20分，多选错选不得分，少选得2分）
9. 已知点，，直线l的方程为，且与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值可以为（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
【答案】CD
【解析】
【分析】首先判断出直线经过定点，根据两点间的斜率公式，再结合图形即可求出斜率的取值范围，进而选出答案.
【详解】因为，
所以，
由解得，所以直线经过定点，
又因为点，，在坐标系中画出图形
，
结合图形可知直线与线段AB有公共点，则或，
，，
所以或，
所以的值可以为1，2
故选：CD
10. 已知点和，若某直线上存在点 P，使得|PM|＋|PN|＝4，则称该直线为“椭型直线”，下列直线是“椭型直线”的是（ ）
A. x-2y+6=0B. x-y=0C. 2x-y+1=0D. x+y-3=0
【答案】BC
【解析】
【分析】
先确定P点的轨迹为椭圆，再考虑各选项中直线与椭圆的是否有公共点后可得答案.
【详解】由，根据椭圆定义可得P点的轨迹为焦点在x轴上对称轴为坐标轴椭圆，且，所以，所以椭圆方程为，
由“椭型直线”定义可知，要为“椭型直线”此直线必与椭圆由公共点，
对于A，，整理得，所以，方程组无解，所以不是“椭型直线”；
对于B，x-y=0是过原点的直线，必与椭圆相交，所以是“椭型直线”；
对于C，因为直线2x-y+1=0过点，且，所以点在椭圆内部，必与椭圆相交，所以是“椭型直线”；
对于D，x+y-3=0与椭圆方程联立，整理得，所以，不是“椭型直线”.
故选：BC.
【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，此类问题一般是联立直线与椭圆方程，消去一个变量后通过判断方程解的个数来判断位置关系，属于基础题.
11. 已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，直线与圆相交
B. 为圆上的点，则的最大值为
C. 若圆上有且仅有两个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是
D. 若直线上存在一点，圆上存在两点、，使，则的取值范围是
【答案】AD
【解析】
分析】
计算圆心到直线的距离，并和圆的半径比较大小，可判断A选项的正误；求出圆上的点到点的距离的最大值，可判断B选项的正误；根据已知条件求出实数的取值范围，可判断C选项的正误；分直线与圆有公共点和直线与圆相离两种情况讨论，结合题意得出关于实数的不等式，求出实数的取值范围，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，当时，直线的方程为，圆的圆心为，
圆心到直线的距离为，此时，直线与圆相交，A选项正确；
对于B选项，点到点的距离的最大值为，
所以，的最大值为，B选项错误；
对于C选项，当圆上有且仅有两个点到直线的距离等于，如下图所示：
由于圆的半径为，则圆心到直线的距离满足，解得，
即，解得或，C选项错误；
对于D选项，若点为直线与圆的公共点，只需当为圆的一条直径（且、不与点重合），则；
若直线与圆相离，过点作圆的两条切线，切点分别为、，
由题意可得，所以，，
设点，可得，即，即，
则存在，使得成立，
可得，解得，D选项正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：对于B选项，解题的关键点就是要分析出，对于D选项，解题的关键就是要分析出，进而得出，转化为关于的不等式有解求参数.
12. 正三棱柱，，P点满足（，）（ ）
A. 当时，△的面积是定值B. 当时，△的周长是定值
C. 当时，△的面积是定值D. 当时，三棱锥的体积为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量的线性关系，结合已知及正三棱柱的性质，分别判断、时所在位置，进而判断各选项的正误.
【详解】由题设，在面上，△、△为正三角形且正三棱柱的侧面都是正方形，它们的边长均为1，
当时，显然在线段上运动，则△的面积是定值，而，，即△的周长为不为定值，故A正确，B错误；

当时，显然在线段上运动，则△的面积是定值，而，面，面，所以面，即到面距离不变，有三棱锥的体积为定值，故C、D正确.
故选：ACD
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 写出一个截距相等且不过第一象限的直线方程________．
【答案】此题答案不唯一：如
【解析】
【分析】根据题意分析此直线可分为两种情况①图象经过第二、三、四象限；②截距都为零.写出符合条件的一条直线即可.
【详解】由截距相等且不过第一象限的直线方程知，
①图象经过第二、三、四象限，
截距不为零，此直线的解析式为即可；
②截距都为零时，图像经过原点，此直线的解析式为即可.
此题答案不唯一：如.
故答案为：.
14. 已知圆上一定点，为圆上的动点，则线段中点的轨迹方程为______________．
【答案】
【解析】
【分析】设线段中点的坐标为，且点，结合中点公式求得，代入即可求解.
【详解】设线段中点的坐标为，且点，
又由，可得，解得，
又由，可得，即.
故答案为：.
15. 直线与曲线有两个交点，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】将曲线C的方程化为，利用直线l与曲线C的位置关系，结合图形即可求解.
【详解】依题意，曲线C的方程可化为：，它表示以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图：
直线表示斜率为1的平行直线系，把直线l由左向右平移，直线l先与半圆相切，后与半圆交于两点，再后与半圆交于一点，
当直线l与半圆相切时，，当直线l与半圆交于两点时，，当直线l与半圆交于一点时，，
所以实数m的取值范围是：.
故答案为：
16. 已知、分别为（）椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，，则____，椭圆的离心率为___.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由给定条件结合向量的线性运算计算得即可，在、中借助勾股定理建立a，c的关系即可作答.
【详解】依题意，，于是得，即，所以；
令，因，则，由椭圆定义知，，，而
在中，，即，解得，
显然，中，椭圆半焦距为c，有，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：；.
四、解答题（共6个大题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分）
17. 已知三角形三个顶点，，.
（1）求边的中垂线所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出直线的斜率及中点坐标；再根据两直线垂直的性质得到中垂线所在直线的斜率；最后利用点斜式求出方程，化简即可得出.
（2）先求出直线的方程；再利用点到直线距离公式可得点到直线的距离，利用两点间距离公式可得，即可得出△ABC的面积.
【小问1详解】
∵，
∴ ，中点坐标.
∴边的中垂线所在直线的方程：，即.
所以边的中垂线所在直线的方程为：.
【小问2详解】
∵，
∴边所在直线方程为：，即.
∴点到直线的距离为： .
∵，
∴
∴ .
所以求△ABC的面积为.
18. 已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，为的中点，为中点.
（1）求证：直线平面；
（2）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】：
方法一（1）取的中点为，连接，通过证明四边形为平行四边形，得出，则证出直线平面； （2）延长交延长线于点，连接，则为平面和平面所成的锐二面角的平面角，在中求解即可.方法二（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，可以利用来证明；（2）利用的一个法向量与平面一个法向量求出二面角的大小.
【详解】法一（1）取中点为，连接， 则，，且，
则四边形为平行四边形，则，即平面．
（2）延长交延长线于点，连接,则即为平面与平面的交线，
且，则为平面和平面所成的锐二面角的平面角．
在中，．
法二 取中点为S，连接，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，
（1）则，，
设平面的法向量为，则，即
令，则，即，所以，故直线平面．
（2）设平面的法向量，则．
19. 已知圆C经过点A(﹣1，3)，B(3，3)两点，且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)求经过圆上一点A(﹣1，3)的切线方程．
【答案】(1)(x﹣1)2+(y﹣2)2＝5；(2)2x﹣y+5＝0．
【解析】
【分析】(1)根据题意，设圆心的坐标为(a，b)，则有a﹣b+1＝0，由AB的坐标可得AB的垂直平分线的方程，联立两直线方程可得圆心的坐标，则有r2＝|AC|2，计算可得圆的半径，由圆的标准方程的形式分析可得答案；
(2)根据题意，A(﹣1，3)在圆C上，求出AC的斜率，由垂直可得切线的斜率，由直线的点斜式方程即可得切线的方程．
【详解】解：(1)根据题意，设圆心的坐标为(a，b)，
圆心C在直线x﹣y+1＝0上，则有a﹣b+1＝0，
圆C经过点A(﹣1，3)，B(3，3)两点，则AB的垂直平分线的方程为x＝1，则有a＝1，
则有，解可得b＝2；
则圆心的坐标为(1，2)，半径r2＝|AC|2＝4+1＝5，
则圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2＝5；
(2)根据题意，圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2＝5，有A(﹣1，3)在圆C上，有KAC，
则切线的斜率k＝2，
则切线的方程为y﹣3＝2(x+1)，变形可得2x﹣y+5＝0．
【点睛】本题考查求圆的标准方程和圆的切线方程，求圆的标准方程，一般是确定圆心坐标和半径，由圆的性质知圆心一定在弦的中垂线上．圆的切线与过切点的半径垂直，由此可求出切线斜率得切线方程．
20. 双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线与双曲线交于两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）设双曲线的方程为，利用焦点坐标可求得，从而求得双曲线的方程.
（2）设，根据可得，联立直线方程和双曲线方程，消去后利用韦达定理化简后可求得斜率的值.
【详解】（1）设双曲线的方程为，则，
故，故双曲线的方程是.
（2）由，得，
由，且得，且，
设，因为以为直径的圆过原点，所以，
所以，又，
所以，
所以解得.
【点睛】本题考查双曲线方程的求法以及直线和双曲线位置关系中的参数的计算，前者注意方程形式的合理假设，后者注意利用韦达定理对目标代数式合理变形化简，本题属于中档题.
21. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点.把△ADE沿AE翻折，使得平面ADE⊥平面ABCE.
（1）求证：AD⊥BE；
（2）求BD所在直线与平面DEC所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由条件可得，再根据面面垂直的性质可得BE⊥平面DAE，从而可证.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面DEC的法向量，利用向量方法求解.
【详解】（1）证明：因为平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，
,所以，则
又因为BE⊥AE，又 平面ABCE，所以BE⊥平面DAE，
因为AD⊂平面DAE，所以BE⊥AD，
故AD⊥BE.
（2）解：取的中点，则,
取的中点，由,则,
又平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，
又平面ADE，所以平面ABCE，
以过点作直线的平行线为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：
E(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),，则 ,

设平面DEC的法向量为
，令 ,
设BD所在直线与平面DEC所成角为
则
所以BD所在直线与平面DEC所成角的正弦值为.
【点睛】方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取
1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.
2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.
3、求：求出所需平面的法向量
4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值
5、取：根据题意，或二面角范围，得出答案.
22. 已知椭圆：（）的离心率为，且其长轴长与焦距之和为，直线，与椭圆分别交于点，，，，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得：，，，求得，的值即可求解；
（2）设，，直线的方程为与椭圆方程联立消去可得 、，将整理可得，四边形的面积整理为关于和的表达式，利用基本不等式即可求得最值，再检验满足即可.
【小问1详解】
由题意可得：，，解得：，，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
由题意知直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，，，
把与联立，整理得，
由，得，
且，．
所以
，
所以，
整理得：．
设为坐标原点，易知四边形的面积
，
当且仅当，即时取等号．
将与联立，
可得或均满足．
所以四边形面积的最大值为.
【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．