【期末专项】人教版数学五年级上册-第5讲 简易方程 讲义（知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升）

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第5讲 简易方程



知识点一：用字母表示数
1.可以用字母或含有字母的式子来表示一个数或表示数量关系；
2.字母与数字相乘时，把乘号省略。省略乘号时，一般把数字写在字母前面。含有字母的式子中的加、减、除号不能省略。
知识点二：用字母表示运算定律和计算公式
1.在含有字母的式子里，只有字母与字母、数字与字母之间的“×”才能简写成“.” 或者省略不写。
注意：省略乘号后，数字必须写在字母的前边。
2.应用公式求值解决问题的步骤：
第一步：写出字母公式；
第二步：把字母表示的数值代入公式；
第三步：计算出结果，记住写单位。
知识点三：用字母表示复杂的数量关系
1.用字母可以表示数量关系。
2.将字母的具体数值代入含有字母的式子中,即可求得相应式子的值。
知识点四：化简含有字母的式子并代入数据求值
计算含有字母的式子的时候，可以先运用运算定律将含有字母的式子进行化简,再求值。
知识点五：方程的意义
1.用等号连接起来的式子叫做等式。
（1）表示天平两边平衡，可以用等式。（2）表示天平两边不平衡，用不等式。
2.方程的意义：含有未知数的等式是方程。
3.方程必须具备的两个条件
（1）是等式；（2）含有未知数。
3.方程一定是等式，但等式不一定是方程。
知识点六：等式的性质
等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
知识点七：方程的解
1.使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
2.求方程的解的过程叫做解方程。
知识点八：解简单方程

知识点九：解稍复杂的方程
1.列方程解决实际问题的步骤：用形如x土a=b 的方程解决问题
(1)找出未知数，用字母x表示；
(2)分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列方程；
(3)解方程并检验作答。
2.用形如ax±b=c的方程解决问题

3.用形如x±bx=c的方程解决问题
（1）可以先将方程转化为(1±b)x＝c的形式，再求解。具体解法如下：
x ±b x ＝c
解： (1±b) x ＝c
(1±b) x ÷ (1±b) ＝c ÷(1±b)
x ＝c ÷(1±b)
（2）列方程解应用题

4.用形如ax+bx=c的方程解决问题
1.相遇问题的等量关系：甲的路程＋乙的路程=总路程，(甲速度＋乙速度)×相遇时间=路程；
2.画线段图分析数量关系，找出等量关系；
3.根据速度、时间和路程三者之间的数量关系列方程解答。

考点一：用字母表示数量关系

【例1】阅读理解：线段上的一点把线段分成相等的两部分，这个点叫做线段的中点。P点是线段MN中点，则MP＝PN。如图2，B点是线段AD上的一个动点，从A点到D点以2cm/s的速度运动，C点是线段BD的中点，AD＝10cm。
（1）当B点的运动时间是x秒时，AB＝　2x　cm，BD＝　（10﹣2x）　cm。
（2）B点的运动时间是x秒，当x＝2时，BC＝　3　cm。
（3）如图3，在运动的过程中，E点是线段AB的中点，请判断EC的长是否变化，并说明理由。

【分析】（1）根据路程＝速度×时间，可以求出AB的长度；从AD中减去AB的长，就是BD的长。
（2）当x＝2时，先求出AB的长，再求出BD的长，根据C点是线段BD的中点，求出BC 的长。
（3）E点是线段AB的中点，C点是线段BD的中点，所以线段EC的长是AD 的一半，AD长一定，所以EC的长不变。
【解答】解：（1）当B点的运动时间是x秒时，AB＝2xcm，BD＝（10﹣2x）cm。
（2）当x＝2时，
AB＝2x
＝2×2
＝4（cm）
BD＝10﹣2x
＝10﹣2×2
＝10﹣4
＝6（cm）
因为C是BD的中点，所以BC＝3cm。
（3）E点是线段AB的中点，C点是线段BD的中点，所以线段EC的长是AD 的一半，AD＝10cm，所以EC＝5cm。所以EC的长不变。
故答案为：2x，（10﹣2x）；3。
【点评】本题考查了用字母表示数、线段中点的人数、线段长度的计算、动态图的变化规律等，难度较大，需认真分析。

1. 在○里填“＞”“＜”或“＝”．
（1）当x＝4.8时，4.8﹣x○4.8；
（2）当x＝45时，x+30○70；
（3）当x＝0.8时，2.5x○2；
（4）当x＝7时，x÷7○49．
【分析】把x的值代入左边计算后，再与右边的数比较即可．
【解答】解：（1）当x＝4.8时，
4.8﹣x
＝4.8﹣4.8
＝0
0＜4.8，
所以4.8﹣x＜4.8；
（2）当x＝45时，
x+30
＝45+30
＝75，
75＞70，
所以x+30＞70；
（3）当x＝0.8时，
2.5x
＝2.5×0.8
＝2
所以2.5x＝2；
（4）当x＝7时，
x÷7
＝7÷7
＝1
1＜49
所以x÷7＜49．
故答案为：（1）＜；（2）＞；（3）2；（4）＜．
【点评】本题考查了含字母式子求值，关键是把x的值代入左边计算．
2. 如果2a＝3b，那么6a＝9b。（a和b均不为0）　√　
说理：　等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。　
【分析】根据等式的性质直接解答。
【解答】解：因为a和b均不为0，如果2a＝3b，则2a×3＝3b×3，即6a＝9b。
原题说法正确。
故答案为：√。等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
【点评】本题考查了等式的基本性质：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
3. a是一个大于0的数，在直线上找到下面每个算式所在的位置，并在方框里标出每个算式相应的序号。
①a×0.6②a÷0.6③a×0.8 ④a÷0.8

【分析】分别计算出4个式子的值，再判断位置即可。
【解答】解：a×0.6＝0.6a
a×0.8＝0.8a
一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商大于这个数；被除数不变，除数越大商越小，因此a÷0.8＜a÷0.6，而且都在a和2a之间。

【点评】此题考查了用字母表示数的方法，关键是掌握计算带字母式子的规律，再进一步解答。
考点二：方程的意义、等式的性质和解方程

【例2】修一条公路，总长124千米，前20天修了15.5千米．照这样计算，修完这条公路还要多少天？
想：照这样计算说明　工作效率　一定．　工作总量　和　工作时间　成比例．
解法一：设修完这条路还要x天才完成．
解法二：设修完这条路一共要x天．
【分析】根据“照这样计算”，说明是工作效率不变，工作总量和工作时间成正比例，用比例进一步解答即可．
【解答】解：（1）设修完这条路还要x天才完成，由题意得，
15.5：20＝（124﹣15.5）：x，
15.5x＝108.5×20，
15.5x＝2170，
x＝140；
（2）设修完这条路一共要X，由题意得，
15.5：20＝124：X，
15.5XZ＝124×20，
15.5X＝2480，
X＝160，
160﹣20＝140（天）．
答：修完这条路还要140天才完成．
【点评】此题考查用比例解决实际问题，关键是根据工作效率不变，工作总量和工作时间成正比例关系．

1. 解方程．
5x+7＝42
2（x﹣3）＝5.8
3.6x﹣x＝3.28．
【分析】（1）根据等式的性质，两边同时减去7，再同时除以5即可；
（2）先根据等式的性质，两边同时除以2，再同时加上3即可；
（3）先把左边计算出来得2.6x＝3.28，再利用等式的性质两边同时除以2.6即可．
【解答】解：（1）5x+7＝42，
5x+7﹣7＝42﹣7，
5x＝35，
5x÷5＝35÷5，
x＝7，
（2）2（x﹣3）＝5.8，
2（x﹣3）÷2＝5.8÷2，
x﹣3＝2.9，
x﹣3+3＝2.9+3，
x＝5.9，
（3）3.6x﹣x＝3.28，
2.6x＝3.28，
2.6x÷2.6＝3.28÷2.6，
x＝．
【点评】此题主要考查等式的性质的应用．
2. 一个梨和　2　个桃同样重．

【分析】由图可知：2个梨和4个桃子的质量相等，那么梨的数量减去一半，桃子的数量也要减去一半．
【解答】解：根据题干分析可得：2梨＝4桃
（2÷2）梨＝（4÷2）桃
1梨＝2桃
答：1个梨和2个桃一样重．
故答案为：2．
【点评】此题考查了天平知识，以及运用等量代换的方法，解决问题．
3. 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行50千米，6小时可以到达乙地，如果每小时行60千米，可提前几个小时到达？
解法一：设可提前x小时到达
解法二：设提速后x小时到达乙地．
【分析】解法一：设可提前x小时到达，根据甲地到乙地的距离相等列并解方程；解法二：设提速后x小时到达乙地，根据甲地到乙地的距离相等列并解方程即可．
【解答】解：（1）设可提前x小时到达，由题意得，
60×（6﹣x）＝50×6，
60x＝60，
x＝1；
（2）设提速后x小时到达乙地，由题意得，
60x＝50×6，
x＝5，
可提前：6﹣5＝1（小时）．
答：可提前1个小时到达．
【点评】此题考查方程的意义，关键是找准题中的等量关系，列并解方程即可．
考点三：列方程解应用题（两步需要逆思考）

【例3】利用手机支付的方式已经走进了大多数人的生活。超市收银员对某一天购物付款的顾客人数进行了统计，统计结果显示，用手机支付的有412人，比用现金支付人数的5倍还多12人。用现金支付的有多少人？（用方程解答）
【分析】设用现金支付的有x人，根据等量关系：现金支付人数×5+12人＝用手机支付的人数，列方程解答即可。
【解答】解：设用现金支付的有x人。
5x+12＝412
5x＝400
x＝80
答：用现金支付的有80人。
【点评】本题主要考查了列方程解应用题，关键是根据等量关系：现金支付人数×5+12人＝用手机支付的人数，列方程。

1. 看图列方程，并解方程。

【分析】观察线段图可知：钢笔的数量×4﹣5＝圆珠笔的数量，已知圆珠笔的数量，设钢笔有x支，据此列方程解答。
【解答】解：设钢笔有x支。
4x﹣5＝35
4x＝40
x＝10
答：钢笔有10支。
【点评】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。
2. 工程队要修一条28.5km的路，修了3天，还剩下9.3km没有修，该工程队平均每天修多少千米？（列方程解答）
【分析】根据工作效率×工作时间，设该工程队平均每天修x千米，据此可知3天修了3x千米的路，再根据题意可知：已修的路+未修的路＝路的总长，据此解答。
【解答】解：设该工程队平均每天修x千米。
3x+9.3＝28.5
3x＝19.2
x＝6.4
答：该工程队平均每天修6.4千米。
【点评】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。
3. 水果店卖出7筐水果，平均每筐重40.5千克，卖出水果的千克数比剩下的3倍还多25.5千克，还剩多少千克水果？（用方程解）
【分析】根据题意知：剩下的质量×3+25.5千克＝平均每筐的质量×卖出的筐数，据此可列方程解答。
【解答】解：设还剩x千克水果，
3x+25.5＝40.5×7
3x+25.5＝283.5
3x＝258
x＝86
答：还剩86千克水果。
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。


一．选择题（共5小题）
1．x＝6是方程（　　）的解。
A．3x+2＝14 B．x÷5＝3 C．8x﹣4×12＝0
【分析】使方程的左右两边相等的未知数的值，是这个方程的解，把x＝6代入各个选项的方程中，看左右两边是否相等即可选择。
【解答】解：A、把x＝6代入方程：左边＝3×6+2＝20，右边＝14；左边≠右边，所以x＝6不是这个方程的解；
B、把x＝6代入方程：左边＝6÷5＝1.2，右边＝3；左边≠右边，所以x＝6不是这个方程的解；
C、把x＝6代入方程：左边＝8×6﹣4×12＝48﹣48＝0，右边＝0；左边＝右边，所以x＝6是这个方程的解。
故选：C。
【点评】将x的值代入方程中进行检验，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。
2．下列各式中，（　　）不是方程。
A．6x+5＝17 B．（8+5）×2＝26 C．14x﹣8x＝12
【分析】含有未知数的等式叫做方程，据此解答。
【解答】解：A.6x+5＝17，含有未知数，且是等式，所以是方程；
B.（8+5）×2＝26，是等式，但不含未知数，所以不是方程；
C.14x﹣8x＝12，是等式，且含有未知数，所以是方程。
故选：B。
【点评】熟练掌握方程的概念是解题的关键。
3．小慧把3（x+5）错写成3x+5，这两个式子相比较，计算结果（　　）
A．相差15 B．相差10 C．相差2 D．相等
【分析】根据乘法分配律，将3 x 5 写成两乘法相加，与3x 5比较即可。
【解答】解：3（x+5）﹣（3x+5）
＝3x+15﹣3x﹣5
＝10
故答案为：B。
【点评】本题考查了字母表示数和乘法分配律，字母与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母的前面。
4．a+7＝b+4，那么a（　　）b。
A．大于 B．小于 C．等于
【分析】等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。a+7＝b+4，两边同时减去4，那么a+3＝b，则a＜b。
【解答】解：a＜b。
故选：B。
【点评】此题考查了等式的性质，要熟练掌握。
5．鞋的尺码通常用“码”或者“厘米”作单位，它们之间的换算关系是：b＝2a﹣10（b表示码数，a表示厘米数）。淘气穿40码的鞋，他的脚长为（　　）cm。
A．10 B．15 C．25 D．70
【分析】利用含有字母式子的求值方法，将已知的数的值代入等式，即可求得另一个字母的值。
【解答】解：将b＝40代入b＝2a﹣10 得：
40＝2a﹣10
2a＝50
a＝25
答：淘气穿40码的鞋，他的脚长为25厘米。
故选：C。
【点评】解答此题的关键是：将数值代入等式，即可求得字母的值。
二．填空题（共5小题）
6．果园里种了桃树和梨树共180棵，桃树的棵数是梨树的3倍。如果设梨树的棵数为x，则可列方程为 　3x+x＝180　。
【分析】根据“果园里种了桃树和梨树共180棵”，可以提炼这道题的等量关系是：桃树的棵数+梨树的棵数＝180棵，根据这个等量关系，列方程解答。
【解答】解：设梨树的棵数为x。
3x+x＝180
4x＝180
4x÷4＝180÷4
x＝45
答：梨树有45棵。
可列方程为：3x+x＝180。
故答案为：3x+x＝180。
【点评】本题考查列方程解应用题，解题关键是找出题目中的等量关系：桃树的棵数+梨树的棵数＝180棵，列方程解答。
7．18分成两个数，使它们的和是差的3倍，这两个数分别是 　6　和 　12　。
【分析】假设其中较小的一个数是x，则另一个数是（18﹣x），这两个数的和还是18，这两个数的差是（18﹣x﹣x），根据它们的和是差的3倍，列出方程进行解答。
【解答】解：设其中较小的一个数是x，则另一个数是（18﹣x），根据题意可得：
（18﹣x﹣x）×3＝18
（18﹣x﹣x）×3÷3＝18÷3
18﹣2x＝6
18﹣2x+2x＝6+2x
6+2x＝18
6+2x﹣6＝18﹣6
2x＝12
2x÷2＝12÷2
x＝6
18﹣6＝12
答：这两个数分别是6和12。
【点评】此题的解题关键是弄清题意，把其中一个数设为未知数x，找出题目中的等量关系系，列出方程进行解答即可。
8．如图，支架右侧第2个孔应挂 　4　个这样的珠才能保持平衡。

【分析】根据题意可知，支架平衡时，左边的孔数×挂的珠子数量＝右边的孔数×挂的珠子数量。
【解答】解：4×2÷2＝4（个）
答：支架右侧第2个孔应挂4个这样的珠才能保持平衡。
故答案为：4。
【点评】此题的关键是明确支架的平衡条件，然后再进一步解答。
9．小明看一本故事书，已经看了x页，剩下的页数是已看的6倍，剩下的页数比已看的多 　5x　页。
【分析】剩下的页数是6x页。减去已经看的页数即可。
【解答】解：6×x﹣x＝5x（页）
答：剩下的页数比已看的多5x页。
故答案为：5x。
【点评】此题的关键是先求出剩下的页数，然后再进一步解答。
10．含有未知数的等式叫做　方程　．
【分析】根据方程的意义，直接判断即可．
【解答】解：含有未知数的等式叫做方程．
故判断为：方程．
【点评】此题考查方程的意义：含有未知数的等式叫做方程．
三．判断题（共5小题）
11．9×x 可以简写成 9x，a×a可以简写成2a。 　×　
【分析】字母与数字的乘积，简写方法是：省略乘号，把数字放在前面，字母放在后面，由此即可解答；两个相同因数的乘积可以写成这个数的平方的形式，据此解答。
【解答】解：9×x 可以简写成 9x，a×a可以简写成a2；故原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查字母表示数在乘法中的简写方法及字母表示乘方的简便写法，注意a2和2a的区别。
12．计算图中两条彩带一共长多少米，列出的方程是6.9＝x+2.7．　×　

【分析】设第一条彩带长x米，则第二条长x+2.7米，又知第二条长6.9米，所以可得方程6.9＝x+2.7，解方程得到的x为第一条彩带长，再与第二条长度相加才得两条彩带一共长多少米．
【解答】解：设第一条彩带长x米，
x+2.7＝6.9
x+2.7﹣2.7＝6.9﹣2.7
x＝4.2，
4.2+6.9＝11.1（米），
答：两条彩带一共长11.1米．所以原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】本题考查了列方程解应用题，注意求得的x不是两条彩带一共的长度．
13．三百多年前，法国的数学家笛卡尔第一个提倡用x、y、z等字母表示未知数，才形成了现在的方程。 　√　
【分析】早在三千六百多年前，埃及人就会用方程解决数学问题了。在我国古代，大约两千年前成书的《九章算术》中，就记载了用一 组方程解决实际问题的史料。一直到三百多年前，法国的数学家笛卡尔第一个提倡用x、y、z等字母代表未知数，才形成了现在的方程。
【解答】解：三百多年前，法国的数学家笛卡尔第一个提倡用x、y、z等字母表示未知数，才形成了现在的方程。
原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】掌握方程的历史由来是解题的关键。
14．方程4y＝0，这个方程没有解。 　×　
【分析】根据等式的基本性质，方程两边同时除以4，即可求解。
【解答】解：4y＝0
4y÷4＝0÷4
y＝0
所以这个方程的解是y＝0。
所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】熟练掌握等式的基本性质是解题的关键。
15．如果a＝b，那么a+5＝b+5。 　√　
【分析】根据等式的基本性质，等式的两边同时加上5，等式仍然成立。
【解答】解：根据等式的基本性质有：
a＝b
在等式的两边同时加上5得：
a+5＝b+5
故答案为：√。
【点评】熟练掌握等式的基本性质是解决此题的关键。
四．计算题（共1小题）
16．解方程。
x﹣11.7＝2.8
x÷8＝6.9
3x﹣0.4＝7.1
2x+1.8＝4.8
5x+7x＝84
7x+3x﹣26＝74
【分析】（1）方程两边同时加上11.7；
（2）方程两边同时乘8；
（3）方程两边同时加上0.4，两边再同时除以3；
（4）方程两边同时减去1.8，两边再同时除以2；
（5）先把方程左边化简为12x，两边再同时除以12；
（6）先把方程左边化简为10x﹣26，两边再同时加上26，最后两边再同时除以10。
【解答】解：（1）x﹣11.7＝2.8
x﹣11.7+11.7＝2.8+11.7
x＝14.5
（2）x÷8＝6.9
x÷8×8＝6.9×8
x＝55.2
（3）3x﹣0.4＝7.1
3x﹣0.4+0.4＝7.1+0.4
3x＝7.5
3x÷3＝7.5÷3
x＝2.5
（4）2x+1.8＝4.8
2x+1.8﹣1.8＝4.8﹣1.8
2x＝3
2x÷2＝3÷2
x＝1.5
（5）5x+7x＝84
12x＝84
12x÷12＝84÷12
x＝7
（6）7x+3x﹣26＝74
10x﹣26＝74
10x﹣26+26＝74+26
10x＝100
10x÷10＝100÷10
x＝10
【点评】熟练掌握等式的基本性质是解题的关键。
五．应用题（共5小题）
17．一个服装店的所有服装都打同样的折扣。
（1）李阿姨买了一件上衣，原价250元，现价150元。李阿姨还想买一条裤子，原件180元，现价多少钱？
（2）如果用x表示原价，y表示现价，用式子表示y和x的数量关系：　y＝60%x　。
【分析】（1）根据“现价÷原价×100%＝折扣率”算出折扣率，然后用裤子的原价×折扣率算出现价；
（2）根据“现价＝原价×折扣率”表示出y和x的数量关系。
【解答】解：（1）150÷250×100%
＝0.6×100%
＝60%
180×60%＝108（元）
答：现价108元钱。
（2）因为现价＝原价×折扣率，折扣率为60%；
所以y＝60%x。
故答案为：y＝60%x。
【点评】此题需要学生熟练掌握用字母表示数并灵活运用“现价÷原价×100%＝折扣率”这个公式。
18．六一儿童节，王老师为小朋友购买演出用的服装一共花了979元，买了13件短袖和8条连衣裙，每件短袖39元，平均每条连衣裙多少元？（列方程解答）
【分析】根据题意可列等量关系式：短袖的单价×短袖的数量+连衣裙的单价×连衣裙的数量＝总价，已知短袖和连衣裙的数量，短袖的单价和花去的总价，设平均每条连衣裙x元，据此列方程解答。
【解答】解：设平均每条连衣裙x元。
39×13+8x＝979
507+8x＝979
8x＝472
x＝59
答：平均每条连衣裙59元。
【点评】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。
19．甲医疗器材工厂在疫情期间共生产了60万套防护服，比乙医疗器材工厂数量的2倍少10万套。乙工厂生产了多少万套防护服？（列方程解决问题）
【分析】根据题意可知：乙医疗器材工厂数量×2﹣10＝甲医疗器材工厂数量，设乙工厂生产了x万套防护服，据此列方程解答。
【解答】解：设乙工厂生产了x万套防护服。
2x﹣10＝60
2x＝70
x＝35
答：乙工厂生产了35万套防护服。
【点评】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。
20．为防治白蛾，某市采用飞机喷药的方法。有175平方千米的树林需要喷药，已经喷了97平方千米，剩下的要3天喷完。平均每天要喷多少平方千米？

【分析】设剩下的平均每天要喷x平方千米，3天喷完，则剩下3x平方千米，用需要喷药的树林的总面积减去已经喷的97平方千米就是剩下的面积，据此列方程解答即可。
【解答】解：设剩下的平均每天要喷x平方千米。
3x＝175﹣97
3x＝78
x＝26
答：平均每天要喷26平方千米。
【点评】明确题中的等量关系：“用需要喷药的树林的总面积减去已经喷的97平方千米就是剩下的面积”是解题的关键。
21．曲米利用周末制作了一些环保宣传卡，装在6个袋子中，每袋装的数量一样多，都是14张。一共制作了多少张环保宣传卡？
【分析】首先根据题意，设一共制作了x张环保宣传卡，然后根据：一共制作的环保宣传卡的数量÷装的袋子的数量＝每袋装的数量，列出方程，求出x的值即可。
【解答】解：设一共制作了x张环保宣传卡，
则x÷6＝14
x÷6×6＝14×6
x＝84
答：一共制作了84张环保宣传卡。
【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，解答此题的关键是弄清楚题中的各个量之间的数量关系。

一．选择题（共5小题）
1．当x＝3，y＝6时，5x﹣2y＝（　　）
A．3 B．9 C．27 D．37
【分析】把x＝3，y＝6时，代入式子5x﹣2y计算即可得解。
【解答】解：5x﹣2y
＝5×3﹣2×6
＝15﹣12
＝3
故选：A。
【点评】本题考查了含字母式子的求值，是基础题，准确计算是解题的关键。
2．水果店运来苹果150千克，比运来的梨的2倍多10千克，运来梨多少千克？如果设运来梨x千克，下面所列的方程正确的是（　　）
A．2x+10＝150 B．2x﹣10＝150 C．x﹣10＝150×2 D．x+10＝150×2
【分析】根据题意可知：梨的重量×2+10＝苹果的重量，已知苹果的重量，设运来梨x千克，据此列方程解答。
【解答】解：设运来梨x千克。
2x+10＝150
2x＝140
x＝70
答：运来梨70千克。
故选：A。
【点评】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。
3．如果x÷2＝3.1，那么8+x＝（　　）
A．1.8 B．6.2 C．14.2
【分析】根据等式的基本性质，方程x÷2＝3.1的两边同时乘2，求出方程的解，再把x的值代入8+x，计算即可。
【解答】解：x÷2＝3.1
x÷2×2＝3.1×2
x＝6.2
把x＝6.2代入8+x，得：
8+6.2＝14.2
故选：C。
【点评】熟练掌握等式的基本性质以及代入求值法是解题的关键。
4．每个足球a元，那么x元能买（　　）个足球。
A．a÷x B．x÷a C．ax
【分析】用总价÷足球的单价＝数量，由此进行解答即可。
【解答】解：x÷a
答：每个足球a元，那么x元能买x÷a个足球。
故选：B。
【点评】解答此题的关键是，把所给的字母当成已知数，利用基本的数量关系解答即可。
5．下列各式中，是方程的式子是（　　）
A．1.2+0.5＝1.7 B．2.1x﹣5＞2
C．2x＝3×4
【分析】方程是指含有未知数的等式；所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。据此解答。
【解答】解：1.2+0.5＝1.7不含未知数；
2.1x﹣5＞2不是等式；
2x＝3×4含有未知数，是等式，是方程。
故选：C。
【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程。
二．填空题（共5小题）
6．鞋子尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的换算关系是y＝2x﹣10（y表示码数，x表示厘米数）。小芳的脚长15厘米，她需要买 　20　码的鞋子。
【分析】将x＝15带入y＝2x﹣10中求值即可。
【解答】解：当x＝15厘米时
2x﹣10
＝2×15﹣10
＝20（厘米）
故答案为：20。
【点评】本题考查了用字母表示数，求值时一般用代入法。
7．一个西瓜的质量比一个苹果的10倍还多60克。写出等量关系式为 　一个苹果的质量×10+60克＝一个西瓜的质量　。
【分析】根据“一个西瓜的质量比一个苹果的10倍还多60克”写出等量关系式即可。
【解答】解：一个苹果的质量×10+60克＝一个西瓜的质量
故答案为：一个苹果的质量×10+60克＝一个西瓜的质量。
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系。
8．如果a＝b，那么a+3＝b+　3　；a÷　10　＝b÷10。
【分析】等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
【解答】解：如果a＝b，那么a+3＝b+3；a÷10＝b÷10。
故答案为：3，10。
【点评】此题考查了等式的性质，要熟练掌握。
9．我国最早记载用方程解决问题的数学专著是 　《九章算术》　。
【分析】《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部最古老的中国数学经典著作，是最早记载用方程解决问题的数学专著。
【解答】解：我国最早记载用方程解决问题的数学专著是《九章算术》。
故答案为：《九章算术》。
【点评】此题主要考查了数学常识，要熟练掌握。
10．小明家距学校800米，小明以每分钟60米的速度从家出发去学校，a分钟后，小明走了 　60a　米，距学校还有 　（800﹣60a）　米。
【分析】路程＝时间×速度；总路程﹣已经走的路程＝剩余路程。
【解答】解：a分钟后，小明走了60a米，距学校还有（800﹣60a）米。
故答案为：60a，（800﹣60a）。
【点评】此题主要考查了路程＝时间×速度这个公式，要熟练掌握。
三．判断题（共5小题）
11．买一个足球需m元，买一个篮球需n元，则买5个足球和4个篮球共需9（m+n）元。 　×　
【分析】篮球、足球的单价及要买的数量已知，根据“总价＝单价×数量”，分别求出买篮球、足球的钱数，再把二者相加。
【解答】解：m×5+n×4＝（5m+4n）元
答：买5个足球和4个篮球共需（5m+4n）元。
故答案为：×。
【点评】此题是使学生在现实情景中理解用字母表示数的意义，初步掌握用字母表示数的方法；会用含有字母的式子表示数量。注意：数字与字母相乘，数字因数写在字母因数的前面并且省略乘号。
12．
等量关系式：学音乐的人数﹣学棋的人数×3＝多的4人。 　√　
【分析】根据图意可知，学音乐的人数比学棋的人数的3倍多4人，所以它们的等量关系可以写成：学音乐的人数﹣学棋的人数×3＝多的4人。
【解答】解：根据图意，图中的等量关系：学音乐的人数﹣学棋的人数×3＝多的4人，是正确的。
故答案为：√。
【点评】本题考查列方程解应用题，解题关键是根据图意找出题目中的等量关系。
13．x＝0和3x﹣2＝7都是方程。 　√　
【分析】方程是指含有未知数的等式；所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。据此解答。
【解答】解：x＝0和3x﹣2＝7都是方程。
故原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程。
14．已知〇+☆＝180，△+☆＝180（☆为同一个数），根据等式的基本性质，两边同时减去☆，由此得到〇＝△。 　√　
【分析】等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
【解答】解：〇＝180﹣☆
△＝180﹣☆
那么〇＝△。
故原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题考查了等式的性质，要熟练掌握。
15．3a＝12，这个式子虽含有字母，但不是x，因此不是方程。 　×　
【分析】方程是指含有未知数的等式。所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。未知数不是只有x，据此判断即可。
【解答】解：3a＝12，这个式子含有字母，是等式，因此是方程，本题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查方程的概念，注意未知数不是只有x。
四．计算题（共1小题）
16．解方程。
（1）17+8x＝249
（2）6x﹣18.1＝5.9
（3）28.5﹣2m＝4.5
【分析】（1）方程两边同时减去17，两边再同时除以8；
（2）方程两边同时加上18.1，两边再同时除以6；
（3）方程两边同时加上2m，两边再同时减去4.5，最后两边再同时除以2。
【解答】解：（1）17+8x＝249
17+8x﹣17＝249﹣17
8x＝232
8x÷8＝232÷8
x＝29

（2）6x﹣18.1＝5.9
6x﹣18.1+18.1＝5.9+18.1
6x＝24
6x÷6＝24÷6
x＝4

（3）28.5﹣2m＝4.5
28.5﹣2m+2m＝4.5+2m
4.5+2m﹣4.5＝28.5﹣4.5
2m＝24
2m÷2＝24÷2
m＝12
【点评】熟练掌握等式的基本性质是解题的关键。
五．应用题（共4小题）
17．莲花小学合唱队里，女生有78人，比男生人数的5倍还多3人，合唱队的男生有多少人？（用方程解答）
【分析】根据题意可知：男生人数×5+3＝女生人数，已知女生的人数，设合唱队的男生有x人，据此列方程解答。
【解答】解：设合唱队的男生有x人。
5x+3＝78
5x＝75
x＝15
答：合唱队的男生有15人。
【点评】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。
18．随着暑假的来临，全国各地溺亡事件频发，溺水已成为造成中小学生意外死亡的第一杀手。为做好防溺水安全教育宣传，乐乐和林林设计了防溺水宣传页，然后交到校打印室。甲打印机每分打印35份，乙打印机每分打印40份。两台打印机同时工作，多长时间可以打印900份？（列方程解答）
【分析】根据“工作总量＝工作效率之和×工作时间”，设两台打印机同时工作，x分钟可以打印900份，据此列方程解答。
【解答】解：设两台打印机同时工作，x分钟可以打印900份。
（35+40）x＝900
75x＝900
x＝12
答：12分钟可以打印900份。
【点评】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。
19．新冠肺炎疫情在全球持续蔓延，部分国家疫情形势日益严峻，甚至出现了“变异毒株”，疫情防控不容松懈。小明家今年1月份买了a包口罩，每包装50个，大约已用了120个。
（1）用含有字母的式子表示小明家剩下的口罩数量。
（2）当a＝16时，求剩下多少个口罩。
【分析】（1）用口罩的总数量﹣已经用了的＝剩下的口罩数量；
（2）将a＝16代入到含a的代数式中，求出结果即可。
【解答】解：（1）a×50﹣120＝50a﹣120（个）
答：小明家剩下的口罩数量为（50a﹣120）个。
（2）当a＝16时
50a﹣120
＝50×16﹣120
＝800﹣120
＝680（个）
答：剩下680个口罩。
【点评】解决用字母表示数题目的关键是要弄清数量关系。
20．学校组织五、六年级同学听抗疫英雄巡回演讲会，一共有972人。报告厅每排可以坐18人，五年级坐了26排，六年级坐了多少排？（列方程解答）
【分析】根据题意，设六年级坐了x排；根据题意可得：（五年级坐的排数+六年级坐的排数）×每排坐的人数＝总人数，据此列出方程进行解答。
【解答】解：设六年级坐了x排，根据题意可得：
（26+x）×18＝972
（26+x）×18÷18＝972÷18
26+x＝54
26+x﹣26＝54﹣26
x＝28
答：六年级坐了28排。
【点评】列方程解决实际问题，关健是根据题意设出未知数，找出等量关系，然后再列出方程进行解答。

一．选择题（共5小题）
1．（2022•陕州区）鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，换算关系是：b＝2a﹣10（b表示码数，a表示厘米数）。37码的鞋用厘米作单位是（　　）cm。
A．64 B．23.5 C．28.5
【分析】根据题意，“b＝2a﹣10 （b表示码数，a表示厘米数）”，37码的鞋，可把“b＝37”带入“b＝2a﹣10”，据此可以求出a的值。
【解答】解：把b＝37带入b＝2a﹣10中得：
37＝2a﹣10
37+10＝2a
47＝2a
a＝47÷2
a＝23.5
所以37码的鞋用厘米作单位是23.5cm。
故选：B。
【点评】本题考查了含字母式子的求值，关键是弄清楚字母所表示的意义，再解答。
2．（2022春•城固县期末）根据等式的性质，图中方框里应填（　　）

A．+3 B．﹣3 C．×3 D．÷3
【分析】由左图可知x＝3，右图中3x是x的3倍，所以100也要扩大到原来的3倍。
【解答】解：根据等式的基本性质，若x＝100，则x×3＝100×3。
故选：C。
【点评】本题考查了等式的基本性质，重点考查了识图能力。
3．（2022春•秦都区期末）一个书架上、下两层共有357本书，下层书的本数是上层书的2.5倍，这个书架上层有多少本书？解：设这个书架上层有x本书，可列方程为（　　）
A．2.5x+x＝357 B．2.5x﹣x＝357 C．2.5x＝357 D．x÷2.5＝357
【分析】根据“下层书的本数是上层书的2.5倍”设上层有x本书，则下层有2.5x本书，由“一个书架上、下两层共有357本书”可列等量关系式：上层书的数量+下层书的数量＝357，据此列方程解答。
【解答】解：上层有x本书。
2.5x+x＝357
3.5x＝357
x＝102
答：上层有102本书。
故选：A。
【点评】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。
4．（2021秋•盘州市期末）方程一词，最早出现在我国古代数学书籍《九章算术》中。下列式子是方程的是（　　）
A．3x+2y B．5x÷6＞3 C．5×3＝15 D．a﹣2＝7
【分析】方程是指含有未知数的等式；所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。据此解答。
【解答】解：3x+2y、5x÷6＞3不是等式；
5×3＝15不含有未知数；
a﹣2＝7含有未知数，是等式，是方程。
故选：D。
【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程。
5．（2022春•岷县期末）a×b×2用简便方法表示是（　　）
A．2ab B．2×ab C．2×（a+b）
【分析】当数字和字母相乘时，把乘号省略，数字放在字母的前面。
【解答】解：a×b×2用简便方法表示是2ab。
故选：A。
【点评】此题考查了用字母表示数，应明确当数字和字母相乘时，把乘号省略，数字放在字母的前面。
二．填空题（共5小题）
6．（2022春•大埔县期末）水果店运来150千克苹果，比运来的梨的2倍多30千克，运来梨多少千克？如果列方程解答，设运来梨x千克，那么可列方程是 　2x+30＝150　。
【分析】由题意可知：运来的梨的质量×2+30＝运来的苹果的质量，设运来梨x千克，据此列方程解答。
【解答】解：设运来梨x千克。
2x+30＝150
2x＝120
x＝60
答：运来梨60千克。
故答案为：2x+30＝150。
【点评】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。
7．（2022春•无棣县期末）如图，3a+2表示 　绿绳的长度　，当a＝4时，绿绳比红绳长 　10　米。

【分析】由图可知，绿绳长是红绳长的3倍多2米，据此解答。
【解答】解：由图可知，3a+2表示绿绳的长度。
当a＝4时，
3a+2
＝3×4+2
＝14（米）
14﹣4＝10（米）
答：绿绳比红绳长10米。
故答案为：绿绳的长度，10。
【点评】本题考查了用字母表示数及用代入法求含有字母的式子的值，属于基础知识，需熟练掌握。
8．（2022春•江宁区期末）在14+9＝23，25＝3x﹣4，6y﹣3，2x+3y＝10，5c＜4和x+10﹣6＝8中，方程有 　3　个，等式有 　4　个。
【分析】等式是含有等号且等号两边都相等的式子。
方程是指含有未知数的等式；所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。据此解答。
【解答】解：在14+9＝23，25＝3x﹣4，6y﹣3，2x+3y＝10，5c＜4和x+10﹣6＝8中，
方程有3个，分别是25＝3x﹣4、2x+3y＝10、x+10﹣6＝8；
等式有4个。分别是25＝3x﹣4、2x+3y＝10、x+10﹣6＝8、14+9＝23。
故答案为：3，4。
【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程。
9．（2022春•沂源县期末）李阿姨家上个月用电a千瓦时，本月比上个月多用5千瓦时，如果每千瓦时电的价格是b元，李阿姨家本月电费是 　（ab+5b）　元。
【分析】上个月用电a千瓦时，本月比上个月多用5千瓦时，即本月用点（a+5）千瓦时，根据总价＝单价×数量，计算上本月的电费即可。
【解答】解：（a+5）×b＝（ab+5b）元
答：本月用电（ab+5b）元。
故答案为：（ab+5b）。
【点评】解答此题的关键是掌握求价格的相关公式。
10．（2022春•包头期末）如图表示的等量关系是 　2个梨的重量＝100克　。

【分析】根据天平平衡的原理，可得出天平的左边质量＝右边质量，据此即可解答问题。
【解答】解：等量关系是：2个梨的重量＝100克
故答案为：2个梨的重量＝100克。
【点评】此题主要考查了天平平衡的原理在数学问题中的灵活应用。
三．判断题（共5小题）
11．（2022•苍溪县模拟）x+2y﹣1的值是3，则2x+4y+1＝9。 　√　
【分析】根据x+2y﹣1＝3，可得x+2y＝4，转换算式2x+4y+1＝2（x+2y）+1，代入x+2y的值，可求出2x+4y+1的值，判断题干中的得数是否正确。
【解答】解：x+2y﹣1+1＝3+1，根据等式的性质，两边同时加1，可得x+2y＝4，
2x+4y+1＝2（x+2y）+1
因为 x+2y＝4，所以2（x+2y）+1＝9
故答案为：√
【点评】此题考查含字母的式子求值的方法：把字母表示的数值代入式子，进而求出式子的数值。
12．（2022春•镇巴县期末）x﹣11＝0不是方程。 　×　
【分析】方程是指含有未知数的等式；所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。据此解答。
【解答】解：x﹣11＝0是方程。
故原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程。
13．（2022•丰南区）天平的左侧盘中放一个2.5千克的菠萝，如果在右侧盘中放50个鸡蛋（每个鸡蛋50克），天平就能够保持平衡。 　√　
【分析】左右两边重量相等，则天平平衡，据此解答即可。
【解答】解：50×50＝2500（g）
2500g＝2.5kg
如果在右侧盘中放50个鸡蛋（每个鸡蛋50克），天平就能够保持平衡。
故原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题主要考查了天平的特性，要熟练掌握。
14．（2022春•巧家县期末）三个连续自然数的平均数是a，其中最大的数是a+1。 　√　
【分析】连续的自然数相差1，根据平均数的求法，三个连续的自然数的平均数是a，即中间的自然数是a，进而减去1求得这三个数中最小的那个数，加上1求得这三个数中最大的那个数。
【解答】解：三个连续自然数的平均数为a，则最大的数是a+1，本题说法正确。
故答案为：√。
【点评】解决此题明确：连续的自然数相差1，三个连续的自然数的平均数就是中间的那个数。
15．（2022春•和平区期末）甲、乙共有50本书，甲给乙8本，则两人的本数相同，求甲、乙原有书的本数。用方程解，设乙原来有x本书，列方程式x+x+8＝50。 　×　
【分析】设乙原来有x本书，则甲原来有（50﹣x）本，根据等量关系：甲原来有的本数﹣8本＝乙原来有x本书+8本，列方程解答即可。
【解答】解：设乙原来有x本书，则甲原来有（50﹣x）本。
50﹣x﹣8＝x+8
x+x+8＝50﹣8
2x+8＝42
2x＝34
x＝17
50﹣17＝33（本）
答：甲原来有33本，乙原来有17本书。
故答案为：×。
【点评】本题主要考查了列方程解应用题，关键是找等量关系。
四．计算题（共1小题）
16．（2022春•锦州期末）解方程。
（1）3x﹣6＝15
（2）0.7x+0.6x＝3.9
【分析】（1）方程两边同时加上6，两边再同时除以3；
（2）先把方程左边化简为1.3x，两边再同时除以1.3。
【解答】解：（1）3x﹣6＝15
3x﹣6+6＝15+6
3x＝21
3x÷3＝21÷3
x＝7
（2）0.7x+0.6x＝3.9
1.3x＝3.9
1.3x÷1.3＝3.9÷1.3
x＝3
【点评】熟练掌握等式的基本性质是解题的关键。
五．应用题（共5小题）
17．（2022春•太和县期末）奇思和妙想一共有180张邮票，妙想的邮票张数是奇思的3倍。奇思和妙想各有多少张邮票？（列方程解答）
【分析】根据“妙想的邮票张数是奇思的3倍”设奇思有x张邮票，则妙想有3x张邮票，根据“奇思和妙想一共有180张邮票”可知奇思的邮票数量+妙想的邮票数量＝180，据此列方程解答。
【解答】解：设奇思有x张邮票，则妙想有3x张邮票。
x+3x＝180
4x＝180
x＝45
180﹣45＝135（张）
答：奇思有45张邮票，妙想有135张邮票。
【点评】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。
18．（2022春•新邵县期末）猪血丸子是邵阳的特产，某商店将605个猪血丸子装人礼盒销售，已经装了45盒，还剩65个，平均每个礼盒装多少个猪血丸子？（用方程解）
【分析】根据题意可知：每个礼盒装的猪血丸子×45+65＝猪血丸子的总数，已知猪血丸子的总数，设平均每个礼盒装x个猪血丸子，据此列方程解答。
【解答】解：设平均每个礼盒装x个猪血丸子。
45x+65＝605
45x＝540
x＝12
答：平均每个礼盒装12个猪血丸子。
【点评】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。
19．（2022春•无棣县期末）如图是学校科学实验室和实验准备室的平面图。
（1）用含有字母的式子表示出科学实验室和实验准备室的总面积。
（2）当b＝6时，科学实验室和实验准备室的总面积是多少？

【分析】（1）分别求出科学实验室和实验准备室的面积，再求和。
（2）用代入法求值即可。
【解答】解：（1）12b+3b＝15b（平方米）
答：科学实验室和实验准备室的总面积是15b平方米。
（2）当b＝6时，
15b
＝15×6
＝90（平方米）
答：当b＝6时，科学实验室和实验准备室的总面积是90平方米。
【点评】本题考查了用字母表示数和用代入法求值，需熟练掌握。
20．（2021秋•殷都区期末）为防止疫情扩散，妈妈买来活性炭口罩和一次性口罩各20个。一共花了20.6元。（列方程解答）

【分析】设每一个一次性口罩x元，根据等量关系：“20个活性炭口罩花的钱数+20个一次性口罩花的钱数＝20.6”列方程解答即可。
【解答】解：设每一个一次性口罩x元。
20×0.65+20x＝20.6
20×0.65+20x﹣13＝20.6﹣13
20x＝7.6
20x÷20＝7.6÷20
x＝0.38
答：每一个一次性口罩0.38元。
【点评】明确题中的等量关系：“20个活性炭口罩花的钱数+20个一次性口罩花的钱数＝20.6”是解题的关键。
21．（2022•百色）希望小学课外活动丰富多彩，参加艺术类兴趣小组的有78人，比参加球类兴趣小组的2倍还多8人。参加球类兴趣小组的有多少人？（用方程解决问题）
【分析】设参加球类兴趣小组的有x人，根据等量关系：参加球类兴趣小组的人数×2+8人＝参加艺术类兴趣小组的人数，列方程解答即可。
【解答】解：设参加球类兴趣小组的有x人。
2x+8＝78
2x＝70
x＝35
答：参加球类兴趣小组的有35人。
【点评】本题主要考查了列方程解应用题，关键是根据等量关系：参加球类兴趣小组的人数×2+8人＝参加艺术类兴趣小组的人数，列方程。