第三章函数的概念与性质单元综合测试卷（人教A版2019必修第一册）Word版附解析

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第三章 函数的概念与性质 单元综合测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列图形是函数图像的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】按照函数的定义，一个自变量只能对应一个函数值.对于A：当x=0时，，不符合函数的定义.故A错误；对于B：当x=0时，，不符合函数的定义.故B错误；对于C：每一个x都对应唯一一个y值，符合函数的定义.故C正确；对于D：当x=1时，y可以取全体实数，不符合函数的定义.故D错误；故选:C2．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（    ）A．[－2，2] B．[－1，2] C．[0，4] D．[1，3]【答案】D【解析】由函数为奇函数，得，不等式即为，又在单调递减，∴得，即﹒故选：D．3．已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(x)的定义域是（    ）A．[0，5] B．[-1，4] C．[-3，2] D．[-2，3]【答案】B【解析】∵函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，∴-2≤x≤3，∴-1≤x+1≤4，∴函数y=f(x)的定义域是[-1，4].故选：B4．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，恒成立，当时，，即，函数在上为单调增函数，，函数关于对称，，又函数在上为单调增函数，（2）（3），即（2）（3），，，的大小关系为．故选：．5．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（    ）A．［-4，0） B．［-4，-2） C．［-4，+∞） D．（-∞，-2）【答案】B【解析】因为且在上单调递增，则，所以，解得，即，故选：B6．已知定义城为R的函数为奇函数，且，则（    ）A．-2 B．-5 C．1 D．-3【答案】B【解析】由题设，有，∴，当时，有，又，∴.故选：B7．设函数y＝f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数fp（x）＝，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”若给定函数f（x）＝x2﹣2x﹣1，p＝2，则下列结论不成立的是（　　）A．fp[f（0）]＝f[fp（0）] B．fp[f（1）]＝f[fp（1）]C．fp[fp（2）]＝f[f（2）] D．fp[fp（3）]＝f[f（3）]【答案】B【解析】因为，所以，所以对于A，，所以A正确，对于B，，所以B错误，对于C，，所以C正确，对于D，，所以D正确，故选：B8．已知函数，若，恒有，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解法一：若，恒有，只需，设函数在上的最小值为，则（1）当，即时，，即，所以；（2）当，即时，，即，所以此时不满足题意；（3）当，即时，，所以，即，得，则.综上，实数的取值范围为.故选：B.解法二：若，恒有，即对任意恒成立，所以对任意的恒成立，而，当且仅当，即时取等号，所以.因此，实数的取值范围是.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列说法中正确为（    ）A．已知函数，若，有成立，则实数a的值为4B．若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为C．设集合，则“”是“”的充分不必要条件D．函数与函数是同一个函数【答案】AC【解析】对于A：由成立，可得函数的对称轴为，又二次函数的对称轴为，所以，解得，故A正确；对于B：当时，可得成立，满足题意，当时，可得，解得，综上k的取值范围为，故B错误；对于C：当时，，所以，充分性成立，若，则或，解得或，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；对于D：函数定义域为R，函数的定义域为，定义域不同，故不是同一函数，故D错误，故选：AC10．已知函数，其中表示不大于的最大整数，下列关于的性质，正确的是（    ）A．在上是增函数 B．是偶函数C．的值域为 D．是奇函数【答案】AC【解析】当时,,此时；当时,,此时；当时,,此时；当时,,此时；……所以作出的图像如图所示：对照图像可以看出：对于A：在上是增函数 是正确的；故A正确.对于B：是非奇非偶函数；故B错误..对于C：的值域为；故C正确.对于D：是非奇非偶函数；故D错误..故选：AC11．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（    ）A．B．若在上有最小值，则在上有最大值1C．若在上为增函数，则在上为减函数D．若时，，则时，【答案】ABD【解析】由得，故正确；当时，，且存在使得，则时，，，且当有,∴在上有最大值为1，故正确；若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；若时，，则时，，，故正确．故选：．12．已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②；③，当时，都有．则下列选项成立的是（    ）A．B．，使得C．若，则D．若，则【答案】ABC【解析】由题意，函数满足，所以函数为偶函数，又由，当时，都有，所以函数在为单调递增函数，则在为单调递减函数，又由，所以A正确；因为函数为连续函数，且为偶函数，当时，函数为单调递增函数，得到恒成立，当时，恒成立，所以对任意，使得，所以B正确；由函数为偶函数，则函数为奇函数，又由函数在为增函数，在为减函数，且，当时，若，即，解得，当时，若，即，解得，所以不等式的解集为，所以C正确；由，可得，解得，所以D不正确.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.【答案】-1【解析】∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故＝－1.故答案为：-1.14．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是______．【答案】．【解析】由题意得恒成立，当时，恒成立，满足题意；当时，，解得．综上．故答案为：．15．已知具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①；②；③，其中满足“倒负”变换的函数是______.【答案】①③【解析】对于①，，该函数的定义域为，对任意的，，满足条件；对于②，，该函数的定义域为，对任意的，，不满足条件；对于③，因为，当时，，则，当时，，，当时，.所以，对任意的，.综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故答案为：①③.16．已知定义域为的奇函数，则的解集为_______．【答案】【解析】由题知，，所以恒成立，即．又因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得，因此，，由单调递增，单调递增，易知函数单调递增，故等价于等价于即，解得．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）已知．(1)证明：在（2，+∞）单调递增；(2)解不等式：．【解析】(1) ∀x1，x2∈[2，+∞)，且x1＜x2，则 ，∵x1，x2∈[2，+∞)，则x1x24＞0，x1x2＞0， 且x1﹣x2＜0，∴0，即，∴在[2，+∞)单调递增．(2)由，即∈[2，+∞)，∵在[2，+∞)单调递增，要使，∴，即，解得，∴不等式的解集为．18．（12分）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.（1）求出函数在上的解析式；（2）画出函数的图象，并根据图象写出的单调区间；（3）求使时的的值.【解析】（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则；②当时，，因为是奇函数，所以．所以．综上：．（2）函数图象如下所示：由函数图象可知，函数的单调增区间为和，单调减区间为．（3）当时，解得或因为，所以当时，解得综上所述， 或19．（12分）已知某船舶每小时航行所需费用u（单位：元）与航行速度（单位：千米/时）的函数关系为（其中a，b，k为常数），函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)若该船舶需匀速航行20千米，问船舶的航行速度v为多少时，航行所需费用最少.最少的费用为多少？【答案】(1)(2)当航行速度为15千米/时时，航行所需费用最少，最少的费用为1200元．【解析】（1）将，分别代入得解得把代入，得，解得．所以（2）航行时间小时，所需费用设为元，则①当时，函数单调递减，所以；②当时，，当且仅当，即时，等号成立．由知，时，航行所需费用最小.所以以当航行速度为15千米/时时，航行所需费用最少，最少的费用为1200元．20．（12分）已知“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”，可以推广为：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”．(1)若函数满足对任意的实数m，n，恒有，求的值，并判断此函数的图象是否是中心对称图形．若是，请求出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．(2)若（1）中的函数还满足当时，，求不等式的解集．【解析】（1）取，得，所以．取，，得，于是，所以函数是奇函数，所以函数的图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为（0，1）．（2）设，则，故，而，所以在R上是增函数，由，得，解得或．所以不等式的解集为．21．（12分）定义在上的函数满足下面三个条件：① 对任意正数，都有；② 当时，；③ (1)求和的值；(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；(3)求满足的的取值集合．【解析】(1) 得，则，而， 且，则；(2)取定义域中的任意的，，且，，当时，，，，在上为减函数．(3)由条件①及（1）的结果得，，， ，，解得，故的取值集合为.22．（12分）已知函数.(1)若，判断函数的奇偶性，并加以证明；(2)若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围；(3)若存在实数，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围（写出结论即可，无需论证）.【解析】(1)当时，，，所以，所以函数为奇函数；(2)，当时，的对称轴为；当时，的对称轴为；所以当时，在R上是增函数，即时，函数在R上是增函数；(3)方程的解即为方程的解.①当时，函数在R上是增函数，关于x的方程不可能有三个不相等的实数根；②当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则当时，关于x的方程有三个不相等的实数根；即，因为，所以.设，因为存在实数，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，所以，又可证在上单调递增，所以，故；③当时，即，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则当时，关于x的方程有三个不相等的实数根；即，因为，所以，设，因为存在实数，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，所以，而函数在上单调递减，所以，故；综上：.