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    2022-2023学年中考数学专项练习(基础+提优+答案解析)4 整式及其运算

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    2022-2023学年中考数学专项练习(基础+提优+答案解析)4 整式及其运算

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    这是一份2022-2023学年中考数学专项练习(基础+提优+答案解析)4 整式及其运算,共20页。试卷主要包含了基础过关练,能力提升练等内容,欢迎下载使用。


    专题4 整式及其运算

    一、基础过关练
    1.(2022·重庆大渡口·中考二模)下列各式中,不是整式的是(    )
    A. B.x-y C. D.4x
    2.(2022·四川遂宁·中考真题)下列计算中正确的是(    )
    A. B.
    C. D.
    3.(2022·内蒙古赤峰·一模)下列代数式中,互为同类项的是(    )
    A.与 B.与
    C.与 D.与
    4.(2022·安徽·模拟预测)下列说法正确的是(    )
    A.的项是,2 B.是二次三项式
    C.与是同类项 D.单项式的系数是
    5.(2022·云南·中考真题)按一定规律排列的单项式:x,3x2,5x3,7x4,9x5,……,第n个单项式是(    )
    A.(2n-1) B.(2n+1) C.(n-1) D.(n+1)
    6.(2022·陕西·中考真题)计算:(    )
    A. B. C. D.
    7.(2022·湖北武汉·中考真题)计算的结果是(    )
    A. B. C. D.
    8.(2022·四川眉山·中考真题)下列运算中,正确的是(    )
    A. B.
    C. D.
    9.(2022·山东聊城·中考真题)下列运算正确的是(    )
    A. B.
    C. D.
    10.(2022·山东济宁·中考真题)下列各式运算正确的是(  )
    A. B.
    C. D.
    11.(2022·上海市青浦区教育局二模)下列关于代数式的说法中,正确的有(    )
    ①单项式系数是2,次数是2022次;②多项式是一次二项;③是二次根式;④对于实数,.
    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    12.(2022·重庆·中考真题)把菱形按照如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有1个菱形,第②个图案中有3个菱形,第③个图案中有5个菱形,…,按此规律排列下去,则第⑥个图案中菱形的个数为(    )

    A.15 B.13 C.11 D.9
    13.(2022·黑龙江牡丹江·中考真题)观察下列数据:,,,,,…,则第12个数是(    )
    A. B. C. D.
    14.(2022·江苏·靖江市教师发展中心二模)单项式的次数是______.
    15.(2022·甘肃武威·中考真题)计算:_____________.
    16.(2022·青海·海东市教育研究室一模)若单项式与单项式是同类项,则_______.
    17.(2022·青海·中考真题)木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放,则第个图中共有木料______根.

    18.(2022·广西·中考真题)先化简,再求值,其中.
    19.(2022·浙江丽水·中考真题)先化简,再求值:,其中.
    二、能力提升练
    20.(2022·云南昆明·三模)按一定规律排列的代数式:2,,……,第n个单项式是(    )
    A. B. C. D.
    21.(2022·山东威海·中考真题)由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形,∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠LOM=30°.若S△AOB=1,则图中与△AOB位似的三角形的面积为(   )

    A.()3 B.()7 C.()6 D.()6
    22.(2022·湖北恩施·中考真题)观察下列一组数:2,,,…,它们按一定规律排列,第n个数记为,且满足.则________,________.
    23.(2022·湖南岳阳·中考真题)已知,求代数式的值.






    24.(2022·湖北襄阳·中考真题)先化简,再求值:(a+2b)2+(a+2b)(a-2b)+2a(b-a),其中a=-,b=+.






    25.(2022·湖北随州·中考真题)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作,是数学发展史的一个里程碑.在该书的第2幕“几何与代数”部分,记载了很多利用几何图形来论证的代数结论,利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.
    (1)我们在学习许多代数公式时,可以用几何图形来推理,观察下列图形,找出可以推出的代数公式,(下面各图形均满足推导各公式的条件,只需填写对应公式的序号)

    公式①:
    公式②:
    公式③:
    公式④:
    图1对应公式______,图2对应公式______,图3对应公式______,图4对应公式______;
    (2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法,如图5,请写出证明过程;(已知图中各四边形均为矩形)

    (3)如图6,在等腰直角三角形ABC中,,D为BC的中点,E为边AC上任意一点(不与端点重合),过点E作于点G,作F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F.记△BFG与△CEG的面积之和为,△ABD与△AEH的面积之和为.

    ①若E为边AC的中点,则的值为_______;
    ②若E不为边AC的中点时,试问①中的结论是否仍成立?若成立,写出证明过程;若不成立,请说明理由.

    答案与解析

    一、基础过关练
    1.(2022·重庆大渡口·中考二模)下列各式中,不是整式的是(    )
    A. B.x-y C. D.4x
    【答案】A
    【分析】利用整式的定义逐项判断即可得出答案.
    【详解】解:A.既不是单项式,又不是多项式,不是整式,故本选项符合题意;
    B.x-y,是多项式,是整式,故本选项不符合题意;
    C.,是单项式,是整式,故本选项不符合题意;
    D.4x,是单项式,是整式,故本选项不符合题意;
    故选A.
    【点睛】本题考查整式的定义,整式为单项式和多项式的统称,是有理式的一部分,在有理式中可以包含加,减,乘,除、乘方五种运算,但在整式中除数不能含有字母.
    2.(2022·四川遂宁·中考真题)下列计算中正确的是(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【分析】分别根据同底数幂的乘法法则,积的乘方运算法则,同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及平方差公式逐一判断即可.
    【详解】A. ,故本选项错误;
    B. ,故本选项符合题意;
    C. ,故本选项错误;
    D. ,故本选项错误;
    故选:B.
    【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则,积的乘方运算法则,同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及平方差公式,熟记相关运算法则是解答本题的关键.
    3.(2022·内蒙古赤峰·一模)下列代数式中,互为同类项的是(    )
    A.与 B.与
    C.与 D.与
    【答案】D
    【分析】根据同类项的定义逐项进行判断即可.
    【详解】A.与相同字母的指数不同,因此不是同类项,故A错误;
    B.是多项式,所以与不是同类项,故B错误;
    C.与是多项式,且含有的字母也不同,因此它们不是同类项,故C错误;
    D.−xy2与y2x含有的字母相同,相同字母的指数也相同,因此它们是同类项,故D正确.
    故选:D.
    【点睛】本题主要考查了同类项的定义,熟练掌握同类项的定义,含有字母相同,相同字母的指数也相同的单项式为同类项,是解题的关键.
    4.(2022·安徽·模拟预测)下列说法正确的是(    )
    A.的项是,2 B.是二次三项式
    C.与是同类项 D.单项式的系数是
    【答案】C
    【分析】根据单项式与多项式的特点及性质即可求解.
    【详解】A.的项是,-2,故A错误;
    B.是三次三项式,故B错误;
    C.与是同类项,故C正确;
    D.单项式的系数是,故D错误.
    故选:C.
    【点睛】此题主要考查单项式与多项式的定义,解题的关键是熟知单项式与多项式的特点及性质.
    5.(2022·云南·中考真题)按一定规律排列的单项式:x,3x2,5x3,7x4,9x5,……,第n个单项式是(    )
    A.(2n-1) B.(2n+1) C.(n-1) D.(n+1)
    【答案】A
    【分析】系数的绝对值均为奇数,可用(2n-1)表示;字母和字母的指数可用xn表示.
    【详解】解:依题意,得第n项为(2n-1)xn,
    故选:A.
    【点睛】本题考查的是单项式,根据题意找出规律是解答此题的关键.
    6.(2022·陕西·中考真题)计算:(    )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算即可.
    【详解】解:.
    故选:C.
    【点睛】本题考查了单项式乘单项式的运算,正确地计算能力是解决问题的关键.
    7.(2022·湖北武汉·中考真题)计算的结果是(    )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【分析】直接运用幂的乘方、积的乘方计算即可.
    【详解】解:.
    故答案为B.
    【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的运算,灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键.
    8.(2022·四川眉山·中考真题)下列运算中,正确的是(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【分析】根据同底数幂的乘法法则,合并同类项,完全平方公式,单项式乘多项式的法则分析选项即可知道答案.
    【详解】解:A. 根据同底数幂的乘法法则可知:,故选项计算错误,不符合题意;
    B. 和不是同类项,不能合并,故选项计算错误,不符合题意;
    C. 根据完全平方公式可得:,故选项计算错误,不符合题意;
    D. ,根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确,符合题意;
    故选:D
    【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则,合并同类项,完全平方公式,单项式乘多项式的法则.
    9.(2022·山东聊城·中考真题)下列运算正确的是(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【分析】A选项根据积的乘方等于乘方的积即可判断;B选项合并同类型:字母和字母的指数比不变,系数相加;C选项利用乘方的分配律;D选项先用幂的乘方化简,在运用整式的除法法则.
    【详解】解:A、原式,不合题意;
    B、原式,不合题意;
    C、原式,不合题意;
    D、原式=-1,符合题意;
    故选:D.
    【点睛】本题考查积的乘方、幂的乘方、合并同类型、乘法分配律、整式的除法,掌握相应的运算法则是解题的关键,其中每一项的符号是易错点.
    10.(2022·山东济宁·中考真题)下列各式运算正确的是(  )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【分析】利用去括号的法则,幂的运算法则和零指数幂的意义对每个选项进行判断即可.
    【详解】A:,故选项A不正确;
    B:,故选项B不正确;
    C:,故选项C正确;
    D:,故选项D不正确;
    故选:C.
    【点睛】本题考查了去括号法则,幂的运算法则和零指数幂的意义,正确利用上述法则对每个选项做出判断是解题的关键.
    11.(2022·上海市青浦区教育局二模)下列关于代数式的说法中,正确的有(    )
    ①单项式系数是2,次数是2022次;②多项式是一次二项;③是二次根式;④对于实数,.
    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    【答案】B
    【分析】根据单项式的系数,次数,多项式的次数,二次根式的定义,二次根式的性质逐个分析判断即可.
    【详解】解:①单项式系数是,次数是0次,故①不正确;
    ②多项式中不能约分,故②不正确;
    ③是二次根式,故③正确;
    ④对于实数,,故④正确;
    故选B.
    【点睛】本题考查了单项式的系数,次数,多项式的次数,二次根式的定义,二次根式的性质,掌握以上知识是解题的关键.单项式中,所有字母的指数和叫单项式的次数,数字因数叫单项式的系数,单项式中所有字母的指数的和叫做它的次数,通常系数不为0, 多项式的每一项都有次数,其中次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数,一个多项式的项数就是合并同类项后用“+”或“-”号之间的多项式个数,次数就是次数和最高的那一项的次数; 一个多项式中,次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数;多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数.形如的代数式是二次根式.
    12.(2022·重庆·中考真题)把菱形按照如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有1个菱形,第②个图案中有3个菱形,第③个图案中有5个菱形,…,按此规律排列下去,则第⑥个图案中菱形的个数为(    )

    A.15 B.13 C.11 D.9
    【答案】C
    【分析】根据第①个图案中菱形的个数:;第②个图案中菱形的个数:;第③个图案中菱形的个数:;…第n个图案中菱形的个数:,算出第⑥个图案中菱形个数即可.
    【详解】解:∵第①个图案中菱形的个数:;
    第②个图案中菱形的个数:;
    第③个图案中菱形的个数:;

    第n个图案中菱形的个数:,
    ∴则第⑥个图案中菱形的个数为:,故C正确.
    故选:C.
    【点睛】本题主要考查的是图案的变化,解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律.
    13.(2022·黑龙江牡丹江·中考真题)观察下列数据:,,,,,…,则第12个数是(    )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【分析】仔细观察给出的一列数字,从而可发现,分子等于其项数,分母为其所处的项数的平方加1,根据规律解题即可.
    【详解】解:,,,,,…,根据规律可得第n个数是,
    ∴第12个数是,
    故选:D.
    【点睛】本题是一道找规律的题目,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.
    14.(2022·江苏·靖江市教师发展中心二模)单项式的次数是______.
    【答案】4
    【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可.
    【详解】解:单项式的次数为.
    故答案为:4.
    【点睛】本题主要考查了单项式的次数,熟练掌握单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数,是解题的关键.
    15.(2022·甘肃武威·中考真题)计算:_____________.
    【答案】
    【分析】根据单项式的乘法直接计算即可求解.
    【详解】解:原式=.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了单项式的乘法,正确的计算是解题的关键.
    16.(2022·青海·海东市教育研究室一模)若单项式与单项式是同类项,则_______.
    【答案】-3
    【分析】根据同类项的概念,转化为关于m、n的一元一次方程,可求出m、n的值,代入代数式中即可得到答案.
    【详解】∵单项式与单项式是同类项,
    ∴解得
    ∴==-3.
    故答案为:-3.
    【点睛】本题考查了同类项的概念,所含字母相同,且所含字母的指数也相同的项叫做同类项,要注意同类项与字母的顺序无关.
    17.(2022·青海·中考真题)木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放,则第个图中共有木料______根.

    【答案】
    【分析】第一个图形有1根木料,第二个图形有根木料,第三个图形有根木料,第四个图形有根木料,以此类推,得到第个图形有根木料.
    【详解】解:∵第一个图形有根木料,
    第二个图形有根木料,
    第三个图形有根木料,
    第四个图形有木料,
    ∴第个图形有根木料,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了图形的变化类问题,仔细观察,分析,归纳并发现其中的规律是解本题的关键.
    18.(2022·广西·中考真题)先化简,再求值,其中.
    【答案】x2-2y,0
    【分析】首先运用平方差公式计算,再运用单项式乘以多项式计算,最后合并同类项,即可化简,然后把x、y值代入计算即可.
    【详解】解:
    =x2-y2+y2-2y
    =x2-2y
    当x=1,y=时,原式=12-2×=0.
    【点睛】本题考查整式化简求值,熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键.
    19.(2022·浙江丽水·中考真题)先化简,再求值:,其中.
    【答案】;2
    【分析】先利用平方差公式,单项式与多项式乘法化简,然后代入即可求解.
    【详解】


    当时,
    原式.
    【点睛】本题考查了整式的化简求值,正确地把代数式化简是解题的关键.
    二、能力提升练
    20.(2022·云南昆明·三模)按一定规律排列的代数式:2,,……,第n个单项式是(    )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【分析】不难看出奇数项为正,偶数项为负,分母为x2n-2,分子的指数为由1开始的自然数,据此即可求解.
    【详解】解:∵2=,
    ∴按一定规律排列的代数式为:,,,,,…,
    ∴第n个单项式是(-1)n-1,
    故选:B.
    【点睛】本题考查单项式的规律,根据所给单项式的系数与次数的特点,确定单项式的规律是解题的关键.
    21.(2022·山东威海·中考真题)由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形,∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠LOM=30°.若S△AOB=1,则图中与△AOB位似的三角形的面积为(   )

    A.()3 B.()7 C.()6 D.()6
    【答案】C
    【分析】根据题意得出A、O、G在同一直线上,B、O、H在同一直线上,确定与△AOB位似的三角形为△GOH,利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=,再由相似三角形的性质求解即可.
    【详解】解:∵∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠LOM=30°
    ∴∠AOG=180°,∠BOH=180°,
    ∴A、O、G在同一直线上,B、O、H在同一直线上,
    ∴与△AOB位似的三角形为△GOH,
    设OA=x,
    则OB=,
    ∴OC=,
    ∴OD=,

    ∴OG=,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    故选:C.
    【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形,找规律问题,相似三角形的性质等,理解题意,找出相应边的比值规律是解题关键.
    22.(2022·湖北恩施·中考真题)观察下列一组数:2,,,…,它们按一定规律排列,第n个数记为,且满足.则________,________.
    【答案】         
    【分析】由题意推导可得an=,即可求解.
    【详解】解:由题意可得:a1=2=,a2=,a3=,
    ∵,
    ∴2+=7,
    ∴a4=,
    ∵,
    ∴a5=,
    同理可求a6=,
    ∴an=,
    ∴a2022=,
    故答案为:,.
    【点睛】本题考查了数字的变化类,找出数字的变化规律是解题的关键.
    23.(2022·湖南岳阳·中考真题)已知,求代数式的值.
    【答案】-2
    【分析】先化简所求的式子,再结合已知求解即可.
    【详解】解:



    ∵,
    ∴,
    ∴原式.
    【点睛】本题考查代数式的运算,熟练掌握单项式乘多项式,平方差公式是解题的关键.
    24.(2022·湖北襄阳·中考真题)先化简,再求值:(a+2b)2+(a+2b)(a-2b)+2a(b-a),其中a=-,b=+.
    【答案】
    【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简,进而合并同类项,再把已知数据代入得出答案.
    【详解】解:原式=

    a=-,b=+,
    ∴原式

    【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值,正确掌握整式的混合运算法则是解题关键.
    25.(2022·湖北随州·中考真题)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作,是数学发展史的一个里程碑.在该书的第2幕“几何与代数”部分,记载了很多利用几何图形来论证的代数结论,利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.
    (1)我们在学习许多代数公式时,可以用几何图形来推理,观察下列图形,找出可以推出的代数公式,(下面各图形均满足推导各公式的条件,只需填写对应公式的序号)

    公式①:
    公式②:
    公式③:
    公式④:
    图1对应公式______,图2对应公式______,图3对应公式______,图4对应公式______;
    (2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法,如图5,请写出证明过程;(已知图中各四边形均为矩形)

    (3)如图6,在等腰直角三角形ABC中,,D为BC的中点,E为边AC上任意一点(不与端点重合),过点E作于点G,作F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F.记△BFG与△CEG的面积之和为,△ABD与△AEH的面积之和为.

    ①若E为边AC的中点,则的值为_______;
    ②若E不为边AC的中点时,试问①中的结论是否仍成立?若成立,写出证明过程;若不成立,请说明理由.
    【答案】(1)①,②,④,③
    (2)证明见解析
    (3)①2
    ②结论仍成立,理由见解析

    【分析】(1)观察图形,根据面积计算方法即可快速判断;
    (2)根据面积关系:矩形AKHD面积=矩形AKLC面积+矩形CLHD面积=矩形DBFG面积+矩形CLHD面积=正方形BCEF面积-正方形LEGH面积,即可证明;
    (3)①由题意可得△ABD,△AEH,△CEG,△BFG都是等腰直角三角形,四边形DGEH是正方形,设BD=a,从而用含a的代数式表示出S1、S2进行计算即可;②由题意可得△ABD,△AEH,△CEG,△BFG都是等腰直角三角形,四边形DGEH是矩形,设BD=a,DG=b,从而用含a、b的代数式表示出S1、S2进行计算即可.
    (1)
    解:图1对应公式①,图2对应公式②,图3对应公式④,图4对应公式③;
    故答案为:①,②,④,③;
    (2)
    解:由图可知,矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形,且AK=DB=a-b,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    又∵,
    ∴;
    (3)
    解:①由题意可得:△ABD,△AEH,△CEG,△BFG都是等腰直角三角形,四边形DGEH是正方形,
    设,
    ∴,,,,
    ∴,

    ∴;
    故答案为:2;
    ②成立,证明如下:
    由题意可得:△ABD,△AEH,△CEG,△BFG都是等腰直角三角形,四边形DGEH是矩形,
    设,,
    ∴,,,,
    ∴,

    ∴仍成立.
    【点睛】本题主要考查了公式的几何验证方法,矩形和正方形的判定与性质,掌握数形结合思想,观察图形,通过图形面积解决问题是解题的关键.

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