2021-2022学年北京市一零一中学高二上学期期末考试数学试题含解析

2021-2022学年北京市一零一中学高二上学期期末考试

数学试题

一、单选题

1．抛物线的焦点到准线的距离为（       ）．

A． B． C． D．1

【答案】B

【解析】由可得抛物线标椎方程为：，由焦点和准线方程即可得解.

【详解】由可得抛物线标准方程为：，

所以抛物线的焦点为，准线方程为，

所以焦点到准线的距离为，

故选：B

【点睛】本题考了抛物线标准方程，考查了焦点和准线相关基本量，属于基础题.

2．已知向量与向量垂直，则实数x的值为（       ）

A．﹣1 B．1 C．﹣6 D．6

【答案】B

【解析】根据数量积的坐标计算公式代入可得的值．

【详解】解：向量，与向量垂直，则，

由数量积的坐标公式可得：，

解得，

故选：．

【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于基础题．

3．双曲线与椭圆的焦点相同，则等于（       ）

A．1 B． C．1或 D．2

【答案】A

【分析】根据双曲线方程形式确定焦点位置，再根据半焦距关系列式求参数.

【详解】因为双曲线的焦点在轴上，

所以椭圆的焦点在轴上，

依题意得

解得.

故选：A

4．设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．

解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，

两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，

故前者是后者的充分条件，

∵当两条直线平行时，得到，

解得a=﹣2，a=1，

∴后者不能推出前者，

∴前者是后者的充分不必要条件．

故选A．

【解析】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．

5．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字构成平面直角坐标系内点的横、纵坐标，其中不在轴上的点有（       ）

A．36个 B．30个 C．25个 D．20个

【答案】C

【分析】根据点不在y轴上，分2类根据分类加法计数原理求解.

【详解】因为点不在轴上，

所以点的横坐标不能为0，

分两类考虑，第一类含0且为点的纵坐标，共有个点，

第二类坐标不含0的点，共有个点，

根据分类加法计数原理可得共有个点.

故选：C

6．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.

【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，

设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，

则.故选C.

【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：

（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；

（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.

7．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是(　　)．

A． B．(－∞，]∪[0，＋∞)

C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为

，解不等式得k的取值范围

【解析】直线与圆相交的弦长问题

8．已知，是椭圆的两焦点，是椭圆上任一点，从引外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（       ）

A．圆 B．两个圆 C．椭圆 D．两个椭圆

【答案】A

【分析】设的延长线交的延长线于点，由椭圆性质推导出，由题意知是△的中位线，从而得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．

【详解】是焦点为、的椭圆上一点

为的外角平分线，，

设的延长线交的延长线于点，如图，

，

，

，

由题意知是△的中位线，

，

点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．

故选：A

9．在一个正方体中， 为正方形四边上的动点， 为底面正方形的中心， 分别为中点，点 为平面内一点，线段 与互相平分，则满足 的实数的值有

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【详解】因为线段D1Q与OP互相平分，

所以四点O，Q，P，D1共面，

且四边形OQPD1为平行四边形．若P在线段C1D1上时，

Q一定在线段ON上运动，只有当P为C1D1的中点时，

Q与点M重合，此时λ＝1，符合题意．

若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不到符合条件Q；

在P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动，

只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合，

此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个

故选C.

10．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方

向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这

样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】如图：

如图，取小圆上一点，连接并延长交大圆于点，连接，，则在小圆中，，在大圆中，，根据大圆的半径是小圆半径的 倍，可知的中点是小圆转动一定角度后的圆心，且这个角度恰好是，综上可知小圆在大圆内壁上滚动，圆心转过角后的位置为点，小圆上的点，恰好滚动到大圆上的也就是此时的小圆与大圆的切点．而在小圆中，圆心角（是小圆与的交点）恰好等于，则，而点与点其实是同一个点在不同时刻的位置，则可知点与点是同一个点在不同时刻的位置．由于的任意性，可知点的轨迹是大圆水平的这条直径．类似的可知点的轨迹是大圆竖直的这条直径.

故选A.

二、填空题

11．已知定点，点在直线上运动，则，两点的最短距离为________．

【答案】

【分析】线段最短，就是说的距离最小，此时直线和直线垂直，可先求的斜率，再求直线的方程，然后与直线联立求交点即可．

【详解】定点，点在直线上运动，

当线段最短时，就是直线和直线垂直，

的方程为：，它与联立解得，

所以的坐标是，

所以，

故答案为：．

12．将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）

【答案】36

【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.

【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，

可先将4人分为2、1、1的三组，有种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有种方法，

则共有种分配方案.

故答案为：36

13．已知双曲线的两个焦点分别为，，为双曲线上一点，且，则的值为________．

【答案】2

【分析】求得双曲线的a，b，c，不妨设P为双曲线右支上的点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，利用双曲线的定义、余弦定理列出方程组，求出mn即可.

【详解】双曲线的a＝2，b＝1，c＝，

不妨设P为双曲线右支上的点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，

则，①

由余弦定理可得，②

联立①②可得

故答案为：2

14．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是__.

【答案】[﹣，0]

【分析】建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，计算•x2﹣x，利用二次函数的性质求得它的值域即可．

【详解】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示；

则点A（1，0，0），C1（0，1，1），

设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；

∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），

∴•x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，

由二次函数的性质可得，当x＝y时，•取得最小值为；

当x＝0或1，且y＝0或1时，•取得最大值为0，

则•的取值范围是[，0]．

故答案为：[，0]．

【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目．

15．关于曲线，给出下列三个结论：

① 曲线关于原点对称，但不关于轴、轴对称；

② 曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

③ 曲线上任意一点到原点的距离都不大于.

其中，正确结论的序号是________.

【答案】①③

【解析】设为曲线上任意一点，判断、、是否满足曲线方程即可判断①；求出曲线过的整点即可判断②；由条件利用即可得，即可判断③；即可得解.

【详解】设为曲线上任意一点，则，

设点关于原点、轴、轴的对称点分别为、、，

因为；

；；

所以点在曲线上，点、点不在曲线上，

所以曲线关于原点对称，但不关于轴、轴对称，故①正确；

当时，；当，.

此外，当时，；当时，.

故曲线过整点，，，，，，故②错误；

又 ，所以恒成立，

由可得，当且仅当时等号成立，

所以，所以曲线上任一点到原点的距离，故③正确.

故答案为：①③.

【点睛】本题考查了与曲线方程有关的命题真假判断，属于中档题.

三、解答题

16．已知双曲线，抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，点为抛物线上一点.

（1）求双曲线的焦点坐标；

（2）若点到抛物线的焦点的距离是5，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据双曲线的方程求出即得双曲线的焦点坐标；

（2）先求出的值，再解方程得解.

【详解】（1）因为双曲线的方程为，

所以.

所以.所以.

所以双曲线的焦点坐标分别为.

（2）因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，

所以抛物线的焦点坐标是(2，0)，

所以.

因为点为抛物线上一点，

所以点到抛物线的焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离.

因为点到拋物线的焦点的距离是5，

即，

所以.

【点睛】本题主要考查双曲线的焦点坐标的求法，考查抛物线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

17．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，，（）

（1）求证：平面；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值；

（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）

【答案】（1）证明见解析

（2）

（3）

【分析】（1）取得中点，连接，可证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得，即，又侧棱底面，可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；

（2）通过建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式即可得出；

（3）由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案，新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出．

【详解】（1）证明：取的中点，连接，

，，

四边形是平行四边形，

，且，，

，，

又，．

侧棱底面，，

，平面．

（2）以为坐标原点，、、的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，．

，，．

设平面的一个法向量为，

则，取，则，．

．

设与平面所成角为，则

，

解得，故所求．

（3）由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．

写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出．

【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，利用向量求线面角、柱体的定义应用和表面积的求法，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力及化归与转化能力，属于中档题．

18．已知椭圆的离心率是，且过点.直线与椭圆相交于两点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求的面积的最大值；

（Ⅲ）设直线，分别与轴交于点，.判断，大小关系，并加以证明.

【答案】（1）（2）（3）见解析

【详解】试题分析：

(1)由题意求得 ，所以椭圆的方程为．

(2) 联立直线与椭圆的方程，由题意可得．三角形的高为．，面积表达式，当且仅当时，．即的面积的最大值是．

(3)结论为．利用题意有．所以．

试题解析：

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为．

因为椭圆的离心率是，

所以 ，   即 ．

由   解得

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）将代入，

消去整理得．

令，解得．

设．

则，．

所以

．

点到直线的距离为．

所以的面积

，

当且仅当时，．

所以的面积的最大值是．

（Ⅲ）．证明如下：

设直线，的斜率分别是，，

则．

由（Ⅱ）得

，

所以直线，的倾斜角互补．

所以，

所以．

所以．

19．已知，对于有限集，令表示集合中元素的个数．例如：当时，，．

(1)当时，请直接写出集合的子集的个数；

(2)当时，，都是集合的子集（，可以相同），并且．求满足条件的有序集合对的个数；

(3)假设存在集合、具有以下性质：将1，1，2，2，··，，．这个整数按某种次序排成一列，使得在这个序列中，对于任意，与之间恰好排列个整数．证明：是4的倍数．

【答案】(1)8

(2)454

(3)证明见详解

【分析】（1）n元集合的直接个数为可得；

（2）由已知结合可得，或，然后可得集合的包含关系可解；

（3）根据每两个相同整数之间的整数个数之和与总的数字个数之间的关系可证.

【详解】(1)当时，集合的子集个数为

(2)易知，又，

所以，即，

得，或，所以或

1）若，则满足条件的集合对共有

，

2）若，同理，满足条件的集合对共有243

3）当A=B时，满足条件的集合对共有

所以，满足条件的集合对共243+243-32=454个.

(3)记，则1，1，2，2，··，，共2n个正整数，

将这2n个正整数按照要求排列时，需在1和1中间放入1个数，在2和2中间放入2个数，…，在n和n中间放入n个数，共放入了个数，由于排列完成后共有2n个数，且1，1，2，2，··，，刚好放完，所以放入数字个数必为偶数，即Z，所以，Z，所以是4的倍数．