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2021-2022学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期末数学试卷 解析版，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）已知线段a、b、c满足，其中a＝4cm，b＝12cm，则c的长度为（ ）
A．9cm B．18cm C．24cm D．36cm
3．（4分）已知反比例函数的解析式为y＝，则它的图象经过点（ ）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣2，3）
4．（4分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、O、B均在格点上，则tan∠AOB的值是（ ）
A． B．2 C． D．
5．（4分）将函数y＝2x2+4x+1的图象向下平移两个单位，以下结论正确的是（ ）
A．开口方向改变 B．对称轴位置改变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
6．（4分）如图，▱BDEF顶点D、E、F分别在△ABC的三边上，则下列比例式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°，测角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ）
A．16.5米 B．（10+1.5）米
C．（15+1.5）米 D．（15+1.5）米
8．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOB＝40°，BC∥OA，则∠ADC的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
9．（4分）在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数解析式y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4．点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．﹣2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）二次函数y＝x2﹣3的顶点坐标是 ．
12．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝4，CD＝2，则BE的长度是 ．
13．（5分）已知点A是y＝（x＞0）图象上的一点，点B是x轴负半轴上一点，连接AB，交y轴于点C，若AC＝BC，S△BOC＝1，则k的值是 ．
14．（5分）如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，CD平分∠ACB交AB于点D，点M是AC上一动点（AM＜AC），将△ADM沿DM折叠得到△EDM，点A的对应点为点E，ED与AC交于点F．
（1）CD的长度是 ；
（2）若ME∥CD，则AM的长度是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．（8分）计算：sin45°•cos45°﹣tan60°÷cos30°．
16．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC和格点O．
（1）以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A2B2C2，画出△A2B2C2．
四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．（8分）已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的图象交于点A（3，m）、B（n，﹣3）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）在图中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出y1＞y2的自变量x的范围．
18．（8分）已知，如图，AB∥DC，∠ABC+∠ADB＝180°．
（1）求证：△ABD∽△BDC；
（2）若AE平分∠DAB，BF平分∠DBC，且BF＝2AE，S△ABD＝3，求S△BDC．
五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．（10分）数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古树C在A的东北方向；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，古树D在B的北偏东53°的方向上，已知D在C正北方向上，即CD∥AB，AC＝50米，求古树C、D之间的距离．（结果保留到0.1米，参考数据：≈1.41，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32）
20．（10分）二次函数y＝ax2+bx+4的部分对应值如表所示：
x
…
0
1
2
3
4
…
y＝ax2+bx+4
…
4
6
6
4
0
…
（1）求二次函数的解析式，并求其图象的对称轴；
（2）点（m，y1）、（2﹣m，y2）是其图象上的两点，若m＞，则y1 y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
21．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．
（1）求证：CE⊥DE；
（2）若AB＝10，tanA＝，求DE的长．
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．（12分）已知，如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴交于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，与x轴交于点C．
（1）求b、c的值，并求直线BC的解析式；
（2）点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AB、BC于点M、N，连接CM，小明认为：当△CMN面积最大时，线段PN的长度最大，小明的想法对吗？请说明理由．
八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）
23．（14分）如图1，△ABC≌△DAE，∠BAC＝∠ADE＝90°．
（1）连接CE，若AB＝1，点B、C、E在同一条直线上，求AC的长；
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2，BC与AD交于点F，BC的延长线与AE交于点N，
过点D，作DM∥AE交BC于点M．
求证：①BM＝DM；
②MN2＝NF•NB．
2021-2022学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．（4分）已知线段a、b、c满足，其中a＝4cm，b＝12cm，则c的长度为（ ）
A．9cm B．18cm C．24cm D．36cm
【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：b＝b：c，可得b2＝ac＝144，故c的值可求．
【解答】解：∵a：b＝b：c，a＝4cm，b＝12cm，
∴b2＝ac＝4c＝144，
解得c＝36，
故选：D．
3．（4分）已知反比例函数的解析式为y＝，则它的图象经过点（ ）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣2，3）
【分析】根据得k＝xy＝﹣6，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于﹣6，就在函数图象上．
【解答】解：∵，
∴k＝xy＝﹣6，
A．xy＝1×3＝3≠k，不符合题意；
B．xy＝1×（﹣3）＝﹣3≠k，不合题意；
C．xy＝﹣1×3＝﹣3≠k，不合题意；
D．xy＝﹣2×3＝﹣6＝k，符合题意．
故选：D．
4．（4分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、O、B均在格点上，则tan∠AOB的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】连接AB，在直角△AOB中利用正切函数的定义即可求解．
【解答】解：如图，连接AB．
在直角△AOB中，∵∠OBA＝90°，AB＝2，OB＝4，
∴tan∠AOB＝＝＝．
故选：A．
5．（4分）将函数y＝2x2+4x+1的图象向下平移两个单位，以下结论正确的是（ ）
A．开口方向改变 B．对称轴位置改变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．
【解答】解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，a不变，开口方向不变，故不符合题意．
B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．
C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则y随x的变化情况不变，故符合题意．
D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故不符合题意．
故选：C．
6．（4分）如图，▱BDEF顶点D、E、F分别在△ABC的三边上，则下列比例式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例、比例的性质对以下选项进行一一验证．
【解答】解：∵四边形BDEF是平行四边形，
∴DE∥BC，EF∥AB，DE＝BF、BD＝FE．
A．∵DE∥BC，
∴＝，故A选项正确；
B．∵DE∥BC，
∴＝，故B选项正确；
C．∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，∠ADE＝∠B，
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠EFC，
∴∠ADE＝∠EFC，
∴△ADE∽△EFC，
∴＝，故C选项正确；
D．∵DE∥BC，
∴＝＝，故D选项错误；
故选：D．
7．（4分）如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°，测角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ）
A．16.5米 B．（10+1.5）米
C．（15+1.5）米 D．（15+1.5）米
【分析】过点A作AE⊥BC，E为垂足，由锐角三角函数的定义求出BE的长，再由BC＝CE+BE即可得出结论．
【解答】解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：
则四边形ADCE为矩形，AE＝30米，
∴CE＝AD＝1.5米，
在Rt△ABE中，tanα＝＝tan30°＝，
∴BE＝AE＝×30＝10（米），
∴BC＝BE+CE＝（10+1.5）米，
故选：B．
8．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOB＝40°，BC∥OA，则∠ADC的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】根据平行线的性质求出∠OBC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠OBA，进而求出∠ABC，再根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵BC∥OA，∠AOB＝40°，
∴∠OBC＝∠AOB＝40°，
∵OA＝OB，∠AOB＝40°，
∴∠OBA＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ABC＝∠OBA+∠OBC＝40°+70°＝110°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，
故选：C．
9．（4分）在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数解析式y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
【解答】解：当y＝0时，即y＝﹣x2+x+＝0，
解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．
故选：C．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4．点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．﹣2
【分析】如图，取AC的中点T，连接DT，MT．利用三角形的中位线定理求出DT，利用直角三角形的中线的性质求出MT，再根据DM≥MT﹣DT，可得结论．
【解答】解：如图，取AC的中点T，连接DT，MT．
∵AD＝DB，AT＝TC，
∴DT＝BC＝2，
∵CE⊥AF，
∴∠AMC＝90°，
∴TM＝AC＝3，
∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆，
∴DM≥TM﹣DT＝3﹣2＝1，
∴DM的最小值为1，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）二次函数y＝x2﹣3的顶点坐标是 （0，﹣3） ．
【分析】根据顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），找出h，k即可得出答案．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣3的顶点坐标为（0，﹣3），
故答案为（0，﹣3）．
12．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝4，CD＝2，则BE的长度是 2﹣ ．
【分析】求出半径为2，根据垂径定理求出CE，再根据勾股定理求出OE即可．
【解答】解：∵直径AB＝4，
∴半径OC＝OB＝2，
∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝2，
∴CE＝DE＝，∠OEC＝90°，
由勾股定理得：OE＝＝＝，
∴BE＝OB﹣OE＝2﹣，
故答案为：2﹣．
13．（5分）已知点A是y＝（x＞0）图象上的一点，点B是x轴负半轴上一点，连接AB，交y轴于点C，若AC＝BC，S△BOC＝1，则k的值是 4 ．
【分析】连接OA，作AD⊥x轴于D，则AD∥OC，根据题意得出2OC＝AD，然后根据三角形面积公式以及反比例函数系数k的几何意义求得即可．
【解答】解：连接OA，作AD⊥x轴于D，则AD∥OC，
∵AC＝BC，
∴BO＝DO，
∴2OC＝AD，
∵S△BOC＝BO•OC＝1，
∴S△AOD＝OD•AD＝BO•2OC＝2，
∵点A是y＝（x＞0）图象上的一点，
∴S△AOD＝|k|，
∴|k|＝2，
∴k＝±4，
∵在第一象限，
∴k＝4．
故答案为：4．
14．（5分）如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，CD平分∠ACB交AB于点D，点M是AC上一动点（AM＜AC），将△ADM沿DM折叠得到△EDM，点A的对应点为点E，ED与AC交于点F．
（1）CD的长度是 5 ；
（2）若ME∥CD，则AM的长度是 2.5 ．
【分析】（1）根据已知条件可得∠ACD＝∠A＝∠BCD，所以AD＝CD，然后证明△ABC∽△CBD，进而可以解决问题；
（2）由翻折可得DE＝AD＝5，∠E＝∠A，由ME∥CD，可得∠E＝∠EDC，∠EMC＝∠ACD，根据等腰三角形的性质可得CM＝DE＝5，再根据△ABC∽△CBD，得AC＝7.5，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝2∠BCD，
∵∠ACB＝2∠A，
∴∠ACD＝∠A＝∠BCD，
∴AD＝CD，
∵∠A＝∠BCD，∠B＝∠B，
∴△ABC∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝9﹣4＝5，
∴CD＝AD＝5．
∴CD的长度是5．
故答案为：5；
（2）由翻折可知：DE＝AD＝5，∠E＝∠A，
∴∠E＝∠ACD，
∵ME∥CD，
∴∠E＝∠EDC，∠EMC＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠EDC，∠EMC＝∠E，
∴FC＝FD，FE＝FM，
∴FC+FM＝FD+EF，
∴CM＝DE＝5，
∵△ABC∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝7.5，
∴AM＝AC﹣CM＝7.5﹣5＝2.5．
∴AM的长度是2.5．
故答案为：2.5；
三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．（8分）计算：sin45°•cos45°﹣tan60°÷cos30°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：sin45°•cos45°﹣tan60°÷cos30°
＝×﹣÷
＝﹣2
＝﹣．
16．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC和格点O．
（1）以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A2B2C2，画出△A2B2C2．
【分析】（1）利用相似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．（8分）已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的图象交于点A（3，m）、B（n，﹣3）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）在图中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出y1＞y2的自变量x的范围．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m的值，把B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，然后把A、B的坐标代入y1＝kx+b，利用待定系数法求出一次函数的解析式，
（2）结合图象和A、B的坐标即可求出答案；
【解答】解：（1）∵反比例函数y2＝的图象经过点A（3，m），B（n，﹣3），
∴m＝＝2，﹣3＝，
∴m＝2，n＝﹣2，
∴A（3，2），B（﹣2，﹣3），
∵一次函数y2＝kx+b的图象经过A、B点，
∴，
解得．
故一次函数的解析式为y＝x﹣1；
（2）由图象可知，y1＞y2时x＞3或﹣2＜x＜0．
18．（8分）已知，如图，AB∥DC，∠ABC+∠ADB＝180°．
（1）求证：△ABD∽△BDC；
（2）若AE平分∠DAB，BF平分∠DBC，且BF＝2AE，S△ABD＝3，求S△BDC．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ABD＝BDC，∠ABC+∠C＝180°，进而可以解决问题；
（2）根据相似三角形面积比等于相似比的平方，角平分线的比等于相似比，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠ABD＝BDC，∠ABC+∠C＝180°，
∵∠ABC+∠ADB＝180°，
∴∠C＝∠ADB，
∴△ABD∽△BDC；
（2）解：∵△ABD∽△BDC，AE平分∠DAB，BF平分∠DBC，BF＝2AE，
∴＝（）2＝（）2＝（）2＝，
∵S△ABD＝3，
∴S△BDC＝4S△ABD＝12；
五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．（10分）数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古树C在A的东北方向；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，古树D在B的北偏东53°的方向上，已知D在C正北方向上，即CD∥AB，AC＝50米，求古树C、D之间的距离．（结果保留到0.1米，参考数据：≈1.41，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32）
【分析】过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，根据矩形的性质得到BE＝CF，CE＝BF，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，
则四边形BFCE是矩形，
∴BE＝CF，CE＝BF，
∵∠CAF＝45°，∠AFC＝90°，
∴CF＝AF＝AC＝50，
∵∠CBF＝63.5°，
∴BF＝CE＝≈＝25（米），
∵CD∥AB，
∴∠D＝53°，
∵∠BED＝90°，
∴DE＝≈≈37.9（米），
∴CD＝CE+DE＝62.9（米），
答：古树C、D之间的距离约为62.9米．
20．（10分）二次函数y＝ax2+bx+4的部分对应值如表所示：
x
…
0
1
2
3
4
…
y＝ax2+bx+4
…
4
6
6
4
0
…
（1）求二次函数的解析式，并求其图象的对称轴；
（2）点（m，y1）、（2﹣m，y2）是其图象上的两点，若m＞，则y1 ＞ y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】（1）通过待定系数法求函数解析式，再根据对称轴为直线x＝﹣求解．
（2）根据抛物线开口方向，对称轴位置，及点（m，y1）、（2﹣m，y2）与对称轴的距离求解．
【解答】解：（1）将x＝4，y＝0与x＝1，y＝6代入y＝ax2+bx+4得，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝．
（2）若m＞，则m﹣＞2﹣m﹣，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
21．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．
（1）求证：CE⊥DE；
（2）若AB＝10，tanA＝，求DE的长．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DE，求得∠ODE＝90°，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得到∠ODC＝∠BCD，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠ODC＝∠OCD，根据全等三角形的性质得到CD＝AD，根据三角函数的定义和相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵CD平分∠OCB，
∴∠BCD＝∠OCD，
∴∠ODC＝∠BCD，
∴OD∥CE，
∴∠DEC＝90°，
∴CE⊥DE；
（2）解：∵OD∥CE，
∴∠ODC＝∠DCE，
∵OD＝OA，OC＝OD，
∴∠A＝∠ADO，∠ODC＝∠OCD，
∵∠A＝∠DCE，
∴∠A＝∠OCD＝∠ADO＝∠CDO，
∵OA＝OC，
∴△ADO≌△CDO（AAS），
∴CD＝AD，
∵tanA＝，AB＝10，
∴BD＝，AD＝3，
∴CD＝AD＝3，
∵∠A＝∠DCE，∠ADB＝∠E＝90°，
∴△ADB∽△CED，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝3；
故DE的长为3．
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．（12分）已知，如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴交于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，与x轴交于点C．
（1）求b、c的值，并求直线BC的解析式；
（2）点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AB、BC于点M、N，连接CM，小明认为：当△CMN面积最大时，线段PN的长度最大，小明的想法对吗？请说明理由．
【分析】（1）先求出A，B坐标，再把A，B坐标代入y＝x2+bx+c，求出b，c的值；然后写出抛物线解析式，令y＝0，解方程求出点C坐标，在用待定系数法求直线BC的解析式；
（2）设P（x，x2+x+4），则N（x，﹣x+4）、M（x，2x+4），根据三角形的面积公式得出S关于x的解析式，再根据函数的性质求出当x＝2时，S最大，再求PN＝x2+x+4+x﹣4＝﹣（x﹣2）2+2，根据函数的性质，当x＝2时PN最大，从而得出结论．
【解答】解：（1）∵直线AB的解析式为y＝2x+4，
令y＝0，则2x+4＝0，
解得：x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
把A，B坐标代入抛物线y＝x2+bx+c得：
，
解得：，
∴y＝﹣x2+x+4，
令y＝0，则0＝﹣x2+x+4，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴C（4，0）．
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B，C坐标代入解析式得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；
（2）小明的想法正确，理由如下：
设P（x，x2+x+4），则N（x，﹣x+4）、M（x，2x+4）
S△CMN＝×（4﹣x）×（2x+4+x﹣4）＝﹣（x﹣2）2+6，
∵﹣＜0，
∴当x＝2时，S有最大值，最大值为6，
此时PN＝x2+x+4+x﹣4＝﹣（x﹣2）2+2，
∴当x＝2时，PN最大＝2，
∴当△CMN面积最大时，线段PN的长度最大，
∴小明的说法正确．
八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）
23．（14分）如图1，△ABC≌△DAE，∠BAC＝∠ADE＝90°．
（1）连接CE，若AB＝1，点B、C、E在同一条直线上，求AC的长；
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2，BC与AD交于点F，BC的延长线与AE交于点N，
过点D，作DM∥AE交BC于点M．
求证：①BM＝DM；
②MN2＝NF•NB．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AD＝AB＝1，AC＝DE，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）证明：①连接BD，根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠DAE，AB＝DA，根据平行线的性质得到∠MDA＝∠DAE，根据等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB，于是得到答案；
②连接MA，由①知，BM＝DM，AB＝DA，根据全等三角形的性质得到∠BAM＝∠DAM，由①知，∠ABC＝∠DAE，得到MN＝AN，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）解：∵△ABC≌△DAE，
∴AD＝AB＝1，AC＝DE，
∵∠BAC＝∠ADE＝90°，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽△DEC，
＝，
∴＝，
解得AC＝；
（2）证明：①连接BD，
∵△ABC≌△DAE，
∴∠ABC＝∠DAE，AB＝DA，
∵DM∥AE，
∴∠MDA＝∠DAE，
∴∠ABC＝∠MDA，
∵AB＝DA，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD﹣∠ABC＝∠ADB﹣∠MDA，
∴∠MBD＝∠MDB，
∴BM＝DM；
②连接MA，
由①知，BM＝DM，AB＝DA，
∵AM＝AM，
∴△AMB≌△AMD（SSS），
∴∠BAM＝∠DAM，
由①知，∠ABC＝∠DAE，
∴∠ABC+∠BAM＝∠DAE+∠DAM，
∴∠AMN＝∠NAM，
∴MN＝AN，
∵∠BNA＝∠ANF，∠ABC＝∠DAE，
∴△ANF∽△BNA，
∴，
∴AN2＝BN•NF，
∴MN2＝NF•NB．
2021-2022学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）已知线段a、b、c满足，其中a＝4cm，b＝12cm，则c的长度为（ ）
A．9cm B．18cm C．24cm D．36cm
3．（4分）已知反比例函数的解析式为y＝，则它的图象经过点（ ）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣2，3）
4．（4分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、O、B均在格点上，则tan∠AOB的值是（ ）
A． B．2 C． D．
5．（4分）将函数y＝2x2+4x+1的图象向下平移两个单位，以下结论正确的是（ ）
A．开口方向改变 B．对称轴位置改变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
6．（4分）如图，▱BDEF顶点D、E、F分别在△ABC的三边上，则下列比例式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°，测角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ）
A．16.5米 B．（10+1.5）米
C．（15+1.5）米 D．（15+1.5）米
8．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOB＝40°，BC∥OA，则∠ADC的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
9．（4分）在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数解析式y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4．点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．﹣2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）二次函数y＝x2﹣3的顶点坐标是 ．
12．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝4，CD＝2，则BE的长度是 ．
13．（5分）已知点A是y＝（x＞0）图象上的一点，点B是x轴负半轴上一点，连接AB，交y轴于点C，若AC＝BC，S△BOC＝1，则k的值是 ．
14．（5分）如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，CD平分∠ACB交AB于点D，点M是AC上一动点（AM＜AC），将△ADM沿DM折叠得到△EDM，点A的对应点为点E，ED与AC交于点F．
（1）CD的长度是 ；
（2）若ME∥CD，则AM的长度是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．（8分）计算：sin45°•cos45°﹣tan60°÷cos30°．
16．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC和格点O．
（1）以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A2B2C2，画出△A2B2C2．
四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．（8分）已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的图象交于点A（3，m）、B（n，﹣3）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）在图中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出y1＞y2的自变量x的范围．
18．（8分）已知，如图，AB∥DC，∠ABC+∠ADB＝180°．
（1）求证：△ABD∽△BDC；
（2）若AE平分∠DAB，BF平分∠DBC，且BF＝2AE，S△ABD＝3，求S△BDC．
五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．（10分）数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古树C在A的东北方向；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，古树D在B的北偏东53°的方向上，已知D在C正北方向上，即CD∥AB，AC＝50米，求古树C、D之间的距离．（结果保留到0.1米，参考数据：≈1.41，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32）
20．（10分）二次函数y＝ax2+bx+4的部分对应值如表所示：
x
…
0
1
2
3
4
…
y＝ax2+bx+4
…
4
6
6
4
0
…
（1）求二次函数的解析式，并求其图象的对称轴；
（2）点（m，y1）、（2﹣m，y2）是其图象上的两点，若m＞，则y1 y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
21．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．
（1）求证：CE⊥DE；
（2）若AB＝10，tanA＝，求DE的长．
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．（12分）已知，如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴交于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，与x轴交于点C．
（1）求b、c的值，并求直线BC的解析式；
（2）点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AB、BC于点M、N，连接CM，小明认为：当△CMN面积最大时，线段PN的长度最大，小明的想法对吗？请说明理由．
八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）
23．（14分）如图1，△ABC≌△DAE，∠BAC＝∠ADE＝90°．
（1）连接CE，若AB＝1，点B、C、E在同一条直线上，求AC的长；
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2，BC与AD交于点F，BC的延长线与AE交于点N，
过点D，作DM∥AE交BC于点M．
求证：①BM＝DM；
②MN2＝NF•NB．
2021-2022学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．（4分）已知线段a、b、c满足，其中a＝4cm，b＝12cm，则c的长度为（ ）
A．9cm B．18cm C．24cm D．36cm
【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：b＝b：c，可得b2＝ac＝144，故c的值可求．
【解答】解：∵a：b＝b：c，a＝4cm，b＝12cm，
∴b2＝ac＝4c＝144，
解得c＝36，
故选：D．
3．（4分）已知反比例函数的解析式为y＝，则它的图象经过点（ ）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣2，3）
【分析】根据得k＝xy＝﹣6，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于﹣6，就在函数图象上．
【解答】解：∵，
∴k＝xy＝﹣6，
A．xy＝1×3＝3≠k，不符合题意；
B．xy＝1×（﹣3）＝﹣3≠k，不合题意；
C．xy＝﹣1×3＝﹣3≠k，不合题意；
D．xy＝﹣2×3＝﹣6＝k，符合题意．
故选：D．
4．（4分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、O、B均在格点上，则tan∠AOB的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】连接AB，在直角△AOB中利用正切函数的定义即可求解．
【解答】解：如图，连接AB．
在直角△AOB中，∵∠OBA＝90°，AB＝2，OB＝4，
∴tan∠AOB＝＝＝．
故选：A．
5．（4分）将函数y＝2x2+4x+1的图象向下平移两个单位，以下结论正确的是（ ）
A．开口方向改变 B．对称轴位置改变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．
【解答】解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，a不变，开口方向不变，故不符合题意．
B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．
C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则y随x的变化情况不变，故符合题意．
D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故不符合题意．
故选：C．
6．（4分）如图，▱BDEF顶点D、E、F分别在△ABC的三边上，则下列比例式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例、比例的性质对以下选项进行一一验证．
【解答】解：∵四边形BDEF是平行四边形，
∴DE∥BC，EF∥AB，DE＝BF、BD＝FE．
A．∵DE∥BC，
∴＝，故A选项正确；
B．∵DE∥BC，
∴＝，故B选项正确；
C．∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，∠ADE＝∠B，
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠EFC，
∴∠ADE＝∠EFC，
∴△ADE∽△EFC，
∴＝，故C选项正确；
D．∵DE∥BC，
∴＝＝，故D选项错误；
故选：D．
7．（4分）如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°，测角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ）
A．16.5米 B．（10+1.5）米
C．（15+1.5）米 D．（15+1.5）米
【分析】过点A作AE⊥BC，E为垂足，由锐角三角函数的定义求出BE的长，再由BC＝CE+BE即可得出结论．
【解答】解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：
则四边形ADCE为矩形，AE＝30米，
∴CE＝AD＝1.5米，
在Rt△ABE中，tanα＝＝tan30°＝，
∴BE＝AE＝×30＝10（米），
∴BC＝BE+CE＝（10+1.5）米，
故选：B．
8．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOB＝40°，BC∥OA，则∠ADC的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】根据平行线的性质求出∠OBC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠OBA，进而求出∠ABC，再根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵BC∥OA，∠AOB＝40°，
∴∠OBC＝∠AOB＝40°，
∵OA＝OB，∠AOB＝40°，
∴∠OBA＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ABC＝∠OBA+∠OBC＝40°+70°＝110°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，
故选：C．
9．（4分）在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数解析式y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
【解答】解：当y＝0时，即y＝﹣x2+x+＝0，
解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．
故选：C．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4．点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．﹣2
【分析】如图，取AC的中点T，连接DT，MT．利用三角形的中位线定理求出DT，利用直角三角形的中线的性质求出MT，再根据DM≥MT﹣DT，可得结论．
【解答】解：如图，取AC的中点T，连接DT，MT．
∵AD＝DB，AT＝TC，
∴DT＝BC＝2，
∵CE⊥AF，
∴∠AMC＝90°，
∴TM＝AC＝3，
∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆，
∴DM≥TM﹣DT＝3﹣2＝1，
∴DM的最小值为1，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）二次函数y＝x2﹣3的顶点坐标是 （0，﹣3） ．
【分析】根据顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），找出h，k即可得出答案．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣3的顶点坐标为（0，﹣3），
故答案为（0，﹣3）．
12．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝4，CD＝2，则BE的长度是 2﹣ ．
【分析】求出半径为2，根据垂径定理求出CE，再根据勾股定理求出OE即可．
【解答】解：∵直径AB＝4，
∴半径OC＝OB＝2，
∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝2，
∴CE＝DE＝，∠OEC＝90°，
由勾股定理得：OE＝＝＝，
∴BE＝OB﹣OE＝2﹣，
故答案为：2﹣．
13．（5分）已知点A是y＝（x＞0）图象上的一点，点B是x轴负半轴上一点，连接AB，交y轴于点C，若AC＝BC，S△BOC＝1，则k的值是 4 ．
【分析】连接OA，作AD⊥x轴于D，则AD∥OC，根据题意得出2OC＝AD，然后根据三角形面积公式以及反比例函数系数k的几何意义求得即可．
【解答】解：连接OA，作AD⊥x轴于D，则AD∥OC，
∵AC＝BC，
∴BO＝DO，
∴2OC＝AD，
∵S△BOC＝BO•OC＝1，
∴S△AOD＝OD•AD＝BO•2OC＝2，
∵点A是y＝（x＞0）图象上的一点，
∴S△AOD＝|k|，
∴|k|＝2，
∴k＝±4，
∵在第一象限，
∴k＝4．
故答案为：4．
14．（5分）如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，CD平分∠ACB交AB于点D，点M是AC上一动点（AM＜AC），将△ADM沿DM折叠得到△EDM，点A的对应点为点E，ED与AC交于点F．
（1）CD的长度是 5 ；
（2）若ME∥CD，则AM的长度是 2.5 ．
【分析】（1）根据已知条件可得∠ACD＝∠A＝∠BCD，所以AD＝CD，然后证明△ABC∽△CBD，进而可以解决问题；
（2）由翻折可得DE＝AD＝5，∠E＝∠A，由ME∥CD，可得∠E＝∠EDC，∠EMC＝∠ACD，根据等腰三角形的性质可得CM＝DE＝5，再根据△ABC∽△CBD，得AC＝7.5，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝2∠BCD，
∵∠ACB＝2∠A，
∴∠ACD＝∠A＝∠BCD，
∴AD＝CD，
∵∠A＝∠BCD，∠B＝∠B，
∴△ABC∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝9﹣4＝5，
∴CD＝AD＝5．
∴CD的长度是5．
故答案为：5；
（2）由翻折可知：DE＝AD＝5，∠E＝∠A，
∴∠E＝∠ACD，
∵ME∥CD，
∴∠E＝∠EDC，∠EMC＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠EDC，∠EMC＝∠E，
∴FC＝FD，FE＝FM，
∴FC+FM＝FD+EF，
∴CM＝DE＝5，
∵△ABC∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝7.5，
∴AM＝AC﹣CM＝7.5﹣5＝2.5．
∴AM的长度是2.5．
故答案为：2.5；
三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．（8分）计算：sin45°•cos45°﹣tan60°÷cos30°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：sin45°•cos45°﹣tan60°÷cos30°
＝×﹣÷
＝﹣2
＝﹣．
16．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC和格点O．
（1）以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A2B2C2，画出△A2B2C2．
【分析】（1）利用相似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．（8分）已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的图象交于点A（3，m）、B（n，﹣3）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）在图中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出y1＞y2的自变量x的范围．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m的值，把B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，然后把A、B的坐标代入y1＝kx+b，利用待定系数法求出一次函数的解析式，
（2）结合图象和A、B的坐标即可求出答案；
【解答】解：（1）∵反比例函数y2＝的图象经过点A（3，m），B（n，﹣3），
∴m＝＝2，﹣3＝，
∴m＝2，n＝﹣2，
∴A（3，2），B（﹣2，﹣3），
∵一次函数y2＝kx+b的图象经过A、B点，
∴，
解得．
故一次函数的解析式为y＝x﹣1；
（2）由图象可知，y1＞y2时x＞3或﹣2＜x＜0．
18．（8分）已知，如图，AB∥DC，∠ABC+∠ADB＝180°．
（1）求证：△ABD∽△BDC；
（2）若AE平分∠DAB，BF平分∠DBC，且BF＝2AE，S△ABD＝3，求S△BDC．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ABD＝BDC，∠ABC+∠C＝180°，进而可以解决问题；
（2）根据相似三角形面积比等于相似比的平方，角平分线的比等于相似比，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠ABD＝BDC，∠ABC+∠C＝180°，
∵∠ABC+∠ADB＝180°，
∴∠C＝∠ADB，
∴△ABD∽△BDC；
（2）解：∵△ABD∽△BDC，AE平分∠DAB，BF平分∠DBC，BF＝2AE，
∴＝（）2＝（）2＝（）2＝，
∵S△ABD＝3，
∴S△BDC＝4S△ABD＝12；
五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．（10分）数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古树C在A的东北方向；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，古树D在B的北偏东53°的方向上，已知D在C正北方向上，即CD∥AB，AC＝50米，求古树C、D之间的距离．（结果保留到0.1米，参考数据：≈1.41，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32）
【分析】过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，根据矩形的性质得到BE＝CF，CE＝BF，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，
则四边形BFCE是矩形，
∴BE＝CF，CE＝BF，
∵∠CAF＝45°，∠AFC＝90°，
∴CF＝AF＝AC＝50，
∵∠CBF＝63.5°，
∴BF＝CE＝≈＝25（米），
∵CD∥AB，
∴∠D＝53°，
∵∠BED＝90°，
∴DE＝≈≈37.9（米），
∴CD＝CE+DE＝62.9（米），
答：古树C、D之间的距离约为62.9米．
20．（10分）二次函数y＝ax2+bx+4的部分对应值如表所示：
x
…
0
1
2
3
4
…
y＝ax2+bx+4
…
4
6
6
4
0
…
（1）求二次函数的解析式，并求其图象的对称轴；
（2）点（m，y1）、（2﹣m，y2）是其图象上的两点，若m＞，则y1 ＞ y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】（1）通过待定系数法求函数解析式，再根据对称轴为直线x＝﹣求解．
（2）根据抛物线开口方向，对称轴位置，及点（m，y1）、（2﹣m，y2）与对称轴的距离求解．
【解答】解：（1）将x＝4，y＝0与x＝1，y＝6代入y＝ax2+bx+4得，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝．
（2）若m＞，则m﹣＞2﹣m﹣，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
21．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．
（1）求证：CE⊥DE；
（2）若AB＝10，tanA＝，求DE的长．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DE，求得∠ODE＝90°，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得到∠ODC＝∠BCD，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠ODC＝∠OCD，根据全等三角形的性质得到CD＝AD，根据三角函数的定义和相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵CD平分∠OCB，
∴∠BCD＝∠OCD，
∴∠ODC＝∠BCD，
∴OD∥CE，
∴∠DEC＝90°，
∴CE⊥DE；
（2）解：∵OD∥CE，
∴∠ODC＝∠DCE，
∵OD＝OA，OC＝OD，
∴∠A＝∠ADO，∠ODC＝∠OCD，
∵∠A＝∠DCE，
∴∠A＝∠OCD＝∠ADO＝∠CDO，
∵OA＝OC，
∴△ADO≌△CDO（AAS），
∴CD＝AD，
∵tanA＝，AB＝10，
∴BD＝，AD＝3，
∴CD＝AD＝3，
∵∠A＝∠DCE，∠ADB＝∠E＝90°，
∴△ADB∽△CED，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝3；
故DE的长为3．
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．（12分）已知，如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴交于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，与x轴交于点C．
（1）求b、c的值，并求直线BC的解析式；
（2）点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AB、BC于点M、N，连接CM，小明认为：当△CMN面积最大时，线段PN的长度最大，小明的想法对吗？请说明理由．
【分析】（1）先求出A，B坐标，再把A，B坐标代入y＝x2+bx+c，求出b，c的值；然后写出抛物线解析式，令y＝0，解方程求出点C坐标，在用待定系数法求直线BC的解析式；
（2）设P（x，x2+x+4），则N（x，﹣x+4）、M（x，2x+4），根据三角形的面积公式得出S关于x的解析式，再根据函数的性质求出当x＝2时，S最大，再求PN＝x2+x+4+x﹣4＝﹣（x﹣2）2+2，根据函数的性质，当x＝2时PN最大，从而得出结论．
【解答】解：（1）∵直线AB的解析式为y＝2x+4，
令y＝0，则2x+4＝0，
解得：x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
把A，B坐标代入抛物线y＝x2+bx+c得：
，
解得：，
∴y＝﹣x2+x+4，
令y＝0，则0＝﹣x2+x+4，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴C（4，0）．
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B，C坐标代入解析式得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；
（2）小明的想法正确，理由如下：
设P（x，x2+x+4），则N（x，﹣x+4）、M（x，2x+4）
S△CMN＝×（4﹣x）×（2x+4+x﹣4）＝﹣（x﹣2）2+6，
∵﹣＜0，
∴当x＝2时，S有最大值，最大值为6，
此时PN＝x2+x+4+x﹣4＝﹣（x﹣2）2+2，
∴当x＝2时，PN最大＝2，
∴当△CMN面积最大时，线段PN的长度最大，
∴小明的说法正确．
八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）
23．（14分）如图1，△ABC≌△DAE，∠BAC＝∠ADE＝90°．
（1）连接CE，若AB＝1，点B、C、E在同一条直线上，求AC的长；
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2，BC与AD交于点F，BC的延长线与AE交于点N，
过点D，作DM∥AE交BC于点M．
求证：①BM＝DM；
②MN2＝NF•NB．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AD＝AB＝1，AC＝DE，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）证明：①连接BD，根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠DAE，AB＝DA，根据平行线的性质得到∠MDA＝∠DAE，根据等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB，于是得到答案；
②连接MA，由①知，BM＝DM，AB＝DA，根据全等三角形的性质得到∠BAM＝∠DAM，由①知，∠ABC＝∠DAE，得到MN＝AN，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）解：∵△ABC≌△DAE，
∴AD＝AB＝1，AC＝DE，
∵∠BAC＝∠ADE＝90°，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽△DEC，
＝，
∴＝，
解得AC＝；
（2）证明：①连接BD，
∵△ABC≌△DAE，
∴∠ABC＝∠DAE，AB＝DA，
∵DM∥AE，
∴∠MDA＝∠DAE，
∴∠ABC＝∠MDA，
∵AB＝DA，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD﹣∠ABC＝∠ADB﹣∠MDA，
∴∠MBD＝∠MDB，
∴BM＝DM；
②连接MA，
由①知，BM＝DM，AB＝DA，
∵AM＝AM，
∴△AMB≌△AMD（SSS），
∴∠BAM＝∠DAM，
由①知，∠ABC＝∠DAE，
∴∠ABC+∠BAM＝∠DAE+∠DAM，
∴∠AMN＝∠NAM，
∴MN＝AN，
∵∠BNA＝∠ANF，∠ABC＝∠DAE，
∴△ANF∽△BNA，
∴，
∴AN2＝BN•NF，
∴MN2＝NF•NB．
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