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广东省广州市越秀区铁一中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
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2021-2022学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）
1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的知识，在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2. 下面四组线段中，成比例的是（ ）
A. a＝1，b＝2，c＝2，d＝4 B. a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
C. a＝4，b＝6，c＝8，d＝10 D.
【答案】A
【解析】
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、1×4＝2×2，故选项符合题意；
B、2×5≠3×4，故选项不符合题意；
C、4×10≠6×8，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一．
3. 下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上；②13个人中至少有两个人生肖相同；
③某人买彩票中奖；④任意买一张电影票，座位号是2的倍数．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；
必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上，是随机事件；
②13个人中至少有两个人生肖相同，是必然事件；
③某人买彩票中奖，是随机事件；
④任意买一张电影票，座位号是2的倍数，是随机事件，
故①③④是随机事件，共3个
故选C
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件，理解事件发生的可能性的大小是解题的关键．
4. 已知⊙O的半径为6，A为线段PO的中点，当OP＝12时，点A与⊙O的位置关系为（ ）
A. 点A在⊙O上 B. 点A在⊙O外
C. 点A在⊙O内 D. 点A与⊙O位置不确定
【答案】A
【解析】
【分析】利用OP=12，A为线段PO的中点，则OA=6，因而点A与⊙O的位置关系为：点在圆上．
【详解】解：∵OA=OP=6，
∴OA=⊙O半径，
∴点A与⊙O的位置关系为：点在圆上．
故选：A．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．
5. 如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝4，OB＝8，则AB的长为（ ）
A. 4 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先根据垂径定理得出AB=2BE，再由CE=4，OB=8得出OE的长，根据勾股定理求出BE的长即可得出结论．
【详解】解：∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，
∴AB=2BE．
∵CE=4，OB=8，
∴OE=8-4=4，
∴BE=，
∴AB=．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
6. 若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2＋4x﹣1的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y3＜y2
【答案】B
【解析】
【分析】分别计算出自变量为-4，-3和1所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【详解】解：∵当x=-4时，y1=x2+4x-1=16-16-1=-1；
当x=-3时，y2=x2+4x-1=9-12-1=-4；
当x=1时，y3=x2+4x-1=1+4-1=4；
∴y2＜y1＜y3，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
7. 根据下列表格对应值：
判断关于x的方程的一个解的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由表格可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得出答案．
【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根，
∴的一个解的取值范围为．
故选：C．
【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解．解题的关键是理解和掌握二次函数图像和一元二次方程的关系．
8. 如图，正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为1．当y1
A. x<-1或x>1 B. -11 C. -1
【解析】
【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．
【详解】解：如图：
∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵点A的横坐标为1，
∴点B的横坐标为−1，
∵由函数图象可知，当x<-1或0
【点睛】本题考查的是反比例函数与正比例函数的交点问题，能根据数形结合求出y1
A. 3s或4.8s B. 3s C. 4.5s D. 4.5s或4.8s
【答案】A
【解析】
【分析】分当△ADE∽△ABC时和当△ADE∽△ACB时两种情况，利用相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：由题意得：，，
∴
当△ADE∽△ABC时，
即，
解得；
当△ADE∽△ACB时，
即，
解得；
综上所述，当运动时间是3s或4.8s时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，
故选A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想进行求解．
10. 如图，F为正方形ABCD的边CD上一动点，AB＝2．连接BF，过A作AH⊥BF交BC于H，交BF于G，连接CG，当CG为最小值时，CH的长为（ ）
A. B. C. 3﹣ D. 3+
【答案】C
【解析】
【分析】如图1中，取AB的中点O，连接OG，OC．首先证明O，G，C共线时，CG的值最小（如图2中），证明CF=CG=BH即可解决问题（图2中）．
【详解】解：如图中，取的中点，连接，．
四边形正方形，
，
，
，
，
，
，
∴点G在以AB为圆的圆的上运动，
，
，
，
当，，共线时，的值最小，CG最小值（如图2中），
，
，
∵四边形ABCD为正方形，
∴，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故选择：C．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，直径所对圆周角的性质，点C到圆上最短距离，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形与辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、选择题（每小题3分，共6小题，满分18分）
11. 若关于x的一元二次方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是___．
【答案】且k≠0.
【解析】
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△⩾0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，
∴k≠0且△=42+4k⩾0，
解得：且k≠0.
故答案为：且k≠0.
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△⩾0时，方程有实数根”是解题的关键．
12. 函数是反比例函数，则m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的定义．即，只需令，即可．
详解】解：由题意得：且，；
解得，又；
．
故答案是：．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是将一般式转化为的形式．
13. 如图所示，四边形内接于，为延长线上一点，，则______．
【答案】50°
【解析】
【分析】根据圆周角定理得到∠D=∠AOC=50°，根据圆内接四边形的性质得到答案．
【详解】由圆周角定理得，∠D=∠AOC=50°，
由圆内接四边形的性质得，∠CBE=∠D=50°；
答案应为：50°．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理的应用，解题的关键是掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．
14. 如图所示；将绕点A顺时针旋转n度到的位置，D在边上，若，则______度．
【答案】60
【解析】
【分析】根据旋转的性质和，得到△ABD是等边三角形，求出∠BAD=60°，问题得解．
【详解】解：∵绕点A顺时针旋转n度得到，
∴AB=AD，
∵，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=60°，
∴n=60°．
故答案为：60
【点睛】本题考查了旋转的性质和等边三角形的性质与判定，熟知旋转的性质是解题关键．
15. 飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是，飞机着陆后滑行________米才能停下来．
【答案】600
【解析】
【分析】将函数解析式配方成顶点式，求出函数的最大值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴当时，y有最大值600，
∴飞机着陆后滑行600米才能停下来，
故答案为：600．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键．
16. 抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断；①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则．其中结论正确的是___________．
【答案】②④⑤
【解析】
【分析】根据题意得到a、b、c的关系式，可以用a表示出b、c，进而得到含a的二次函数关系式，结合图像确定符号，对选项逐一判断即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即．
又∵抛物线经过点，
∴，∴．
∴抛物线的解析式亦可表示为．
由图，抛物线开口向下，则．
∴，，
∴①错误；
由抛物线的对称性知，抛物线与轴的另一个交点为，
因此，当自变量时，函数值，
∴②正确；
，∵，所∴，
即，
∴③错误；
，而，
∴，
∴④正确；
联立解析式：，
即，
得
，
∴，
∴⑤正确．
故答案为：②④⑤
【点睛】此题根据二次函数图像结合已知条件进行逐项判断，为二次函数中难度比较大的一类题型．一般方法是先根据图像判断a、b、c的符号，再根据题意表示出a、b、c的关系，最后结合函数与方程，不等式的知识进行解答．
三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：
解得：
【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解题关键．
18. 如图，点、在线段上，是等边三角形，且，求的度数．
【答案】120°．
【解析】
【详解】试题分析：根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的判定定理证明△ACP∽△ABP，根据相似三角形的性质得到答案．
解：∵△PCD等边三角形，
∴∠PCD=60°，
∴∠ACP=120°，
∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC=∠B，又∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABP，
∴∠APB=∠ACP=120°．
考点：相似三角形的性质．
19. 如图，点O，B的坐标分别是（0，0），（3，0）．将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1．
（1）画出平面直角坐标系和三角形△OA1B1；
（2）求旋转过程中点B走过的路径的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据点O的坐标确定直角坐标系，根据旋转的性质确定点A1、B1，顺次连线即可得到△OA1B1；
（2）利用弧长公式计算即可．
【详解】解：（1）如图，△OA1B1即为所求三角形；
（2）旋转过程中点B走过的路径的长=．
【点睛】此题考查了旋转作图，弧长的计算公式，正确掌握旋转的性质及弧长的计算公式是解题的关键．
20. 二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
……
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
……
y
……
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
……
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象；
（3）当函数值y＜0时，对应的x的取值范围是 ．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）-3
【分析】（1）设二次函数解析式为，利用待定系数法求解；
（2）利用描点法画图即可；
（3）利用表格及图象解答即可．
【详解】解：（1）设二次函数解析式为，
由表格可知，二次函数图象经过点（-3,0），（0，-3），（1,0），则
，解得，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）如图：
；
（3）由表格可知，当y=0时，x=-3及x=1；
由图象知，函数图象的开口向上，
∴当函数值y＜0时，对应x的取值范围是-3
21. 随着“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某数学兴趣小组随机调查了我区50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：
步数
频数
频率
0≤x＜4000
8
0.16
4000≤x＜8000
15
0.3
8000≤x＜12000
12
a
12000≤x＜16000
b
0.2
16000≤x＜20000
3
0.06
20000≤x＜24000
2
0.04
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出a，b的值并补全频数分布直方图；
（2）我市约有5000名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？
（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，用树形图或列表法求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．
【答案】（1）0.24，10，补全频数分布直方图见解析；（2）估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有1500名；（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数可得a、b的值；
（2）用总人数乘以样本中第4、5、6组的频率之和即可；
（3）步数超过16000步（包含16000步）的三名教师用A、B、C表示，步数超过20000步（包含20000步）的两名教师用a、b表示，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：（1）a＝12÷50＝0.24，b＝50×0.2＝10，
补全频数分布直方图如下：
（2）5000×（0.2+0.06+0.04）＝1500，
答：估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有1500名；
（3）步数超过16000步（包含16000步）的三名教师用A、B、C表示，步数超过20000步（包含20000步）的两名教师用a、b表示，
画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的结果数为2，
所以被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率＝＝．
【点睛】本题考查频数分布表及频数分布直方图、用样本估计总体、用树形图或列表法求概率等，读懂统计图及频数分布直方图的意义，熟练掌握用树形图求概率的步骤是解题的关键.
22. 随着疫情在国内趋稳，却在国外迎来爆发期，多国采购中国防疫物资需求大增．某工厂建了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：
（1）每天增长的百分率是多少？
（2）经过一段时间后，工厂发现1条生产线最大产能是900万个/天，但如果每增加1条生产线，由于资源调配等原因每条生产线的最大产能将减少30万个/天，现该厂要保证每天生产口罩3900万个，应该建几条生产线？
【答案】（1）每天增长的百分率是20%；（2）应该建5条生产线
【解析】
【分析】（1）设每天增长的百分率是x，然后根据开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，列出方程求解即可；
（2）设应该建y条生产线，然后根据每增加1条生产线，由于资源调配等原因每条生产线的最大产能将减少30万个/天，现该厂要保证每天生产口罩3900万个，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）设每天增长的百分率是x，
由题意得：，
解得，
∴每天增长的百分率是20%；
（2）设应该建y条生产线，
由题意得：，
整理得：，
解得或（舍去），
∴应该建5条生产线，
答：应该建5条生产线．
【点睛】本题主要考查可一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确理解题意列出方程求解．
23. 如图，一次函数y=-x+b与反比例函数y=（x> 0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）
（1）求b、k、m的值；
（2）根据图象直接写出-x+b< （x> 0）的解集；
（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．
【答案】（1）b=5、k=4、m=1；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）S最大=；S最小=2
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数和一次函数图像上的点的特征代入解析式即可求得的值；
（2）根据函数图象的交点直接写出直线在双曲线下方时，自变量的范围即可；
（3）
【详解】（1）一次函数y=-x+b与反比例函数y=（x> 0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）
解得，
解得
，，
（2）一次函数y=-x+b与反比例函数y=（x> 0）的图象交于点
-x+b< 的解集为或
（3）依题意，设的坐标为，
则
当时，最大，
当或时，S最小=2
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质求最值，掌握以上知识是解题的关键．
24. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．
【答案】（1）45°；（2）EA2+CF2＝EF2，理由见解析；（3）6
【解析】
【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2=EF2．如图2，设∠ABE=α，∠CBF=β，先证明α+β=45°，再过B作BN⊥BE，使BN=BE，连接NC，判定△AEB≌△CNB（SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2，将相关线段代入即可得出结论；
（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2=EF2，变形推得S△ABC=S矩形BGKH，S△BGM=S四边形COMH，S△BMH=S四边形AGMO，结合已知条件S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9，设BG=9k，BH=8k，则CH=3+k，求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF，将它们代入EA2+CF2=EF2，解得k的值，则可求得答案．
【详解】解：（1）如图1，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：
如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，
∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°，
又∠ABC＝90°，
∴α+β＝45°，
过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，
∴△AEB≌△CNB（SAS），
∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，
∴∠FCN＝90°．
∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，
∴△BFE≌△BFN（SAS），
∴EF＝FN，
∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，
∴EA2+CF2＝EF2；
（3）如图3，延长GE，HF交于K，
由（2）知EA2+CF2＝EF2，
∴EA2+CF2＝EF2，
∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，
∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，
即S△ABC＝S矩形BGKH，
∴S△ABC＝S矩形BGKH，
∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，
∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，
∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，
∴S△BMH：S△BGM＝8：9，
∵BM平分∠GBH，
∴BG：BH＝9：8，
设BG＝9k，BH＝8k，
∴CH＝3+k，
∵AG＝3，
∴AE＝3，
∴CF＝（k+3），EF＝（8k﹣3），
∵EA2+CF2＝EF2，
∴，
整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣（舍去），k2＝1．
∴AB＝12，
∴AO＝AB＝6，
∴⊙O的半径为6．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆的相关性质及定理、全等三角形的判定与性质、多边形的面积公式、勾股定理及解一元二次方程等知识点，熟练运用相关性质及定理是解题的关键．
25. 已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3a）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若a＝，点M和点N在抛物线上，且M的横坐标为4，点N在第二象限，若∠AMN＝2∠OAM，求点N的坐标；
（3）P是第四象限内抛物线上的一个动点，直线PA、PB分别交y轴于点M、N，判断CM与CN的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）直线 ；（2） ；（3）CN=3CM，理由见详解
【解析】
【分析】（1）代入抛物线的解析式的对称轴公式，即可求解；
（2）连接AM交y轴于点D，过点M作ME∥x轴交y轴于点E，在y轴上取点F，使EF=DE，作直线MF交抛物线于点N，可得∠AMN=2∠EMA=2∠OAM，先求出点 ，可得直线AM的解析式为 ，从而得到点 ，进而得到直线MF的解析式为 ，然后把，联立，即可求解；
（3）设 ，直线AP的解析式为 ，根据A（﹣1，0），可得直线AP的解析式为 ，从而得到CM=am，然后设直线BP的解析式为 ，根据点B（3，0），可得直线PB的解析式为 ，从而得到，即可求解．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线 ；
（2）如图，连接AM交y轴于点D，过点M作ME∥x轴交y轴于点E，在y轴上取点F，使EF=DE，作直线MF交抛物线于点N，
∴∠EMA=∠OAM，EM⊥y轴，
∴FM=MD，
∴∠MFE=∠MDE，
∴∠AMN=2∠EMA=2∠OAM，
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与与y轴交于点C（0，﹣3a）．
∴ ，
∵a＝，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
∵M的横坐标为4，
∴M的纵坐标为 ，
∴点 ，
设直线AM解析式为 ，
把点A（﹣1，0）， ，代入得：
，解得： ，
∴直线AM的解析式为 ，
当 时， ，
∴点 ，
∵ME∥x轴，
∴点 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
设直线MF的解析式为 ，
把点 ， 代入，得：
，解得： ，
∴直线MF的解析式为 ，
把，联立得：
，解得： 或（舍去），
∴点N的坐标为 ；
（3）CN=3CM，理由如下：
如图，
设 ，直线AP的解析式为 ，
∵A（﹣1，0），
∴ ，解得： ，
∴直线AP的解析式为 ，
当 时， ，
∴点 ，
∵C（0，﹣3a），
∴CM=am，
设直线BP的解析式为 ，
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，
∴当 时， ，
此时 ，
∴点B（3，0），
∴ ，
解得： ，
∴直线PB的解析式为 ，
∴点 ，
∵C（0，﹣3a），
∴，
∴CN=3CM．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
2021-2022学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）
1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的知识，在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2. 下面四组线段中，成比例的是（ ）
A. a＝1，b＝2，c＝2，d＝4 B. a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
C. a＝4，b＝6，c＝8，d＝10 D.
【答案】A
【解析】
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、1×4＝2×2，故选项符合题意；
B、2×5≠3×4，故选项不符合题意；
C、4×10≠6×8，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一．
3. 下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上；②13个人中至少有两个人生肖相同；
③某人买彩票中奖；④任意买一张电影票，座位号是2的倍数．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；
必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上，是随机事件；
②13个人中至少有两个人生肖相同，是必然事件；
③某人买彩票中奖，是随机事件；
④任意买一张电影票，座位号是2的倍数，是随机事件，
故①③④是随机事件，共3个
故选C
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件，理解事件发生的可能性的大小是解题的关键．
4. 已知⊙O的半径为6，A为线段PO的中点，当OP＝12时，点A与⊙O的位置关系为（ ）
A. 点A在⊙O上 B. 点A在⊙O外
C. 点A在⊙O内 D. 点A与⊙O位置不确定
【答案】A
【解析】
【分析】利用OP=12，A为线段PO的中点，则OA=6，因而点A与⊙O的位置关系为：点在圆上．
【详解】解：∵OA=OP=6，
∴OA=⊙O半径，
∴点A与⊙O的位置关系为：点在圆上．
故选：A．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．
5. 如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝4，OB＝8，则AB的长为（ ）
A. 4 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先根据垂径定理得出AB=2BE，再由CE=4，OB=8得出OE的长，根据勾股定理求出BE的长即可得出结论．
【详解】解：∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，
∴AB=2BE．
∵CE=4，OB=8，
∴OE=8-4=4，
∴BE=，
∴AB=．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
6. 若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2＋4x﹣1的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y3＜y2
【答案】B
【解析】
【分析】分别计算出自变量为-4，-3和1所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【详解】解：∵当x=-4时，y1=x2+4x-1=16-16-1=-1；
当x=-3时，y2=x2+4x-1=9-12-1=-4；
当x=1时，y3=x2+4x-1=1+4-1=4；
∴y2＜y1＜y3，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
7. 根据下列表格对应值：
判断关于x的方程的一个解的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由表格可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得出答案．
【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根，
∴的一个解的取值范围为．
故选：C．
【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解．解题的关键是理解和掌握二次函数图像和一元二次方程的关系．
8. 如图，正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为1．当y1
A. x<-1或x>1 B. -1
【解析】
【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．
【详解】解：如图：
∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵点A的横坐标为1，
∴点B的横坐标为−1，
∵由函数图象可知，当x<-1或0
【点睛】本题考查的是反比例函数与正比例函数的交点问题，能根据数形结合求出y1
A. 3s或4.8s B. 3s C. 4.5s D. 4.5s或4.8s
【答案】A
【解析】
【分析】分当△ADE∽△ABC时和当△ADE∽△ACB时两种情况，利用相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：由题意得：，，
∴
当△ADE∽△ABC时，
即，
解得；
当△ADE∽△ACB时，
即，
解得；
综上所述，当运动时间是3s或4.8s时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，
故选A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想进行求解．
10. 如图，F为正方形ABCD的边CD上一动点，AB＝2．连接BF，过A作AH⊥BF交BC于H，交BF于G，连接CG，当CG为最小值时，CH的长为（ ）
A. B. C. 3﹣ D. 3+
【答案】C
【解析】
【分析】如图1中，取AB的中点O，连接OG，OC．首先证明O，G，C共线时，CG的值最小（如图2中），证明CF=CG=BH即可解决问题（图2中）．
【详解】解：如图中，取的中点，连接，．
四边形正方形，
，
，
，
，
，
，
∴点G在以AB为圆的圆的上运动，
，
，
，
当，，共线时，的值最小，CG最小值（如图2中），
，
，
∵四边形ABCD为正方形，
∴，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故选择：C．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，直径所对圆周角的性质，点C到圆上最短距离，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形与辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、选择题（每小题3分，共6小题，满分18分）
11. 若关于x的一元二次方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是___．
【答案】且k≠0.
【解析】
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△⩾0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，
∴k≠0且△=42+4k⩾0，
解得：且k≠0.
故答案为：且k≠0.
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△⩾0时，方程有实数根”是解题的关键．
12. 函数是反比例函数，则m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的定义．即，只需令，即可．
详解】解：由题意得：且，；
解得，又；
．
故答案是：．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是将一般式转化为的形式．
13. 如图所示，四边形内接于，为延长线上一点，，则______．
【答案】50°
【解析】
【分析】根据圆周角定理得到∠D=∠AOC=50°，根据圆内接四边形的性质得到答案．
【详解】由圆周角定理得，∠D=∠AOC=50°，
由圆内接四边形的性质得，∠CBE=∠D=50°；
答案应为：50°．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理的应用，解题的关键是掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．
14. 如图所示；将绕点A顺时针旋转n度到的位置，D在边上，若，则______度．
【答案】60
【解析】
【分析】根据旋转的性质和，得到△ABD是等边三角形，求出∠BAD=60°，问题得解．
【详解】解：∵绕点A顺时针旋转n度得到，
∴AB=AD，
∵，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=60°，
∴n=60°．
故答案为：60
【点睛】本题考查了旋转的性质和等边三角形的性质与判定，熟知旋转的性质是解题关键．
15. 飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是，飞机着陆后滑行________米才能停下来．
【答案】600
【解析】
【分析】将函数解析式配方成顶点式，求出函数的最大值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴当时，y有最大值600，
∴飞机着陆后滑行600米才能停下来，
故答案为：600．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键．
16. 抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断；①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则．其中结论正确的是___________．
【答案】②④⑤
【解析】
【分析】根据题意得到a、b、c的关系式，可以用a表示出b、c，进而得到含a的二次函数关系式，结合图像确定符号，对选项逐一判断即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即．
又∵抛物线经过点，
∴，∴．
∴抛物线的解析式亦可表示为．
由图，抛物线开口向下，则．
∴，，
∴①错误；
由抛物线的对称性知，抛物线与轴的另一个交点为，
因此，当自变量时，函数值，
∴②正确；
，∵，所∴，
即，
∴③错误；
，而，
∴，
∴④正确；
联立解析式：，
即，
得
，
∴，
∴⑤正确．
故答案为：②④⑤
【点睛】此题根据二次函数图像结合已知条件进行逐项判断，为二次函数中难度比较大的一类题型．一般方法是先根据图像判断a、b、c的符号，再根据题意表示出a、b、c的关系，最后结合函数与方程，不等式的知识进行解答．
三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：
解得：
【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解题关键．
18. 如图，点、在线段上，是等边三角形，且，求的度数．
【答案】120°．
【解析】
【详解】试题分析：根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的判定定理证明△ACP∽△ABP，根据相似三角形的性质得到答案．
解：∵△PCD等边三角形，
∴∠PCD=60°，
∴∠ACP=120°，
∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC=∠B，又∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABP，
∴∠APB=∠ACP=120°．
考点：相似三角形的性质．
19. 如图，点O，B的坐标分别是（0，0），（3，0）．将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1．
（1）画出平面直角坐标系和三角形△OA1B1；
（2）求旋转过程中点B走过的路径的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据点O的坐标确定直角坐标系，根据旋转的性质确定点A1、B1，顺次连线即可得到△OA1B1；
（2）利用弧长公式计算即可．
【详解】解：（1）如图，△OA1B1即为所求三角形；
（2）旋转过程中点B走过的路径的长=．
【点睛】此题考查了旋转作图，弧长的计算公式，正确掌握旋转的性质及弧长的计算公式是解题的关键．
20. 二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
……
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
……
y
……
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
……
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象；
（3）当函数值y＜0时，对应的x的取值范围是 ．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）-3
【分析】（1）设二次函数解析式为，利用待定系数法求解；
（2）利用描点法画图即可；
（3）利用表格及图象解答即可．
【详解】解：（1）设二次函数解析式为，
由表格可知，二次函数图象经过点（-3,0），（0，-3），（1,0），则
，解得，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）如图：
；
（3）由表格可知，当y=0时，x=-3及x=1；
由图象知，函数图象的开口向上，
∴当函数值y＜0时，对应x的取值范围是-3
21. 随着“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某数学兴趣小组随机调查了我区50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：
步数
频数
频率
0≤x＜4000
8
0.16
4000≤x＜8000
15
0.3
8000≤x＜12000
12
a
12000≤x＜16000
b
0.2
16000≤x＜20000
3
0.06
20000≤x＜24000
2
0.04
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出a，b的值并补全频数分布直方图；
（2）我市约有5000名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？
（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，用树形图或列表法求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．
【答案】（1）0.24，10，补全频数分布直方图见解析；（2）估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有1500名；（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数可得a、b的值；
（2）用总人数乘以样本中第4、5、6组的频率之和即可；
（3）步数超过16000步（包含16000步）的三名教师用A、B、C表示，步数超过20000步（包含20000步）的两名教师用a、b表示，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：（1）a＝12÷50＝0.24，b＝50×0.2＝10，
补全频数分布直方图如下：
（2）5000×（0.2+0.06+0.04）＝1500，
答：估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有1500名；
（3）步数超过16000步（包含16000步）的三名教师用A、B、C表示，步数超过20000步（包含20000步）的两名教师用a、b表示，
画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的结果数为2，
所以被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率＝＝．
【点睛】本题考查频数分布表及频数分布直方图、用样本估计总体、用树形图或列表法求概率等，读懂统计图及频数分布直方图的意义，熟练掌握用树形图求概率的步骤是解题的关键.
22. 随着疫情在国内趋稳，却在国外迎来爆发期，多国采购中国防疫物资需求大增．某工厂建了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：
（1）每天增长的百分率是多少？
（2）经过一段时间后，工厂发现1条生产线最大产能是900万个/天，但如果每增加1条生产线，由于资源调配等原因每条生产线的最大产能将减少30万个/天，现该厂要保证每天生产口罩3900万个，应该建几条生产线？
【答案】（1）每天增长的百分率是20%；（2）应该建5条生产线
【解析】
【分析】（1）设每天增长的百分率是x，然后根据开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，列出方程求解即可；
（2）设应该建y条生产线，然后根据每增加1条生产线，由于资源调配等原因每条生产线的最大产能将减少30万个/天，现该厂要保证每天生产口罩3900万个，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）设每天增长的百分率是x，
由题意得：，
解得，
∴每天增长的百分率是20%；
（2）设应该建y条生产线，
由题意得：，
整理得：，
解得或（舍去），
∴应该建5条生产线，
答：应该建5条生产线．
【点睛】本题主要考查可一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确理解题意列出方程求解．
23. 如图，一次函数y=-x+b与反比例函数y=（x> 0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）
（1）求b、k、m的值；
（2）根据图象直接写出-x+b< （x> 0）的解集；
（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．
【答案】（1）b=5、k=4、m=1；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）S最大=；S最小=2
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数和一次函数图像上的点的特征代入解析式即可求得的值；
（2）根据函数图象的交点直接写出直线在双曲线下方时，自变量的范围即可；
（3）
【详解】（1）一次函数y=-x+b与反比例函数y=（x> 0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）
解得，
解得
，，
（2）一次函数y=-x+b与反比例函数y=（x> 0）的图象交于点
-x+b< 的解集为或
（3）依题意，设的坐标为，
则
当时，最大，
当或时，S最小=2
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质求最值，掌握以上知识是解题的关键．
24. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．
【答案】（1）45°；（2）EA2+CF2＝EF2，理由见解析；（3）6
【解析】
【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2=EF2．如图2，设∠ABE=α，∠CBF=β，先证明α+β=45°，再过B作BN⊥BE，使BN=BE，连接NC，判定△AEB≌△CNB（SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2，将相关线段代入即可得出结论；
（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2=EF2，变形推得S△ABC=S矩形BGKH，S△BGM=S四边形COMH，S△BMH=S四边形AGMO，结合已知条件S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9，设BG=9k，BH=8k，则CH=3+k，求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF，将它们代入EA2+CF2=EF2，解得k的值，则可求得答案．
【详解】解：（1）如图1，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：
如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，
∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°，
又∠ABC＝90°，
∴α+β＝45°，
过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，
∴△AEB≌△CNB（SAS），
∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，
∴∠FCN＝90°．
∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，
∴△BFE≌△BFN（SAS），
∴EF＝FN，
∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，
∴EA2+CF2＝EF2；
（3）如图3，延长GE，HF交于K，
由（2）知EA2+CF2＝EF2，
∴EA2+CF2＝EF2，
∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，
∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，
即S△ABC＝S矩形BGKH，
∴S△ABC＝S矩形BGKH，
∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，
∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，
∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，
∴S△BMH：S△BGM＝8：9，
∵BM平分∠GBH，
∴BG：BH＝9：8，
设BG＝9k，BH＝8k，
∴CH＝3+k，
∵AG＝3，
∴AE＝3，
∴CF＝（k+3），EF＝（8k﹣3），
∵EA2+CF2＝EF2，
∴，
整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣（舍去），k2＝1．
∴AB＝12，
∴AO＝AB＝6，
∴⊙O的半径为6．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆的相关性质及定理、全等三角形的判定与性质、多边形的面积公式、勾股定理及解一元二次方程等知识点，熟练运用相关性质及定理是解题的关键．
25. 已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3a）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若a＝，点M和点N在抛物线上，且M的横坐标为4，点N在第二象限，若∠AMN＝2∠OAM，求点N的坐标；
（3）P是第四象限内抛物线上的一个动点，直线PA、PB分别交y轴于点M、N，判断CM与CN的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）直线 ；（2） ；（3）CN=3CM，理由见详解
【解析】
【分析】（1）代入抛物线的解析式的对称轴公式，即可求解；
（2）连接AM交y轴于点D，过点M作ME∥x轴交y轴于点E，在y轴上取点F，使EF=DE，作直线MF交抛物线于点N，可得∠AMN=2∠EMA=2∠OAM，先求出点 ，可得直线AM的解析式为 ，从而得到点 ，进而得到直线MF的解析式为 ，然后把，联立，即可求解；
（3）设 ，直线AP的解析式为 ，根据A（﹣1，0），可得直线AP的解析式为 ，从而得到CM=am，然后设直线BP的解析式为 ，根据点B（3，0），可得直线PB的解析式为 ，从而得到，即可求解．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线 ；
（2）如图，连接AM交y轴于点D，过点M作ME∥x轴交y轴于点E，在y轴上取点F，使EF=DE，作直线MF交抛物线于点N，
∴∠EMA=∠OAM，EM⊥y轴，
∴FM=MD，
∴∠MFE=∠MDE，
∴∠AMN=2∠EMA=2∠OAM，
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与与y轴交于点C（0，﹣3a）．
∴ ，
∵a＝，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
∵M的横坐标为4，
∴M的纵坐标为 ，
∴点 ，
设直线AM解析式为 ，
把点A（﹣1，0）， ，代入得：
，解得： ，
∴直线AM的解析式为 ，
当 时， ，
∴点 ，
∵ME∥x轴，
∴点 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
设直线MF的解析式为 ，
把点 ， 代入，得：
，解得： ，
∴直线MF的解析式为 ，
把，联立得：
，解得： 或（舍去），
∴点N的坐标为 ；
（3）CN=3CM，理由如下：
如图，
设 ，直线AP的解析式为 ，
∵A（﹣1，0），
∴ ，解得： ，
∴直线AP的解析式为 ，
当 时， ，
∴点 ，
∵C（0，﹣3a），
∴CM=am，
设直线BP的解析式为 ，
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，
∴当 时， ，
此时 ，
∴点B（3，0），
∴ ，
解得： ，
∴直线PB的解析式为 ，
∴点 ，
∵C（0，﹣3a），
∴，
∴CN=3CM．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
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