2021-2022学年吉林省双辽一中、大安一中、通榆一中等重点高中高三（上）期末数学试卷（理科）（含答案解析）

2021-2022学年吉林省双辽一中、大安一中、通榆一中等重点高中高三（上）期末数学试卷（理科）

1.     已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     已知复数是虚数单位，则z在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.     将4个不同的球放到3个不同的盒子里，每个盒子中至少放一个球，则放法种数有(    )

A. 72 B. 60 C. 48 D. 36

4.     已知实数x，y满足约束条件则的最大值为(    )

A. 2 B.  C.  D.

5.     新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置，综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车．新能源汽车包括混合动力电动汽车、纯电动汽车包括太阳能汽车、燃料电池电动汽车、其他新能源如超级电容器、飞轮等高效储能器汽车等．非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料．下表是2021年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表：

由上表可知其线性回归方程为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.   在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积等于，则角B的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

7.   已知，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.   已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.   若点为圆的弦AB的一个三等分点，则弦AB的长度为(    )

A.  B. 4 C.  D.

10. 已知函数，若在区间内没有零点，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是C上的一点，，，则C的离心率是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

13. 已知菱形ABCD的边长为2，，点E是线段AB上的一点．且，则______.
14. 已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，则______.
15. 已知正三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，直线与底面所成的角是，若正三棱柱的体积是2，则球O的表面积是______.
16. 已知双曲线的左顶点为M，点，双曲线C的左、右焦点分别为，，点P为线段MN上异于M的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，若，则双曲线C的焦距为______.
17. 在等差数列中，，
    求数列的通项公式；
    令，求数列的前n项和
18. 2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取了600人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是11：13，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有75人对冰壶运动没有兴趣．
    完成下面列联表，并判断是否有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？

按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出3人作为冰壶运动的宣传员，设X表示选出的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．
附：

19. 如图，三棱锥中，AC，BC，PC两两垂直，，E，F分别是棱AC，BC的中点，的面积为8，四棱锥的体积为
    若平面平面，证明：；
    求二面角的余弦值．

20. 如图所示，已知抛物线C：，过点的直线l交C于不同的A，B两点点A在P，B之间，记点A，B的纵坐标分别为，，过A作x轴的垂线交直线OB于点为坐标原点
    求证：；
    求的面积的最大值．

21. 已知函数，求证：；
    若函数在上为减函数，求实数k的取值范围．
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
    求C的普通方程；
    已知点P的直角坐标为，过点P作C的切线，求切线的极坐标方程．
23. 已知函数
    若，求不等式的解集；
    若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：集合，，

故选：
，由此能求出结果．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：因为复数是虚数单位，
则，
则z在复平面内对应的点为，在第一象限，
故选：
利用复数的运算性质化简复数z，由此即可求解．
本题考查了复数的运算性质，考查了学生的理解能力，属于基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①将4个不同的球分为3组，有种分组方法，
②将分好的3组全排列，放入3个盒子，有种情况，
则不同放法有种；
故选：
根据题意，分2步进行分析：①、先将4个小球分成3组，②，将分好的3组全排列，放入3个盒子，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
由，解得，得，即，
化目标函数为，由图可知，当直线过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最大值为
故选：
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：由表中数据可的，，
，
线性回归方程为，
，解得
故选：
根据已知条件，求出x，y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：由题意得，，
所以，
所以，即，
由B为三角形内角得，
故选：
由已知结合余弦定理及三角形面积公式可求，进而可求
本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：，且，
，，
则，
故选：
由题意，利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，计算求得结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体；
如图所示：
故
故选：
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用勾股定理和三角形的面积公式求出几何体的表面积．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

9.【答案】A 

【解析】解：设的高为OC，
则，
故，
由勾股定理可得，，即，解得
故弦AB的长度为
故选：
设的高为OC，则，故，再结合勾股定理，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握勾股定理是解本题的关键，属于中档题．
 

10.【答案】C 

【解析】解：，
当，则，
若在区间内没有零点，
则，即，则，即，
则，，或，
得或，，
得或，，
即或，
当时，或舍，此时，
当时，舍或，
综上或，
即的最大值为，
故选：
利用辅助角公式先进行化简，然后根据函数零点关系建立不等式进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图像和性质，利用辅助角公式进行化简，然后利用函数零点关系建立不等式进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 

11.【答案】D 

【解析】解：由题意可知，在中，，，
，，，
，
，
在中，由正弦定理有，
，

故选：
由题知，，，进而结合正弦定理有，可求离心率．
本题考查椭圆的离心率的求法，属中档题．
 

12.【答案】B 

【解析】解：，
，
令，则，
在时恒成立，在上恒成立，
故在上单调递增，
，
故选：
把已知等式变形，可得，构造函数，利用导数研究其单调性，即可得答案．
本题考查函数值的大小比较，考查化归与转化思想，训练了利用导数研究函数的单调性，正确构造函数是关键，属难题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
故，
所以
故答案为：
先计算，代入计算，再计算，即得结果．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：定义域为R的奇函数满足，
可得，
即为，
可得的最小正周期为4，
所以，
而当时，，
可得，
所以
故答案为：
由奇函数的定义和周期函数的定义，推得的最小正周期为4，再由对数的运算性质，计算可得所求值．
本题考查函数的奇偶性和周期性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设直三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，
如图所示：

设三棱柱的底面边长为a，由于直线与底面所成的角是，
所以棱柱的高为，
若正三棱柱的体积是2，
故，
整理得
所以，进一步求出，
，
设外接球的半径为R，则；
所以
故答案为：
首先利用线面的夹角和直三棱柱的体积公式求出底面的边长和三棱柱的高，进一步求出外接球的半径，最后求出球的表面积．
本题考查的知识要点：三棱柱和球体的关系，球的半径的求法，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据条件，，，则直线MN方程为，因为点P在线段MN上，
可设，其中设双曲线焦距为2c，则，，，
则，
因为所以当时，取最小值，此时，
当时，即时，无最大值，
故，此时在处取得最大值，此时，
因为，所以，解得，
故，，，
则，
故答案为：
根据条件得到，，直线MN方程为，设，则，分别求出其最大、最小值列出方程，解出a，b即可．
本题考查双曲线的性质，考查双曲线焦距的求法，双曲线焦点三角形面积的最值，属于中档偏难题．
 

17.【答案】解：法1：因为，所以，
因为，所以，
所以，所以公差，所以
法2：设等差数列的公差为d，联立，
得，解得
所以
由知，所以，
，
所以

 

【解析】法1：由，利用等差数列的性质可得，同理，可得，解得，可得公差d，即可得出
法2：设等差数列的公差为d，联立，利用通项公式可得，d，
由知，所以，利用裂项求和方法即可得出
本题考查了等差数列的通项公式及其性质、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：根据题意得到如下列联表：

，
有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
对冰壶运动有兴趣的一共有400人，
从中抽取8人，抽到的男生人数、女生人数分别为：人，人，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
故X的分布列是：

故 

【解析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
对冰壶运动有兴趣的一共有400人，从中抽取8人，抽到的男生人数、女生人数分别为：人，人，X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X分布列，并结合期望公式，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
 

19.【答案】证明：因为E，F分别是AC，BC的中点，所以，
因为平面PAB，平面PAB，所以平面
因为平面平面，平面PEF，所以
解：因为AC，BC，PC两两垂直，，AC，平面ABC，
所以平面ABC，所以PC是四棱锥的底面ABFE上的高．
因为，，所以
因为E，F分别是AC，BC的中点，，
所以，即
以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

所以，，，，
所以，
设平面EFP的一个法向量为，所以，所以，
令，所以，即
易得平面BFP的一个法向量为，
所以
由图知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为 

【解析】证明，得到平面然后证明
以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面EFP的一个法向量，平面BFP的一个法向量，利用看就行了的数量积求解二面角的余弦值即可．
本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．中点，
 

20.【答案】证明：由题意，直线l的斜率显然存在，
设直线l的方程为，
联立方程组，可得，
所以，所以
解：由可得，解得且
因为点A在P，B之间，所以，
所以，直线OB：
设点，由点D在直线上可得，
所以的面积
因为，所以，
又，所以，
令，，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以
所以，当且仅当时取最大值．
即的面积的最大值是 

【解析】设直线l的方程为，与抛物线方程联立，消去x可得关于y的一元二次方程，利用韦达定理即可得证；
由，可得k的范围，点A在P，B之间，可得，求得D的坐标，运用三角形的面积公式和导数，判断单调性和极值、最值，可得所求最大值．
本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查导数的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：证明：分
因为，所以，，
所以，所以在上为减函数，分
于是，，
故分
解：设，则，从而在上为增函数，
由，得，即分
当时，，则，从而，
因为函数在上为减函数，
所以，即对恒成立，
即对恒成立，
根据，，所以，
再结合，此时，分
当时，，则，从而，
因为函数在上为减函数，
所以，即对恒成立，
即对恒成立，
根据，，所以
再结合，此时分
当时，则存在唯一的，使得，从而
当时，，即存在，，且，使得，这与“在上为减函数”矛盾，此时不合题意． 分
综上，实数k的取值范围是分 

【解析】在上为减函数，从而可求得其最值，证得结论成立；
令，结合题意，求导分析得在上为增函数，从而可得，由函数在上为减函数，分、、三类讨论，可求得实数k的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立问题，考查了转化与化归思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力与数学运算能力，属于难题．
 

22.【答案】解：曲线C的参数方程为为参数，
所以C的普通方程是
由题意，切线的斜率一定存在，
设切线方程为，即，
所以，解得
所以切线方程是或，
将，代入，
化简得或 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用点到直线的距离公式的应用和转换关系的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：若，，
①当时，，解得，所以，
②当时，，无解，
③当时，，解得，所以，
综上，不等式的解集是
因为，
若，不等式恒成立，只需
当时，，解得，
当时，，此时满足条件的a不存在，
综上，实数a的取值范围是 

【解析】通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出各个区间上的x的范围，取并集即可．
利用绝对值三角不等式求得的最小值，再解一元二次不等式求得a的取值范围．
本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题．