2021-2022学年吉林省辽源市田家炳高级中学友好学校高三（上）期末数学试卷（理科）（含答案解析）

2021-2022学年吉林省辽源市田家炳高级中学友好学校高三（上）期末数学试卷（理科）

1.     若集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     已知单位向量与的夹角为，若与垂直，则实数x的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.     若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为(    )

A.  B. 2 C.  D. 4

4.     在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64：1，则展开式中常数项为(    )

A. 540 B. 480 C. 320 D. 160

5.     函数的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

6.     如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.     已知实数则a，b，c的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8.     将函数的图像沿着x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数，则的一个可能取值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.     已知D是所在平面内一点，且满足，则是(    )

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

10. 已知等差数列，其前n项和为，，方程的两根是、，则满足的n的最大正整数为(    )

A. 4023 B. 4024 C. 4025 D. 4026

11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的右支交于M，N两点．若，则双曲线C的离心率的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知定义在R上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是(    )

A.  B.
C.  D.

13. 已知变量x、y满足的约束条件，则的最大值为______.
14. 直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为__________.
15. 2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2019年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量，若，，则的最小值为__________.
16. 下列命题中：
    ①p：，；
    ②q：，；
    ③r：，；
    ④s：“在中，若，则”的逆命题．
    正确的是______填写所有正确的序号
17. 在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若
    求角A；
    若的面积为，，求的周长．
18. 已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列．
    求数列的通项公式；  
    若为数列的前n项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．
19. 如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是正方形，且，
    证明：平面平面PCD；
    求二面角的余弦值．

20. 为推动校园冰雪运动，某学校决定学生全员参与冰雪健身操运动．为了调查学生对冰雪健身操的喜欢程度，现从全校学生中随机抽取了20名男生和20名女生的测评成绩满分为100分组成一个样本，得到如图所示的茎叶图，并且认为得分不低于80分的学生为喜欢．

请根据茎叶图填写下面的列联表，并判断能否有的把握认为该校学生是否喜欢冰雪健身操与性别有关？
从样本中随机抽取男生、女生各1人，求其中恰有1人喜欢冰雪健身操的概率；
用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从全校男生、女生中各随机抽取1人，求其中喜欢冰雪健身操的人数X的分布列及数学期望．
参考公式及数据：，其中

21. 已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点
    求C的方程；
    设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：与C交于A、B两点不经过D点，且证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标．
22. 设函数，
    当时，求函数的极值；
    若函数有两个零点，求实数m取值范围；
    若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查了集合的交集运算，是基础题．
分别化简集合A，B，容易计算得集合

【解答】

解：，，

故本题选

2.【答案】B 

【解析】解：根据题意，单位向量与的夹角为，则，
若与垂直，则，
解可得；
故选：
根据题意，由数量积公式可得，由向量垂直与数量积的关系可得，解可得x的值，即可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题．
将双曲线化成标准方程，求得的值，从而得到双曲线的右焦点为，该点也是抛物线的焦点，可得，所以p的值为

【解答】

解：双曲线的标准形式为：
，可得，双曲线的右焦点为
抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，
，可得
故选

4.【答案】A 

【解析】解：的展开式中，令，可得各项系数的和为，
各项二项式系数的和为，
各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，，
的展开式的通项公式为：

令，求得，
可得展开式中的常数项等于
故选：
根据各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，求得n的值，再利用展开式的通项公式求出常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查函数的性质和赋值法的应用，属于基础题．
直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果．

【解答】

解：根据函数的解析式，，
得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A和
当时，函数的值为0，故排除
故选

6.【答案】A 

【解析】解：由题意，正方形的面积为圆的面积为
所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是，
故选：
由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为4，圆为，即可求出“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率．
本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
 

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题采用作商的方法比较两个数的大小，利用，，和1进行比较，得出答案．
本题考察对数运算，主要是对数的换底公式，另外作商要注意分母不为零，结果和1进行比较．

【解答】

解：由题意可知，，
，
，
，

故选：

8.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图像的平移变换，函数的奇偶性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
直接利用三角函数的关系式的变换，函数的图像的平移变换和函数的奇偶性的应用求出的值．

【解答】

解：将函数的图像沿着x轴向左平移个单位长度后，得到的图像；
由于为偶函数，
所以，
整理得：
当时，
故选

9.【答案】A 

【解析】

【分析】
本题考查向量的加法与减法的几何意义及平面向量数量积的运算，考查三角形的形状判断，将已知条件适当变形是关键，属于中档题．
利用向量的加法与减法的几何意义及平面向量数量积的运算即可判断该的形状．
【解答】
解：，
，即
取AB的中点为E，
则，
，E为AB的中点，
为等腰三角形．
故选：  

10.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于中档题．
由已知结合方程的根与系数关系可求，，然后结合等差数列的性质及求和公式可求．

【解答】

解：因为等差数列中，，方程的两根是、，
所以，，
所以，，，
则，，
满足的n的最大正整数
故选：

11.【答案】B 

【解析】解：设，由双曲线的定义，可得，
由，可得，
由双曲线的定义，可得，
在中，
，
则，又，
所以，
故选：
设，运用双曲线的定义和条件，求得，，在中，运用三角形的余弦定理，结合离心率公式，可得所求范围．
本题考查双曲线的定义和性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
 

12.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查构造法的应用，考查化归思想与运算能力，属于较难题．
构造函数令，依题意知为偶函数且在区间单调递增；不等式，利用单调性脱去“g”即可求得不等式的解集．

【解答】

解：令，则，
因为，
所以，当时，，即在区间单调递增；
又是R上的偶函数，
所以是上的偶函数，
又；
故，
于是，不等式化为，
故，
解得，又，
故选

13.【答案】4 

【解析】解：由得，
作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分：
平移直线由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最大，
此时z也最大，
由得，即
将代入目标函数，
得
故答案为：
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

由题意知三棱柱为球O的内接直三棱柱，利用勾股定理求BC、可求得球的半径，然后求出球的表面积即可．
本题考查空间几何体的结构特征，球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

【解答】

解：由题意画出几何体的图形如图，

已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，则三棱柱为球O的内接直三
棱柱如图所示；由勾股定理可知
，
可得球O的半径，
由公式有球的表面积
故答案为：

15.【答案】8 

【解析】

【分析】

本题考查正态分布与基本不等式的综合，考查学生的运算能力，属于中档题．
由正态分布的对称性得出，利用基本不等式求出最小值．

【解答】

解：服从正态分布，则，
又，即且，，
，
当且仅当，即时取等号，
故答案为：

16.【答案】①③④ 

【解析】解：①，故正确；
②，故错误；
③令，
则，
所以在单调递减，
又因为，
所以，即，故正确；
④“在中，若，则”的逆命题为：“在中，若，则”，由正弦定理可知为真命题，故正确；
故答案为：①③④．
对每一个命题进行判断即可．
本题考查了对命题真假的判断，对③的判断构造了函数，利用了导数来求函数的值域，属于基础题．
 

17.【答案】解：由正弦定理，知，
，
，
化简得，，
，
，
是的内角，

的面积为，
，
由知，，
由余弦定理得，，
，即，
的周长为 

【解析】利用正弦定理将已知等式中的边化角，可得的值，从而得解；
由，可得bc的值，再结合余弦定理求出的值，从而得解．
本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的综合应用，还涉及边化角的思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：由题意可得：，，化为，解得，


…
不等式，即化为：
当且仅当时取等号．
存在，使得成立，
实数的取值范围是 

【解析】由题意可得：，，化为，解出即可得出．
利用裂项求和方法、基本不等式的性质即可得出．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：底面ABCD为正方形，
又平面平面ABCD，平面平面，平面
又平面PAD，
，，CD，平面PCD，
平面
平面PAB，平面平面PCD；
解：取AD的中点为O，BC的中点为Q，连接PO，OQ，因为，且面面，面PAD，
可得底面ABCD，，
以O为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

不妨设正方形的边长为2，可得，，，，
设平面APB的一个法向量为，
而，，
则，即，取，得；
设平面BCP的一个法向量为，
而，，
则，即，取，得，
，
由图知所求二面角为钝角，
故二面角的余弦值为 

【解析】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．
由底面ABCD为正方形，可得再由平面平面ABCD，结合面面垂直的性质可得平面进一步得到又，由线面垂直的判定可得平面再求面面垂直的判定可得平面平面PCD；
取AD的中点为O，BC的中点为Q，连接PO，OQ，可得底面ABCD，，以O为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，可得A，B，C，P的坐标，求出平面APB与平面BCP的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．
 

20.【答案】解：列联表如下：

，
有的把握认为该校学生是否喜欢冰雪健身操与性别有关．
记事件A为“从样本中随机抽取男生、女生各1人，求其中恰有1人喜欢冰雪健身操”，
则
由题意可得，X所有可能取值为0，1，2，
，，，
故X的分布列为：

故 

【解析】根据茎叶图的数据，可得列联表，再结合独立性检验公式，即可求解．
根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解．
由题意可得，X所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可求解分布列，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及独立性检验公式的应用，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意，设椭圆，焦距为2c，
则，椭圆的另一个焦点为，
由椭圆定义得，则，
，
的方程；
证明：由已知得，
由，得，
当时，，，
则，，
，，
由得，，即，
，解得或，
①当时，直线l经过点D，舍去；
②当时，显然有，直线l经过定点 

【解析】由题意设椭圆，可得，求得椭圆的另一个焦点坐标，利用定义求解，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
由已知得，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B横纵坐标的和与积，结合，得，由此求解m值，得到当时，有，直线l经过定点
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
 

22.【答案】解：时，，，
故时，，在单调递减，
时，，在单调递增，
故时，取得极小值，无极大值；
，
令，得，
设，则，
时，，在单调递增，
时，，在单调递减，
故的最大值是，又，，
故时，函数有2个零点；
原命题等价于恒成立，
，
则等价于在上单调递减，
在恒成立，
故恒成立，故，
故m的取值范围是 

【解析】本题考查了函数的单调性，极值，零点以及函数恒成立问题，考查转化思想，是中档题．
求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；
求出函数的导数，得到，设，求出函数的导数，求出函数的单调区间，求出m的取值范围即可；
令，问题等价于在上单调递减，求出函数的导数，分类参数m，结合二次函数的性质求出m的取值范围即可．