河北省深州市中学2022届高三上学期期末数学试题（含答案解析）

河北省深州市中学2022届高三上学期期末数学试题

1.     已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     已知复数其中i为虚数单位，在复平面内对应的点为，则实数a的值为(    )

A. 1 B. 2 C.  D. 0

3.     已知，则“a，b的平均数大于1”是“a，b，c的平均数大于1”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.     函数在上的图象为(    )

A.  B.
C.  D.

5.     (    )

A.  B.  C.  D.

6.     展开式中的系数为(    )

A. 1 B.  C. 31 D.

7.     已知正项等比数列的前n项和为，，且数列的前n项和为，若对于一切正整数n都有，则数列的公比q的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8.     已知函数，若时，则实数a的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

9.     已知函数，则(    )

A.
B.
C. 的值域为
D. 的图象向左平移个单位后关于y轴对称

10. 已知双曲线C过点，且渐近线方程为，则下列结论中正确的是(    )

A. 双曲线C的方程为
B. 双曲线C的离心率为
C. 曲线经过双曲线C的一个焦点
D. 直线与双曲线C有两个公共点

11. 如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上异于点A，，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点，下列命题是真命题的是(    )

A. 平面PAC B. 平面MOB
C. 平面PAC D. 平面平面PBC

12. 已知函数的零点为，则(    )

A. 的值为5 B. 的值为4
C.  D.

13. 若向量，满足，且，则__________.
14. 已知正实数a，b满足，则的最小值为__________.
15. 设，，分别是椭圆的左、右、上顶点，O为坐标原点，D为线段的中点，过作直线的垂线，垂足为若H到x轴的距离为，则C的离心率为__________.
16. 四面体ABCD的顶点A，B，C，D在同一个球面上，若该球的表面积为则四面体ABCD体积的最大值为__________.
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知向量，，且

求B；若，且，求的周长.

18. 已知数列的前n项和为，，
    求数列的通项公式；
    设，若数列的前n项和为，证明：
19. 台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计直接经济损失达52亿元，某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：，单位：元，得到如图所示的频率分布直方图．

试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的损失同一组中的数据用该组区间的中点值代表；

台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X，求X的分布列和数学期望．

20. 如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，

证明：平面平面；

分别是BC、的中点，P是线段上的动点，若二面角的平面角的大小为，试确定点P的位置．

21. 已知抛物线，点F为C的焦点，过F的直线l交C于A，B两点．

设A，B在C的准线上的射影分别为P，Q，线段PQ的中点为R，证明：；

在x轴上是否存在一点T，使得直线AT，BT的斜率之和为定值？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

22. 已知函数

证明：函数在上存在唯一的零点；

若函数在区间上的最小值为1，求a的值．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考察函数的单调性以及集合的计算，属于简单题。
利用函数单调性求解不等式，求出A，B，进而求出

【解答】

解：由单调递增，，解得：，所以，单调递增，解得：，所以，即
故选：B

2.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查复数的代数表示及其几何意义，属于基础题.
先利用复数的乘法化简，再利用复数的几何意义求解.

【解答】

解：因为，又因为复数在复平面内对应的点为，所以解得
故选：

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了平均数的定义、不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用平均数的定义、不等式的性质、简易逻辑的判定方法即可得出结论．

【解答】

解：已知，当a，b的平均数大于1时，，所以，即a，b，c的平均数大于1；当a，b，c的平均数大于1时，即，所以，即a，b的平均数大于1；所以“a，b的平均数大于1”是“a，b，c的平均数大于1”的充要条件.
故选

4.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查函数图象识别，是基础题．
直接利用函数的性质奇偶性和特殊区间结合排除法求出结果．

【解答】

解：函数的解析式满足，且的定义域R关于y轴对称，则函数为偶函数，排除A、B选项，当时，由，可知：当时，排除C选项．
故选

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查诱导公式，二倍角的正弦公式，属于基础题.
利用诱导公式及二倍角的正弦公式计算可得.

【解答】

解：
故选

6.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查求二项展开式中特定项的系数．属于容易题.
结合二项展开式的通项求解.

【解答】

解：展开式的通项为，其的系数，常数项，的系数分别为，故展开式中的系数为
故选

7.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了等比数列的前n项和公式和分类讨论思想，求等比数列的前n项和时一定要分和两种情况进行讨论，属于基础题．
本题首先可设，通过排除这种情况，再然后设，通过等比数列的求和公式即可得出、，最后根据、、即可得出结果．

【解答】

解：因为等比数列是正项等比数列，所以、，若，则，，则有，不满足题意；若，则，，，，因为，，，则，，，故数列的公比q的取值范围为
故选

8.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考察了函数的性质以及不等式的计算，属于中等题.
将不等式转化为，然后再求最值即可.

【解答】

解：不等式可化为，有，有，当时，当且仅当时取等号，，故有
故选：C

9.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查了二倍角公式，三角形的和差公式，诱导公式，三角函数的图象和性质，属中档题.
利用三角形的和差公式，二倍角公式，诱导公式，对函数进行化简，然后再进行后面的解答即可得.

【解答】

解：，所以，所以，所以AC正确，B错误，因为，则D正确.
故选

10.【答案】AC 

【解析】

【分析】

本题主要考查双曲线的性质，双曲线的标准方程，属于中档题.
根据双曲线的渐近线和过定点求出双曲线方程，然后根据方程依次判断每一个选项即可.

【解答】

解：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为 ，把点代入，得，即双曲线C的方程为，故A正确；
则离心率为，故B错误；
焦点为或，所以曲线经过C的一个焦点，故C正确；
因为，整理得，则，所以直线与C有一个公共点，故D错误.
故选

11.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题主要考查了空间中线面平行，线面垂直，面面垂直的判定，属于中档题.
根据线面平行，线面垂直的判定定理对选项逐一判断即可.

【解答】

解：因为为圆 O的直径， M是线段PB的中点，所以；又平面PAC，平面PAC，所以平面PAC；即A正确；
又平面PAB，即平面MOB，故B错；
因为点 C在圆 O的圆周上，所以，故OC不与AC垂直，所以OC不可能与平面PAC垂直，即C错；
由直线PA垂直于圆 O所在的平面，所以；又，，平面PAC、平面PAC，所以平面PAC，又平面PBC，所以平面平面PBC，即D正确.
故选：

12.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题考查函数零点的定义，将函数的零点代入函数解析式后，整理，变形，进而通过构造函数，研究零点的范围，综合性较强，属于较难题.

【解答】

 解：，，令为增函数，由，得，，由，，又由，，有，有

故正确答案为

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，是基本知识的考查．
利用已知条件，通过向量的数量积转化求解向量的模即可．

【解答】

解：若向量，满足，且，可得，则
故答案为：

14.【答案】32 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式求最值，属于基础题.
运用“1”的代换以及基本不等式，即可得到所求的最小值.

【解答】

解：由，且，得
，当且仅当，即时，取等号，此时则的最小值为
故答案为
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
表示出直线和直线的方程，联立表示出D，即可求出离心率.

【解答】

解：直线的方程为，直线的方程为，联立得，，，
故答案为

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查几何体的外接球体积的求解.
先由球的表面积为，求得球的半径R，进而求得三棱锥的高，然后由四面体的高最大为求解.

【解答】

解：因为球的表面积为，所以，解得球的半径，因为，所以的高为，记四面体 ABCD外接球球心为 O，则三棱锥的高为，所以四面体 ABCD体积的最大值为
故答案为：

17.【答案】解：根据题意，可得，再由正弦定理化简整理得，即，在中，因为，所以，即因为，所以，因为则
由知，则又因为，所以因为，所以，故的周长为 

【解析】本题考查角的求法，三角形面积的求法，向量垂直的性质及三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
根据题意，推导出，由此能求出B；
由，得到从而求出，由此能求出的周长．
 

18.【答案】解：因为，①，②;①-②，，即，所以为从第2项开始的等比数列，且公比，又，所以，满足所以数列的通项公式为
证明：由知，所以，所以得证． 

【解析】本题考查了求数列的通项，利用关系式得出数列为等比数列是解决本题的关键，同时考查数列裂项相消求和，属于容易题．
通过，当时，利用，可得，当时单独验证，进而可得结论； 
求得，，再由裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．
 

19.【答案】解：记每个农户的平均损失为元，则；

由频率分布直方图，可得损失超过4000元的农户共有户，损失超过8000元的农户共有户，

随机抽取2户，则X的可能取值为0，1，2；计算，，，所以X的分布列为；

则数学期望为

【解析】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题．
根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；
根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望值．
 

20.【答案】解：证明：因为，，，所以，得，又因为，，所以，，AC，平面ABC，
所以平面ABC，因为平面，所以平面平面；

解：连接AM，因为，M是BC的中点，所以
由知，平面平面，所以平面
以M为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则平面的一个法向量是，，，
设，，，，
代入上式得，，，所以
设平面的一个法向量为，，，由，得令，得
因为二面角的平面角的大小为，
所以，即，解得
所以点P为线段上靠近点的四等分点，且坐标为 

【解析】本题主要考查了面面垂直的判定定理，利用空间向量求二面角的大小，属于中档题.
先证平面ABC，在由面面垂直的判断得出结论：
以M为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面MNP的一个法向量，因为二面角的平面角的大小为，列式解得t的值，得出P点坐标.
 

21.【答案】解：证明：设，，，
故可设直线l的方程为，由，得，则，，
由题意可知，，，则，，，故；
解：假设存在点满足题意，设直线AT，BT的斜率分别为，，，则，且为常数，，即，故存在点满足题意． 

【解析】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．设出A，B的坐标及直线l的方程，联立直线方程与抛物线方程，结合斜率公式及根与系数的关系证明，得到；
假设存在点满足题意，设直线AT，BT的斜率分别为，写出的表达式，由m得系数为0求解a值为定值，可得在x轴上存在一点T，使得直线AT，BT的斜率之和为定值．
 

22.【答案】解：证明：，，在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数在上单调递增，
又，令，，则在上单调递减，，，令，则，

函数在上存在唯一的零点；
由可知存在唯一的，使得，即①，
函数在上单调递增，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，由①得，
，显然是方程的解，
又是单调递减函数，
方程有且仅有唯一的解，把代入①式，得，
，即a的值为 

【解析】本题考查导数中的零点问题、函数零点存在性定理、利用导数求函数的最值.
求出函数的导数，利用单调性即可证明；
求出导数，根据单调性得出方程有且仅有唯一的解，由此即可求出结果.