2022-2023学年吉林省辽源市田家炳高级中学校友好学校高二下学期期末联考数学试题含答案

2022-2023学年吉林省辽源市田家炳高级中学校友好学校高二下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．已知ξ～B，η～B，且E(ξ)＝15，则E(3η＋6)等于（    ）

A．30 B．16

C．36 D．10

【答案】C

【分析】利用离散型随机变量的分布列的期望及其性质求解.

【详解】因为ξ～B，

所以E(ξ)＝.又E(ξ)＝15，

所以n＝30，

所以η～B.

故E(η)＝30×＝10.∴

E(3η＋6)＝3E(η)＋6＝36.

故选：C

【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列的期望及其性质的应用，属于基础题.

2．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中得到了世界领先的成果.哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如，在不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数的和是奇数的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先确定不超过20的素数，再确定两个不同的数的和为奇数的取法，最后根据古典概型概率公式求概率．

【详解】因为不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，随机选取2个不同的数，其和为奇数，则必有2，所以所求概率．

故选：B

3．已知的展开式中x2的系数为10，则n=（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】运用二项式定理求参数的值.

【详解】的展开式中的系数即的展开式中的系数，

由二项式定理得，整理得，解得.

故选：C.

4．若点为曲线上的动点，点为直线上的动点，则的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】根据、图象分析最小时P的位置，利用导数几何意义求上斜率为1的切线，应用平行线距离公式求的最小值.

【详解】由题意，要使的最小，为平行于的直线与的切点，

令，可得，故切点为，

以为切点平行于的切线为，此时有.

故选：A

5．已知函数的图象在点处的切线方桯为.则的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】对函数求导，再求出处的切线方程，即可求得；

【详解】解：函数，则，函数的图象在点处的切线方桯为，

所以，解得，则.

故选：C.

6．现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（    ）

A．56种 B．64种 C．72种 D．96种

【答案】D

【分析】根据是否入选进行分类讨论即可求解.

【详解】根据题意可知：根据是否入选进行分类：

若入选：则先给从乙、丙、丁个岗位上安排一个岗位有种，再给剩下三个岗位安排人有种，共有种方法；

若不入选：则个人个岗位有种方法，共有种.

故选：

7．已知函数是的导函数，则函数的零点个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】令，结合单调性和函数零点存在定理，研究的零点个数即可.

【详解】由题意知，令，即研究的零点个数，

显然的定义域为，

由知在定义域内单调递增，

又，

故在定义域内有唯一零点，且.

故选：B.

8．“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符"（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，共有种不同的领取方案，其中们三人领取的礼品种类都不相同的有种，进而根据古典概型即可得答案.

【详解】根据题意，3名顾客都领取一件礼品，基本事件总数共有：种，

他们三人领取的礼品种类都不相同的基本事件有种，

故根据古典概型公式得他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是

故选：A

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．若样本数据的方差为4，则数据的方差为9

B．若随机变量，，则

C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱

D．若事件A，B满足，，，则有

【答案】BD

【分析】A选项，根据方差的线性运算性质，计算即可；B选项，根据正太分布曲线可求得；C选项相关系数越接近1，相关性越强；D选项，，则两事件相互独立，根据条件概率的计算公式可以求得.

【详解】由于，所以数据的方差为16，因此选项A错误；

随机变量，，

则，因此选项B正确；

线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故选项C错误；

由于等价于“事件A与事件B相互独立”，即，故必有.因此选项D正确.

故选：BD.

10．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10题中随机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是（    ）

A．答对0题和答对3题的概率相同，都为

B．答对1题的概率为

C．答对2题的概率为

D．合格的概率为

【答案】CD

【分析】根据古典概型的概率公式，结合组合数公式，逐项求出各事件的概率.

【详解】选项，答对0题和3题的概率为，

所以选项错误；

选项，答对1题的概率为

所以选项错误；

选项，答对2题的概率为，

所以选项正确；

选项，至少答对2题的概率为，

所以选项正确.

故选:CD.

【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件的概率，要明确各事件的关系，利用组合数求出基本事件的解题的关键，属于基础题.

11．在的展开式中，下列说法正确的是（    ）

A．不存在常数项 B．二项式系数和为1

C．第4项和第5项二项式系数最大 D．所有项的系数和为128

【答案】AC

【分析】利用二项展开式的通项公式及赋值法，逐项分析即得.

【详解】因为展开式的通项公式为，

对A，由，得(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确；

对B，二项式系数和为，故B错误；

对C，展开式共有项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故C正确；

对D，令，得所有项的系数和为，故D错误；

故选：AC.

12．对于函数，下列说法正确的有（    ）

A．在处取得极大值 B．在处取得最大值

C．有两个不同零点 D．

【答案】ABD

【分析】对函数求导，利用函数单调性求极值和最值即可判断A、B，令函数等于0，求出零点即可判断C，利用函数单调性即可判断D.

【详解】函数的导数，

令得，

则当时，，函数为增函数，

当时，，函数为减函数，

则当时，函数取得极大值，极大值为，

故A正确，

由上述可知当时，函数的极大值即为最大值，且最大值为，

故B正确，

由，得，得，即函数只有一个零点，

故C错误，

由，

所以，

由时，函数为减函数，知，

故成立，

故D正确．

故选：ABD．

三、填空题

13．设随机变量，若，则          .

【答案】/

【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案.

【详解】依题意，所以.

故答案为：

14．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的种数为           .（用数字作答）.

【答案】24

【分析】先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起，然后与宫、商、角进行全排，再结合定序问题倍缩法求解即.

【详解】解：先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有，然后与宫、商、角进行全排有，考虑到顺序问题,

则可排成不同的音序的种数为.

故答案为：24．

15．已知在处取得极值，则的最小值为          .

【答案】8

【分析】由已知在处取得极值求得，再结合“1”的代换，利用基本不等式求解.

【详解】解：由，

因为函数在处取得极值，所以有，

则，

因为，

所以，

当且仅当，结合，即时取等号.

故答案为：8

16．设函数（m为实数），若在上单调递减，则实数m的取值范围             ．

【答案】

【分析】首先根据题意得到，，再根据的单调性即可得到答案.

【详解】，因为函数在区间上单调递减，

所以，恒成立，

即，.

又在上单调递减，所以，

故，即，

所以m的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

17．按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？

(1)甲、乙、丙三人必须当选；

(2)甲必须当选，乙、丙不能当选；

(3)甲、乙、丙三人至多2人当选.

【答案】(1)36；

(2)126；

(3)756﹒

【分析】(1)只需从除掉甲、乙、丙的9人中选2人即可；

(2)只需从除掉甲、乙、丙的9人中选4人即可；

(3)从所有选法中去掉甲、乙、丙均当选的情况即可.

【详解】（1）甲、乙、丙都入选，余下9人中选2人，有种选法；

（2）甲入选，乙、丙不能当选，则要在余下的9人中选4人，有种选法；

（3）所有的选法种数为，甲、乙、丙都入选有种选法，故有种选法.

18．某市春节期间7家超市的广告费用支出（万元）和销售额（万元）数据如下表：

(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；

(2)用二次函数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程，经过计算二次函数回归模型和线性回归模型的相关指数分别约为0.92和0.75，请用说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费用支出3万元时的销售额．

参考数据及公式：，，，，，．

【答案】(1)

(2)二次函数回归模型更合适，预测A超市广告费用支出3万元时的销售额为33.47万元

【分析】（1）根据最小二乘法结合条件即得；

（2）根据相关指数的概念及回归方程即得.

【详解】（1）由参考数据知，，，，

则，

所以，

所以y关于x的线性回归方程是；

（2）因为二次函数回归模型和线性回归模型的相关指数分别约为0.92和0.75，且，

所以二次函数回归模型更合适，

用此模型，当时，，

由此预测A超市广告费支出为3万元时的销售额为33.47万元．

19．已知函数.

(1)求在点处的切线方程；

(2)求在上的最值.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）求导，得出切线的斜率，确定切点的纵坐标，写出切线方程；

（2）研究函数在区间上单调性，计算在上的极值及和，然后比较可得最值．

【详解】（1），.

，所以切线方程为，即.

（2）

在单调递增；

在单调递减，

时，取极大值也是最大值，

，

.

20．某调研机构为研究某产品是否受到人们的欢迎，在社会上进行了大量的问卷调查，从中抽取了50份试卷，得到如下结果：

(1)估算一下，1000人当中有多少人喜欢该产品？

(2)能否有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关？

(3)从表格中男生中利用分层抽样方法抽取5人，进行面对面交谈，从中选出两位参与者进行该产品的试用，求所选的两位参与者至少有一人不喜欢该产品的概率．

参考公式与数据：

，．

【答案】(1)460人

(2)有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关

(3)．

【分析】（1）通过表格得到喜欢产品的概率，即可求解；

（2）根据列联表结合公式运算，并与临界值3.841比较得到结论；

（3）根据分层抽样得到共有3人喜欢，有2人不喜欢，然后写出选择两个人的所有情况，在罗列出满足至少有一人不喜欢的情况，根据古典概型即可

【详解】（1）通过表格可得到喜欢该产品的概率为，

故1000人中喜欢该产品的人大概有

（2）由表格可得，

故有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关；

（3）由于，故抽取的5人中有3个人喜欢该产品，有2个人不喜欢该产品．

从中选2人，则所有选择方法为：，共10种不同情形，

其中至少有一个人不喜欢的可能情形为：，共7种，

故所选的两位参与者至少有一人不喜欢该产品的概率．

21．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．

(1)求甲正确完成两个面试题的概率；

(2)求乙正确完成面试题数的分布列．

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】设考生甲正确完成题数为，则取值分别为，，，；乙正确完成题数，取值分别为，，，求出取每个值时的概率，即得分布列．

【详解】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．

.

（2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是．

，，，．

应聘者乙正确完成题数的分布列为

22．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）函数，若方程在上有解，求实数a的取值范围．

【答案】（1）的增区间为，减区间为；（2）．

【分析】（1）利用函数导数，求得函数的单调区间.

（2）利用导数，求得的单调区间和值域，根据在有解列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】（1）函数的定义域为，，

令解得：，

时，，此时函数是减少的．

时，，此时函数是增加的．

函数的增区间为，减区间为．

（2），则，

由（1）知，在为增函数，，

在为增函数，即．

在有解，只需满足即

实数a的取值范围为．

【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的值域，属于中档题.