2023-2024学年吉林省友好学校高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省友好学校高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知平面α的法向量为a=(1,2,−2)，平面β的法向量为b=(−2,−4,k)，若α⊥β，则k=( )
A. 4B. −4C. 5D. −5
2.在等比数列{an}中，a1=12，q=12，an=132，则项数n为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
3.已知双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的 2倍，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. y=±2 2xB. y=± 2xC. y=± 22xD. y=± 24x
4.已知直线l将圆C：x2+y2+x−2y+1=0平分，且与直线x+2y+3=0垂直，则l的方程为( )
A. 2x+y=0B. 2x+y−3=0C. 2x−y−4=0D. 2x−y+2=0
5.如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，F是棱PD的中点，且BE=2EC，则EF=( )
A. 12AP−AB−16AD
B. −12AP+AB+16AD
C. 12AP−AB+16AD
D. −12AP+AB−16AD
6.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“.在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9,n∈N*)个圆环所需的移动最少次数，若a1=1，且an=2an−1−1,n为偶数2an−1+2,n为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为( )
A. 7B. 13C. 16D. 22
7.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为( )
A. 6B. 5C. 2D. 3
8.已知圆C：(x−3)2+(y−3)2=4，一条光线从点A(−1,3)处射到直线l：x+y=0上，经直线l反射后，反射光线与圆C有公共点，则反射光线斜率的取值范围是( )
A. (−∞,0]∪[34,+∞)B. [0,34]
C. (−∞,0]∪[43,+∞)D. [0,43]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论不正确的是( )
A. 过点A(1,3)，B(−3,1)的直线的倾斜角为30°
B. 直线(3+m)x+4y−3+3m=0(m∈R)恒过定点(−3,−3)
C. 直线x+2y−4=0与直线2x+4y+1=0之间的距离是 52
D. 已知A(2,3)，B(−1,1)，点P在x轴上，则|PA|+|PB|的最小值是5
10.已知圆O1：x2+y2−2x−3=0和圆O2：x2+y2−2y−1=0交于A，B两点，则( )
A. 两圆的圆心距|O1O2|=2
B. 两圆有3条公切线
C. 直线AB的方程为x−y+1=0
D. 圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+ 2
11.公差为d的等差数列{an}满足a2=5，a6+a8=30，则下列结论正确的有( )
A. d=1B. an=2n+1
C. 1an2−1=14(1n−1n+1)D. {1an2−1}的前n项和为n4n+1
12.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，下列四个结论中正确的是( )
A. 直线BC1与直线AD1所成的角为90°
B. B1D⊥平面ACD1
C. 点B1到平面ACD1的距离为 32
D. 直线B1C与平面ACD1所成角的余弦值为 33
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若a=(1,2,3)，b=(0,1,−4)，则|a−2b|= ______ ．
14.已知直线l1：x+ay+6=0，直线l2：(a−2)x+3ay+18=0，且l1//l2，则a的值为______ ．
15.已知抛物线y2=4x的焦点为F，M、N是抛物线上两个不同的点.若|MF|+|NF|=5，则线段MN的中点到y轴的距离为______ ．
16.古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线.这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义.若平面内一动点P(x,y)到定点A(1,0)和到定直线x=9的距离之比是13，则点P的轨迹方程为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知等差数列{an}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求S100的值．
18.(本小题12分)
已知圆C过点A(1,2)，B(1,0)，且圆心在x+y−1=0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l：3x−4y+2=0与圆C交于M、N两点，求线段MN的长度．
19.(本小题12分)
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(4,0)，O为坐标原点．
(1)求抛物线方程；
(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求△AOB的面积．
20.(本小题12分)
在如图所示的四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB/​/平面ACE；
(2)若PA=AD=1，AB=2，求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值．
21.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−n．
(1)求证：数列{an+1}为等比数列；
(2)记bn=n2n−1⋅(2n−an)，求数列{bn}的前n项和为Tn．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为2 3．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足OM⋅ON=2(O为坐标原点)若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵平面α的法向量为a=(1,2,−2)，平面β的法向量为b=(−2,−4,k)，且α⊥β，
∴a⊥b，
∴a⋅b=1×(−2)+2×(−4)−2k=0，
解得k=−5．
故选：D．
根据题意a⊥b，得出a⋅b=0，列出方程求出k的值．
本题考查了平面的法向量与向量垂直的应用问题，是基础题目．
2.【答案】C
【解析】解：∵{an}是等比数列
∴an=132=a1qn−1=12×(12)n−1=(12)n=(12)5
解得：n=5
故选：C．
根据等比数列的通项公式建立等式关系，然后根据指数函数的单调性解指数方程即可求出项数n．
本题主要考查了等比数列的通项公式，以及解指数方程，属于基础题，是对基础知识的考查，是送分题．
3.【答案】B
【解析】解：∵双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的 2倍，
∴ 2b=a，∴双曲线C的渐近线方程为：y=± 2x.
故选：B．
由已知条件推导出 2b=a，由此能求出此双曲线的离心率．
本题考查双曲线的离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线基本性质的合理运用．
4.【答案】D
【解析】解：化圆C为(x+12)2+(y−1)2=14，可得圆心坐标为(−12,1)，
由题意知，直线l过点(−12,1)，
又与直线x+2y+3=0垂直，可得斜率为2，
∴直线l的方程为y−1=2(x+12)，整理得2x−y+2=0，
故选：D．
化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标，再由已知求出直线l的斜率，利用直线方程的点斜式得答案．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查直线方程的求法，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，F是棱PD的中点，且BE=2EC，
∴AE=AB+BE=AB+23BC=AB+23AD，AF=12(AP+AD)，
则EF=AF−AE=12(AP+AD)−(AB+23AD)=12AP−AB−16AD，
故选：A．
利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．
本题考查空间向量的线性运算，空间向量基本定理，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数列的递推关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的各项．
【解答】解：由于a1=1，
所以a2=2a1−1=1，a3=2a2+2=4，a4=2a3−1=7，a5=2a4+2=16．
故选：C．
7.【答案】D
【解析】解：将x=c代入双曲线的方程得y=b2a即M(c,b2a)
在△MF1F2中tan30°=b2a2c
即c2−a22ac= 33
解得e=ca= 3
故选：D．
将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．
本题考查双曲线中三参数的关系：c2=a2+b2，注意与椭圆中三参数关系的区别；求圆锥曲线的离心率就是求三参数的关系．
8.【答案】B
【解析】解：点A(−1,3)关于直线l：x+y=0的对称点A′(−3,1)，
由题意可得反射光线过A′点，显然过A′点的直线与圆C由公共点的直线的斜率存在，设反射光线的斜率为k，
则反射光线的直线的方程为y=k(x+3)+1，
即kx−y+3k+1=0，
可得点C到反射光线的距离d=|3k−3+3k+1| 1+k2=|6k−2| 1+k2≤2，
整理可得：4k2−3k≤0，解得0≤k≤34，
故选：B．
由题意可得点A关于直线x+y=0的对称点A′的坐标，设反射光线的方程，由题意可得点C到直线的距离小于等于圆C的半径，可得反射光线的斜率的范围．
本题考查反射光线的求法及直线与圆有公共点的求法，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：A选项，过点A(1,3)，B(−3,1)的直线的斜率为3−11−(−3)=12，
设直线倾斜角为θ，则tanθ=12，由于tan30°= 33，
故过点A(1,3)，B(−3,1)的直线的倾斜角不为30°，A错误；
B选项，直线(3+m)x+4y−3+3m=0(m∈R)变形得到3x+4y−3+(x+3)m=0(m∈R)，
令3x+4y−3=0x+3=0，解得x=−3y=3，
故直线(3+m)x+4y−3+3m=0(m∈R)恒过点(−3,3)，B正确；
C选项，直线x+2y−4=0变形为2x+4y−8=0，
故与直线2x+4y+1=0之间的距离是|1−(−8)| 22+42=92 5=9 510，故C错误；
D选项，在平面直角坐标系中画出A(2,3)，B(−1,1)，两点都在x轴上方，
画出B(−1,1)关于x轴的对称点D(−1,−1)，连接AD，与x轴交于点P，
则|AD|即为|PA|+|PB|的最小值，
则(|PA|+|PB|)min= (−1−2)2+(−1−3)2=5，D正确．
故选：AC．
A选项，求出过点A(1,3)，B(−3,1)的直线的斜率，进而得到倾斜角不为30°；B选项，变形后得到方程组，求出恒过点(−3,3)；C选项，直线x+2y−4=0变形为2x+4y−8=0，利用两平行线间距离公式求出答案；D选项，在坐标系中画出点的坐标，利用对称性求出|PA|+|PB|的最小值．
本题主要考查直线方程的应用，属于中档题．
10.【答案】CD
【解析】解：根据题意，圆O1：x2+y2−2x−3=0，即(x−1)2+y2=4，其圆心(1,0)，半径R=2；
圆O2：x2+y2−2y−1=0，即x2+(y−1y2=2，其圆心(0,1)，半径r= 2；
依次分析选项：
对于A，两圆的圆心距|O1O2|= 1+1= 2，所以A错误；
对于B，由于2− 2<|O1O2|<2+ 2，两圆相交，有2条公切线，B错误；
对于C，两个圆的方程作差可得−2x+2y−2=0，即x−y+1=0，
故直线AB的方程为x−y+1=0，C正确；
对于D，圆O1到直线AB的距离d=2 2= 2，
则圆O1上的点到直线AB的最大距离为R+d=2+ 2，所以D正确．
故选：CD．
求出圆的圆心与半径，求解圆心距判断A；判断两个圆的位置关系，可得两圆公切线的数目，可得B错误，求出相交弦数值的直线方程判断C；利用点到直线的距离以及点与圆的位置富安心可得D正确，综合可得答案．
本题考查两个圆的位置关系的应用，涉及直线与圆的位置关系，是中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：∵{an}为等差数列，
∴a2=a1+d=5a6+a8=2a1+12d=30，解得a1=3d=2，
∴an=3+2(n−1)=2n+1，∴A错误，B正确；
∵an=2n+1，
∴1an2−1=14(1n−1n+1)，
∴{1an2−1}的前n项和为14[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)]=14(1−1n+1)=n4(n+1)，∴C正确，D错误．
故选：BC．
根据已知条件，求出等差数列的首项和公差，从而得到{an}的通项公式，判断选项A，B；将{an}的通项公式代入1an2−1，再利用裂项法求前n项和，即可判断选项C，D．
本题主要考查等差数列的性质，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
【解答】
解：如图，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，
B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，B(1,1,0)，
对于A，BC1=(−1,0,1)，AD1=(−1,0,1)，BC1⋅AD1=2，∴BC1不垂直于AD1，
∴直线BC1与直线AD1所成的角不为90°，故A错误；
对于B，∵AC=(−1,1,0)，AD1=(−1,0,1)，B1D=(−1,−1,−1)，
∴AC⋅B1D=0，AD1⋅B1D=0，∴AC⊥B1D，AD1⊥B1D，
∵AC∩AD1=A，∴B1D⊥平面ACD1，故B正确；
对于C，∵B1C=(−1,0,−1)，AC=(−1,1,0)，AD1=(−1,0,1)，
设平面ACD1的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅AC=−x+y=0n⋅AD1=−x+z=0，取x=1，得n=(1,1,1)，
∴点B1到平面ACD1的距离为d=|B1C⋅n||n|=2 3=2 33，故C错误；
对于D，由C知平面ACD1的法向量n=(1,1,1)，B1C=(−1,0,−1)，
∴|cs|=|B1C⋅n||B1C|⋅|n|=2 2⋅ 3= 63，
∴直线B1C与平面ACD1所成角的余弦值为 1−( 63)2= 33，故D正确．
故选：BD．
13.【答案】 122
【解析】解：因为a=(1,2,3)，b=(0,1,−4)，
所以a−2b=(1,0,11)，|a−2b|= 1+0+121= 122．
故答案为： 122．
根据空间向量的坐标运算求解即可．
本题主要考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
14.【答案】0
【解析】解：由l1//l2，可得1×3a−a(a−2)=0，且1×18≠6(a−2)，解得a=0．
故答案为：0．
根据两直线平行，列出充要条件，求出a的值．
本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
15.【答案】32
【解析】解：由抛物线方程y2=4x，得准线方程为：x=−1，
设M(x,y)，N(x′,y′)，
由抛物线的性质得，|MF|+|NF|=x+x′+p=x+x′+2=5，
可得MN中点的横坐标为32，
则线段MN的中点到y轴的距离为：32．
故答案为：32．
抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可．
考查抛物线的定义的应用，属于基础题．
16.【答案】x29+y28=1
【解析】解：由题意得 (x−1)2+(y−0)2|x−9|=13，化简解得8x2+9y2=72，即x29+y28=1，
所以点P的轨迹方程为：x29+y28=1．
故答案为：x29+y28=1．
利用轨迹方程的求法，直接求解即可．
本题考查轨迹方程的求法，是基础题．
17.【答案】解：(1)∵a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1⋅a4，
∴(a1+2×2)2=a1⋅(a1+2×3)，解得：a1=−8，
则{an}的通项公式为an=−8+(n−1)×2=2n−10；
(2)∵Sn=n(a1+an)2=n(−8+2n−10)2=n(2n−18)2=n(n−9)，
∴S100=100(100−9)=9100，
则S100的值为9100．
【解析】(1)由已知可得a32=a1⋅a4，转化为关于首项和公差的方程，再求等差数列的通项公式；
(2)由等差数列的求和公式求解即可．
本题考查等差数列的通项公式及前n项和，考查等比数列的性质，是基础题．
18.【答案】解：(1)因为圆C过点A(1,2)，B(1,0)，
所以线段AB的中垂线方程为y=1，则圆心在直线y=1上，
又圆心在x+y−1=0上，所以y=1x+y−1=0，解得x=0y=1，所以圆心C(0,1)，
又|BC|= 12+(−1)2= 2，所以圆C的标准方程为x2+(y−1)2=2．
(2)圆心C(0,1)到直线l：3x−4y+2=0的距离d=|0−4+2| 32+(−4)2=25，
所以|MN|=2 r2−d2=2 ( 2)2−(25)2=2 465．

【解析】(1)首先求出线段AB的中垂线方程，即可求出圆心坐标与半径，从而得到圆的方程；
(2)求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理、勾股定理计算可得．
本题考查圆的方程的求解和直线与圆位置关系的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由焦点的坐标可得p2=4，
所以p=8，
所以抛物线方程为y2=16x．
(2)由(1)可得抛物线的方程为y2=16x，
设直线AB的方程为：y=x−4，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立直线AB与抛物线的方程可得：y=x−4y2=16x，整理可得：x2−24x+16=0，
所以x1+x2=24，
由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，
所以弦长|AB|=x1+x2+p=24+8=32，
又因为原点(0,0)到直线AB的距离d=|−4| 1+1=2 2，
所以△AOB的面积S=12|AB|d=12×32×2 2=32 2．
【解析】(1)由焦点的坐标直接可得p值；
(2)由题意设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，可得弦长|AB|的值，利用点到直线距离公式求出原点到直线AB的距离，结合三角形面积公式求解即可．
本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于中档题．
20.【答案】(1)证明：连接BD，交AC于点O，连接EO，

∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO//PB，
∵EO⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，
∴PB/​/平面ACE；
(2)解：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则A(0,0,0)，C(2,1,0)，B(2,0,0)，E(0,12,12)，
AC=(2,1,0)，AE=(0,12,12)，
∵PA⊥平面ABCD，∴平面ACD的一个法向量m=(0,0,1)．
设平面AEC的法向量为n=(x,y,z)，
由n⋅AC=2x+y=0n⋅AE=12y+12z=0，取x=1，得n=(1,−2,2)．
∴cs=m⋅n|m||n|=21×3=23．
故平面EAC与平面ACD夹角的余弦值为23．
【解析】(1)连接BD，交AC于点O，连接EO，则EO/​/PB，再由线面平行的判定定理即可证明；
(2)如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面EAC与平面ACD的法向量，再由向量数量积求夹角公式得答案．
本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
21.【答案】(1)证明：因为Sn=2an−n，……①，
所以当n=1时，a1=1，
当n≥2时Sn−1=2an−1−(n−1)……②
则①−②可得an=2an−1+1(n≥2)，
所以an+1=2(an−1+1)(n≥2)，
因为a1+1=2≠0，
所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
(2)解：由(1)知an+1=2n，即an=2n−1
因为bn=n2n−1⋅(2n−an)，
所以bn=n2n−1，
则Tn=120+221+322+…+n−12n−2+n2n−1……①
①×12得12Tn=121+222+323+…+n−12n−1+n2n……②
①−②得12Tn=1+121+122+…+12n−1−n2n=1−(12)n1−12−n2n=2−2+n2n，
所以Tn=4−n+22n−1．
【解析】(1)根据an与Sn的关系可得an=2an−1+1(n≥2)，然后利用等比数列的定义证明即可；
(2)求出bn，然后利用错误相减法求和．
本题考查了数列的递推式，等比数列的证明以及错位相减法求和，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意得：2b=2 3a=2ca2=b2+c2，解得a=2b= 3
∴椭圆C的标准方程是x24+y23=1；
(2)当直线l的斜率不存在时，M(0, 3)，N(0,− 3)OM⋅ON=−3，不符合题意
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)
由x24+y23=1y=kx+2消y整理得：(3+4k2)x2+16kx+4=0，
△=(16k)2−16(3+4k2)>0，
解得k<−12或k>12x1+x2=−16k3+4k2，x1x2=43+4k2
∴OM⋅ON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=4(1+k2)3+4k2−32k23+4k2+4=16−12k23+4k2，
∵OM⋅ON=2∴16−12k23+4k2=2
解得k=± 22，满足△>0，
所以存在符合题意的直线，其方程为k=± 22x+2．
【解析】(1)由椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为2 3，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
(2)当直线l的斜率不存在时，M(0, 3)，N(0,− 3)OM⋅ON=−3，不符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)由x24+y23=1y=kx+2，得：(3+4k2)x2+16kx+4=0，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式，结合已知条件能求出结果．
本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．