2023年中考数学（苏科版）总复习一轮课时训练 13　二次函数的图像与性质(含答案)

二次函数的图像与性质

夯实基础

1.[2022·常州]已知二次函数y=(a-1)x2,当x>0时,y随x增大而增大,则实数a的取值范围是 (　　)

A.a>0 B.a>1 C.a≠1  D.a<1

2.[2022·东营]一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是图中的              (　　)

3.[2022·烟台]如图,二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.下列结论:

①ac>0;

②当x>0时,y随x的增大而增大;

③3a+c=0;

④a+b≥am2+bm.

其中正确的个数有 (　　)

A.1个  B.2个

C.3个  D.4个

4.[2022·苏州]已知抛物线y=x2+kx-k2的对称轴在y轴右侧,现将该抛物线先向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度后,得到的抛物线正好经过坐标原点,则k的值是              (　　)

A.-5或2  B.-5

C.2  D.-2

5.[2022·泰州]在函数y=(x-1)2中,当x>1时,y随x的增大而　　　　(填“增大”或“减小”). 

6.某二次函数的图像的顶点坐标为(4,-1),且它的形状、开口方向与抛物线y=-x2相同,则这个二次函数的解析式为　                      . 

7.[2022·成都]在平面直角坐标系xOy中,若抛物线y=x2+2x+k与x轴只有一个交点,则k=　　　　. 

8.[2022·安徽14题改编]设抛物线y=x2+(a+1)x+a,其中a为实数.

(1)若抛物线经过点(-1,m),求m的值;

(2)将抛物线y=x2+(a+1)x+a向上平移2个单位长度,求所得抛物线顶点的纵坐标的最大值.

9.[2022·宁波]如图,二次函数y=(x-1)(x-a)(a为常数)的图像的对称轴为直线x=2.

(1)求a的值;

(2)向下平移该二次函数的图像,使其经过原点,求平移后图像所对应的二次函数的表达式.

10.已知二次函数y=x2-6x+8.

(1)将y=x2-6x+8化成y=a(x-h)2+k的形式;

(2)当0≤x≤4时,y的最小值是　　　　,最大值是　　　　; 

(3)当y<0时,写出x的取值范围.

拓展提升

11.[2022·无锡]设P(x,y1),Q(x,y2)分别是函数C1,C2图像上的点,当a≤x≤b时,总有-1≤y1-y2≤1恒成立,则称函数C1,C2在a≤x≤b上是“逼近函数”,a≤x≤b为“逼近区间”.则下列结论:

①函数y=x-5,y=3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”;

②函数y=x-5,y=x2-4x在3≤x≤4上是“逼近函数”;

③0≤x≤1是函数y=x2-1,y=2x2-x的“逼近区间”;

④2≤x≤3是函数y=x-5,y=x2-4x的“逼近区间”.

其中,正确的有 (　　)

A.②③  B.①④

C.①③  D.②④

12.[2022·南京]已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过(-2,1),(2,-3)两点.

(1)求b的值.

(2)当c>-1时,该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是　　　　　. 

(3)设(m,0)是该函数的图像与x轴的一个公共点.当-1<m<3时,结合函数的图像,直接写出a的取值范围.

13.[2022·荆州]小爱同学学习二次函数后,对函数y=-(|x|-1)2进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后,得到如图所示的函数图像.请根据函数图像,回答下列问题:

(1)观察探究:

①写出该函数的一条性质:　　　　　　; 

②方程-(|x|-1)2=-1的解为:　　　　　; 

③若方程-(|x|-1)2=a有四个实数根,则a的取值范围是　　　　　. 

(2)延伸思考:

将函数y=-(|x|-1)2的图像经过怎样的平移可得到函数y1=-(|x-2|-1)2+3的图像?写出平移过程,并直接写出当2<y1≤3时,自变量x的取值范围.

答案

1.B

2.C　 对于A选项,∵二次函数图像开口向下,对称轴在y轴左侧,∴a<0,b<0,

∴一次函数图像应该过第二、三、四象限,A不可能.

对于B选项,∵二次函数图像开口向上,对称轴在y轴右侧,∴a>0,b<0,

∴一次函数图像应该过第一、三、四象限,B不可能.

对于C选项,∵二次函数图像开口向下,对称轴在y轴左侧,∴a<0,b<0,

∴一次函数图像应该过第二、三、四象限,C可能.

对于D选项,∵二次函数图像开口向下,对称轴在y轴左侧,∴a<0,b<0,

∴一次函数图像应该过第二、三、四象限,D不可能.故选C.

3.B　 把点A(-1,0),B(3,0)的坐标代入二次函数y=ax2+bx+c,得a-b+c=0,9a+3b+c=0,可得b=-2a,c=-3a,

∴二次函数的解析式为:y=ax2-2ax-3a.

∵该函数图像开口向下,∴a<0,

∴b=-2a>0,c=-3a>0,

∴ac<0,3a+c=0,①错误,③正确.

∵对称轴为直线:x=-=1,

∴x<1时,y随x的增大而增大,x>1时,y随x的增大而减小,②错误.

当x=1时,函数取得最大值,即对于任意的m,有a+b+c≥am2+bm+c,

∴a+b≥am2+bm,故④正确.综上,正确的个数有2个,故选B.

4.B　 ∵抛物线y=x2+kx-k2的对称轴在y轴右侧,∴x=->0,∴k<0.

∵抛物线y=x2+kx-k2=x+2-,

∴将该抛物线先向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度后,得到的抛物线的表达式是:y=x+-32-+1,∴将(0,0)代入,得0=0+-32-+1,

解得k1=2(舍去),k2=-5.故选B.

5.增大　6.y=-(x-4)2-1　7.1

8.解:(1)将点(-1,m)的坐标代入y=x2+(a+1)x+a,

得m=(-1)2+(a+1)×(-1)+a=0.

(2)抛物线y=x2+(a+1)x+a向上平移2个单位长度可得y=x2+(a+1)x+a+2,

∴y=x+2-(a-1)2+2,

∴抛物线顶点的纵坐标为-(a-1)2+2,

∵-<0,∴顶点的纵坐标的最大值为2.

9.解:(1)由二次函数y=(x-1)(x-a)(a为常数)知,该抛物线与x轴的交点坐标是(1,0)和(a,0).

∵对称轴为直线x=2,∴=2.解得a=3.

(2)由(1)知a=3,则该抛物线解析式是:y=x2-4x+3,

由抛物线向下平移3个单位后经过原点,得平移后图像所对应的二次函数的表达式是y=x2-4x.

10.解:(1)y=x2-6x+8=(x2-6x+9)-9+8=(x-3)2-1.

(2)-1　8　 ∵抛物线y=x2-6x+8开口向上,对称轴为直线x=3,

∴当0≤x≤4时,x=3,y有最小值-1;x=0,y有最大值8.

(3)当y=0时,x2-6x+8=0,解得x=2或4,

∴当y<0时,x的取值范围是2<x<4.

11.A　 令①②③④中的前一个函数为y1,后一个函数为y2.①y1-y2=-2x-7,在1≤x≤2上,当x=1时,y1-y2最大,为-9;当x=2时,y1-y2最小,为-11,即-11≤y1-y2≤-9,故函数y=x-5,y=3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”不正确;

②y1-y2=-x2+5x-5,在3≤x≤4上,当x=3时,y1-y2最大,为1;当x=4时,y1-y2最小,为-1,即-1≤y1-y2≤1,故函数y=x-5,y=x2-4x在3≤x≤4上是“逼近函数”正确;

③y1-y2=-x2+x-1,在0≤x≤1上,当x=时,y1-y2最大,为-;当x=0或x=1时,y1-y2最小,为-1,即-1≤y1-y2≤-,当然-1≤y1-y2≤1也成立,故0≤x≤1是函数y=x2-1,y=2x2-x的“逼近区间”正确;

④y1-y2=-x2+5x-5,在2≤x≤3上,当x=时,y1-y2最大,为;当x=2或x=3时,y1-y2最小,为1,即1≤y1-y2≤,故2≤x≤3是函数y=x-5,y=x2-4x的“逼近区间”不正确.∴正确的有②③.故选A.

12.解:(1)把(-2,1),(2,-3)代入y=ax2+bx+c中,得:

两式相减得-4=4b,∴b=-1.

(2)1　 把b=-1代入①式1=4a-2b+c得:1=4a+2+c,∴a=,

∵c>-1,∴c+1>0,

∴顶点的纵坐标=c+=c+1+-1=2+1≥1,

当c=0时,取到等号,

即该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1.

(3)a<0或a>.

 由4a-2+c=-3,得c=-4a-1,

则二次函数解析式为y=ax2-x-4a-1(a≠0),

由题意,分以下两种情况:

①如图①,当a<0时,则当x=-1时,y>0,当x=3时,y<0,

即

解得a<0;

②如图②,当a>0时,

则当x=-1时,y<0,

当x=3时,y>0.

即解得a>,

综上,a的取值范围为a<0或a>.

13.解:(1)①答案不唯一,如函数图像关于y轴对称

②x=-2或x=0或x=2

③-1<a<0

(2)将函数y=-(|x|-1)2的图像向右平移2个单位长度,向上平移3个单位长度可得到函数y1=-(|x-2|-1)2+3的图像,

当2<y1≤3时,自变量x的取值范围是0<x<4.