江苏省十三市各地区2022学年七年级上学期数学期末真题压轴精选——解答题50道（原卷+解析）

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江苏地区2022学年七年级上学期数学期末真题压轴精选
【解答题50道】
一、解答题
1．（2022·江苏南通期末）点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在O处，射线OC平分∠MOB．

(1)如图（1），若∠AOM=30°，求∠CON的度数；
(2)在图（1）中，若∠AOM=，直接写出∠CON的度数（用含的代数式表示）；
(3)将图（1）中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图（2）的位置，一边OM在直线AB上方，另一边ON在直线AB下方．
①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②当∠AOC＝3∠BON时，求∠AOM的度数．
【答案】(1)∠CON=15°；
(2)∠CON=a；理由见解析
(3)∠AOM=144°．

【分析】（1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；
（3）设∠AOM=a，则∠BOM=180°-a，①根据角平分线的定义得到∠MOC=∠BOM=（180°-α）=90°-α，根据余角的性质得到∠CON=∠MON-∠MOC=90°-（90°-α）=α，于是得到结论；
②由①知∠BON=∠MON-∠BOM=90°-（180°-α）=α-90°，∠AOC=∠AOM+∠MOC=α+90°-α=90°+α，列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：由已知得∠BOM=180°-∠AOM=150°，
又∠MON是直角，OC平分∠BOM，
所以∠CON=∠MON-∠BOM=90°-×150°=15°；
（2）解：∠CON=a；理由如下：
由已知得∠BOM=180°-∠AOM=180°-α，
又∠MON是直角，OC平分∠BOM，
所以∠CON=∠MON-∠BOM=90°-×（180°-α）=a；
（3）解：设∠AOM=a，则∠BOM=180°-a，
①∠CON=a；，
理由如下：
∵OC平分∠BOM，
∴∠MOC=∠BOM=（180°-α）=90°-α，
∵∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-（90°-α）=α，
∴∠CON=∠AOM；即∠CON=a；
②由①知∠BON=∠MON-∠BOM=90°-（180°-α）=α-90°，
∠AOC=∠AOM+∠MOC=α+90°-α=90°+α，
∵∠AOC=3∠BON，
∴90°+α=3（α-90°），
解得α=144°，
∴∠AOM=144°．
【点睛】本题主要考查的是余角与补角，角的计算、角平分线的定义的运用，正确的理解题意是解题的关键．解题时注意方程思想的运用．
2．（2022·江苏无锡期末）如图，点O是直线AB上的一点，从点O引出一条射线OC，使∠AOC＝60°，射线OA、OB同时绕点O旋转．

(1)若两条射线OA、OB旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线OA、OB同时与射线OC重合，则射线OA与OB旋转的速度之比为____；
(2)若两条射线OA、OB同时绕点O顺时针旋转，射线OA每秒旋转1°，射线OB每秒旋转5°，设旋转时间为t秒，0＜t＜180，当∠AOC＝∠BOC时，求t的值．
【答案】(1)1：2或5：4
(2)t的值为45或50或110

【分析】（1）设旋转时间为x秒，分两种情况：①射线OA顺时针旋转、OB逆时针旋转，②射线OA逆时针旋转、OB顺时针旋转，根据射线OA与OB旋转的角度即可得到结论；
（2）分四种情况讨论：①当0＜t≤即0＜t≤48时，②当48＜t≤60时，③当60＜t≤即60＜t≤72时，④当72＜t＜180时，根据∠AOC＝∠BOC即可得到结论．
（1）
解：设旋转时间为x秒，①射线OA顺时针旋转、OB逆时针旋转时，
由题意得： ，
∴，
∴射线OA与OB旋转的速度之比为1：2；
②射线OA逆时针旋转、OB顺时针旋转时，
由题意得：，
∴，
∴射线OA与OB旋转的速度之比为5：4；
综上，射线OA与OB旋转的速度之比为1：2或5：4，
故答案为：1：2或5：4；
（2）
解：①当0＜t≤即0＜t≤48时，
由题意得：60﹣t＝240﹣5t，
解得：t＝45；
②当48＜t≤60时，
由题意得：5t﹣240＝60﹣t，
解得：t＝50；
③当60＜t≤即60＜t≤72时，
由题意得：t﹣60＝5t﹣240，
解得：t＝45（不合题意，舍去）；
④当72＜t＜180时，
由题意得：t﹣60＝240﹣（5t﹣360），
解得：t＝110；
综上，t的值为45或50或110．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到相等关系列出方程，是解题的关键．
3．（2022·江苏无锡期末）甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如表购物优惠方案：
甲超市
乙超市
消费金额（元）
优惠活动
消费金额（元）
优惠活动
0～100（包含100）
无优惠
0～200（包含200）
无优惠
100～350（包含350）
一律享受九折优惠
大于200
超过200元的部分享受八折优惠
大于350
一律享受八折优惠

(1)小王需要购买价格为240元的商品，去哪家店更划算？
(2)小李带了252元去购物、为了买到最多的商品，应选择哪家超市？最多能买到原价为多少元的商品？
(3)小刘在甲超市购物、两次购物分别付了80元和288元，如果小刘把这两次购物改为一次性购物，付款多少元？
【答案】(1)在甲超市更划算；
(2)应选择甲超市，最多能买到原价为280元的商品；
(3)把这两次购物改为一次性购物，付款320元或352元；

【分析】（1）比较在甲、乙超市分别所需支付的金额即可；
（2）求出252元在甲超市能购买的商品原价，再求出在乙超市购买的商品的原价，比较大小即可；
（3）先计算出支付80元和288元的商品原价，再将两次商品原价加一起参加优惠活动即可；
（1）
解：甲超市购物所付的费用为：（元），
乙超市购物所付的费用为：（元），
∵，
∴在甲超市更划算；
（2）
解：甲超市购买的商品原价：（元），
设乙超市超市购买的商品原价为x元，由题意得：
，解得：，
∵280＞265，
∴应选择甲超市，最多能买到原价为280元的商品；
（3）
解：∵，
∴第一次购买商品的原价小于100元，原价为80元，
∵，，
∴第二次购买商品的原价为100～350或大于350元，
设第二次购买商品的原价为m元，
①当时，
由题意得：（元），
（元），
∴把这两次购物改为一次性购物，付款320元；
②当时，
由题意得：（元），
（元），
∴把这两次购物改为一次性购物，付款352元；
综上，把这两次购物改为一次性购物，应付款320元或352元．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用（方案选择），（1）（2）比较简单，（3）中因为，故需要对288元的商品原价进行讨论．
4．（2022·江苏·东台市期末）学校综合实践活动小组的同学们乘车到天池山农科所进行社会调查可供租用的车辆有两种：第一种可乘8人，第二种可乘4人．若只租用第一种车若干辆则空4个座位；若只租用第二种车，则比租用第一种车多3辆，且刚好坐满．
（1）参加本次社会调查的学生共多少名？
（2）已知：第一种车租金为300元/天，第二种车租金为200元/天．要使每个同学都有座位，并且租车费最少，应该怎样租车？
【答案】（1）28名；（2）租第一种车3辆，第二种车1辆时费用最少，其费用为1100元．
【分析】（1）要注意关键语“只租用第一种车若干辆，则空4个座位；若只租用第二种车，则比租用第一种车多3辆，且刚好坐满”，根据两种坐法的不同来列出方程求解；
（2）要考虑到不同的租车方案，然后逐个比较，找出最佳方案．
【详解】解：（1）设参加本次社会调查的同学共x人，则根据题意得，
4（ +3）=x，
解之得：x=28
答：参加本次社会调查的学生共28人．
（2）其租车方案为
①第一种车4辆，第二种车0辆，租车费用为：300×4=1200（元）；
②第一种车3辆，第二种车1辆，租车费用为：300×3+200=1100（元）；
③第一种车2辆，第二种车3辆，租车费用为：300×2+200×3=1200（元）；
④第一种车1辆，第二种车5辆，租车费用为：300+200×5=1300（元）；
⑤第一张车0辆，第二种车7辆，租车费用为：200×7=1400（元）．
比较后知：租第一种车3辆，第二种车1辆时费用最少，其费用为1100元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．学生人数是定量，此题以学生人数为等量关系．
5．（2022·江苏·徐州期末）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．
（1）如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D______【A，B】的好点，但点D______【B，A】的好点．（请在横线上填是或不是）知识运用：
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2．数______所表示的点是【M，N】的好点；
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为-20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过______秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？

【答案】（1）不是，是；（2）0或-8；（3）5或7.5或10.
【分析】（1）根据定义发现：好点表示的数到【A，B】中，前面的点A是到后面的数B的距离的2倍，从而得出结论；
（2）点M到点N的距离为6，分三等分为份为2，根据定义得：好点所表示的数为0或-8；
（3）根据题意得：PB=4t，AB=40+20=60，PA=60-4t，由好点的定义可知：分两种情况列式：①PB=2PA；②PA=2PB；可以得出结论．
【详解】（1）如图1，∵点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，
根据好点的定义得：DB=2DA，
那么点D不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点；
（2）如图2，4-（-2）=6，6÷3×2=4，
即距离点M4个单位，距离点N2个单位的点就是所求的好点0；
∴数0所表示的点是【M，N】的好点；
4-（-8）=12，-2-（-8）=6，
同理：数-8所表示的点也是【M，N】的好点；
∴数0或-8所表示的点是【M，N】的好点；
（3）如图3，由题意得：PB=4t，AB=40+20=60，PA=60-4t，
点P走完所用的时间为：60÷4=15（秒），
分四种情况：
①当PA=2PB时，即2×4t=60-4t，t=5（秒），P是【A，B】的好点，
②当PB=2PA时，即4t=2（60-4t），t=10（秒），P是【B，A】的好点，
③当AB=2PB时，即60=2×4t，t=7.5（秒），B是【A，P】的好点，
④当AB=2AP时，即60=2（60-4t），t=7.5（秒），A是【B，P】的好点，
∴当经过5秒或7.5或10秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点.
【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程=时间×速度，认真理解新定义：好点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的2倍，列式可得结果．
6．（2022·江苏扬州期末）如图1，数轴上点A表示的数为－2，点B 表示的数为6，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M、N分别为PA、QB的中点．P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，运动停止，设点P、Q运动时间为t秒．
（1）当点P、Q相遇时，t ＝ ，MN ＝ ．
（2）当PQ之间的距离为4个单位长度时，求线段MN的长．
[知识迁移]学校数学社团学员自制了一个圆形转盘，如图2，O为转盘圆心，A、O、B在一条直线上，指针OP从OA出发绕点O顺时针方向转动，指针OQ也以相同的速度从OB出发绕点O逆时针方向转动．OP、OQ同时出发，当OP、OQ分别到达OB、OA时，运动停止．已知OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，设∠MON ＝ α，∠POQ ＝ β．试探索α与β的关系．（直接写出答案）

【答案】（1）2，4；（2）6或2；[知识迁移]或
【分析】（1）根据运动速度分别表示出点P和点Q在数轴上所对应的数，然后根据相遇时刻列方程求解，结合线段中点的定义求MN的长度；
（2）根据数轴上两点间距离列方程求解，然后分别确定点P和点Q在数轴上所对应的数，结合中点和两点间的距离公式求线段MN的长度；
[知识迁移]分OP与OQ相遇前及相遇后两种情况，结合角平分线的定义和角的数量关系分析求解
【详解】解：（1）由题意可得点P：－2＋t，点Q：6－3t，
当P与Q相遇时，－2＋t=6－3t，解得：t=2
此时P点表示0，Q点表示0
∵M、N分别为PA、QB的中点
∴MP=，NP=
∴MN＝MP+NP=4
故答案为：2；4

（2）点P：－2＋t，点Q：6－3t，
则PQ＝，即，解得t＝1或3
①当 t＝1时，点P：－1，点Q：3，则点M：，点N：，
∴MN＝=6
②当 t＝3时，点P：1，点Q：－3，则点M：，点N：，
∴MN＝2
∴线段MN的长为6或2
[知识迁移]①如图

∵OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，
∴∠AOM=∠POM=；
设∠MON ＝ α，∠POQ ＝ β
∴
∴
∴
②如图

∵OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，
∴∠AOM=∠POM=；
设∠MON ＝ α，∠POQ ＝ β
∴
∴
∴
综上，或
【点睛】本题考查一元一次方程的应用及线段中点、角平分线的定义、角的数量关系，，解题的关键是理解题意，学会设未知数列方程解决问题，属于中考常考题型．
7．（2022·江苏扬州期末）有以下运算程序，如图所示：

比如，输入数对（2，1），输出W＝2．
(1)若输入数对（1，﹣2），则输出W＝ ；
(2)分别输入数对（m，﹣n）和（﹣n，m），输出的结果分别是，试比较的大小，并说明理由；
(3)设a＝|x+2|，b＝|x﹣3|，若输入数对（a，b）之后，输出W＝26，请直接写出a+2b的值．
【答案】(1)1
(2)，理由见解析
(3)68或73

【分析】（1）根据程序框图，代入求值，即可求解；
（2）根据程序框图，先求出，再比较大小，即可求解；
（3）分三种情况讨论：当x≥3时；当x≤-2时；当-2＜x＜3时，即可求解．
（1）
解：根据题意得：

；
故答案为：1
（2）
解：，理由如下：
当a=m，b=-n时，

，
当a=-n，b= m时，



∴；
（3）
解：当x≥3时，a=x+2，b＝x﹣3，
∵W＝26，
∴，
解得：x=24，
∴a=26，b=21，
∴a+2b=68；
当x≤-2时，a=-x-2，b＝-x+3，
∵W＝26，
∴，
解得：x=-23，
∴a=21，b=26，
∴a+2b=73；
当-2＜x＜3时，a=x+2，b＝-x+3，
∴，
即，
解得：x=25或-22，不符合题意，舍去；
综上所述，a+2b的值为68或73．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值及含绝对值的一元一次方程，正确表示W是求解本题的关键．
8．（2022·江苏南京期末）如图1，线段．

(图1)
(1)点沿线段自点向点以厘米/秒运动，同时点沿线段自点向点以厘米/秒运动，几秒钟后、两点相遇？
(2)如图2，，，现点绕着点以的速度顺时针旋转一周后停止，同时点沿直线自点向点运动，假若点、两点也能相遇，求点运动的速度．

(图2)
【答案】(1)4s
(2)或

【分析】（1）根据相遇时，点P和点Q的运动的路程和等于AB的长列方程即可求解；
（2）由于点P，Q只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分两种情况，所以根据题意列出方程分别求解．
（1）
解：设经过后，点、相遇．
依题意，有，解得，
答：经过后，点、相遇；
（2）
解：点，只能在直线AB上相遇，
则点旋转到直线上的时间为，或．
设点的速度为，则有，解得；
或，解得
答：点的速度为或．
【点睛】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，关键是熟练掌握速度、路程、时间的关系．
9．（2022·江苏扬州期末）如图1，已知线段AE＝48Cm，点B、C、D在线段AD上，且AB：BC：CD：DE＝1：2：1：2．

(1)BC＝　cm，CD＝　　cm；
(2)已知动点M从点A出发，以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D﹣E向点E运动；同时动点N从点E出发，以1cm/s的速度沿E﹣D﹣C﹣B﹣A向点A运动，当点M到达点E后立即以原速返回，直到点N到达点A，运动停止；设运动的时间为t．
①求t为何值，线段MN的长为12cm；
②如图2，现将线段AE折成一个长方形ABCD（点A、E重合），请问：是否存在某一时刻，以点A、B、M、N为顶点的四边形面积与以点C、D、M、N为顶点的四边形面积相等，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)16，8
(2)①t＝12s或20s或36s；②存在，t＝8s或24s

【分析】（1）根据比值列方程或直接列乘积式求得结果；
（2）①分为相遇前，相遇后以及M点返回三种情形，通过或线段图列方程求得；②分为相遇前（点M在BC上，N在AD上），此时CM=AN即可列出方程求得，当M点返回时，点M在AD上，点N在BC上，此时AM=CN，列出方程求得，
（1）
BC＝48×＝16，CD＝48×＝8，
故答案是：16，8；
（2）
①当M、N第一次相遇时，t＝＝16s，当M到达E点时，t＝s，
如图1，

当0＜t＜16时，
2t+12+t＝48，
∴t＝12，
如图2，

当12＜t＜24时，
2t﹣12+t＝48，
∴t＝20，
如图3，

当24＜t＜48时，
t＝2t﹣48+12，
∴t＝36，
综上所述：t＝12s或20s或36s；
②如图4，

当0＜t＜16时，
由AN＝CM得，
24﹣2t＝t，
∴t＝8，
如图5，

当24≤t＜32时，
2t﹣48＝t﹣24，
∴t＝24，
综上所述：t＝8s或24s．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形．
10．（2022·江苏扬州期末）如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”．

(1)如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；
(2)如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数；
(3)如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)

【分析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）根据等角的补角相等可得，进而根据邻补角的定义求得，根据对顶角相等可得，进而根据角的和求解即可；
（3）根据角平分线的意义，以及角度的和差计算可得，即可求得答案．
（1）
证明：OC平分∠BOD



射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”
（2）
射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，








（3）
射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，

射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，




【点睛】本题考查了新定义，等角的补角相等，根据邻补角求角度，角平分线的意义，几何图形中角度的和差关系，理解题意，数形结合是解题的关键．
11．（2022·江苏淮安期末）如图，直线CD//EF，点A、B分别在直线CD、EF上（自左向右分别为点C、A、D和点E、B、F），∠ABF=60°，射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为x秒．

(1)如图1，直接写出下列答案：
①∠BAD的度数是 ；
②当旋转时间x= 秒时，射线BN过点A．
(2)如图2，若AMBN，求此时对应的旋转时间x的值．
(3)若两条射线AM和BN所在直线交于点P，
①如图3，若点P在CD与EF之间，且∠APB=126°，求旋转时间x的值；
②若旋转时间x<24，求∠APB的度数（用含x的代数式表示）．
【答案】(1)；24
(2)
(3)；当时，，当时，

【分析】（1）①根据平行线的性质可求得；
②根据邻补角的定义求得，进而求得结论；
（2）根据平行线的性质得出，即可得出等式，解出即为所求；
（3）①根据三角形内角和定理得解出即可；
②借助图形可求得的度数．
（1）
① ，
，，
．
故答案为：120°．
② ，
，
当射线BN过点A时，
，，
当旋转时间为24秒时，射线BN过点A．
故答案为：24．
（2）
若，
根据平行线的性质得，
，
，
，
，解得：，
此时对应时间为20秒．
（3）
①，
，
根据三角形内角和为得，
，
解得．
②由（2）可知，时时间是20秒，
时，分两种情况：
如图4，当时，；
如图5，当时，．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
12．（2022·江苏淮安期末）某超市先后以每千克12元和每千克14元的价格两次共购进大葱800千克，且第二次付款是第一次付款的1.5倍．
（1）求两次各购进大葱多少千克?
（2）该超市以每千克18元的标价销售这批大葱，售出500千克后，受市场影响，把剩下的大葱标价每千克22元，并打折全部售出.已知销售这批大葱共获得利润4440元，求超市对剩下的大葱是打几折销售的?（总利润=销售总额-总成本）
【答案】（1）第一次购进350千克，第二次购进450千克；（2）九折
【分析】（1）设第一次购进的数量为x千克，则第二次购进800-x千克，从而根据“第二次付款是第一次付款的1.5倍”列方程求解即可；
（2）用销售总额减去总成本等于总利润建立方程求解即可．
【详解】（1）设第一次购进的数量为x千克，则第二次购进800-x千克，

解得：
，
∴第一次购进350千克，第二次购进450千克；
（2）设折扣为y折，根据题意列方程为：

解得：
∴超市对剩下的大葱是打九折销售的．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，仔细审题，找准等量关系是解题关键．
13．（2022·江苏南通期末）对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．

(1)当数轴上原点为O，点A表示的数为-1，点B表示的数为5时
①点O到线段AB的“绝对距离”为______；
②点M表示的数为m，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则m的值为______；
(2)在数轴上，点P表示的数为-6，点A表示的数为-3，点B表示的数为2．点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动，设移动的时间为秒，当点P到线段AB的“绝对距离”为2时，求t的值．
【答案】(1)①  ；②﹣4或2或8
(2)t的值为或

【分析】(1))①分别求出OA、OB的长，然后比较大小，较短线段的长就是O点到线段AB的“绝对距离”．
②分三种情况：点M在点A左边时；点M在A、B中间时；点M在B点右侧时．
(2)求出点P运动到点A时需要的时间为秒，点B运动到点A时需要的时间为5秒，点P、点B相遇需要的时间为秒．再表示出移动时间为t秒时，点P、点B表示的数，然后分四种情况进行讨论：①；②；③；④t>5．根据点P到线段AB的“绝对距离”为2列出方程，解方程即可．
【详解】（1）①∵OA=1，OB=5，
1<5，
∴点O到线段AB的“绝对距离”为1，
故答案为1
②点M表示的数为m，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5，
若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则可分三种情况：
Ⅰ）当点M在点A的左边时，，
∵点M到线段AB的“绝对距离”为3，
∴，
∴，符合题意；
Ⅱ）当点M在点A、B之间时，
∵，，
如果，那么，此时，符合题意；
Ⅲ）当点M在点B的右边时，，
∵点M到线段AB的“绝对距离”为3，
∴，
∴，符合题意；
综上，所求m的值为﹣4或2或8．
故答案为﹣4或2或8．
（2）点P运动到点A时需要的时间为秒，点B运动到点A时需要的时间为5秒，点P、点B相遇需要的时间为秒．
当移动的时间为秒时，点P表示的数为，点B表示的数为．
分四种情况：
①当时，，
∵，
∴，符合题意；
②当时，
，，
如果，，此时，不合题意，舍去；
如果，，此时，不合题意，舍去；
③当时，，
∵，
∴，符合题意；
④当时，，
∵，
∴，不合题意，舍去．
综上，所求t的值为或
【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离．理解点到线段的 “绝对距离”的定义，进行分类讨论是解题的关键．
14．（2022·江苏南通期末）新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角．
（1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的3倍角的度数；
（2）如图1，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠AOB的所有2倍角；
（3）如图2，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数．

【答案】（1）31°3′；（2）见解析；（3）∠BOC＝30°．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意列式计算即可；
（3）设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，得到∠BOD＝6α，根据∠BOD＝90°，求得α＝15°，于是得到∠BOC＝90°﹣4×15°＝30°．
【详解】（1）∵∠M＝10°21′，
∴3∠M＝3×10°21′＝31°3′；
（2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
∴∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB；
（3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，
∴设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，
∴∠AOD＝7α，
∴∠BOD＝6α，
∵∠BOD＝90°，
∴α＝15°，
∴∠BOC＝90°﹣4×15°＝30°．
【点睛】此题主要考查了角的计算以及余角定义，关键是理清图中角之间的关系，掌握两角和为90°为互余．
15．（2022·江苏扬州期末）已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6．
(1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；
(2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．
①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？
②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数．
【答案】(1)见解析；
(2)①秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等，②P对应数-6或0．

【分析】（1）画出数轴，找出A、B所对应的点即可；
（2）①根据两点间距离表示出MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时，NP=5t－6，计算即可；
②根据点P是【B，A】的三倍点，可得PB=3PA．分情况讨论：当点P在A点左侧时，求出点P对应数-6；当点P在A、B之间时，求出点P对应数0，综上可知点P对应数-6或0．
【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：①MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时，
NP=5t－6
∴t+2 =6－5t，得：t=；
或t+2 =5t－6，得：t=2．
即秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等，
②∵点P是【B，A】的三倍点，
∴PB=3PA．
当点P在A点左侧时，AB=2PA=8，
∴PA=4，点P对应数-6；
当点P在A、B之间时，AB=4PA=8，
∴PA=2，点P对应数0，
综上可知点P对应数-6或0．
【点睛】本题考查数轴，解题的关键是掌握数轴的三要素及画法，数轴上两点之间的距离，注意对于动点问题需要进行分情况讨论．
16．（2022·江苏淮安期末）
【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】
(1)在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　（填“是”或“不是”）射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；
(2)如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　（用含n的代数式表示）；
(3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC运动时间为多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？
【答案】(1)是
(2)n
(3)或或或或秒

【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断；
（2）根据“友好线”定义即可求解；
（3）利用分类讨论思想，分别作出图形，分情况进行计算即可．
【详解】（1）解：∵OB是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠COD，
∵∠COA＝∠BOC，
∴∠BOD＝∠AOD，
∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”．
故答案为：是．
（2）∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n，
∴∠BOM＝∠AOB＝n，
∵ON平分∠AOB，
∴∠BON＝∠AOB＝n，
∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n．
故答案为：n．
（3）设运动时间为x秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”．
当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止

如图，当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，当时，
根据题意可得,,则


解得
如图,当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，当时，
,,


解得
即运动时间为秒时，射线OC是射线OB的“友好线”．
③如图，当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB，
,,

所以10+x＝，
解得x＝（符合题意），
即运动时间为秒时，射线OB是射线OA的“友好线”．
④如图，当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB，
,,


解得
⑤如图，,

当时

解得：
当时

解得：
综上所述，当运动时间为或或或或秒时，符合题意要求．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想．
17．（2022·江苏泰州期末）某超市第一次以4450元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的2倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润＝售价－进价）

甲
乙
进价（元/件）
20
30
售价（元/件）
25
40

(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数不变，甲商品的件数是第一次的2倍；乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样，求第二次甲商品是按原价打几折销售？
【答案】(1)甲50件，乙115件
(2)9折

【分析】（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据“第一次以4450元购进甲、乙两种商品”列方程求解即可；
（2）设第二次甲商品是按原价打m折销售，根据“乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样”列方程求解即可．
【详解】（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，由题意得：

解得

所以，第一次购进甲种商品50件，则购进乙种商品115件．
（2）设第二次甲商品是按原价打m折销售，根据题意得：

解得
答：第二次甲商品是按原价打9折销售．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找准等量关系是解题的关键．
18．（2022·江苏泰州期末）如图，，OC是内的一条射线，OD、OE分别平分、．

(1)若，，求的度数；
(2)试用含m的代数式表示；
(3)在图中，将OC反向延长，得到OP，OM、ON分别平分、．请将图补充完整，并用含m的代数式表示．
【答案】(1)60°；
(2)；
(3)图见解析，．

【分析】（1）利用OD、OE分别平分、，可知，，进一步可求出；
（2）利用即可求出；
（3）利用OM、ON分别平分、，可得，，进一步可得： ．
（1）
解：∵OD、OE分别平分、，且，，
∴，，
∴，
（2）
解：由（1）可知：，
∵，
∴，
（3）
解：补充图形如下：

∵OM、ON分别平分、，且，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查角平分线，几何图形中角的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，找出角之间的关系．
19．（2022·江苏泰州期末）
(1)如图1：正方形ABCD边长为5，点P、点Q在正方形的边上．点P从点A以每秒3个单位长度的速度沿A→B→C→D→A折线循环运动，同时点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿C→D→A→B→C折线循环运动．
设点P运动时间为x秒．
①当x为何值时，点P和点Q第一次相遇．
②当x为何值时，点P和点Q第二次相遇．
(2)如图2：是长为6，宽为4的长方形ABCD，点E为边CD的中点，点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→E折线运动，到达点E停止．设点M运动时间为t秒，当三角形AME的面积等于9时，请求出t的值．
【答案】(1)①；②
(2)或

【分析】（1）①点和点第一次相遇，比多运动10个单位，可得，即可解得答案；
②点和点第二次相遇，比多运动30个单位，列方程即可解得答案；
（2）由已知可得，分三种情况分别列方程：①当在上，即时，，②当在上，即时，，③当在上，即时，，即可解得答案．
（1）
①根据题意得：，
解得，
答：当为5时，点和点第一次相遇，
②根据题意得：，
解得，
答：当为15时，点和点第二次相遇；
（2）
由已知可得，
①当在上，即时，如图：

根据题意得：，
解得，
②当在上，即时，如图：

根据题意得：，
解得，
③当在上，即时，如图：

根据题意得：，
解得（不符合题意，舍去），
综上所述，当的面积等于9时，的值为秒或秒．
【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
20．（2022·江苏盐城期末）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．

(1)若点A表示数﹣2，点B表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别C1，C2，C3，其中是点A，B的“联盟点”的是 ；
(2)点A表示数﹣10，点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数为 ．
【答案】(1)C2或C3
(2)①或或﹣50；②70或50或110

【分析】（1）根据“联盟点”的定义，分别验证C1，C2，C3三点即可．
（2）①设点P在数轴上所表示的数为x．根据点P所处的位置进行分类讨论，根据“联盟点”的定义列出方程求解即可．
②分三种情况进行解答，即点A是点P，点B的“联盟点”；点B是点A、点P的“联盟点”；点P是点A、点B的“联盟点”，然后根据“联盟点”的定义列出方程求解即可．
【详解】（1）解：对于表示的数是3的C1来说．
∵点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数是4，
∴AC1＝5，BC1＝1．
∵AC1和BC1不满足2倍的数量关系，
∴C1不是点A、点B的“联盟点”．
对于表示的数是2的C2来说．
∵点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数是4，
∴AC2＝4，BC2＝2．
∵，即AC2＝2BC2，
∴C2是点A、点B的“联盟点”．
对于表示的数是0的C3来说．
∵点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数是4，
∴AC3＝2，BC3＝4．
∵，即BC3＝2AC3，
∴C3是点A、点B的“联盟点”．
故答案为：C2或C3．
（2）解：①设点P在数轴上所表示的数为x．
当点P在线段AB上，且PA＝2PB时．
根据题意得．
解得．
当点P在线段AB上，且2PA＝PB时．
根据题意得．
解得．
当点P在点A的左侧时，且2PA＝PB时．
根据题意得2（﹣10﹣x）＝30﹣x．
解得x＝﹣50．
综上所述，点P表示的数为或或﹣50．
②当点A是点P，点B的“联盟点”时，有PA＝2AB．
根据题意得．
解得x＝70．
当点B是点A、点P的“联盟点”时，有AB＝2PB或2AB＝PB．
根据题意得或．
解得x＝50或x＝110．
当点P是点A、点B的“联盟点”时，有PA＝2PB．
根据题意得．
解得x＝70．
所以此时点P表示的数为70或50或110．
故答案为：70或50或110．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的实际应用，正确理解题意和应用分类讨论思想是解题关键．
21．（2022·江苏宿迁期末）（1）已知：如图1，点C在线段AB上，线段AC＝15，BC=5，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度；
（2）已知：如图2，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，AC+CB＝a，求MN的长度；
（3）已知：如图3，点C在直线AB上，线段AC＝15，BC=5，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度．

【答案】（1）10；（2）a；（3）7.5
【分析】（ 1）根据线段中点的定义可得MC＝7.5，NC＝2.5，进而可得MN的长；
（2 ）根据线段中点的定义可得MC和NC，进而可得MN的长；
（3 ）根据线段中点的定义可得MC＝7.5，NC＝2.5，进而可得MN的长．
【详解】（ 1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝AC＝=7.5，NC＝ ＝2.5，
∴MN＝MC+NC＝7.5+2.5＝10；
（2 ）∵点M、N分别是AC，BC中点，
∴MC＝AC，NC=BC，
∴MN＝MC+NC＝AC+=（AC+CB）＝a；
（3 ）如图3，

∵点M、N分别是AC，BC中点，
∴MC＝AC＝7.5，NC=BC＝2.5，
∴MN＝MC﹣NC＝AC﹣CB=7.5-2.5=5．
【点睛】本题考查了线段的中点，求两点之间的距离的应用，主要考查学生的计算能力，解此题的关键是分别求出MC、NC的长度．
22．（2022·江苏盐城期末）【阅读理解】
如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．

【解决问题】
（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？
（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．
（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．
①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？
②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．
【答案】（1）∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB；（2）有，理由见解析；（3）①是，理由见解析；②t=2，3，4，9，12
【分析】（1）根据题意画出图形可得结论；
（2）分别计算出角的度数可得结论；
（3）①根据“优线”的定义可判断；②根据题意全面考虑所有可能并分类讨论可得t的值．
【详解】（1）如图，当OC在∠AOB内部时，∠AOC+∠BOC=∠AOB，
当OC在∠AOB外部时，∠AOC-∠BOC=∠AOB，
∴∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB

（2）有，理由如下：
射线OD平分∠AOB，射线OB平分∠COD．
当运动时间为9秒时，∠AOC=15°×9=135°
则∠BOC=∠AOC-∠AOB=135°-90°=45°
因为∠COD=90°，
所以∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-45°=45°
∠BOC=∠BOD=45°
所以射线OB平分∠COD
又因为∠BOD=45°=∠AOB
所以射线OD平分∠AOB
（3）①是，理由如下：
第（2）问中∠AOB=90°，∠AOC=135°，∠BOC=45°
则∠AOB=2∠BOC
所以OC是∠AOB的“优线”．
②由题意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t，
当∠BOC＝2∠AOC时，∠AOC＝30°，
∴15t＝30，解得t＝2；
当∠AO＝2∠AOC时，∠AOC＝45°，
∴15t＝45，解得t＝3；
当∠AOC＝2∠BOC时，∠AOC＝60°，
∴15t＝60，解得t＝4；
当∠AOB＝2∠BOC时，∠AOC＝135°，
∴15t＝135，解得t＝9；
当∠AOC＝2∠AOB时，∠AOC＝180°，
∴15t＝180，解得t＝12．
综上，t＝2，3，4，9，12．
【点睛】本题主要考查了三角尺中角度的计算，几何图形中角的计算，根据题意全面考虑所有可能以分类讨论是解题的关键．
23．（2022·江苏扬州期末）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°, 一直角三角板的直角顶点放在点O处．

(1)如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD=　 　∠COE；
(2)如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数；
(3)将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为度，在旋转的过程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出的度数；若不能，说明理由.
【答案】(1)2
(2)
(3)或

【分析】（1）由邻补角和余角的定义求出两个角，即可得出结论；
（2）由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解；
（3）分两种情况讨论：①是内；②在外，分析清楚角关系求解即可．
（1）
解：，与射线重合，
，
，
，
，
故答案为：2；
（2）
解：由（1）得，，
是的角平分线，
，
，
；
（3）
解：能，
①当是内时，有：
，，
则，
解得：；
②当在外时，有：
，，
则，
解得：．
综上所述，的度数为或．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
24．（2022·江苏扬州期末）点，在数轴上所对应的数分别是，，其中，满足.
(1)求，的值；
(2)数轴上有一点，使得，求点所对应的数；
(3)点是的中点，为原点，数轴上有一动点，直接写出 的最小值是____，取最小时，点对应的整数的值是_______．
【答案】(1)a=3，b=-5；
(2)点M所对应的数为-7或5；
(3)-1 ；-5、-4、-3、-2、-1

【分析】（1）根据两个非负数之和为0，这两个数都为0，就可以解出a、b；
（2）设M点所对应的值为m，再根据等式代入线段长，就可以求出m的值；
（3）先确定|PA|+|PB|取最小时，P的范围，再确定|PC|-|PO|取最小值时P的范围，最终确定|PA|+|PB|+|PC|-|PO|取最小值时P的取值范围．
(1)
解：∵（a-3）2≥0，|b+5|≥0，（a-3）2+|b+5|=0，
∴a-3=0，b+5=0，
解得a=3，b=-5；
(2)
解：设M点的坐标为m，
当m＜-5时，
|AM|+|BM|=12，
（3-m）+（-5-m）=12，
解得：m=-7．
当-5≤m≤3时，
|AM|+|BM|=|AB|=8，
不合题意．
当m＞3时，
|AM|+|BM|=12，
（m-3）+[m-（-5）]=12，
解得：m=5．
∴点M所对应的数为-7或5；
(3)
解：因为C点是AB的中点，
所以C点所对应的数为-1．
CO的中点所对应的数为-．
当P点为-时，|PC|-|PO|=0．
当P点对应的数小于-1时，|PC|-|PO|＜0．
并且P点在D点左侧，|PC|-|PO|=-1．
当P点对应的数大于0时，|PC|-|PO|＞0．
所以|PC|-|PO|的最小值为-1．
只有|PA|+|PB|和|PC|-|PO|都取最小时，|PA|+|PB|+|PC|-|PO|才取取最小值．
也就是当-5≤a≤-1时，|PA|+|PB|+|PC|-|PO|取最小值．
即|PA|+|PB|+|PC|-|PO|取最小时，-5≤a≤-1，
故点P对应的整数x的值是-5、-4、-3、-2、-1．
故答案为：-1；-5、-4、-3、-2、-1．
【点睛】本题主要考查列代数式、几个非负数之和为0的问题、线段之和最小、线段之差最大等问题，难点在于需要分情况讨论．
25．（2022·江苏泰州期末）对数轴上的点P进行如下操作：将点P沿数轴水平方向，以每秒m个单位长度的速度，向右平移n秒，得到点，称这样的操作为点的“m速移”点称为点的“m速移”点．
(1)点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，且．
①若点A向右平移n秒的“5速移”点与点B重合，求n；
②若点A向右平移n秒的“2速移”点与点B向右平移n秒的“1速移”点重合，求n；
(2)数轴上点M表示的数为1，点C向右平移3秒的“2速移”点为点，如果C、M、三点中有一点是另外两点连线的中点，求点C表示的数；
(3)数轴上E，F两点间的距高为3，且点E在点F的左侧，点E向右平移2秒的“x速移”点为点，点F向右平移2秒的“y速移”点为点，如果，请直接用等式表示x，y的数量关系．
【答案】(1)①4；②20
(2)−11，−2或7
(3)y−x＝3

【分析】（1）①根据非负数的性质求出a，b的值，根据新定义列出方程，解方程即可得出答案；
②求出A′，B′表示的数，根据题意列出方程，解方程即可得出答案；
（2）根据C、M、C'三点中有一点是另外两点连线的中点，分三种情况分别计算即可；
（3）设点E表示的数为e，点F表示的数为f，根据E'F'＝3EF列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵|a＋5|≥0， ≥0，，
∴a＋5＝0，b−15＝0，
∴a＝−5，b＝15．
①根据题意得：−5＋5n＝15，
∴n＝4；
②点 表示的数为−5＋2n，点 表示的数为15＋n，
根据题意得−5＋2n＝15＋n，
∴n＝20；
（2）解：设点C表示的数为c，则点 表示的数为c＋6，
若点 是CM的中点，则c＋1＝2（c＋6），解得c＝−11；
若点M是 的中点，则c＋c＋6＝2，解得c＝−2；
若点C是 的中点，则1＋c＋6＝2c，解得c＝7；
综上所述，点C表示的数为−11，−2或7；
（3）解：设点E表示的数为e，点F表示的数为f，
则点 表示的数为e＋2x，点 表示的数为f＋2y，f−e＝3，
∵E'F'＝3EF，
∴f＋2y−（e＋2x）＝3×3，
∴y−x＝3．
【点睛】本题考查了数轴，非负性的性质，一元一次方程的应用，新定义，体现了分类讨论的数学思想，根据题意列出方程是解题的关键．
26．（2022·江苏泰州期末）已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线．

(1)若平分，求的度数；
(2)小明说：当射线绕点在的内部旋转时，的度数始终保持不变，你认为小明的说法是否正确？说明理由；
(3)若、、、中有两条直线互相垂直，请直接写出所有可能的值．
【答案】(1)80°
(2)正确，理由见解析
(3)30°或90°

【分析】（1）根据角平分线得到∠AOC＝∠BOC＝60°，再根据三等分线可得∠MOC和∠NOC的度数，最后利用∠MON＝∠MOC＋∠NOC可得答案；
（2）正确，按照（1）的思路计算即可；
（3）分OA⊥ON和OM⊥OB两种情况，再利用角的和差计算即可．
(1)
解：∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∴∠MOC＝∠AOC＝40°，∠NOC＝∠BOC＝40°，
∴∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝40°＋40°＝80°；
(2)
解：小明是说法正确，
∵∠MOC＝∠AOC＝40°，∠NOC＝∠BOC＝40°，
∴∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝（∠AOC＋∠BOC）＝∠AOB＝×120°＝80°；
(3)
①当OA⊥ON时，

∵∠AOB＝120°，OA⊥ON，
∴∠BON＝∠AOB−∠AON＝120°−90°＝30°，
∵ON是∠BOC的三等分线，
∴∠BOC＝3∠BON＝90°，
∴∠AOC＝120°−90°＝30°；
②当OM⊥OB时，

∵∠AOB＝120°，OM⊥OB，
∴∠AOM＝∠AOB−∠BOM＝120°−90°＝30°，
∵OM是∠AOC的三等分线，
∴∠AOC＝3∠AOM＝90°．
综上，∠AOC的度数是30°或90°．
【点睛】本题考查角的计算，熟练掌握角平分线的定义与角的和差的解题关键，（3）中注意要分类讨论．
27．（2022·江苏南京期末）如图，直线l上依次有三个点A、B、C，AB＝16 cm，BC＝14 cm．点M从点A出发，沿直线l以每秒6 cm的速度向点C运动，到达点C后立即原速返回到点A；同时，点N从点B出发，沿直线l以每秒2 cm的速度向点C运动，到达点C后停止．运动过程中，若AB＝n MN（n为大于1整数），则称是MN是AB的“n分时刻”．设点M的运动时间为t s．

(1)当t＝2时，MN是AB的“ 分时刻”；
(2)若MN是AB的“8分时刻”，求t的值；
(3)进一步探究发现，对于每一个不同的n的取值，符合条件的t的个数也在变化，请直接写出t的个数及对应的n的取值范围．
【答案】(1)2
(2)t＝
(3)1＜n＜4，2次；n＝4，3次；n＞4，4次

【分析】（1）令t=2，求出MN=8，得到n值；
（2）分别表示出AM的长度：0≤t≤5，6t；5＜t≤10，30－6(t－5)＝60－6t； AN的长度：0≤t≤7，16＋2t；然后根据MN=2分情况列方程求解；
（3）分别表示出AM的长度：0≤t≤5，6t；5＜t≤10，30－6(t－5)＝60－6t； AN的长度：0≤t≤7，16＋2t；然后根据MN=分情况列方程求解，再根据t的取值范围列不等式组验证即可．
(1)
解：当t=2时，AM=6t=12cm，BN=2t=4cm，
∴MN=AB+BN-AM=16+4-12=8，
∴AB=2MN，
故答案为2；
(2)
AM的长度：0≤t≤5，6t；5＜t≤10，30－6(t－5)＝60－6t；
AN的长度：0≤t≤7，16＋2t；
当n＝8时，MN＝AB＝2，
当M、N两点重合时，
6t＝16＋2t              
解之得t＝4
60－6t＝16＋2t ，
解得t＝5.5；                   
当 0≤t≤4 时，
  
MN＝AN－AM＝(16＋2t)－6t＝16－4t，
16－4t＝2，
解之得 t＝
当4＜t≤5时，

MN＝AM－AN＝4t－16，
4t－16＝2，
解之得t＝；
当5＜t≤5.5时

MN＝AM－AN＝(60－6t)－(16＋2t)＝44－8t，
44－8t＝2，
解之得 t＝；
当 5.5＜t≤7时，

MN＝AN－AM＝8t－44，
8t－44＝2，
解之得 t＝，
当7＜t≤10时，

MN＝AN－AM＝30－(60－6t)＝6t－30，
6t－30＝2，
解之得 t＝ （舍去）
综上所述，当t＝，，， 时，点M、N达到“8分时刻”．
(3)
由（2）得AM的长度：0≤t≤5，6t；5＜t≤10，30－6(t－5)＝60－6t；
AN的长度：0≤t≤7，16＋2t；
当 0≤t≤4 时，  
MN＝AN－AM＝(16＋2t)－6t＝16－4t，
16－4t＝，
解之得 t＝ ，
∴有0≤≤4，
解得n≥1，
∴当n≥1时，有解；
当4＜t≤5时，
MN＝AM－AN＝4t－16，
4t－16＝，
解之得 t＝，
得到4＜≤5，
解得n≥4，
∴当n≥4时有解；
当5＜t≤5.5时，
MN＝AM－AN＝(60－6t)－(16＋2t)＝44－8t，
44－8t＝，
解之得t＝，
有5＜≤5.5，得n＞4，
∴当n＞4时有解；
当 5.5＜t≤7时，
MN＝AN－AM＝8t－44，
8t－44＝，
解之得t＝，
由5.5＜≤7，得n≥，
即n≥2，成立；
当7＜t≤10时，
MN＝AN－AM＝30－(60－6t)＝6t－30，
6t－30＝，
解之得t＝，
有7＜≤10，
解得，
即此时n=1；
综上所知，
当n=1时，符合条件的t值有两次，分别位于0≤t≤4和7＜t≤10上，
当1＜n＜4，符合条件的t值有两次，分别位于0≤t≤4和5＜t≤5.5上，
当n=4时，符合条件的t值有三次，0≤t≤4、5.5＜t≤7和4＜t≤5上，
当n＞4时，符合条件的t值有四次，0≤t≤4、5＜t≤5.5、 4＜t≤5、5.5＜t≤7上，
故答案为1≤n＜4，2次； n＝4，3次；n＞4，4次．
【点睛】本题考查动点问题，基本思路是首先根据路程=速度×时间表示出相关线段长，在利用等量关系列方程求解，注意分类讨论思想的应用．
28．（2022·江苏南京期末）某单位计划“双12期间”购进一批手写板，网上某店铺的标价为900元/台，优惠活动如下：
销售量
单价
不超过10台的部分
每台立减140元
超过10台但不超过20台的部分
每台立减220元
超过20台的部分
每台立减300元

(1)①若该单位购买了16台这种手写板，花了 元；
②若该单位购买了x（x＞20）这种手写板，花了 元；（用含x的代数式表示）
(2)若该单位购买的这种手写板均价为696元，求他们购买的数量．
【答案】(1)①11680；②
(2)他们购买了25台写字板

【分析】（1）①结合题意，根据有理数乘法和加减运算性质计算，即可得到答案；
②结合题意，根据有理数运算和代数式的性质计算，即可得到答案；
（2）结合题意，分三种情况，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．
(1)
①根据题意，该单位购买了16台这种手写板，花了：元
故答案为：11680；
②该单位购买了x（x＞20）这种手写板，花了：元
故答案为：；
(2)
设该单位购买了x台手写板
当0＜x≤10时，均价760元，不合题意；
当10＜x≤20时，该单位花了：元
∴680x＋800＝696x
∴x＝50，
∵x＝50和10＜x≤20矛盾，不符合题意，故舍去；
当x＞20时，
∴x＝25
∴该单位购买了25台写字板．
【点睛】本题考查了有理数运算、代数式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握代数式、一元一次方程的性质，从而完成求解．
29．（2022·江苏南京期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）

（1）图中一定有　 　个直角；当t＝2时，∠MON的度数为　 　，∠BON的度数为　 　；
（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；
（3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．
【答案】(1)4；144°，114°；(2)t的值为10s；(3)当射线OM在∠COB内部，且是定值时，t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3
【分析】(1)由直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD即可得到共4个直角；当t＝2时求得∠BOM＝30°，∠NON＝24°，即可得到∠MON、∠BON的度数；
(2)用t分别表示出∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，根据OE平分∠COM，OF平分∠NOD，分别求得∠COE、∠DOF,由∠EOF为直角即∠COE+∠DOF＝90°，列出方程解答即可.
(3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜时不是定值，当＜t＜6时，=3是定值.
【详解】（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD，

∴∠AOC＝∠AOD＝90°，
∴∠BOC＝∠BOD＝90°，
∴图中一定有4个直角；
当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°，
∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，
∠BON＝90°+24°＝114°；
故答案为：4；144°，114°；
（2）如图所示，∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，

∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD，
∴∠COE＝∠COM＝（15t﹣90°），∠DOF＝∠DON＝×12t，
∵当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF＝90°，
∴（15t﹣90°）＝×12t，
解得t＝10，
∴当∠EOF为直角时，t的值为10s；
（3）当∠MON＝180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，
∴15t+90°+12t＝180°，
解得t＝，
当∠BOM＝90°时，15t＝90°，
解得t＝6，
①如图所示，当0＜t＜时，

∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，
∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t，
∴＝，（不是定值）
②如图所示，当＜t＜6时，

∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，
∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t，
∴＝=3，（是定值）
综上所述，当射线OM在∠COB内部，且是定值时，t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3．
【点睛】此题考察图形中的运动问题，(3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜时不是定值，当＜t＜6时，=3是定值.
30．（2022·江苏南京期末）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：
例：将化为分数形式，
由于，设，①
得，②
②-①得，解得，于是得．
同理可得．
根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）
(1)（类比应用）________；
(2)将化为分数形式，写出推导过程；
(3)（迁移提升）：________；（注，）
(4)（拓展发现）：若已知，则__________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】（1）仿照题意求解即可；
（2）仿照题意求解即可；
（3）仿照题意求解即可；
（4）先得到，再由，即可得到答案．
(1)
解：设，则，
∴，
∴，
∴；
(2)
解：设，则，
∴，
∴，
∴
(3)
解：设，则，
∴，
∴，
∴；
(4)
解：∵，
∴，
∵，
∴
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的应用，解题的关键在于能够正确理解题意．
31．（2022·江苏江苏期末）点A对应数a，点B对应数b，点C对应数c，xc﹣5y与﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y．
(1)那么a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
(2)点P为数轴上一点，且满足PA＝3PB＋1，请求出点P所表示的数；
(3)点M为数轴上点A右侧一点，甲、乙两点分别从A、M出发，相向而行，2分钟后在途中相遇，相遇后，两点的速度都提高了1单位长度/分，当甲到达M点后立刻按原路向A返行，当乙到达A点后也立刻按原路向M点返行．甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇，则A、M两点的距离是　 　单位长度；
(4)当甲以4单位长度/分的速度从A出发，向右运动，乙同时从点C出发，以6单位长度/分的速度向左运动，当甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，假如甲立即掉头返行，请问甲、乙还能碰面吗？若能，求出碰面的地点对应的数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)﹣24，﹣10，10
(2)点P所对应的数是﹣或-
(3)36
(4)能，碰面的地点对应的数为﹣44

【分析】（1）根据合并同类项的法则可知，c-5=b+15＝5，且+（﹣2）＝﹣6，解之即可；
（2）设点P所对应的点为x，根据题意，需要分两种情况：①当点P在线段AB上时，②当点P在点B的右侧时，根据PA＝3PB+1，分别列出方程求解即可；
（3）设提速前甲、乙的速度分别为m单位长度/分，n单位长度/分，AM两点间的距离为s单位长度，则提速后甲、乙的速度分别为（m+1）单位长度/分，（n+1）单位长度/分，根据题意可知，，利用消元法消去m和n，即可解得s的值．
（4）设甲运动后所对应的点为D，乙运动后所对应的点为E，甲、乙运动的时间为t分，若甲、乙碰面，则有4t+6t＝10﹣（﹣24），解题t＝3.4．当点D在AB之间时，0＜t＜，则有，AD＝4t，BD＝14﹣4t，CD＝34﹣4t，所以4t+14﹣4t+34﹣4t＝40，解得t＝2；甲，乙作追击运动，甲和乙能碰面．
(1)
解：xc﹣5y与﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y．
∴c-5=b+15＝5，+（﹣2）＝﹣6，
解得a＝﹣24，b＝﹣10，c＝10．
∴点A对应数﹣24，点B对应数﹣10，点C对应数10．
故答案为：﹣24，﹣10，10．
(2)
设点P所对应的点为x，根据题意，需要分两种情况：
①当点P在线段AB上时，PA＝x+24，PB＝﹣10﹣x，
∴x+24＝3（﹣10﹣x）+1，解得x＝﹣；
②当点P在点B的右侧时，PA＝x+24，PB＝10+x，
∴x+24＝3（10+x）+1，解得x＝-．
∴点P所对应的数是﹣或．
(3)
设提速前甲、乙的速度分别为m单位长度/分，n单位长度/分，AM两点间的距离为s单位长度，
则提速后甲、乙的速度分别为（m+1）单位长度/分，（n+1）单位长度/分，
根据题意可知，，
解得s＝36．
故答案为：36．
(4)
甲和乙能碰面，此时对应的数为﹣44．理由如下：
设甲运动后所对应的点为D，乙运动后所对应的点为E，甲、乙运动的时间为t分，
若甲、乙碰面，则有4t+6t＝10﹣（﹣24），解题t＝3.4．
当点D在AB之间时，0＜t＜，
则有，AD＝4t，BD＝14﹣4t，CD＝34﹣4t，
∴4t+14﹣4t+34﹣4t＝40，解得t＝2；
∵2＜3.4，
当t＝2时，甲在﹣16处，乙在﹣2处，甲改变运动方向，甲、乙同向运动，
﹣16﹣4（t﹣2）＝﹣2﹣6（t﹣2），解得t＝9．
此时﹣16﹣4×（9﹣2）＝﹣44，
∴甲和乙能碰面，此时对应的数为﹣44．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
32．（2022·江苏江苏期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．

(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间数量关系为 　 　；
(2)若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°．
①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；
②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值．
【答案】(1)∠BOC＝∠BOE．
(2)①存在，t=2.5或10或31；②40°

【分析】（1）由∠AOB＝90°知∠BOC+∠AOC＝90°、∠AOD+∠BOE＝90°，根据∠AOD＝∠AOC可得答案；
（2）①当OA平分∠COD时∠AOD＝∠AOC、当OC平分∠AOD时∠AOC＝∠COD、当OD平分∠AOC时∠AOD＝∠COD，分别列出关于t的方程，解之可得；
②根据角的和差即可得到结论．
（1）
解：∠BOC＝∠BOE．
理由如下：
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD＝∠AOC，
∴∠BOC＝∠BOE，
故答案为：∠BOC＝∠BOE；
（2）
①存在．
理由：∵∠COE＝130°，
∴∠COD＝180°﹣130°＝50°，
当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC＝∠COD，即10t＝25，解得t＝2.5；
当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠COD，即10t﹣50＝50，解得t＝10；
当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360﹣10t＝50，解得：t＝31；
综上所述，t的值为2.5、10、31；
②∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝130°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE，
∴∠AOC﹣∠BOE＝（130°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝40°，
∴∠AOC﹣∠BOE的值为40°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义、余角的性质及角的计算，根据题意全面考虑所有可能以分类讨论是解题的关键．
33．（2022·江苏江苏期末）观察下列等式：
第1个等式：a1＝；
第2个等式：a2＝；
第3个等式：a3＝；
第4个等式：a4＝…
请解答下列问题：
(1)按以上规律写出：第n个等式an＝　 　（n为正整数）；
(2)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值；
(3)探究计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）对所给的等式进行分析，不难总结出其规律；
（2）利用所给的规律进行求解即可；
（3）仿照所给的等式，对各项进行拆项进行，再运算即可．
【详解】（1）解：∵第1个等式：a1＝；
第2个等式：a2＝；
第3个等式：a3＝；
第4个等式：a4＝
…，
∴第n个等式：an＝，
故答案为：；
（2）a1+a2+a3+a4+…+a100
＝+…+
＝1﹣++…+
＝1﹣
＝；
（3）
＝×（1﹣+…+）
＝
＝
＝．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字分析清楚所存在的规律．
34．（2022·江苏无锡期末）已知线段（a是常数），点C和点F为直线上两点，点E在线段上，，．

(1)若点C恰好是线段的中点，点F在线段上，则_____（用含a的代数式表示）；
(2)若点C在点B的右侧，的长是否是定长，若是定长，请求出这个定长；若不是，请说明理由．
【答案】(1)6a
(2)当点F在点B的左侧时，EF的长是定值6a；当点F在点B的左侧时，EF的长不是定值．

【分析】（1）首先根据中点的定义和线段之间的比例得到CE＝3a，CF＝3a，进而可得EF的长；
（2）分两种情况：①当点F在点B的右侧时，②当点F在点B的左侧时，再根据线段的和差可得结论．
（1）
解：（1）如图，

∵AB＝8a，点C是线段AB的中点，
∴AC＝BC＝AB＝4a，
∵CE＝3AE，CF＝3BF，
∴CE＝AC＝3a，CF＝CB＝3a，
∴EF＝CE+CF＝3a+3a＝6a，
故答案为：6a；
（2）
解：如图，当点F在点B的右侧时，

∵CE＝3AE，CF＝3BF，
∴CE＝AC，CF＝CB，
∴EF＝CE﹣CF＝AC﹣CB＝AB＝6a（a是常数），
此时EF的长是定值；
如图，当点F在点B的左侧时，

设BC＝b，
∵CE＝3AE，CF＝3BF，
∴CE＝AC＝6a，CF＝CB＝b，
∴EF＝CE﹣CF＝AC﹣CB＝6a﹣b．
此时EF的长随b的变化而变化，不是定值．
综上，当点F在点B的左侧时，EF的长是定值6a；当点F在点B的左侧时，EF的长不是定值．
【点睛】本题考查了求线段的长度，解题的关键是根据线段的和差得到各线段之间的关系．
35．（2022·江苏无锡期末）类比角平分线的概念，如果一条射线把一个角分成1：2两部分，则称这条射线为这个角的一条三等分线，
(1)如图，已知，是的一条三等分线，．且，求的度数；

(2)如图，，是的一条三等分线（），是的角平分线，是的角平分线．若以每秒5的速度绕点O逆时针旋转一周，旋转时间为t秒，当t为何值时，射线恰好是的一条三等分线．

【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）根据角的三等分线的意义进行计算求解；
（2）根据角平分线的定义和角的三等分线的意义，分两种情况进行计算求解．
【详解】（1）解：，OC是的一条三等分线，且，
；
（2）解：，OC是的一条三等分线，且，
，．
∵OE是的角平分线，OF是∠AOB的角平分线，
∴，，
，
．
设旋转后的角为，旋转的时间为t秒，
如图2-1，当OB是的一条三等分线，且时，

，
，
，
解得(秒)；
如图2-2，当OB是的一条三等分线，且时，

，
，
，
解得(秒)，
当秒或秒时，射线OB恰好是的一条三等分线．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，理解角平分线、角三等分线的意义是正确解答的前提．
36．（2021·江苏淮安期末）实验探究（准备一副三角板）

(1)动手操作：
①如图1，将一块含45°的三角板放置在另一个三角板上，使三角板的两条直角边、分别经过点、，其中，若，那么______°．
②如图2，若三角板不动，改变三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，那么______°．
(2)猜想说明：
如图3，与、、之间存在着什么数量关系，并说明理由；
(3)灵活应用：
如图4，平分，平分，若，，求的度数（用含、的代数式表示）．
【答案】(1)①60；②60
(2)∠BCD=∠A+∠ABD+∠ACD，理由见解析
(3)

【分析】（1）根据平行线的性质和三角形内角和定理求解即可；
（2）在△BDC中，∠DBC+∠DCB=90°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=30°，由此即可得到答案；
（3）根据（2）的结论求解即可．
（1）
解：①∵，
∴∠DBC=∠E=45°，∠DCB=∠F=45°，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，∠ACD=∠ACB-∠DCB=45°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=15°，
∴∠ABD+∠ACD=60°，
故答案为：60；
②在△BDC中，∠DBC+∠DCB=90°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=30°，
∴∠ABD+∠ACD=180°-∠A-∠DBC-∠DCB=60°，
故答案为：60；
（2）
解：∠BCD=∠A+∠ABD+∠ACD，理由如下：
如图所示，连接BC，
在△BDC中，∠BDC+∠DCB+∠DBC=180°，
∴∠DCB+∠DBC=180°-∠BDC，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即∠A+∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠A+∠ABD+∠ACD+180°-∠BCD=180°，
∴∠BCD=∠A+∠ABD+∠ACD；

（3）
解：由（2）可知∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD，∠BEC=∠A+∠ABE+∠ACE，
∵，
∴∠ABD+∠ACD=∠BDC-∠BAC=m°-n°，
∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，
∴，，
∴，
∴

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键．
37．（2022·江苏扬州期末）某疫苗生产企业有A、两条加工相同原材料的生产线，在一天内，A生产线共加工吨原材料，所用的加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，所用的加工时间为小时．
(1)第一天，该企业将5吨原材料分配到A、两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，求分配到A生产线的吨数、生产线的吨数分别是多少？
(2)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，请探究与之间的数量关系．
【答案】(1)分配到A生产线的吨数、生产线的吨数分别是2吨、3吨；
(2).

【分析】（1）设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为吨，然后根据在一天内，A生产线共加工吨原材料，所用的加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，所用的加工时间为小时，列出方程求解即可；
（2）由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为，进而求解即可得出答案．
(1)
解：设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为吨，
由题意得：，
解得：，
∴，
答：分配到A生产线的吨数、生产线的吨数分别是2吨、3吨；
(2)
解：由题意得第二天开工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，
∵加工时间相同，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、列代数式，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
．
38．（2022·江苏扬州期末）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：

(1)请根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：_______，B：_______；
(2)在数轴上与点A的距离为2的点所表示的数是_______；
(3)若经过折叠，A点与﹣3表示的点重合，则B点与数_______表示的点重合；
(4)若数轴上M、N两点之间的距离为11（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后重合，M、N两点表示的数分别是：M：_______，N：_______．
【答案】(1)1；
(2)或3
(3)2
(4)；4.5

【分析】（1）数轴上可以直接看出A：1，B：﹣4；
（2）利用与点A的距离为2的点有两个，即一个向左，一个向右，可得答案；
（3）找到对称中心即可得答案；
（4）由题意知对称中心为﹣1，以及M，N两点间的距离为11，即可得M，N两点的位置．
【详解】（1）解：数轴上可以看出A：1，B：﹣4，
故答案为：1，﹣4；
（2）解：利用与点A的距离为2的点有两个，即一个向左，一个向右，
∴这些点表示的数为：1﹣2＝﹣1，1+2＝3，
故答案为：﹣1或3；
（3）解：∵经过折叠，A点与﹣3表示的点重合，
∴两点的对称中心是﹣1，
∴B点与数2重合，
故答案为：2；
（4）解: ∵两点的对称中心是﹣1，数轴上M、N两点之间的距离为11，
∴M、N两点与对称中心的距离为，
又∵M在N的左侧，
∴M、N两点表示的数分别是：﹣5.5﹣1＝﹣6.5，5.5﹣1＝4.5，
故答案为：﹣6.5，4.5．
【点睛】本题考查了数轴有关的知识，解题的关键在于要考虑周全．
39．（2022·江苏连云港期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程，”求关于y的一元一次方程的解．
【答案】(1)9
(2) 或
(3)2022

【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解；
（2）根据条件建立关于n的方程，再求解；
（3）由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为x=-2023，再将变形为，则y+1=x=2023，从而求解．
【详解】（1）解：∵3x+m=0
∴x
∵
∴x=4
∵关于x的方程与方程是“美好方程”
∴
∴m=9．
（2）解：∵“美好方程”的两个解和为1
∴另一个方程的解是1-n
∵两个解的差是8
∴1-n-n=8或n-（1-n）=8
∴ 或 ．
（3）解：∵
∴x=-2022
∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”
∴关于x的一元一次方程的解为：
x=1-（-2022）=2023
∴关于y的一元一次方程可化为

∴y+1=x=2023
∴y=2022．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键．
40．（2022·江苏盐城期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，该市自来水具体收费价格见下表：
每月用水量
单价（单位：元/m3）
不超过10m3的部分
2
超过10m3，但不超过20m3的部分
4
超过20m3的部分
8

(1)实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月交费44元？
(2)实施“阶梯水价”收费之后，该市一户居民月用水多少立方米时，其当月的平均水费为每立方米3.2元？
【答案】(1)该户居民月用水16立方米
(2)该户居民月用水立方米

【分析】对于（1），先确定该收费属于第二阶梯，再根据收费相等列出方程，求出解即可；
对于（2），先根据平均收费确定收费属于第三阶梯，再根据收费相等列出方程，求出解即可．
(1)
∵，
∴该户居民月用水超过10立方米．
设该户居民月用水立方米，

解得立方米，
所以该市一户居民月用水16立方米．
(2)
∵．
∴该户居民月用水超过20立方米．
设该户居民月用水立方米，

解得立方米．
所以该市一户居民月用水立方米．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握列一元一次方程解应用题的方法和步骤，确定等量关系是列一元一次方程的关键．
41．（2022·江苏苏州期末）如图所示，已切直线AB∥直线CD，直线EF分别交直线AB、CD于点A，C．且∠BAC＝60°，现将射线AB绕点A以每秒2°的转速逆时计旋转得到射线AM．同时射线CE绕点C以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线CN，当射线CN旋转至与射线CA重合时，则射线CN、射线AM均停止转动，设旋转时间为t（秒）．

(1)在旋转过程中，若射线AM与射线CN相交，设交点为P．
①当t＝20（秒）时，则∠CPA＝　 　°；
②若∠CPA＝70°，求此时t的值；
(2)在旋转过程中，是否存在AM∥CN？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①40°；②26
(2)12或48．

【分析】①当t=20（秒）时，∠ECP=60°，∠BAP=40°，可得∠CAP=20°，即得∠CPA=∠ECP-∠CAP=40°；②根据∠BAM=2t°，∠ECN=3t°，且AB∥CD，∠BAC=60°，可得（60°-2t°）+（180°-3t°）+70°=180°，即可解得t=26；
（2）分两种情况：分别画出图形，根据平行线的性质，找到相等的角列方程，即可解得答案．
（1）
①如图：

当t=20（秒）时，∠ECP=20×3°=60°，∠BAP=20×2°=40°，
∵∠BAC=60°，
∴∠CAP=∠BAC-∠BAP=20°，
∴∠CPA=∠ECP-∠CAP=40°，
故答案为：40°；
②如图：

根据题意知：∠BAM=2t°，∠ECN=3t°，
∵AB//CD，∠BAC=60°，
∴∠CAP=60°-2t°，∠ACP=180°-3t°，
∵∠CPA=70°，
∴（60°-2t°）+（180°-3t°）+70°=180°，
解得t=26，
∴t的值是26；
（2）
存在AM//CN，
分两种情况：
（Ⅰ）如图：

∵AM//CN，
∴∠ECN=∠CAM，
∴3t°=60°-2t°，
解得t=12，
（Ⅱ）如图：

∵AM//CN，
∴∠ACN=∠CAM，
∴180°-3t°=2t°-60°，
解得t=48，
综上所述，t的值为12或48．
【点睛】本题考查一次方程的应用，涉及平行线与相交线、三角形内角和等知识，解题的关键是分类画出图形，找到等量关系列方程．
42．（2022·江苏苏州期末）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，．

(1)点A表示的数是______；
(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；
(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．
【答案】(1)-6
(2)8
(3)秒或秒

【分析】（1）根据，且，两点表示的数互为相反数，直接得出即可；
（2）设经过秒点是的中点，根据题意列方程求解即可；
（3）设点运动了秒时，分情况列方程求解即可．
【详解】（1）AB=12，且，两点表示的数互为相反数，
点表示的数是，
故答案为：；
（2）AB=12，，
，，
设经过秒点是的中点，
根据题意列方程得，
解得，
故答案为：8；
（3）设点运动了秒时，
①当点在点左侧时，即，
根据题意列方程得，
解得；
②当点在点右侧时，即，
根据题意列方程得，
解得；
综上，当运动了秒或秒时．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
43．（2022·江苏南京期末）已知与互为补角，平分．

(1)如图①，若，则______°，______°．
(2)如图②，若，求的度数；
(3)若，直接写出的度数（用含n的代数式表示），及相应的n的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
(3)答案见解析

【分析】（1）根据补角的定义可求度数，在利用角平分线的定义可求解度数，进而求解的度数；
（2）分两种情况：当在的外部时，当在的内部时，利用补角的定义结合角平分线的定义可求解；
（3）可分两种情况：当和互为邻补角时，即和在的不同侧时；当和在的同一侧时。而对于当和在的同一侧时可分为：当 时；当时；当时分别计算求解即可．
（1）
解：与互为补角，
，
，
平分，
，
，
故答案为：，；
（2）
解：当在的外部时，

与互为补角，
，
平分，
，
，
当在的内部时，

与互为补角，
，
平分，
，
，
的度数为或；
（3）
当和互为邻补角时，即和在的不同侧时，
，
，
平分，
，
，
即此时；
当和在的同一侧时，
当，如图，此时,，

平分，
,和重合，
；
当时，如图，

,，
平分，
，
，
，
即，此时，
当，如图，，，

平分，
，
，
即，此时，
综上，当和在的不同侧时，
，此时；
当和在的同一侧时，
当时，；
当时，；
当时，．
【点睛】本题主要考查角的计算，三角形的外角定义，角平分线的性质，分类讨论是解决问题的关键．
44．（2022·江苏南京期末）甲、乙两地相距72km，一辆工程车和一辆洒水车上午6时同时从甲地出发，分别以、的速度匀速驶往乙地．工程车到达乙地后停留了2h，沿原路以原速返回，中午12时到达甲地，此时洒水车也恰好到达乙地．
(1)______，______；
(2)求出发多长时间后，两车相遇？
(3)求出发多长时间后，两车相距30km？
【答案】(1)，
(2)出发小时后两车相遇
(3)出发小时，两车相距30km.

【分析】（1）根据路程除以时间即可求得速度；
（2）根据两车的路程和为甲、乙两地距离的2倍建立一元一次方程，解方程求解即可；
（3）设出发t小时后两车相距30km，分情况讨论：①在工程车还未到达乙地,即当0＜t＜2时, ②在工程车在乙地停留，即当2≤t≤4时，③在工程车返回甲地的途中，即当4＜t≤6时，分相遇前后相距30km，根据题意建立一元一次方程，解方程求解即可．
(1)
由题意得：

故答案为：36,12；
(2)
设出发x小时后两车相遇，
根据题意得：36(x－2)＋12x＝72×2,
解得
答：出发小时后两车相遇；
(3)
设出发t小时后两车相距30km，
①在工程车还未到达乙地，即当0＜t＜2时，
36t-12t=30,解得t=，
②在工程车在乙地停留，即当2≤t≤4时，
12t＋30＝72,解得t＝，
③在工程车返回甲地的途中,即当4＜t≤6时，
相遇前，36(t-2)＋12t+30=72×2，
解得（舍）
相遇后，36(t-2)＋12t-30=72×2，
解得
答：出发小时，两车相距30km.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
45．（2022·江苏苏州期末）对于数轴上的点，线段，给出如下定义：为线段上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点，线段的“近距”，记作；如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点，线段的“远距”，记作．特别的，若点与点重合，则，两点间距离为．已知点表示的数为，点表示的数为．例如图，若点表示的数为，则，．

(1)若点表示的数为，则点线段=_____，点线段=______；
(2)若点表示数为，点表示数为．是的倍．求的值．
【答案】(1)1，6
(2)或

【分析】（1）根据已知定义，进行计算即可解答；
（2）分两种情况，点E在点A的左侧，点E在点B的右侧．
【详解】（1）解：点表示的数为，
点线段
点线段
故答案为：1，6；
（2）分两种情况：
当点E在点A的左侧，
点线段=BF=3-（x-1）=2-x
点线段=AE=-2-x
点线段是点线段的3倍，


点E在点B的右侧
点线段=AF=x+1-（-2）=x+3
点线段=EB=x-3
点线段是点线段的3倍，

综上所述，或．
【点睛】本题考查数轴，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
46．（2022·江苏·苏州市振华中学校七年级期末）已知，是直线上的一点，是直角，平分．

(1)如图1，若，求的度数；
(2)在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）；
(3)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．
①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②

【分析】（1）利用角平分线的定义和角的和差的意义解答即可；
（2）类比（1）的方法解答即可；
（3）①设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°−α，类比（1）的方法解答即可；②设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°−α，利用角平分线的定义将已知条件适当变形得到120°−α＝−∠AOM，再将①的结论代入即可．
(1)
解：∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°−∠AOC＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝70°，
∴∠DOE＝∠COD−∠COE＝90°−70°＝20°；
(2)
解：∠DOE＝α．理由：
∵∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°−∠AOC＝180°−α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝90°−α，
∴∠DOE＝∠COD−∠COE＝90°−（90°−α）＝α；
(3)
解：①∠AOC＝2DOE，理由：
设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°−α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝90°−α，
∴∠DOE＝∠COD−∠COE＝90°−（90°−α）＝α，
∴∠AOC＝2∠DOE．
②∠AOM＝2∠DOE−120°．理由：
设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°−α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝90°−α，
∴4∠BOE＝2∠BOC＝360°−2α，
∵4∠BOE−∠AOC＝−3∠AOM，
∴360°−3α＝−3∠AOM，
∴120°−α＝−∠AOM，
由①知：∠AOC＝2∠DOE，
∴2∠DOE＝α，
∴∠AOM＝2∠DOE−120°．
【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，平角的意义，利用类比的方法解答是解题的关键．
47．（2022·江苏·苏州市振华中学校七年级期末）定义：当点在线段上，时，我们称为点在线段上的“分值”，记作．
理解：如点是的中点时，即，则，则；反过来，当时，则有．因此我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．
应用：
(1)如图①，点在线段上．若则__________；若，则__________．


(2)已知线段，点，分别从点、同时出发，相向运动，点到达点时，，都停止运动，设运动时间为．
①若点，的运动速度均为，试用含的式子表示和，并判断它们的数量关系；
②若点和点的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，为何值时，．
(3)如图②，在三角形中，，，点，同时从点出发，点沿线段匀速运动至点．点沿线段，匀速运动至点，且点，同时到达点，设．当点运动到线段上时，请用含的式子图②表示．
【答案】(1)，
(2)①，，；② 或；
(3)

【分析】（1）根据题干给的定义进行推理即可；
（2）①根据题干给的定义分别表示出，，即可得到数量关系；
②根据题意及定义分别表示出，，，再根据，得到方程，解方程即可得到答案；
（3）根据题意得到点的速度：点的速度 ，再设点的速度为 ，点的速度为 ，继而表示出，，即可得到答案．
（1）





故答案为：，；
（2）
① 点，的运动速度均为



，
，
；
②点和点的运动速度分别为和


，
，，
，，

或
解得 或 ；
（3）
设运动时间为
点，同时到达点，，
点的速度：点的速度
设点的速度为 ，点的速度为
，
．
【点睛】本题属于三角形的综合题目，主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的解法，理解新定义并能进行运用是解决本题的关键．
48．（2022·江苏常州期末）点在直线上，点在点右侧，记．如果将绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示．如图，点的位置用表示．

(1)已知为的中点，则点的位置用_____表示；
(2)请利用直尺和圆规在图中作出点（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)已知，且，求点的位置表示：
(4)点在直线上，若点、、三点中，其中一点到另外两点的距离相等，求点的位置表示．
【答案】(1)（2，30°）；
(2)见解析；
(3)（1，120°）；
(4)（2，0°）或（4，180°）或（8，0°）

【分析】（1）根据中点定义求得OB=2，即可表示点B的位置；
（2）在直线l上取OA=4，以点O、A分别为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于一点即为点C，连接OC即可；
（3）利用求出∠AOD的度数，由OD=1，即可表示点的位置；
（4）分三种情况画出图形，求出OE 长度，即可得到点E的位置表示方法．
(1)
解：∵点的位置用表示，
∴，，
∵为的中点，
∴OB=2，
∴点的位置用（2，30°）表示，
故答案为：（2，30°）；
(2)
解：如图，点C即为所求；

(3)
解：∵，
∴∠OD=90°，
∵，
∴∠AOD=120°，
∵OD=1，
∴点的位置表示为（1，120°）；

(4)
解：当点E到点O与点A的距离相等时，如图，

∵，
∴OE=2，
∴点的位置表示为（2，0°）；
当点O到点E与点A的距离相等时，如图，

∵OE=OA=4，∠AOE=180°，
∴点的位置表示为（4，180°）；
当点A到点O与点E的距离相等时，如图，

∵OA=4，，
∴OE=8，
∴点的位置表示为（8，0°）；
综上，点的位置表示为（2，0°）或（4，180°）或（8，0°）．
【点睛】此题考查了点位置的表示方法，线段中点定义，尺规作图方法，正确理解题意中点的位置表示方法是解题的关键．
49．（2022·江苏宿迁期末）如图1，点O在直线AB上，∠AOC＝30°，将一个含有30°角的直角三角尺的直角顶点放在点O处较长的直角边OM在射线OB上，较短的直角边ON在直线AB的下方．

【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O以每秒15°的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．
(1)图1中与∠BOC互补的角有 　 　．
(2)当t＝　 　时，ON⊥OC．
【操作二】：如图2将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线OC上．如图3，在三角尺绕着点O以每秒15°的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O以每秒5°的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转
(3)当t为何值时，OC平分∠MOE．
(4)试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，当0≤t≤22时，是否存在某个时刻，使得∠COM与∠AOE中其中一个角是另一个角的两倍？请直接写出所有满足题意的t的值；若不存在
【答案】(1)∠AOC和∠NMO
(2)10或22
(3)t=
(4)或或或18

【分析】（1）利用补角的定义解答即可；
（2）根据垂直的定义建立方程求解即可；
（3）根据角平分线的定义建立方程求解即可；
（4）分类讨论：①当0≤t≤6时，②当6＜t≤10时，③当10＜t≤22时，分别根据∠COM=2∠AOE或2∠COM=∠AOE，建立方程求解即可．
(1)
解：∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=150°；
∵∠BOC+∠AOC=180°，∠BOC+∠NMO=180°，
∴图1中与∠BOC互补的角为∠AOC和∠NMO．
故答案为：∠AOC和∠NMO；
(2)
解：∵将图1中的三角尺MNO绕着点O以每秒15°的速度按顺时针方向旋转t秒，
∴三角尺MNO旋转角度为15t度，
若ON⊥OC，则ON需顺时针旋转150°或330°，
∴15t=150或15t=330，
解得：t=10或t=22，
故答案为：10或22．
(3)
解：如图2，∵三角尺MNO和直尺OE分别绕着点O以每秒15°、5°的速度按顺时针方向同时旋转t秒，
∴∠COE=5t度，∠MOM′=15t度，
∴∠COM=∠BOC-∠MOM′=150°-（15t）°=（150-15t）°，
∵OC平分∠MOE，
∴∠COE=∠COM，
∴5t=150-15t，
解得：t= ，
∴当t=时，OC平分∠MOE．

(4)
存在．
由题意得：∠COE=5°t，∠MOM′=15°t，
当OC与OA重合时，30÷5=6秒；
当OM与OC重合时，150÷15=10秒，
①当0≤t≤6时，∠AOE=30°-5°t，∠COM=150°-15°t，
若∠COM=2∠AOE，
则150-5t=2（30-5t），
解得：t=-18，不符合题意，舍去；
若2∠COM=∠AOE，
则2（150-15t）=30-5t，
解得：t=＞6，不符合题意，舍去；
②当6＜t≤10时，如图3，

若∠COM=2∠AOE，
∴150-15t=2（5t-30），
解得：t= ；
若2∠COM=∠AOE，
∴2（150-15t）=5t-30，
解得：t=；
③当10＜t≤22时，如图4，

若∠COM=2∠AOE，
∴15t-150=2（5t-30），
解得：t=18；
若2∠COM=∠AOE，
∴2（15t-150）=5t-30，
解得：t= ；
综上所述，满足题意的t的值为或或或18．
【点睛】本题考查了补角、垂直、角平分线等定义，角的和差，以及旋转的性质，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题．
50．（2022·江苏淮安期末）如图 1，射线OC 在ÐAOB 的内部，图中共有 3 个角：ÐAOB 、ÐAOC 和ÐBOC ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC   是ÐAOB 的奇妙线．
（1）一个角的角平分线 这个角的奇妙线．（填是或不是）
（2）如图 2，若ÐMPN = 60° ，射线 PQ 绕点 P 从 PN 位置开始，以每秒10° 的速度逆时针旋转， 当ÐQPN   首次等于180° 时停止旋转，设旋转的时间为t(s) ．
①当t 为何值时，射线 PM 是ÐQPN 的奇妙线？
②若射线 PM 同时绕点 P 以每秒6° 的速度逆时针旋转，并与 PQ 同时停止旋转．请求出当射线 PQ 是ÐMPN 的奇妙线时t 的值．

【答案】（1）是；（2）①9或12或18；②或或
【分析】（1）根据奇妙线定义即可求解；
（2）①分3种情况，ÐQPN=2ÐMPN；ÐMPN=2ÐQPM；ÐQPM =2ÐMPN．列出方程求解即可；
②分3种情况，ÐMPN=2ÐQPN；ÐMPQ=2ÐQPN；ÐQPN =2ÐMPQ．列出方程求解即可．
【详解】（1）设∠α被角平分线分成的两个角为∠1和∠2，
则有∠α=2∠1，
∴一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；
故答案是：是；
（2）①由题意可知射线 PM 在ÐQPN的内部，
∴ÐQPN=（10t）°，ÐQPM=（10t-60）°，
（a）当ÐQPN=2ÐMPN时，
10t=2×60，
解得t=12；
（b）当ÐMPN=2ÐQPM时，
60=2×（10t-60），
解得t=9；
（c）当ÐQPM =2ÐMPN时，
（10t-60）=2×60，
解得t=18．
故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“奇妙线”；
②由题意可知射线 PQ 在ÐMPN的内部，
∴ÐQPN=（10t）°，ÐMPN=（60+6t）°，ÐQPM=ÐMPN-ÐQPN=（60-4t）°，
（a）当ÐMPN=2ÐQPN时，
60+6t=2×10t，
解得t=；
（b）当ÐMPQ=2ÐQPN时，
60-4t=2×10t，
解得t=；
（c）当ÐQPN =2ÐMPQ时，
10t=2×（60-4t），
解得t=．
故当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值为或或．
【点睛】本题考查了角之间的关系及一元一次方程的应用，奇妙线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“奇妙线”的定义是解题的关键．