初中数学人教版八年级上册14.3.1 提公因式法优秀巩固练习

14.3.1 提公因式法

夯实基础篇

一、单选题：

1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【知识点】因式分解的定义

【解析】【解答】解： A选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；

B选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；

C选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；

D选项的右边是积的形式，是因式分解，故符合题意，

故答案为：D．

【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可。

2．观察下列各式:①abx-adx；②2xy+6xy ；③8m -4m +2m+1；④a +ab+ab -b ；

⑤(p+q)xy-5x (p+q)+6(p+q) ；⑥a (x+y)(x-y)-4b(y+x).其中可以用提公因式法分解因式的是(　　)

A．①②⑤ B．②④⑤ C．②④⑥ D．①②⑤⑥

【答案】D

【知识点】提公因式法因式分解

【解析】【解答】

①abx-adx=ax(b-d)，可以用提公因式法分解因式；②2xy+6xy =2x(x+6 y ),可以用提公因式法分解因式；③8m -4m +2m+1，不可以用提公因式法分解因式；④a +ab+ab -b 不可以用提公因式法分解因式；⑤(p+q)xy-5x (p+q)+6(p+q) = (p+q)[xy-5x +6(p+q)]，可以用提公因式法分解因式；⑥a (x+y)(x-y)-4b(y+x)= (x+y)[ a (x-y)-4b] 可以用提公因式法分解因式；①②⑤⑥

【分析】此题考查了提公因式法，熟练掌握提公因式法是解本题的关键.

故选D.

3．将多项式-6a3b2-3a2b2+12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（　　）

A．-3a2b2 B．-3ab C．-3a2b D．-3a3b3

【答案】A

【知识点】公因式；提公因式法因式分解

【解析】【分析】在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂．同时注意首项系数通常要变成正数．
【解答】系数最大公约数是-3，
相同字母的最低指数次幂是a2、b2，
应提取的公因式是-3a2b2．
故选A．
【点评】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．当第一项的系数为负数时，应先提出“-”号．

4．因式分解：2a(x-y)+3b(y-x)正确的是(　　) 

A．(x-y)(2a-3b) B．(x+y)(2a-3b) C．(y-x)(2a+3b) D．(x+y)(2a+3b)

【答案】A

【知识点】提公因式法因式分解

【解析】【解答】解：2a(x-y)+3b(y-x)=2a(x-y)-3b(x-y)=（x-y）（2a-3b）
故答案为：A
【分析】先将原式变形后。将x-y看着整体，再提取公因式x-y，即可得出答案。

5．把多项式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式（m﹣1）后，余下的部分是（　　） 

A．m+1 B．2m C．2 D．m+2

【答案】D

【知识点】提公因式法因式分解

【解析】【解答】解：（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）， 

=（m﹣1）（m+1+1），

=（m﹣1）（m+2）．

故选D．

【分析】先提取公因式（m﹣1）后，得出余下的部分．

6．如果一个多项式4x3y-M可以分解因式得4xy（x2-y2+xy），那么M等于(　　) 

A．4xy3+4x2y2 B．4xy3-4x2y2 C．-4xy3+4x2y2 D．-4xy3-4x2y2

【答案】B

【知识点】提公因式法因式分解

【解析】【解答】解：∵4xy（x2-y2+xy）=4x3y-4xy3+4x2y2=4x3y-(4xy3-4x2y2）=4x3y-M，

∴M=4xy3-4x2y2．

故答案为：B．

【分析】已知一个多项式分解因式的结果，将该结果去括号即可得到4x3y-M的结果，即可得出M所代表的的多项式。

7．已知a-b=1，a=5，则a2-ab等于（　　）

A．1 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【知识点】提公因式法因式分解

【解析】【解答】

故答案为：C.

【分析】先将原式分解为a(a-b)，然后，再将a-b=1，a=5代入计算即可.

二、填空题：

8．因式分解 　         　.

【答案】

【知识点】提公因式法因式分解

【解析】【解答】解： .

【分析】观察多项式，每一项都含有公因式xy，所以把提公因式提取出来即可.

9．5(m－n)4-(n-m)5可以写成________与________的乘积．

【答案】     (m-n)4，      （5+m-n）

【详解】把多项式5(m－n)4-(n-m)5运用提取公因式法因式分解即可得5(m－n)4-(n-m)5=(m－n)4（5+m-n）.

故答案为(m-n)4，（5+m-n）.

10．多项式 的公因式是　     　．  

【答案】5m2n

【知识点】公因式

【解析】【解答】解：多项式15m3n2+5m2n-20m2n3中，

各项系数的最大公约数是5，

各项都含有的相同字母是m、n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，

所以它的公因式是5m2n．

故答案是：5m2n．

【分析】根据公因式的定义求解即可。

11．分解因式：2a（x－y）－3b（y－x）＝　                 　．  

【答案】（x-y）（2a+3b）

【知识点】提公因式法因式分解

【解析】【解答】解：2a（x-y）-3b（y-x）

=2a（x-y）+3b（x-y）

=（x-y）（2a+3b）．

故答案为：（x-y）（2a+3b）．

【分析】将（x-y）当作整体提取公因式即可。

12．因式分解： 　                　. 

【答案】（x+1）（x﹣2）

【知识点】提公因式法因式分解

【解析】【解答】解：原式=x（x﹣2）+（x﹣2）=（x+1）（x﹣2）．

故答案是：（x+1）（x﹣2）．
【分析】将原式化为x（x﹣2）+（x﹣2），再利用提公因式分解因式即可。

13．把多项式(x－2)2－4x＋8分解因式，哪一步开始出现了错误____

解：原式＝(x－2)2－(4x－8)…A

＝(x－2)2－4(x－2)…B

＝(x－2)(x－2＋4)…C

＝(x－2)(x＋2)…D

【答案】C

【详解】根据题意，第一步应是添括号（注意符号变化），解法正确，第二步先对后面因式提公因式4，再提取公因式（x-2）这时出现符号错误，所以从C步出现错误.

故选C.

14．如果代数﹣2y2+y﹣1的值为7，那么代数式4y2﹣2y+5的值为　     　．

【答案】-11

【知识点】提公因式法因式分解

【解析】【解答】解：∵代数式﹣2y2+y﹣1的值为7，

∴﹣2y2+y﹣1=7，

∴﹣2y2+y=8，

∴2y2﹣y=﹣8，

∴4y2﹣2y=﹣16，

∴4y2﹣2y+5=﹣16+5=﹣11，

故答案为：﹣11

【分析】将给定的代数式进行化简，得出2y2﹣y的值，再将所求代数式提取公因式，将2y2﹣y的值代入求解。

15．已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,则a+3b=　     　。

【答案】-31

【知识点】提公因式法因式分解

【解析】【解答】(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)=(3x-7)(2x-21-x+13)= (3x-7)(x-8)=(3x+a)(x+b)

a=-7，b=-8；a+3b=-31

【分析】本题考查了提公因式法，掌握运算法则是解答本题的关键.

三、解答题：

16．把下列各式因式分解：

（1）；（2）；（3）；（4）；

（5）；（6）；（7）；（8）．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．

【分析】用提公因式法即可．

【详解】（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）．

【点睛】本题考查了因式分解的方法——提公因式法，当首项系数为负时，提公因式时连负号一同提出来．

17．分解因式

(1) ．

(2)

(3)

【答案】

（1）解：原式．

（2）解：

=

=；

（3）

=

=

【点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．

18．化简求值：（2x－1）2（3x＋2）＋（2x－1）（3x＋2）2－x（1－2x）（3x＋2），其中x＝1.

【答案】解：

= 

= 

当x=1时，原式=1×5×7=35.

【知识点】提公因式法因式分解

【解析】【分析】将多项式的一项-x(1-2x)(3x+2)整理为x(2x-1)(3x+2)，所以在多项式中，可通过提公因式(2x-1)(3x+2)的方法对多项式进行因式分解，从而得到化简的结果，根据所给的x的数值，即可得到多项式的值。

19．已知x﹣y＝1，xy＝2，求x3y﹣2x2y2+xy3的值．

【答案】2

【分析】运用提公因式法和完全平方公式进行因式分解，再进一步整体代入求解．

【详解】解：∵x﹣y＝1，xy＝2，

∴x3y﹣2x2y2+xy3

＝xy（x2﹣2xy+y2）

＝xy（x﹣y）2

＝2×1

＝2．

【点睛】此题考查了因式分解在代数式求值中的应用，能够熟练运用提公因式法和公式法进行因式分解，渗透整体代入的思想．

20．已知的平方根是±3，的立方根是2，求多项式的值．

【答案】

【分析】根据平方根的定义列式求出的值，再根据立方根的定义列式求出的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【详解】解：的平方根是，

，

，

的立方根是2，

，

又

，

，

，

，

将代入上式，

原式．

【点睛】本题考查了立方根与平方根的定义，求代数式的值，解题的关键是根据条件求出的值．

能力提升篇

一、单选题：

1．多项式x2m－xm提取公因式xm后，另一个因式是（　　）

A．x2－1 B．xm－1 C．xm D．x2m－1

【答案】B

【知识点】提公因式法因式分解

【解析】【解答】解：∵x2m－xm＝xm(xm－1)

故答案为：B．

【分析】由题意可知，x2m=xm·xm，将多项式中的公因式xm提取之后可得x2m-xm=xm(xm-1)。

2．计算-22021+(-2)2020所得的结果是(　　) 

A．-22020 B．-2 2021 C．22020 D．-2

【答案】A

【知识点】同底数幂的乘法；提公因式法因式分解；有理数的乘方

【解析】【解答】解：-22021+（-2）2020=-2×22020+22020=22020×（-2+1）=-22020.

故答案为：A.

【分析】根据乘方的运算法则把原式变形为-2×22020+22020，再提公因式得出原式=22020×（-2+1），即可得出答案.

3．已知a﹣b=3，b+c=﹣4，则代数式ac﹣bc+a2﹣ab的值为（　　）

A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3

【答案】C

【知识点】公因式；提公因式法因式分解

【解析】【解答】解：∵ac﹣bc+a2﹣ab

=c（a﹣b）+a（a﹣b）

=（a﹣b）（c+a），

∵a﹣b=3，b+c=﹣4，

∴a+c=﹣1，

∴ac﹣bc+a2﹣ab=3×（﹣1）=﹣3；

故答案为：C．

【分析】考查对于分组提公因式的应用，需要把ac﹣bc和a2﹣ab，分成两组后再进行分组提公因式，得到了c（a﹣b）+a（a﹣b）后，再将（a﹣b）作为公因式进行因式分解，最后代入求值。

二、填空题：

4．已知，则的值是_____________．

【答案】1

【分析】代数式可化成2m(2m-5n)+5n，将代入即可得解．

【详解】解：∵2m-5n=-1，

∴

=2m(2m-5n)+5n

=-2m+5n

=1．

故答案为：1．

【点睛】此题考查了代数式的求值，解题的关键是整体代入．

5．若，则等于______．

【答案】2018

【分析】将式子变形为，将代入即可求解．

【详解】解：∵，

∴

∴

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，正确的计算是解题的关键．

三、解答题：

6．阅读下列材料：

已知a2+a-3=0，求a2 (a+4)的值．

解：∵ a2=3-a，

∴a2 (a+4)=(3-a)(a+4)=3a+12-a2-4a=- a2-a+12=-(3-a)-a+12=9，

∴a2 (a+4)=9．

根据上述材料的做法，完成下列各小题：

（1）若a2-a-10=0，则2(a+4) (a-5)的值为____________．

（2）若x2+4x-1=0，求代数式2x4+8x3-4x2-8x+1的值．

【答案】（1）﹣20；（2）﹣1

【分析】（1）仿照材料中的解法过程，利用整体代入方法求解即可；

（2）根据因式分解和整式的混合运算化简，再整体代入求解即可．

【详解】解：（1）∵a2﹣a﹣10=0，

∴a2﹣a=10，

∴2(a+4) (a-5)=2（a2﹣a﹣20）=2×（10﹣20）=﹣20，

故答案为：﹣20；

（2）∵x2+4x﹣1=0，

∴x2+4x=1，x2=1﹣4x，

∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1

=2x2(x2+4x﹣2)﹣8x+1

=2(1﹣4x)(1﹣2)﹣8x+1

=﹣2+8x﹣8x+1

=﹣1．

【点睛】本题考查了因式分解的应用、整式的混合运算、代数式的求值，运用类比和整体代入思想是解答的关键．

7．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x（x+1）+x（x+1）2

=（1+x）[1+x+x（x+1）]

=（1+x）2（1+x）

=（1+x）3

（1）上述分解因式的方法是     ，共应用了      次．

（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则需应用上述方法     次，结果是      ．

（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）结果是     ．

【答案】（1）提公因式法； 2；（2）2021；（x+1）2022；（3）（1+x）n+1．

【分析】（1）直接利用已知解题方法分析得出答案；

（2）结合（1）中解题方法得出答案；

（3）结合（1）中解题方法得出答案．

【详解】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次；

故答案为：提公因式法； 2；

（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，

则需应用上述方法2021次，结果是（x+1）2022；

故答案为：2021；（x+1）2022；

（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n=（1+x）n+1．

故答案为：（1+x）n+1．

【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及数字变换规律，正确得出次数变化规律是解题关键．