山西省朔州市山阴县2022年九年级上学期期末数学试题解析版

 九年级上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知反比例函数的图象经过点，则下列的点在该反比例函数图象上的是（　　）

A． B． C． D．

2．如图，在中，，，，则的值是（　　）

A． B． C． D．

3．用配方法解方程时，配方后的方程是（　　）

A． B．

C． D．

4．如图，直线截直线e和f，，，则下列结论中，正确的是（　　）

A． B． C． D．

5．已知反比例函数，则下列描述错误的是（　　）

A．图象位于第二、第四象限 B．图象必经过点

C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而增大

6．据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．已知木杆长，它的影长为，测得为，则金字塔的高度是（　　）

A． B． C． D．

7．如图，某飞机于空中A处（探测的目标C的正上方），此时飞机的飞行高度，从飞机上看地平面指挥台B的俯角．则飞机A与指挥台B的距离是（　　）

A．米 B．米 C．2400米 D．米

8．如图，在学习完概率后，同学们要确定如图1所示的图钉顶尖触地的概率．他们采用分组的方法，在相同的情况下，抛掷图钉，根据抛掷的次数和顶尖触地的频率绘制了图2的频率统计图，根据频率统计图可知，下列说法中，正确的是（　　）

A．由于图钉只能顶尖触地和顶尖朝上，因此抛掷一枚图钉时，顶尖朝上的概率是0.5

B．抛掷3次，一定有1次顶尖触地

C．抛掷一枚图钉，顶尖触地的概率是0.46

D．抛掷100次，顶尖触地的次数一定是46次

9．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心是（　　）．

A． B． C． D．

10．如图，已知菱形的边长为8，，点O是对角线的中点．如图在点O处放置一个含角的三角板，把这个三角板绕点O旋转，斜边与边交于点F，直角边与边交于点E，若，则四边形的面积是（　　）

A．随着三角板的位置的变化而变化

B．

C．

D．

二、填空题

11．已知，中，是锐角，，则的度数是　     　．

12．如图，A，B两点在反比例函数的图象上，轴于点C，轴于点D，连接交于点E，若的面积是5，则四边形的面积是　     　．

13．一个不透明的袋中装有4个球，分别标有数字1，2，3，4，这些球除标有的数字不同外其余都完全相同．把袋中的球摇匀后，随机一次性摸出两个球，这两个球上的数字分别作为一个两位数的十位上的数字和个位上的数字，则这个两位数能被3整除的概率是　     　．

14．如图，中，以点O为圆心，为半径作，边与相切于点A，把绕点A逆时针旋转得到，点O的对应点恰好落在上，则的值是　     　．

15．如图，正方形的边长为，点M和N在对角线上，且，连接并延长交于点E，连接并延长交于点F，则线段的长为　     　．

三、解答题

16．解方程：

（1）解方程：；

（2）计算：．

17．如图，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高，测得，，点A，E，D在同一直线上，点B在上．求该建筑物的高度．

18．如图，有甲，乙两个转盘，甲转盘平均分成3等份，分别涂上红色、白色和蓝色，乙转盘平均分成两等份，分别涂上红色和白色，现在同时用力转动甲、乙两个转盘，两个指针只要有一个指针停在分界线上时，重新转动两个转盘，直到指针停在涂色的扇形区域．用列表或画树状图的方法，求两个指针都停在白色区域的概率．

19．某粮库需要把晾晒场上的1500吨玉米入库封存．

（1）直接写出入库所需要的时间d（单位：天）与入库平均速度（单位：吨/天）的函数关系式（不必写出v的取值范围）；

（2）已知粮库有职工50名，每天最多可入库300吨玉米．

①预计玉米入库最快可在几天内完成？

②粮库职工每天以最多的量把玉米入库，连续工作3天后，天气预报说未来几天会下雨，粮库决定次日把剩下的玉米全部入库，求至少需要增加多少职工？

20．如图，为了测量甲楼的高度，由于甲楼的底部D不能直接到达，于是，测量人员在乙楼的顶部A测得甲楼的顶C的仰角是，底部D的俯角是，已知乙楼的高度是12米，求甲楼的高度．（参考数据：，结果精确到0.1米）

21．某商店购进一种冬季取暖的“小太阳”取暖器，每台进价为40元．这种取暖器的销售价为每台52元时，每周可售出180台．经调查发现，销售定价每增加1元时，每周的销售量将减少10台，若商店准备把这种取暖器销售价定为每台x元，每周的销售获利为y元．

（1）求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出销售定价为多少时，这一周销售“小太阳”取暖器获利最大；

（2）若该商店在某周销售这种“小太阳”取暖器获利2000元，求x的值．

22．综合与实践

问题情境：

在数学课上老师出了这样一道题：如图1，在中，，求的长．

（1）探究发现：如图2，勤奋小组经过思考后，发现：把绕点A顺时针旋转得到，连接，，利用直角三角形的性质即可求解，请你根据勤奋小组的思路，求的长；

（2）探究拓展：如图3，缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把绕点A顺时针旋转后得到，连接，交于点F，交于点G，请你判断四边形的形状并证明；

（3）奇异小组的同学把图3中的绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，连接，发现的长度在不断变化，直接写出的最大值和最小值．

23．综合与探究

如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C．

（1）求点A，B和C的坐标；

（2）点E是直线上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当时，求点E的横坐标；

（3）点P从点B出发沿以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，同时，点Q从点O出发以相同的速度沿x轴的正半轴向终点B运动，一点到达，两点同时停止运动．连接，当是等腰三角形时，请直接写出运动的时间．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点，

∴k＝2×3＝6．

A．﹣1×6＝﹣6；该选项不符合题意；

B．﹣3×2＝﹣6；该选项不符合题意；

C．﹣3×（﹣2）＝6；该选项符合题意；

D．；该选项不符合题意；

故答案为：C

【分析】先求出k＝2×3＝6，再对每个选项一一判断即可。

2．【答案】D

【知识点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：∵在中，，，

∴．

故答案为：D．

 【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。

3．【答案】B

【知识点】配方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：

移项得：，

配方得：，

合并得：

故答案为：B．

【分析】利用配方法求解即可。

4．【答案】A

【知识点】平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：∵a∥b∥c，

∴，，，故B选项不符合题意；

∵，

∴，

∴，故A选项符合题意，D选项不符合题意；

对于C选项，根据现有条件无法推出，故C选项不符合题意；

故答案为：A．

【分析】利用平行线分线段成比例计算求解即可。

5．【答案】D

【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质

【解析】【解答】解：A．∵k＝，

∴图象位于第二、第四象限，

故A不符合题意；

B．∵＝k，

∴图象必经过点，

故B不符合题意；

C．∵x≠0，

∴y≠0，

∴图象不可能与坐标轴相交，

故C不符合题意；

D．∵k＝，

∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，

故D符合题意．

故答案为：D．

【分析】利用反比例函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。

6．【答案】A

【知识点】相似三角形的应用

【解析】【解答】解：设金字塔的高度为，

由题意得：

，

解得：，

故答案为：A ．

【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。

7．【答案】C

【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【解答】解：根据平行线的性质可得：∠B=∠DAB=30°，

又∵∠C=90°，

∴AB=2AC=2400m，

故答案为：C．

【分析】先求出∠B=∠DAB=30°，再根据∠C=90°，计算求解即可。

8．【答案】C

【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用

【解析】【解答】解：A、由于图钉只能顶尖触地和顶尖朝上，但是顶尖触地和顶尖朝上的概率并不相同，故抛掷一枚图钉时，顶尖朝上的概率不是0.5，此选项不符合题意；

B、抛掷3次，顶尖触地是个随机事件，不一定有1此顶尖触地，此选项说法不符合题意；

C、根据统计图可知，大量反复试验下，频率的稳定在0.46附近，即抛掷一枚图钉，顶尖触地的概率是0.46，此选项符合题意；

D、抛掷一枚图钉，顶尖触地的概率是0.46，并不意味着抛掷100次，顶尖触地的次数一定是46次，此说法不符合题意；

故答案为：C．

【分析】根据所给的频率统计图中的数据对每个选项一一判断即可。

9．【答案】B

【知识点】位似变换

【解析】【解答】作图如下：

延长线的交点为（7，0），位似中心即为（7，0）．

故答案为：B．

【分析】先求出延长线的交点为（7，0），再求点的坐标即可。

10．【答案】D

【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；旋转的性质

【解析】【解答】解：如图，取AD的中点H，连接OH，

∵四边形ABCD是菱形，BD为对角线，

∴BD平分，，

∵，

∴，

∴，

∴为等边三角形，

∵菱形的边长为8，

∴，

∵点O为BD的中点，

∴，

∴为等边三角形，

∴，，

∵，

∴，

即，

在与中，

，

∴，

∴四边形的面积与的面积相等，

过点O作于点G，

∴，

根据勾股定理，

，

，

∴四边形的面积为，

故答案为：D．

【分析】先求出，再求出，最后利用勾股定理，三角形面积公式计算求解即可。

11．【答案】

【知识点】特殊角的三角函数值

【解析】【解答】解：∵中，是锐角，，

∴∠A=30°．

故答案为30°．

 【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。

12．【答案】5

【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法

【解析】【解答】解：设A（a， ），B（b， ），C（a，0），D（b，0）且0＜a＜b

设直线OB的解析式为y=mx，将b点坐标代入可得：=mb，即m=

∴直线OB的解析式为y=x

当x=a时，y=，即点E的坐标为（a，）

∴AE=-，CE=

∵的面积是5

∴（-）a=5，化简得：

∴四边形的面积为

（CE+BD）CD

=（+）（b-a）

=（）

=5．

故答案为5．

【分析】先求出直线OB的解析式为y=x，再求出，最后计算求解即可。

13．【答案】

【知识点】列表法与树状图法

【解析】【解答】解：根据题意列表如下：

随机一次性摸出两个球有12种可能，这两个球上的数字分别作为一个两位数的十位上的数字和个位上的数字能被3整除有4种．

所以则这个两位数能被3整除的概率是=．

故答案是．

【分析】根据题意先求出随机一次性摸出两个球有12种可能，这两个球上的数字分别作为一个两位数的十位上的数字和个位上的数字能被3整除有4种，再求概率即可。

14．【答案】

【知识点】等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值；旋转的性质

【解析】【解答】解：如图所示，连接，

由旋转的性质可知，，

∴，

∴，

又∵点在圆O上，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

故答案为：．

【分析】连接由旋转的性质可知，，可得，可证是等边三角形，
根据等边三角形的性质可得。

15．【答案】3

【知识点】相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴△ABM∽△EDM，△BFN∽△DEN，

∴，，

∵BN=MN=DM，

∴BM=2DM，DN=2BN，

∴，，

∴，

∴，

故答案为：3．

【分析】先求出△ABM∽△EDM，△BFN∽△DEN，再利用相似三角形的性质计算求解即可。

16．【答案】（1）解：

或

解得，

（2）解：原式

【知识点】因式分解法解一元二次方程；特殊角的三角函数值

【解析】【分析】（1）利用解方程的方法求解即可；
（2）利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。

17．【答案】解：∵，，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，，，

∴．

∴．

∴该建筑物的高度是

【知识点】相似三角形的应用

【解析】【分析】利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。

18．【答案】解：设“白色”用“白”表示，“红色”用“红”表示，“蓝色”用“蓝”表示．

根据题意，列表如下：

根据表格可知，共有6种等可能的结果，其中，指针都停在白色区域的结果只有1种，为（白，白）．

∴P（两个指针都停在白色区域）．

【知识点】列表法与树状图法

【解析】【分析】根据题意，先求出共有6种等可能的结果，其中，指针都停在白色区域的结果只有1种，为（白，白），再求概率即可。

19．【答案】（1）解：由题意得：

需要的时间d与入库平均速度v的函数关系式是．

（2）解：①把代入中，得

．

∴预计玉米入库最快可在5天内完成．

②（吨）．

每人每天最多入库的玉米是：（吨）．

（名）．

（名）．

答：把剩下的玉米全部入库，至少需要增加50名职工．

【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用

【解析】【分析】（1）根据题意求出 需要的时间d与入库平均速度v的函数关系式是，即可作答；
（2）①根据题意先求出 ，再求解即可；
②先求出每人每天最多入库的玉米是 600吨，再计算求解即可。

20．【答案】解：过点A作于点H．

∵，，

∴．

∴四边形是矩形．

∴．

在中，，，

．

∴．

在中，，，，

．

∴．

∴．

∴甲楼的高度约为37.7米

【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【分析】先求出四边形是矩形，再利用锐角三角函数计算求解即可。

21．【答案】（1）解：由题意知

．

∴y与x的函数关系式是．

∴

．

∵，

∴当时，y有最大值．

∴销售定价为55元时，这一周销售“小太阳”取暖器获利最大．

（2）解：把代入中，得．

解得．

∵，

∴．

∴该商店在一周销售这种“小太阳”取暖器获利2000元，x的值是60

【知识点】二次函数的实际应用-销售问题

【解析】【分析】（1）先求出 ，再求解即可；
（2）根据题意先求出 ，再解方程即可。

22．【答案】（1）解：如图4，延长CB、DE交于点H.

∵绕点A顺时针旋转得到

∴，，∠H=90°，

∴=6，=6，，

∵，

∴△ABC是等腰三角形，

∴，

∵

∴是等边三角形

∴，

∴

∴是等腰直角三角形

∴．

∵，．

∴是等腰直角三角形，．

在中，由勾股定理，得．

∴=36．

∴HE2=HB2=18

∴．

在中，，．

在中，．

∴．

在中，，

∴，

∴．

∴．

∵，

∴的长是．

（2）解：四边形是菱形．理由如下：

∵绕点A顺时针旋转得到，，，

∴，．

∴，，．

∴．

∴△ACE是等腰三角形

∴．

同理可得：．

∵．

∴，．

∴在中，．

∴，．

∴，．

∴四边形是平行四边形．

∵，

∴四边形是菱形．

（3）解：如图5，作AH⊥BD于点H，则

∵绕点A顺时针旋转得到，

∴，

∴=6

∴△ABD是等腰三角形

∴BH=DH=BD

∴ ．

在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH=30°， AB=6

∵

∴BH=3

∴BD=2 BH=6

由（2）知四边形是菱形

∴DF=AD=6 

∴BF=BD-DF=6－6

当绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，当旋转到A、B、F第一次三点共线时，如图6，

，

∴

此时AF有最小值，

此时AF==AB-=AB-BF=6-（6－6）=12－6

当旋转到A、B、F第二次三点共线时，如图7，

，

∴

此时AF有最大值，

此时AF=AB+=AB+BF=6+6－6=6

故的最大值是，的最小值是

【知识点】旋转的性质；三角形的综合；三角形-动点问题

【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数计算求解即可；
（2）先求出 △ACE是等腰三角形 ，再求出 ，，最后求解即可；
（3）先求出 △ABD是等腰三角形 ，再求出 BF=BD-DF=6－6 ，最后求解即可。

23．【答案】（1）解：把代入中，得．

∴点C的坐标是．

把代入中，得．

解得，．

∴点A的坐标是，点B的坐标是．

∴点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是．

（2）解：设直线的解析式是．

∵过点，

∴．

解得．

∴直线的解析式是．

∵点E是直线上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，

∴设点E的坐标是，则点F的坐标是．

∵，点C的坐标是，

∴．

∴，或．

解得，，．

∴点E的横坐标是，和2．

（3）解：设运动时间为t，根据题意，若要构成，则P、Q不与点B重合，t的取值范围为，

∴，，

如图，过点P作轴于点D，设点P的坐标为，则，，

根据勾股定理，在中，

，

，

解得，（不符合题意，舍去），

∴点P的坐标为，

∵点Q的坐标为

∴，

∵，，，

①当时，

即，

解得：；

②当时，

，

解得：，（不符合题意，舍去），

③当时，

，

解得：，（不符合题意，舍去），

综上所述：当是等腰三角形时，时间为2秒，秒，秒．

【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题

【解析】【分析】（1）先求出 点C的坐标是，再求出 ，，最后求出点的坐标即可；
（2）先求出 直线的解析式是，再求出 ，，，最后求解即可；
（3）根据题意先求出 ，， 再分类讨论，列方程求解即可。