2021-2022学年山西省朔州市山阴县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年山西省朔州市山阴县九年级（上）期末数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 已知反比例函数的图象经过点，则下列的点在该反比例函数图象上的是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在中，，，，则的值是

A.
B.
C.
D.

3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，直线，，截直线和，，，则下列结论中，正确的是

A.
B.
C.
D.

5. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是

A. 图象位于第二、第四象限 B. 图象必经过点
C. 图象不可能与坐标轴相交 D. 随的增大而增大

6. 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．已知木杆长，它的影长为，测得为，则金字塔的高度是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，某飞机于空中处探测的目标的正上方，此时飞机的飞行高度，从飞机上看地平面指挥台的俯角则飞机与指挥台的距离是

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

8. 如图，在学习完概率后，同学们要确定如图所示的图钉顶尖触地的概率．他们采用分组的方法，在相同的情况下，抛掷图钉，根据抛掷的次数和顶尖触地的频率绘制了图的频率统计图，根据频率统计图可知，下列说法中，正确的是

A. 由于图钉只能顶尖触地和顶尖朝上，因此抛掷一枚图钉时，顶尖朝上的概率是
B. 抛掷次，一定有次顶尖触地
C. 抛掷一枚图钉，顶尖触地的概率是
D. 抛掷次，顶尖触地的次数一定是次

9. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知菱形的边长为，，点是对角线的中点．如图在点处放置一个含角的三角板，把这个三角板绕点旋转，斜边与边交于点，直角边与边交于点，若，则四边形的面积是

A. 随着三角板的位置的变化而变化
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 已知，中，是锐角，，则的度数是______．
12. 如图，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，连接交于点，若的面积是，则四边形的面积是______．
     

13. 一个不透明的袋中装有个球，分别标有数字，，，，这些球除标有的数字不同外其余都完全相同．把袋中的球摇匀后，随机一次性摸出两个球，这两个球上的数字分别作为一个两位数的十位上的数字和个位上的数字，则这个两位数能被整除的概率是______．
14. 如图，中，以点为圆心，为半径作，边与相切于点，把绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在上，则的值是______．
15. 如图，正方形的边长为，点和在对角线上，且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，则线段的长为______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）

16. 解方程：；
    计算：．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高，测得，，点，，在同一直线上，点在上．求该建筑物的高度．
     

18. 如图，有甲，乙两个转盘，甲转盘平均分成等份，分别涂上红色、白色和蓝色，乙转盘平均分成两等份，分别涂上红色和白色，现在同时用力转动甲、乙两个转盘，两个指针只要有一个指针停在分界线上时，重新转动两个转盘，直到指针停在涂色的扇形区域．用列表或画树状图的方法，求两个指针都停在白色区域的概率．

19. 某粮库需要把晾晒场上的吨玉米入库封存．
    直接写出入库所需要的时间单位：天与入库平均速度单位：吨天的函数关系式不必写出的取值范围；
    已知粮库有职工名，每天最多可入库吨玉米．
    预计玉米入库最快可在几天内完成？
    粮库职工每天以最多的量把玉米入库，连续工作天后，天气预报说未来几天会下雨，粮库决定次日把剩下的玉米全部入库，求至少需要增加多少职工？

20. 如图，为了测量甲楼的高度，由于甲楼的底部不能直接到达，于是，测量人员在乙楼的顶部测得甲楼的顶的仰角是，底部的俯角是，已知乙楼的高度是米，求甲楼的高度．参考数据：，，，结果精确到米
    
     

21. 某商店购进一种冬季取暖的“小太阳”取暖器，每台进价为元．这种取暖器的销售价为每台元时，每周可售出台．经调查发现，销售定价每增加元时，每周的销售量将减少台，若商店准备把这种取暖器销售价定为每台元，每周的销售获利为元．
    求与的函数关系式不必写出的取值范围，并求出销售定价为多少时，这一周销售“小太阳”取暖器获利最大；
    若该商店在某周销售这种“小太阳”取暖器获利元，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 综合与实践
    问题情境：
    在数学课上老师出了这样一道题：如图，在中，，求的长．
    
    探究发现：
    如图，勤奋小组经过思考后，发现：把绕点顺时针旋转得到，连接，，利用直角三角形的性质即可求解，请你根据勤奋小组的思路，求的长；
    探究拓展：
    如图，缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把绕点顺时针旋转后得到，连接，交于点，交于点，请你判断四边形的形状并证明；
    奇异小组的同学把图中的绕点顺时针旋转，在旋转过程中，连接，发现的长度在不断变化，直接写出的最大值和最小值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 综合与探究
    如图，抛物线与轴交于，两点，且点在点的左侧，与轴交于点．
    
    求点，和的坐标；
    点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，当时，求点的横坐标；
    点从点出发沿以个单位长度秒的速度向终点运动，同时，点从点出发以相同的速度沿轴的正半轴向终点运动，一点到达，两点同时停止运动．连接，当是等腰三角形时，请直接写出运动的时间．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：反比例函数的图象经过点，
．
A、，故选项A不符合题意，
B、，故选项B不符合题意，
C、，故选项C符合题意，
D、，故选项，不符合题意，
故选：．
由点在反比例函数图象上可求出的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

2.【答案】

【解析】

解：，，，
，
故选：．
根据锐角三角函数的定义得出，再代入求出答案即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：，
，
则，即，
故选：．
常数项移到右边，再配上一次项系数一半的平方即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：，，
，
，，，故选项A正确，符合题意，选项B、不正确，不符合题意；
连接，交于，

，
∽，
，
，
选项C不正确，不符合题意；
故选：．
根据平行线分线段成比例定理即可解答本题．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：，
图象位于第二、第四象限，
故A正确，不符合题意；
B.，
图象必经过点，
故B正确，不符合题意；
C.，
，
图象不可能与坐标轴相交，
故C正确，不符合题意；
D.，
在每一个象限内，随的增大而增大，
故D错误，符合题意．
故选：．
根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：，
，
又，
∽，
：：，
：：，
，
答：金字塔的高度是，
故选：．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
本题主要考查相似三角形的应用，解答时要了解：同一时刻物高和影长成正比．
 

7.【答案】

【解析】

解：由题意可知：，
在中，，
，
答：飞机与指挥台的距离约为，
故选：．
由题意得到，再利用锐角三角函数定义求出的长即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和正弦函数的定义是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：从一枚图钉被抛起后钉尖触地频率随抛掷次数变化趋势图可看出数据都集中在．
一枚图钉被抛起后钉尖触地的概率估计值是．
故选：．
从频率分布直方图上可以看出，数值都集中在，所以可看出一枚图钉被抛起后钉尖触地的概率估计值．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】

【解析】

解：如图所示：点即为位似中心坐标为：．
故选：．
直接利用位似图形的性质连接对应点，进而得出位似中心的位置．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：过点作于．
菱形中，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，




．
故选：．
过点作于则≌，所以，因，据此解答即可．
本题考查了菱形的性质，正确运用菱形的性质和全等三角形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：是锐角，，
，
故答案为：．
根据特殊角的三角函数值进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，连接交于点，
，
，
，
故答案为：．
根据反比例函数系数的几何意义得到，即可得到，即．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进行求解．
 

13.【答案】

【解析】

解：根据题意画图如下：

共有种等可能的结果，其中这个两位数能被整除的有种情况，
则这个两位数能被整除的概率为．
故答案为：．
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】

【解析】

解：由旋转得，，
，
是等边三角形，
，
边与相切于点，
，
，
．
故答案为：．
由旋转得，则，是等边三角形，可得，根据切线的性质以及旋转的性质得，可得，根据特殊角的三角函数值即可求解．
此题考查圆的切线的性质、等边三角形的判定和性质，锐角三角函数．
 

15.【答案】

【解析】

解：四边形是正方形，
，
，，
∽，
，
，，
，
，
同理∽，
，即，
．
故答案为：．
根据四边形是正方形，证明∽，有，即，可得，同理∽，，即，即得．
本题考查正方形中的相似三角形，解题的关键是根据相似三角形对应边成比例列方程解决问题．
 

16.【答案】

解：移项得：，
分解得：，
所以或，
所以，，；
原式


．
 

【解析】

方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，实数的运算，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握方程的解法及运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】

解：，，
，
，
∽，
，
，，，
，
，
该建筑物的高度是．
 

【解析】

根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出的长，从而可以解答本题．
本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】

解：设“白色”用“白”表示，“红色”用“红”表示，“蓝色”用“蓝”表示．
根据题意，列表如下：

根据表格可知，共有种等可能的结果，其中，指针都停在白色区域的结果只有种，为白，白，
两个指针都停在白色区域．
 

【解析】

根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出两个指针都停在白色区域的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】

解：由题意可得，
，
即入库所需要的时间单位：天与入库平均速度单位：吨天的函数关系式是；
把代入中，得．
答：预计玉米入库最快可在天内完成；
设需要增加名职工，
由题意可得：，
解得，
答：至少增加名职工．
 

【解析】

根据题意和题目中的数据，可以写出入库所需要的时间单位：天与入库平均速度单位：吨天的函数关系式；
将代入中的函数关系式，求出相应的的值即可；
根据题意，可以得到相应的不等式，然后求解即可．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式和不等式．
 

20.【答案】

解：过点作于点．
，，
．
四边形是矩形．
米，
在中，，，
，
米，
在中，，，，，
米，
米．
答：甲楼的高度约为米．
 

【解析】

过点作于点，在中求出，继而得出，在中求出，继而可得出乙楼的高度．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，并熟练掌握锐角三角函数的定义．
 

21.【答案】

解：根据题意得：，
与的函数关系式是，
，且，
当时，有最大值，最大值是元，
答：与的函数关系式是，销售定价为元时，这一周销售“小太阳”取暖器获利最大元；
把代入得：
，
解得，，
，
，
答：该商店在一周销售这种“小太阳”取暖器获利元，的值是．
 

【解析】

根据总利润每台利润销售量可得与的函数关系式，由二次函数性质及可得销售定价为元时，这一周销售“小太阳”取暖器获利最大元；
在的函数关系式中，令得的一元二次方程，即可解得答案．
本题考查二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据总利润每台利润销售量列出与的函数关系式．
 

22.【答案】

解：如图，过点作交的延长线于点，
绕点顺时针旋转得到，，，
，，，，，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
的长是．
解：四边形是菱形，
证明：如图，绕点顺时针旋转得到，，，
，，，，
，
，，
，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
解：如图，作于点，连接，
四边形是菱形，
，
，，
≌，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，且，，
，
当点在线段的延长线上，如图，则，此时的值最大，等于；
当点在线段上，如图，则，此时的值最小，等于，
综上所述，的最大值是，的最小值是．
 

【解析】

过点作交的延长线于点，先证明是等边三角形，再证明是等腰直角三角形，并且求得，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理即可求出的长和的长，进而求出的长，再由求得的长；
四边形是菱形，先求出，，，则，可证明，，则四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是菱形；
作于点，连接，先证明，则，由得，根据勾股定理求得，然后再由求出的长，即可求出的长，再根据两点之间线段最短求出的最大值和最小值即可．
此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、旋转的性质、三角形内角和定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，此题难度较大，属于考试压轴题．
 

23.【答案】

解：把代入中，
得．
点的坐标是，
把代入中，得．
解得，，
点的坐标是，点的坐标是；
设直线的解析式是．
过点，
．
解得，
直线的解析式是，
点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，
设点的坐标是，则点的坐标是，
，点的坐标是，
，
或，
解得：，，，
点的横坐标是，和；
设运动的时间为秒，则，，
当时．
即，解得；
如图，当时，过点作于，
点的坐标是，点，
，，
，
，，

，
，
，
，
，
；
如图所示：当时，

过作于，
则∽，
，
，
，
综上所述，当的值或或时，为等腰三角形．
 

【解析】

把，分别代入中求出，的值即可求得点，和的坐标；
求出直线的解析式为，设点的坐标是，则点的坐标是，根据解方程求出即可；
分为、、三种情况进行解答即可．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定和性质，等腰三角形到现在，分类讨论是解答问题的关键．