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贵州省黔南州长顺县2022-2023学年八年级（上）质量评估数学试卷（一）(解析版)
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这是一份贵州省黔南州长顺县2022-2023学年八年级（上）质量评估数学试卷（一）(解析版)，共24页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年贵州省黔南州长顺县八年级第一学期质量评估数学试卷（一）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑.
1．下列长度（单位：cm）的三根小木棒，能搭成三角形的是（ ）
A．4，5，9 B．5，5，10 C．8，8，15 D．6，7，15
2．在下列△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在△ABC中．∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，过点D作DF∥AB交AC于E，则∠ADE的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
4．从多边形的一个顶点出发可引出7条对角线，则它是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
5．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点B落在边EF上，点D落在边AC上，则∠α的大小为（ ）
A．165° B．160° C．150° D．135°
6．2022年北京冬奥会开幕式为世界奉献了一场精彩、简约、唯美、浪漫的中国文化盛宴，其中主火炬台的雪花状创意令人惊叹．如图是一个正六边形雪花状饰品，则它的每一个内角是（ ）
A．60° B．105° C．120° D．135°
7．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ）
A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
8．如图，在△ABC与△DFE中，AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（ ）
A．∠B＝∠F B．BE＝CF C．∠A＝∠D D．AB＝DF
9．如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．140° B．180° C．250° D．360°
10．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角分别对应相等
B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等
D．一个锐角和一条斜边分别对应相等
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线．AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A．30 B．18 C．15 D．9
12．如图，已知△ABC是直角三角形，∠B＝90°．在边AB，AC上分别截取AG，AF，使AG＝AF；分别以G，F为圆心，以大于GF的长为半径画弧，两弧在△ABC内相交于点H；作射线AH交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．若CE＝3，DE＝4，CD＝5，则△ACD与△ABD的周长差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．花楼提花机是我国古代织造技术最高成就的代表，明代《天工开物》中详细记载了花楼提花机的构造．如图所示，提花机上的一个三角形木框架，它是由三根木料固定而成，三角形的大小和形状固定不变．三角形的这个性质叫做三角形的 ．
14．如图，在△ABC中，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A′，若∠A＝30°，∠BDA′＝86°，则∠CEA′的度数为 ．
15．如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数等于 ．
16．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝6cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 cm．
三、解答题（本大题共9个小题，共64分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．如图，在直角△ABC中，BC边上有E，D，F三点，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足为F．
（1）以AD为中线的三角形是 ；以AE为角平分线的三角形是 ；以AF为高线的钝角三角形有 个；
（2）若∠B＝35°，求∠CAF的度数．
18．某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）．
19．已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
20．已知一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的3倍多20°，求这个正多边形的边数和它的内角和．
21．已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数．
22．【概念认识】在四边形ABCD中，∠A＝∠B．如果在四边形ABCD内部或边AB上存在一点P，满足∠DPC＝∠A，那么称点P是四边形ABCD的“映角点”．
【初步思考】
（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在边AB上且是四边形ABCD的“映角点”．若DA∥CP，DP∥CB，则∠DPC的度数为 ；
【综合运用】
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在四边形ABCD内部且是四边形ABCD的“映角点”，延长CP交边AB于点E．求证：∠ADP＝∠CEB．
23．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．
24．综合与实践：
【问题情境】
如图，池塘的两端有A，B两点，现需要测量该池塘的两端A，B之间的距离，需要如何进行呢？
【方案解决】同学们想出了如下的两种方案：
方案①：如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的距离；
方案②：如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A，C，E三点在一条直线上，则测出DE的长即是AB的距离．
问：（1）方案①是否可行？请说明理由；
（2）方案②是否可行？请说明理由．
25．综合与探究：
【情境引入】
（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+∠A的理由．
【深入探究】
（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 ；
②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑.
1．下列长度（单位：cm）的三根小木棒，能搭成三角形的是（ ）
A．4，5，9 B．5，5，10 C．8，8，15 D．6，7，15
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知．
解：A、4+5＝9，不满足三角形三边关系定理，故错误，该选项不符合题意；
B、5+5＝10，不满足三边关系定理，故错误，该选项不符合题意；
C、8+8＝16＞15，满足三边关系定理，故正确，该选项符合题意；
D、6+7＝13＜15，不满足三角形三边关系定理，故错误，该选项不符合题意．
故选：C．
2．在下列△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
解：A、AD不是AC边上的高，不符合题意；
B、AD是BC边上的高，不是AC边上的高，不符合题意；
C、BD不是AC边上的高，不符合题意；
D、BD是AC边上的高，符合题意；
故选：D．
3．如图，在△ABC中．∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，过点D作DF∥AB交AC于E，则∠ADE的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠BAD，根据平行线的性质得出∠ADE＝∠BAD即可．
解：∵在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝40°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD＝40°．
故选：A．
4．从多边形的一个顶点出发可引出7条对角线，则它是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【分析】根据多边形的一个顶点引出的对角线的条数与边数的关系解决此题．
解：任意n边形的一个顶点可引出的对角线的条数为（n﹣3）条．
∴n﹣3＝7．
∴n＝10．
∴这个多边形是十边形．
故选：D．
5．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点B落在边EF上，点D落在边AC上，则∠α的大小为（ ）
A．165° B．160° C．150° D．135°
【分析】由题意可得∠ABC＝45°，∠E＝30°，由三角形的外角性质可求得∠BHE＝15°，再利用平角的定义即可求解．
解：如图，
由题意得：∠ABC＝45°，∠E＝30°，
∵∠ABC是△BEH的外角，
∴∠ABC＝∠E+∠BHE，
∴∠BHE＝∠ABC﹣∠E＝15°，
∴∠α＝180°﹣∠BHE＝165°．
故选：A．
6．2022年北京冬奥会开幕式为世界奉献了一场精彩、简约、唯美、浪漫的中国文化盛宴，其中主火炬台的雪花状创意令人惊叹．如图是一个正六边形雪花状饰品，则它的每一个内角是（ ）
A．60° B．105° C．120° D．135°
【分析】根据多边形的内角和公式：多边形的内角和＝180°×（n﹣2），再利用内角和÷6即可得出每个内角的度数．
解：180°×（6﹣2）
＝180°×4
＝720°，
720°÷6＝120°，
答：一个六边形的每个内角的度数是120°．
故选：C．
7．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ）
A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
【分析】设这个外角是x°，则内角是3x°，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．
解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，
∴设这个外角是x°，则内角是3x°，
根据题意得：x+3x＝180，
解得：x＝45，
360°÷45°＝8（边），
故选：C．
8．如图，在△ABC与△DFE中，AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（ ）
A．∠B＝∠F B．BE＝CF C．∠A＝∠D D．AB＝DF
【分析】根据全等三角形的判定方法：SAS．ASA，AAS，逐一判断即可解答．
解：A、∵AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，∠B＝∠F，
∴△ABC≌△DFE（AAS），
故A不符合题意；
B、∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
∴BC＝EF，
∵∠ACB＝∠DEF，AC＝DE，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
故B不符合题意；
C、∵AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DFE（ASA），
故C不符合题意；
D、∵AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，AB＝DF，
∴△ABC与△DFE不一定全等，
故D符合题意；
故选：D．
9．如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．140° B．180° C．250° D．360°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠3+∠4，继而可求出∠1+∠2的值．
解：∵∠C＝70°，
∴∠3+∠4＝180°﹣70°＝110°，
∴∠1+∠2＝（180°﹣∠3）+（180°﹣∠4）＝360°﹣（∠3+∠4）＝250°．
故选：C．
10．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角分别对应相等
B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等
D．一个锐角和一条斜边分别对应相等
【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；
B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；
C、可以利用边角边或HL判定两三角形全等，不符合题意；
D、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意．
故选：A．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线．AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A．30 B．18 C．15 D．9
【分析】要求△ABD的面积，现有AB＝10可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．
解：作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝CD＝3．
∴△ABD的面积为 ×3×10＝15．
故选：C．
12．如图，已知△ABC是直角三角形，∠B＝90°．在边AB，AC上分别截取AG，AF，使AG＝AF；分别以G，F为圆心，以大于GF的长为半径画弧，两弧在△ABC内相交于点H；作射线AH交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．若CE＝3，DE＝4，CD＝5，则△ACD与△ABD的周长差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
【分析】由作法得AD平分∠BAC，则根据角平分线的性质得到DB＝DE，再证明Rt△ABD≌Rt△AED得到AE＝AB，然后利用等线段代换得到△ACD的周长﹣△ABD的周长＝CE+CD﹣BD．
解：由作法得AD平分∠BAC，
∵DB⊥AB，DE⊥AC，
∴DB＝DE，
在Rt△ABD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AB，
∴△ACD的周长﹣△ABD的周长＝AC+CD+AD﹣（AB+BD+AD）＝AE+CE+AD+CD﹣AB﹣BD﹣AD＝CE+CD﹣BD＝3+5﹣4＝4．
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．花楼提花机是我国古代织造技术最高成就的代表，明代《天工开物》中详细记载了花楼提花机的构造．如图所示，提花机上的一个三角形木框架，它是由三根木料固定而成，三角形的大小和形状固定不变．三角形的这个性质叫做三角形的 稳定性 ．
【分析】根据三角形的稳定性可知，三根木条钉成一个三角形框架的大小和形状固定不变，据此填空即可．
解：根据三角形的稳定性可知，三根木条钉成一个三角形框架的大小和形状固定不变，
故答案为：稳定性．
14．如图，在△ABC中，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A′，若∠A＝30°，∠BDA′＝86°，则∠CEA′的度数为 26° ．
【分析】先利用对折的性质说明∠ADE与∠A′DE、∠AED与∠A′ED的关系，再利用三角形的内角和、平角的定义求出∠ADE、∠DEA′、∠DEC的度数，最后利用角的和差关系求出∠CEA′的度数．
解：∵△A′DE是△ADE沿DE对折后的图形，
∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED．
∵∠ADE+∠A′DE+∠BDA′＝180°，∠BDA′＝86°，
∴∠ADE＝47°．
∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∠A＝30°，
∴∠AED＝∠DEA′＝100°．
∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝77°．
∵∠DEA′＝103°，
∴∠CEA′＝∠DEA′﹣∠DEC＝26°．
故答案为：26°．
15．如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数等于 84° ．
【分析】利用正多边形的外角公式可得∠ABC，∠ACB，再根据三角形内角和为180°，求出∠BAC，即可求出∠1解决问题．
解：如图，
由题意得：∠ABC＝360°÷6＝60°，∠ACB＝360°÷5＝72°，
则∠BAC＝180°﹣60°﹣72°＝48°，
所以∠1＝360°﹣48°﹣120°﹣108°＝84°．
故答案为：84°．
16．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝6cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 6 cm．
【分析】过P点作PH⊥OB于H，如图，根据角平分线的性质得到PH＝PD＝2，然后根据垂线段最短求解．
解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴PH＝PD＝6cm，
∵点E是射线OB上的动点，
∴PE的最小值为6cm．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共9个小题，共64分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．如图，在直角△ABC中，BC边上有E，D，F三点，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足为F．
（1）以AD为中线的三角形是 △ABC ；以AE为角平分线的三角形是 △ABD ；以AF为高线的钝角三角形有 3 个；
（2）若∠B＝35°，求∠CAF的度数．
【分析】（1）根据三角形的中线、高、角平分线的概念解答即可；
（2）根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．
解：（1）以AD为中线的三角形是△ABC；
以AE为角平分线的三角形是△ABD；
以AF为高线的钝角三角形有△ABE、△ABD、△ADE共3个，
故答案为：△ABC；△ABD；3；
（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝35°，
∴∠C＝90°﹣35°＝55°，
∵AF⊥BC，
∴∠CAF＝90°﹣55°＝35°．
18．某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，求出∠BAE＝∠CAD，根据SAS证△ABE≌△ACD即可．
解：△ABE≌△ACD，
理由如下：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，
即∠BAE＝∠CAD
∵在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
19．已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长进而判断出其形状．
解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意舍去，
∴a＝2，
∴△ABC的周长为：2+2+3＝7，
∴△ABC是等腰三角形．
20．已知一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的3倍多20°，求这个正多边形的边数和它的内角和．
【分析】一个正多边形的每个内角比它相邻的外角的3倍多20°，又由于内角与外角的和是180度．设内角是x°，外角是180°﹣x°，列方程求解，再根据多边形的外角和与内角和定理求解．
解：设内角是x°，外角是180°﹣x°，
则得到方程
x＝3（180﹣x）+20，
解得x＝140，
180°﹣x°＝40°．
而任何多边形的外角是360°，
则多边形内角和中的外角的个数是360÷40＝9，
则这个多边形的边数是9边形，内角和为（9﹣2）×180°＝1260°．
故这个多边形的边数为9，内角和为1260°．
21．已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数．
【分析】（1）过点P作PD⊥BC于D，可得PD＝PE＝PF；
（2）可得AP是∠BAC的平分线，则∠EAP可求出．
解：（1）过点P作PD⊥BC于D，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PD＝PE，PD＝PF，
∴PE＝PF；
（2）∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴AP平分∠BAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠EAP＝＝30°．
22．【概念认识】在四边形ABCD中，∠A＝∠B．如果在四边形ABCD内部或边AB上存在一点P，满足∠DPC＝∠A，那么称点P是四边形ABCD的“映角点”．
【初步思考】
（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在边AB上且是四边形ABCD的“映角点”．若DA∥CP，DP∥CB，则∠DPC的度数为 60° ；
【综合运用】
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在四边形ABCD内部且是四边形ABCD的“映角点”，延长CP交边AB于点E．求证：∠ADP＝∠CEB．
【分析】（1）由题意可知∠A＝∠B＝∠DPC，若DA∥CP，DP∥CB，推出∠A＝∠B＝∠DPC＝∠ADP＝∠PCB，再由∠DPB是△ADP的外角，则∠DPC+∠CPB＝2∠A，证得△BCP为等边三角形，即可得出结果；
（2）先证∠ADP+∠AEP＝180°，再由∠CEB+∠AEP＝180°，即可得出结论．
【解答】（1）解：由题意得：∠A＝∠B＝∠DPC，
∵DA∥CP，
∴∠DPC＝∠ADP，
∵DP∥CB，
∴∠DPC＝∠PCB，
∴∠A＝∠B＝∠DPC＝∠ADP＝∠PCB，
∵∠DPB是△ADP的外角，
∴∠DPC+∠CPB＝∠A+∠ADP＝2∠A，
∴∠A＝∠CPB，
∴∠B＝∠CPB＝∠PCB，
∴△BCP为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠DPC＝60°，
故答案为：60；
（2）证明：∵∠A＝∠B＝∠DPC，∠DPC+∠DPE＝180°，
∴∠A+∠DPE＝180°，
∴∠ADP+∠AEP＝180°，
∵∠CEB+∠AEP＝180°，
∴∠ADP＝∠CEB．
23．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．
【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．
解：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，
在△BAC与△EAD中，
，
∴△BAC≌△EAD（SAS），
∴∠D＝∠C＝50°．
24．综合与实践：
【问题情境】
如图，池塘的两端有A，B两点，现需要测量该池塘的两端A，B之间的距离，需要如何进行呢？
【方案解决】同学们想出了如下的两种方案：
方案①：如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的距离；
方案②：如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A，C，E三点在一条直线上，则测出DE的长即是AB的距离．
问：（1）方案①是否可行？请说明理由；
（2）方案②是否可行？请说明理由．
【分析】（1）根据SAS证明△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据ASA证明△ABC≌△EDC，进一步即可得证．
解：（1）方案①可行，理由如下：
在△DCE和△ACB中，
，
∴△DCE≌△ACB（SAS），
∴DE＝AB，
∴方案①可行；
（2）方案②可行，理由如下：
∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴DE＝AB，
故方案②可行．
25．综合与探究：
【情境引入】
（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+∠A的理由．
【深入探究】
（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 ∠D＝90°﹣∠A ；
②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理证明即可；
（2）①根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可；
②根据三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义求解即可．
【解答】（1）证明：∵BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠2
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A；
（2）解：①∠D＝90°﹣∠A，理由如下：
∵BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，
∴∠DBC＝∠EBC＝（∠A+∠ACB），∠DCB＝∠FCB＝（∠A+∠ABC），
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣（∠EBC+∠FCB）
＝180°﹣
＝90°﹣∠A，
故答案为：∠D＝90°﹣∠A；
②∠D＝∠A，理由如下：
∵BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠D+∠DBC，
∴∠D+∠ABC＝（∠A+∠ABC），
∴∠D＝∠A．
2022-2023学年贵州省黔南州长顺县八年级第一学期质量评估数学试卷（一）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑.
1．下列长度（单位：cm）的三根小木棒，能搭成三角形的是（ ）
A．4，5，9 B．5，5，10 C．8，8，15 D．6，7，15
2．在下列△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在△ABC中．∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，过点D作DF∥AB交AC于E，则∠ADE的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
4．从多边形的一个顶点出发可引出7条对角线，则它是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
5．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点B落在边EF上，点D落在边AC上，则∠α的大小为（ ）
A．165° B．160° C．150° D．135°
6．2022年北京冬奥会开幕式为世界奉献了一场精彩、简约、唯美、浪漫的中国文化盛宴，其中主火炬台的雪花状创意令人惊叹．如图是一个正六边形雪花状饰品，则它的每一个内角是（ ）
A．60° B．105° C．120° D．135°
7．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ）
A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
8．如图，在△ABC与△DFE中，AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（ ）
A．∠B＝∠F B．BE＝CF C．∠A＝∠D D．AB＝DF
9．如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．140° B．180° C．250° D．360°
10．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角分别对应相等
B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等
D．一个锐角和一条斜边分别对应相等
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线．AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A．30 B．18 C．15 D．9
12．如图，已知△ABC是直角三角形，∠B＝90°．在边AB，AC上分别截取AG，AF，使AG＝AF；分别以G，F为圆心，以大于GF的长为半径画弧，两弧在△ABC内相交于点H；作射线AH交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．若CE＝3，DE＝4，CD＝5，则△ACD与△ABD的周长差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．花楼提花机是我国古代织造技术最高成就的代表，明代《天工开物》中详细记载了花楼提花机的构造．如图所示，提花机上的一个三角形木框架，它是由三根木料固定而成，三角形的大小和形状固定不变．三角形的这个性质叫做三角形的 ．
14．如图，在△ABC中，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A′，若∠A＝30°，∠BDA′＝86°，则∠CEA′的度数为 ．
15．如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数等于 ．
16．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝6cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 cm．
三、解答题（本大题共9个小题，共64分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．如图，在直角△ABC中，BC边上有E，D，F三点，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足为F．
（1）以AD为中线的三角形是 ；以AE为角平分线的三角形是 ；以AF为高线的钝角三角形有 个；
（2）若∠B＝35°，求∠CAF的度数．
18．某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）．
19．已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
20．已知一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的3倍多20°，求这个正多边形的边数和它的内角和．
21．已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数．
22．【概念认识】在四边形ABCD中，∠A＝∠B．如果在四边形ABCD内部或边AB上存在一点P，满足∠DPC＝∠A，那么称点P是四边形ABCD的“映角点”．
【初步思考】
（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在边AB上且是四边形ABCD的“映角点”．若DA∥CP，DP∥CB，则∠DPC的度数为 ；
【综合运用】
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在四边形ABCD内部且是四边形ABCD的“映角点”，延长CP交边AB于点E．求证：∠ADP＝∠CEB．
23．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．
24．综合与实践：
【问题情境】
如图，池塘的两端有A，B两点，现需要测量该池塘的两端A，B之间的距离，需要如何进行呢？
【方案解决】同学们想出了如下的两种方案：
方案①：如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的距离；
方案②：如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A，C，E三点在一条直线上，则测出DE的长即是AB的距离．
问：（1）方案①是否可行？请说明理由；
（2）方案②是否可行？请说明理由．
25．综合与探究：
【情境引入】
（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+∠A的理由．
【深入探究】
（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 ；
②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑.
1．下列长度（单位：cm）的三根小木棒，能搭成三角形的是（ ）
A．4，5，9 B．5，5，10 C．8，8，15 D．6，7，15
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知．
解：A、4+5＝9，不满足三角形三边关系定理，故错误，该选项不符合题意；
B、5+5＝10，不满足三边关系定理，故错误，该选项不符合题意；
C、8+8＝16＞15，满足三边关系定理，故正确，该选项符合题意；
D、6+7＝13＜15，不满足三角形三边关系定理，故错误，该选项不符合题意．
故选：C．
2．在下列△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
解：A、AD不是AC边上的高，不符合题意；
B、AD是BC边上的高，不是AC边上的高，不符合题意；
C、BD不是AC边上的高，不符合题意；
D、BD是AC边上的高，符合题意；
故选：D．
3．如图，在△ABC中．∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，过点D作DF∥AB交AC于E，则∠ADE的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠BAD，根据平行线的性质得出∠ADE＝∠BAD即可．
解：∵在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝40°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD＝40°．
故选：A．
4．从多边形的一个顶点出发可引出7条对角线，则它是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【分析】根据多边形的一个顶点引出的对角线的条数与边数的关系解决此题．
解：任意n边形的一个顶点可引出的对角线的条数为（n﹣3）条．
∴n﹣3＝7．
∴n＝10．
∴这个多边形是十边形．
故选：D．
5．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点B落在边EF上，点D落在边AC上，则∠α的大小为（ ）
A．165° B．160° C．150° D．135°
【分析】由题意可得∠ABC＝45°，∠E＝30°，由三角形的外角性质可求得∠BHE＝15°，再利用平角的定义即可求解．
解：如图，
由题意得：∠ABC＝45°，∠E＝30°，
∵∠ABC是△BEH的外角，
∴∠ABC＝∠E+∠BHE，
∴∠BHE＝∠ABC﹣∠E＝15°，
∴∠α＝180°﹣∠BHE＝165°．
故选：A．
6．2022年北京冬奥会开幕式为世界奉献了一场精彩、简约、唯美、浪漫的中国文化盛宴，其中主火炬台的雪花状创意令人惊叹．如图是一个正六边形雪花状饰品，则它的每一个内角是（ ）
A．60° B．105° C．120° D．135°
【分析】根据多边形的内角和公式：多边形的内角和＝180°×（n﹣2），再利用内角和÷6即可得出每个内角的度数．
解：180°×（6﹣2）
＝180°×4
＝720°，
720°÷6＝120°，
答：一个六边形的每个内角的度数是120°．
故选：C．
7．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ）
A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
【分析】设这个外角是x°，则内角是3x°，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．
解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，
∴设这个外角是x°，则内角是3x°，
根据题意得：x+3x＝180，
解得：x＝45，
360°÷45°＝8（边），
故选：C．
8．如图，在△ABC与△DFE中，AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（ ）
A．∠B＝∠F B．BE＝CF C．∠A＝∠D D．AB＝DF
【分析】根据全等三角形的判定方法：SAS．ASA，AAS，逐一判断即可解答．
解：A、∵AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，∠B＝∠F，
∴△ABC≌△DFE（AAS），
故A不符合题意；
B、∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
∴BC＝EF，
∵∠ACB＝∠DEF，AC＝DE，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
故B不符合题意；
C、∵AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DFE（ASA），
故C不符合题意；
D、∵AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，AB＝DF，
∴△ABC与△DFE不一定全等，
故D符合题意；
故选：D．
9．如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．140° B．180° C．250° D．360°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠3+∠4，继而可求出∠1+∠2的值．
解：∵∠C＝70°，
∴∠3+∠4＝180°﹣70°＝110°，
∴∠1+∠2＝（180°﹣∠3）+（180°﹣∠4）＝360°﹣（∠3+∠4）＝250°．
故选：C．
10．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角分别对应相等
B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等
D．一个锐角和一条斜边分别对应相等
【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；
B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；
C、可以利用边角边或HL判定两三角形全等，不符合题意；
D、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意．
故选：A．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线．AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A．30 B．18 C．15 D．9
【分析】要求△ABD的面积，现有AB＝10可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．
解：作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝CD＝3．
∴△ABD的面积为 ×3×10＝15．
故选：C．
12．如图，已知△ABC是直角三角形，∠B＝90°．在边AB，AC上分别截取AG，AF，使AG＝AF；分别以G，F为圆心，以大于GF的长为半径画弧，两弧在△ABC内相交于点H；作射线AH交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．若CE＝3，DE＝4，CD＝5，则△ACD与△ABD的周长差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
【分析】由作法得AD平分∠BAC，则根据角平分线的性质得到DB＝DE，再证明Rt△ABD≌Rt△AED得到AE＝AB，然后利用等线段代换得到△ACD的周长﹣△ABD的周长＝CE+CD﹣BD．
解：由作法得AD平分∠BAC，
∵DB⊥AB，DE⊥AC，
∴DB＝DE，
在Rt△ABD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AB，
∴△ACD的周长﹣△ABD的周长＝AC+CD+AD﹣（AB+BD+AD）＝AE+CE+AD+CD﹣AB﹣BD﹣AD＝CE+CD﹣BD＝3+5﹣4＝4．
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．花楼提花机是我国古代织造技术最高成就的代表，明代《天工开物》中详细记载了花楼提花机的构造．如图所示，提花机上的一个三角形木框架，它是由三根木料固定而成，三角形的大小和形状固定不变．三角形的这个性质叫做三角形的 稳定性 ．
【分析】根据三角形的稳定性可知，三根木条钉成一个三角形框架的大小和形状固定不变，据此填空即可．
解：根据三角形的稳定性可知，三根木条钉成一个三角形框架的大小和形状固定不变，
故答案为：稳定性．
14．如图，在△ABC中，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A′，若∠A＝30°，∠BDA′＝86°，则∠CEA′的度数为 26° ．
【分析】先利用对折的性质说明∠ADE与∠A′DE、∠AED与∠A′ED的关系，再利用三角形的内角和、平角的定义求出∠ADE、∠DEA′、∠DEC的度数，最后利用角的和差关系求出∠CEA′的度数．
解：∵△A′DE是△ADE沿DE对折后的图形，
∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED．
∵∠ADE+∠A′DE+∠BDA′＝180°，∠BDA′＝86°，
∴∠ADE＝47°．
∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∠A＝30°，
∴∠AED＝∠DEA′＝100°．
∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝77°．
∵∠DEA′＝103°，
∴∠CEA′＝∠DEA′﹣∠DEC＝26°．
故答案为：26°．
15．如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数等于 84° ．
【分析】利用正多边形的外角公式可得∠ABC，∠ACB，再根据三角形内角和为180°，求出∠BAC，即可求出∠1解决问题．
解：如图，
由题意得：∠ABC＝360°÷6＝60°，∠ACB＝360°÷5＝72°，
则∠BAC＝180°﹣60°﹣72°＝48°，
所以∠1＝360°﹣48°﹣120°﹣108°＝84°．
故答案为：84°．
16．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝6cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 6 cm．
【分析】过P点作PH⊥OB于H，如图，根据角平分线的性质得到PH＝PD＝2，然后根据垂线段最短求解．
解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴PH＝PD＝6cm，
∵点E是射线OB上的动点，
∴PE的最小值为6cm．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共9个小题，共64分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．如图，在直角△ABC中，BC边上有E，D，F三点，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足为F．
（1）以AD为中线的三角形是 △ABC ；以AE为角平分线的三角形是 △ABD ；以AF为高线的钝角三角形有 3 个；
（2）若∠B＝35°，求∠CAF的度数．
【分析】（1）根据三角形的中线、高、角平分线的概念解答即可；
（2）根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．
解：（1）以AD为中线的三角形是△ABC；
以AE为角平分线的三角形是△ABD；
以AF为高线的钝角三角形有△ABE、△ABD、△ADE共3个，
故答案为：△ABC；△ABD；3；
（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝35°，
∴∠C＝90°﹣35°＝55°，
∵AF⊥BC，
∴∠CAF＝90°﹣55°＝35°．
18．某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，求出∠BAE＝∠CAD，根据SAS证△ABE≌△ACD即可．
解：△ABE≌△ACD，
理由如下：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，
即∠BAE＝∠CAD
∵在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
19．已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长进而判断出其形状．
解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意舍去，
∴a＝2，
∴△ABC的周长为：2+2+3＝7，
∴△ABC是等腰三角形．
20．已知一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的3倍多20°，求这个正多边形的边数和它的内角和．
【分析】一个正多边形的每个内角比它相邻的外角的3倍多20°，又由于内角与外角的和是180度．设内角是x°，外角是180°﹣x°，列方程求解，再根据多边形的外角和与内角和定理求解．
解：设内角是x°，外角是180°﹣x°，
则得到方程
x＝3（180﹣x）+20，
解得x＝140，
180°﹣x°＝40°．
而任何多边形的外角是360°，
则多边形内角和中的外角的个数是360÷40＝9，
则这个多边形的边数是9边形，内角和为（9﹣2）×180°＝1260°．
故这个多边形的边数为9，内角和为1260°．
21．已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数．
【分析】（1）过点P作PD⊥BC于D，可得PD＝PE＝PF；
（2）可得AP是∠BAC的平分线，则∠EAP可求出．
解：（1）过点P作PD⊥BC于D，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PD＝PE，PD＝PF，
∴PE＝PF；
（2）∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴AP平分∠BAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠EAP＝＝30°．
22．【概念认识】在四边形ABCD中，∠A＝∠B．如果在四边形ABCD内部或边AB上存在一点P，满足∠DPC＝∠A，那么称点P是四边形ABCD的“映角点”．
【初步思考】
（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在边AB上且是四边形ABCD的“映角点”．若DA∥CP，DP∥CB，则∠DPC的度数为 60° ；
【综合运用】
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在四边形ABCD内部且是四边形ABCD的“映角点”，延长CP交边AB于点E．求证：∠ADP＝∠CEB．
【分析】（1）由题意可知∠A＝∠B＝∠DPC，若DA∥CP，DP∥CB，推出∠A＝∠B＝∠DPC＝∠ADP＝∠PCB，再由∠DPB是△ADP的外角，则∠DPC+∠CPB＝2∠A，证得△BCP为等边三角形，即可得出结果；
（2）先证∠ADP+∠AEP＝180°，再由∠CEB+∠AEP＝180°，即可得出结论．
【解答】（1）解：由题意得：∠A＝∠B＝∠DPC，
∵DA∥CP，
∴∠DPC＝∠ADP，
∵DP∥CB，
∴∠DPC＝∠PCB，
∴∠A＝∠B＝∠DPC＝∠ADP＝∠PCB，
∵∠DPB是△ADP的外角，
∴∠DPC+∠CPB＝∠A+∠ADP＝2∠A，
∴∠A＝∠CPB，
∴∠B＝∠CPB＝∠PCB，
∴△BCP为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠DPC＝60°，
故答案为：60；
（2）证明：∵∠A＝∠B＝∠DPC，∠DPC+∠DPE＝180°，
∴∠A+∠DPE＝180°，
∴∠ADP+∠AEP＝180°，
∵∠CEB+∠AEP＝180°，
∴∠ADP＝∠CEB．
23．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．
【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．
解：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，
在△BAC与△EAD中，
，
∴△BAC≌△EAD（SAS），
∴∠D＝∠C＝50°．
24．综合与实践：
【问题情境】
如图，池塘的两端有A，B两点，现需要测量该池塘的两端A，B之间的距离，需要如何进行呢？
【方案解决】同学们想出了如下的两种方案：
方案①：如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的距离；
方案②：如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A，C，E三点在一条直线上，则测出DE的长即是AB的距离．
问：（1）方案①是否可行？请说明理由；
（2）方案②是否可行？请说明理由．
【分析】（1）根据SAS证明△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据ASA证明△ABC≌△EDC，进一步即可得证．
解：（1）方案①可行，理由如下：
在△DCE和△ACB中，
，
∴△DCE≌△ACB（SAS），
∴DE＝AB，
∴方案①可行；
（2）方案②可行，理由如下：
∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴DE＝AB，
故方案②可行．
25．综合与探究：
【情境引入】
（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+∠A的理由．
【深入探究】
（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 ∠D＝90°﹣∠A ；
②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理证明即可；
（2）①根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可；
②根据三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义求解即可．
【解答】（1）证明：∵BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠2
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A；
（2）解：①∠D＝90°﹣∠A，理由如下：
∵BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，
∴∠DBC＝∠EBC＝（∠A+∠ACB），∠DCB＝∠FCB＝（∠A+∠ABC），
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣（∠EBC+∠FCB）
＝180°﹣
＝90°﹣∠A，
故答案为：∠D＝90°﹣∠A；
②∠D＝∠A，理由如下：
∵BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠D+∠DBC，
∴∠D+∠ABC＝（∠A+∠ABC），
∴∠D＝∠A．
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